2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式求得集合，求三角函数值域求得集合，由此求得.

【详解】

由解得.当时，函数，所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有的函数的值域的求法，考查集合交集概念和运算，属于基础题.

2．已知复数满足，且，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【解析】设,则,利用和求得,即可.

【详解】

设,则,

因为,则,所以,

又,即,所以,

所以,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.

3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )

A．10 B．50 C．60 D．140

【答案】C

【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米

所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C

4．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.

【详解】

由于数列是等比数列，所以，由于，所以

，故“”是“”的充分必要条件.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.

5．若双曲线：的一条渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得的值.

【详解】

由题意知双曲线的渐近线方程为，可化为，则，解得.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.

6．已知，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，而，即可得到.在比较和，即可大小关系，进而求得的大小关系.

【详解】

，

又，

，即

综上所述，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了比较数的大小，解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

7．若满足约束条件则的最大值为（    ）

A．10 B．8 C．5 D．3

【答案】D

【解析】画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.

【详解】

解:由约束条件作出可行域如图,

化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知

当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.

故选:D.

【点睛】

本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为 的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.

8．关于函数有下述四个结论：（    ）

①是偶函数；        ②在区间上是单调递增函数；

③在上的最大值为2；    ④在区间上有4个零点.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①②④ B．①③ C．①④ D．②④

【答案】C

【解析】根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.

【详解】

的定义域为.

由于，所以为偶函数，故①正确.

由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.

当时，，

且存在，使.

所以当时，；

由于为偶函数，所以时，

所以的最大值为，所以③错误.

依题意，，当时，

，

所以令，解得，令，解得.所以在区间，有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.

综上所述，正确的结论序号为①④.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

9．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则的最大值是（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】如图所示建立直角坐标系，设，则，计算得到答案.

【详解】

如图所示建立直角坐标系，则，，，设，

则

.

当，即时等号成立.

故选：.

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.

10．已知椭圆，直线与直线相交于点，且点在椭圆内恒成立，则椭圆的离心率取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线过椭圆的焦点.然后判断出，判断出点的轨迹方程，根据恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率的取值范围.

【详解】

设是椭圆的焦点，所以.直线过点，直线过点，由于，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆.由于点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于，即，所以，所以双曲线的离心率，所以.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

11．如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.

【详解】

依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.

12．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.

【详解】

构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.

由得，所以，故不等式的解集为.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为____________.

【答案】（或写成）

【解析】设与的夹角为，通过，可得，化简整理可求出，从而得到答案.

【详解】

设与的夹角为

可得，

故，将代入可得

得到，

于是与的夹角为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量的数量积运算，向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.

14．在中，内角所对的边分别是，若，，则__________.

【答案】

【解析】先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.

【详解】

由于，所以，所以.由正弦定理得.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查三角形的内角和定理，属于中档题.

15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.

【答案】

【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.

【详解】

根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

当中间是时，其它个数字可以是，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有种.

所以该验证码的中间数字是7的概率为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

三、双空题

16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，则此鳖臑的外接球（均在球表面上）的直径为__________；过的平面截球所得截面面积的最小值为__________.

【答案】       

【解析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.

【详解】

根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.

过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.

故答案为：(1).     (2).

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.

四、解答题

17．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，∥，为等边三角形，平面底面，为的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上，且，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）根据等边三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理，证得底面，由此证得，结合证得平面，由此证得：平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【详解】

（1）证明：∵为等边三角形，为的中点，∴

∵平面底面，平面底面，

∴底面平面，∴

又由题意可知为正方形，

又，∴平面

平面，∴平面平面

（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，由已知，得，

设平面的法向量为，则

令，则，

∴

由（1）知平面的法向量可取为

∴

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

【点睛】

本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18．已知数列和满足：.

（1）求证:数列为等比数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列.

（2）由（1）求得数列的通项公式，判断出，由此利用裂项求和法求得数列的前项和.

【详解】

（1）

所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.

（2）由（1）知，

∴为常数列，且，

∴，

∴

∴

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.

19．为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.

（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？

（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望

附表及公式：.

【答案】（1）见解析，没有（2）见解析，

【解析】（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.

（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.

【详解】

（1）

所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.

（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且

；

；

.

所以的分布列为

则.

【点睛】

本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.

20．已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.

【答案】（1）（2）见解析，最小值为4

【解析】（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.

（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.

【详解】

（1）依题意，解得 （负根舍去）

∴抛物线的方程为

（2）设点，由，

即，得

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即

∵，∴∵点在切线上，

①，同理，②

综合①、②得，点的坐标都满足方程.

即直线恒过抛物线焦点

当时，此时，可知：

当，此时直线直线的斜率为，得

于是，而

把直线代入中消去得

，即：

当时，最小，且最小值为4

【点睛】

本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.

21．已知函数.

（1）设，求函数的单调区间，并证明函数有唯一零点.

（2）若函数在区间上不单调，证明：.

【答案】（1）为增区间；为减区间.见解析（2）见解析

【解析】（1）先求得的定义域，然后利用导数求得的单调区间，结合零点存在性定理判断出有唯一零点.

（2）求得的导函数，结合在区间上不单调，证得，通过证明，证得成立.

【详解】

（1）∵函数的定义域为，由，解得为增区间；

由解得为减区间.

下面证明函数只有一个零点：

∵，所以函数在区间内有零点，

∵，函数在区间上没有零点，

故函数只有一个零点.

（2）证明：函数，则

当时，，不符合题意；

当时，令，

则，所以在上单调增函数，而，

又∵区间上不单调，所以存在，使得在上有一个零点，即，所以，

且，即

两边取自然对数，得即，

要证，即证，

先证明：，令，则

∴在上单调递增，即，∴①

在①中令，∴

令∴，即

即，∴.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）若，求曲线与的交点坐标；

（2）过曲线上任意一点作与夹角为45°的直线，交于点，且的最大值为，求的值.

【答案】（1），；（2）或

【解析】（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线与的交点坐标；

（2）由直线的普通方程为，故上任意一点，根据点到直线距离公式求得到直线的距离，根据三角函数的有界性，即可求得答案.

【详解】

（1），

.

由，得，

曲线的直角坐标方程为.

当时，直线的普通方程为

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）由题意知直线的普通方程为，

的参数方程为（为参数）

故上任意一点到的距离为

则.

当时，的最大值为所以；

当时，的最大值为，所以.

综上所述，或

【点睛】

解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最大值为，若，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；

（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.

【详解】

（1）

①当时，恒成立，

；

②当时，，即，

；

③当时，显然不成立，不合题意；

综上所述，不等式的解集为.

（2）由（1）知，

于是

由基本不等式可得 （当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）

（当且仅当时取等号）

上述三式相加可得

（当且仅当时取等号）

，

，故得证.

【点睛】

本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.