2020届湖北省名师联盟高三入学调研考试数学（文）试题（解析版）
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文 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，
则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则实数的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．焦点在轴上的椭圆（）的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A． B． C． D．[
7．如图，每一个虚线围成的最小正方形边长都为1，某几何体的三视图如图中实线所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．随机从名老年人，名中老年和名青年人中抽取人参加问卷调查，则抽取的人来自不同年龄层次的概率是（ ）
A． B． C． D．[]
9．将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到的图象，且，则函数图象的一个对称中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．秦九韶算法是我国古代算筹学史上光辉的一笔，它把一元次多项式的求值转化为个一次式的运算，即使在计算机时代，秦九韶算法仍然是高次多项式求值的最优算法，其算法如图所示，若输入的，，，，分别为，，，，，则该程序框图输出的值为（ ）
A． B． C． D．
11．若在中，，其外接圆圆心满足，
则（ ）
A． B． C． D．
12．函数满足：，且，则关于的方程的以下叙述中，正确的个数为（ ）
①，时，方程有三个不等的实根；
②时，方程必有一根为；
③且时，方程有三个不等实根．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．年俄罗斯世界杯将至，本地球迷协会统计了协会内名男性球迷，名女性球迷在观察场所（家里、酒吧、球迷广场）上的选择，制作了如图所示的条形图，用分层抽样的方法从中抽取名球迷进行调查，则其中选择在酒吧观赛的女球迷人数为_________人．
14．设，满足约束条件，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________．
15．的内角，，的对边分别为，，，，，，则_________．
16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过双曲线（）的右顶点作射线与双曲线的两条渐近线分别交于第一象限的点和第二象限的点，且，的面积为，则________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列满足，（，）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和．
[]
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，是线段上的一点，且平面．
（1）求证：为的中点；
（2）若为的中点，连接，，，，平面平面，，求三棱锥的体积．
19．（12分）从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药，食用时需要清洗数次，统计表中的表示清洗的次数，表示清洗次后千克该蔬菜残留的农药量（单位：微克）．
（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断，与哪一个适宜作为清洗次后千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据判断及下面表格中的数据，建立关于的回归方程；
表中，．
（3）对所求的回归方程进行残差分析．
附：①线性回归方程中系数计算公式分别为，；
②，说明模拟效果非常好；
③，，，，．
20．（12分）已知抛物线，，是抛物线上的两点，是坐标原点，且．
（1）若，求的面积；
（2）设是线段上一点，若与的面积相等，求的轨迹方程．
21．（12分）已知函数，．
（1）若，求的最大值；
（2）当时，求证：．
[
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）点在直线上，射线交曲线于点，点在射线上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，为不等式的解集．
（1）求；
（2）证明：当时，．
2020届高三入学调研考试卷
文 科 数 学答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】，集合，，．
2．【答案】B
【解析】复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，
所以，∴．
3．【答案】B
【解析】，，，所以．
4．【答案】C
【解析】因为（）焦点在轴上，即，，
解得．
5．【答案】A
【解析】因为为上的奇函数，且当时，，
即，，
∵，即，，．
6．【答案】D
【解析】由，可设，，
∵为等差数列，∴，，为等差数列，
即，，成等差数列，∴，即，
∴．
7．【答案】C
【解析】该几何体为一个半圆锥和一个圆柱组合而成，半圆锥体积为，圆柱体积为，
∴该几何体的体积为．
8．【答案】D
【解析】记名老年人，名中老年和名青年人分别为，，，，，，该随机试验的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中来自不同年龄层的有种，故古典概型的概率为．
9．【答案】B
【解析】将函数的图象向左平移个单位得到，，
又，解得，即，
又，
∴是图象的一个对称中心．
10．【答案】B
【解析】根据图中程序框图可知：，
当时，图中的计算是当时，多项式的值，∴．
11．【答案】A
【解析】取中点为，根据，即为重心，另外为的外接圆圆心，即为等边三角形，．
12．【答案】D
【解析】，得，即，，由，得，，在上单调递增，在上单调递减，且，大致草图如图所示，
，，有个不等实根，①正确；
时，，即恒满足方程，②正确；
且时，方程有三个不等实根，③正确，
所以正确的个数为个．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】总球迷是人，家里的女性球迷是人，球迷广场女性人，
所以在酒吧观赛的女球迷是人，
抽样中，选择在酒吧观赛的女球迷人数为人．
14．【答案】
【解析】画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为，，，，则．
15．【答案】
【解析】在中，∵，，，由正弦定理，得，由，得，所以．
16．【答案】
【解析】由等轴双曲线可设，，，，
由，得，整理得，
解得，，，解得，即．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[Z&xx&k
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，
∴，
∴，
∴．
（2），，
∴．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点．
（2）∵，分别为，的中点，
∴，
取的中点，连接，
∵为等边三角形，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
而，菱形的面积为，
∴，
∴．
19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）拟合效果非常好．
【解析】（1）散点图如图，
用作为清洗次后千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类型．
（2）由题知，，
故所求的回归方程为．
（3）列表如下：
所以，，，
所以回归模拟的拟合效果非常好．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】设，，
（1）因为，
又由抛物线的对称性可知，关于轴对称，所以，，
因为，所以，故，则，
又，解得或（舍），
所以，于是的面积为．
（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，
代入，得，，
且，，
因为，所以，
故，则，所以或（舍），
因为与的面积相等，所以为的中点，
则点的横坐标为，纵坐标为，
故点的轨迹方程为．
21．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，，
由，得，所以时，；时，，
因此的单调递减区间为，单调递增区间为，
∴的最大值为．
（2）证明：先证，
令，
则，
由，与的图象易知，
存在，使得，
故时，；时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以的最大值为，而，，
又由，，所以，
当且仅当，或，取“”成立，即．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）曲线的极坐标方程为，
直线的极坐标方程为．
（2）设点的极坐标为，
易知，，
故代入，得，
即，
所以点的轨迹的直角坐标方程为．
23．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，成立；
当时，，∴；
当时，，不成立．
综上，．
（2）证明：根据题意，得，∴或，
要证成立，
即证成立，
即证成立，
，
当时，，；
当时，，，
故，所以成立，
即成立．
