2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题（word版）

南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷

数学Ⅰ试题

2019.12

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2－4x＜0}，则A∩B＝__________．

答案为：，2，．

2．已知复数，则复数的共轭复数为__________．

答案为：

3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________．

答案为：80．

4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为__________．

答案：模拟演示：

答案为：15．

5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．

答案为：．

6．若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．

答案为：

7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f (x)＝＋a，a为实数，则f (－4)的值是__________．

答案为：．

8．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为__________．

答案为：3

9．已知，若是偶函数，则__________．

答案为：．

10．已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D－ABC的体积是__________．

答案为．

11．已知实数x，y满足条件xy＋1＝4x＋y且x＞1，则(x＋1)(y＋2)的最小值是__________．

答案为：27．

12．若直线上存在相距为2的两个动点A，B，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为__________．

答案为：，．

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________．

解：由中线长公式可得，则

，则

在中，，即

所以（当且仅当时取等）

14．已知函数，若不等式恒成立，为奇函数，函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________．

解：若不等式恒成立，

即恒成立，

则△，解得：，

故，

若为奇函数，

则，解得：，

故，

画出函数，的图象，如图所示：

若函数恰有两个零点，

结合图象：，，，

故答案为：，，．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

已知分别为三个内角A，B，C的对边，且．

（1）若，，求边的长；

（2）若，求的值．

解：（1）在中，由可知，

由解得，

由余弦定理得，

得，即，

解得．

（2）由且，得，

又，则，则，

所以，

所以，

所以

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：

（1）DE∥平面B1BCC1；

（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．

证明：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，，

所以四边形是平行四边形，且，

所以为中点，

同理为中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以．

（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面，

因为平面，所以，

因为，，平面，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：的左、右顶点分别为．已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P是椭圆C上异于 A、B的点，与轴垂直的直线分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．

解：（1）因为，所以，即，

又点在椭圆上，故，即，

又，

联立方程组，解得，

故椭圆方程为．

（2）设P点坐标为（），M,N的横坐标均为，

则直线AP的方程为，

故，

故直线BM的斜率，

同理可得直线AN的斜率，

故，

又因为P点在椭圆上，故有，即，

因此有，

故直线AN与直线BM的斜率之积是定值．

18．（本小题满分16分）

如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile；

（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；

（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围．

解：（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得，

即，整理得，

解得或（舍去），

过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，CD=BC，

故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile．

（2）由（1）可知,，

以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，

则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为，

假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则，

则点T满足方程，

化简得

要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，

只需要圆与圆外离，

故，

整理得135，解得或（舍去）．

答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile；

（2）当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．

19．（本小题满分16分）

已知函数，，．

（1）求函数的单调增区间；

（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点，其中．

①若，求函数在处的切线方程；

②若对，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），

所以，

令 得到，

所以的单调增区间是．

（2）由方程得是方程的两实根，

故，且由判别式得，

①若，得，故，得，

因此，

故函数在处的切线方程为．

②若对任意的，都有成立，所以，

因为，所以，

当时，对有，

所以，

解得，

又因为，得，则有；

当时，，

则存在的极大值点，且，

由题意得，

将代入得，

进而得到，得，

又因为，得，

综上可知的取值范围是或．

20．（本小题满分16分）

等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．

（1）求Sn；

（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3k∈{S2，S5，S6}，求数列{bn}的通项公式；

（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．

解：（1）设{an}公差为d，d＞0，

因为a2＋a3＝，a22＋a32＝，

所以a1＋d＋a1＋2d＝，(a1＋d)2＋(a1＋2d)2＝，

解得a1＝，d＝，

于是Sn＝n＋×＝．

（2）{S2，S5，S6}＝{，，}

当q＝1时，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，＝3，舍去；

当q≠1时，Tk＝，T3k＝，所以＝1＋qk＋q2k，

因为q∈N*且q≠1，所以q≥2，

因此≥1＋2＋4＝7，

于是Tk＝，T3k＝，

因此1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3（舍去），

从而q＝2，k＝1，代入Tk＝得b1＝

所以bn＝3×2n－2 

（3）因为Sn＝为整数项，所以n＝4k或者4k－1，k∈N*

当n＝4k－1，k∈N*时，Sn＝k(4k－1)；

当n＝4k，k∈N*时，Sn＝k(4k＋1)；

因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，

且k(4k－1)＜k(4k＋1)＜(k＋1)[4(k＋1)－1]＜(k＋1)[4(k＋1)＋1]，

所以当n为奇数时，cn＝(4×－1)×＝；

当n为偶数时，cn＝×(2n＋1)＝；

所以cn＝