江苏省黄桥中学2020届高三高考模拟试卷（一）数学试题含附加题
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一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A={1，4}，B={a-5，7}．若，则实数的值是________．
2．已知是虚数单位．若，则a+b的值为________．
3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．
4．函数的定义域是________．
5．已知一个算法的流程图如图，则输出的结果S的值是________．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
7．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线为________．
8．如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱的体积为V2，则________．
9．设为等差数列的前项和，若，，则________．
10．将函数的图象向左平移个单位后，恰好得到函数的y=-sin2x的图象，则的最小值为________．
11．已知函数，则关于x的不等式的解集为________．
12．如图，在△ABC中，，，CD与交于点，AB=2，AC=4，
，则的值为________．
13．圆与曲线相交于A，B，C，D点四点，O为坐标原点，则________．
14．在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则sin2A+sin2B的最大值为________．
二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知向量，．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值．
16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，，D，E分别是AC，A1B的中点．
（1）求证：平面BCC1B1；
（2）若，求证：平面平面．
17．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设，五个正方形的面积和为S．
（1）求面积S关于的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积S最小值及此时的值．
18．已知圆O：与椭圆C：相交于点M（0，1），N（0，-1），且椭圆的离心率为．
（1）求r值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A，B两点．①若，求直线l的方程；②设直线NA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，问：是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
19．在等比数列中，已知，．设数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等差数列；
（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由．
20．已知函数
（1）若在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数，的值；
（2）证明：当a<-2时，在上有两个极值点；
（3）设，若在[1，e]上是单调减函数（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围．
江苏省黄桥中学2020届高考模拟卷1（附加题）
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵，，且，求矩阵M．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数，），
圆C的参数方程为（为参数），若直线l与圆C恰好相切，求的正切值．
【必做题】第22题、第23题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：
（1）目标被击中的概率；（2）X的概率分布；（3）均值方差V(X)．
23．在平面直角坐标系xOy中，C（1，2）在抛物线y2=2px上．
（1）求p的值；
（1）设动直线l交抛物线于A，B两点（异于点C），且满足CA⊥CB，试求点C到直
线l距离的最大值．
高考模拟1参考答案
1．9 2．-1 3．0.08 4． 5．11 6． 7．
8． 9．30 10． 11． 12．2 13． 14．
15．解：（1）因为，
所以，
因为（否则与矛盾），
所以，
所以；
（2）
，
因为，所以，
所以当，即时，函数的最大值为．
16．证明：（1）连接AB1，B1G，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，且AA1=BB1，
所以四边形ABB1A1是平行四边形．
因为E是A1B的中点，所以E也是AB1的中点，
又因为D是AC的中点，所以DE//B1C．
又平面BCC1B1，平面BCC1B1，所以DE//平面BCC1B1．
（2）由(1)知DE//B1C，
因为AB⊥DE，所以AB⊥B1C．
在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BB1，四边形BCC1B1是平行四边形，
因为AA1=BC，所以BB1=BC，
所以平行四边形BCC1B1是菱形，所以BC1⊥B1C．
又因为AB⊥B1C，AB∩BC1=B，AB，平面ABC1，
所以B1G⊥平面ABC1．又因为平面BCC1B1，
所以平面ABC1⊥平面BCC1B1．
17．【解析】(1)过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点E，F分别为小正方形和大正方形边的中点，
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为，
，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以，，，
所以的取值范围为，，
答：面积S关于的函数表达式为，
的取值范围为，，．
（2）法一：，
，
，
，其中，，
所以，此时，因为，所以
，所以，
所以，
则，化简得：，
由此解得：，
因为，所以，
答：面积S最小值为，
法二：，
，
令，则，
设，，
令，得：，
t | |||
- | 0 | + | |
极小值 |
所以时，面积S最小值为，
答：面积S最小值为．
18．解：（1）因为圆O：与椭圆C：相交于点M（0，1），
所以．
又离心率为，，所以．
所以椭圆C：．
（2）①因为过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A，B两点，所以设直线l的方程为
，
由得，
所以，
同理得到，
所以
因为，则，又，
所以，即直线l的方程为．
②根据①，，
，
，所以为定值．
19．【答案】解：（1）设等比数列的公比为，
因为，，所以，解得，
所以数列的通项公式为：；
（2）由（1）得，当，时，， ①
所以，， ②
②-①得，，
所以，，
即，， .
因为，由①得，，
所以，
所以，，
所以数列是以-1为首项，1为公差的等差数列；
（3）由（2）得，所以，
，
假设存在等差数列，其通项，
使得对任意，都有，
即对任意，都有，③
首先证明满足③的，若不然，，则，若，
（i）若，则当，时，，
这与矛盾；
（ii）若，则当，时，，
而，……，
所以，
故，这与矛盾，
所以，再次证明，
在证明之前，先证明下面一个结论：
当时，，
因为，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
所以当，时，，
（i）若时，则当，，，，这与③矛盾，
（ii）若时，同（i）可得矛盾，所以，
当时，因为，，
所以对任意，都有，所以，，
综上，存在唯一的等差数列，
其通项公式为，满足题设．
20．【解析】（1）．
因为切线的斜率为-1，所以，解得．
因为，
所以切点为，代入解得．
（2）令，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以．
又，
所以在上有一个零点，
又，
令，
则，
所以在单调递减，，
所以，
在上有一个零点．列表如下：
+ | 0 | - | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
即在上有两个极值点．
（3）．
令，则．
令，则，
在上单调递增，，
所以，在上单调递增，．
①若，，，
，
令，
则，
即在上单调递减，
所以．
②若，，，
由①知，
当，时，
，
所以
即，满足题设．
③若，存在唯一确定的，
使，当时，，
即存在，，．当，
这与在上单调递减矛盾，不合题意．
综上所述，．
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]
【答案】解：由，得．
因为，所以．
所以．
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]
【答案】解：由题意知，圆C的普通方程为，
当直线l的斜率不存在，即时，易知直线l的方程为，
显然不符合题意，故直线l的斜率存在．
依题意知直线l的斜率，其方程为，
即，
则圆心到直线l的距离，
解得或，故或．
【必做题】第22题、第23题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（1）由题意可得：目标没有被击中的概率为：，
所以目标被击中的概率为：．
（2）X可能取的值为：1，2，3．
所以，
，
，
所以X的分布列为：
X | 1 | 2 | 3 |
P |
（3）由（2）可得：均值
．
23．【答案】解：（1）将（1，2）代入y2=2px得，p=2．
（2）由（1）得，y2=4x，设，，
所以，，
因为CA⊥CB，所以，
即，
由题意得a≠l，b≠l，所以，
直线l的方程为，将代入，
得，
所以，
即，
所以动直线l恒过点M（5，-2），
易知当l⊥MC时，点C到直线l的距离最大，最大值为
．
