2020届全国高三下学期2月测试数学试题（B卷）（解析版）

2020届中学生标准学术能力诊断性测试高三下学期2月测试数学试题（b版）

一、单选题

1．已知集合A＝{1，2}，B＝{1，3}，若全集U＝A∪B，则∁U（A∩B）＝（    ）

A．∅ B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3}

【答案】C

【解析】运用集合的交集、补集定义直接求解即可.

【详解】

U＝A∪B＝{1，2，3}，A∩B＝{1}，

∴∁U（A∩B）＝{2，3}．

故选：C

【点睛】

本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.

2．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）＝（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】D

【解析】利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可.

【详解】

设f（x）＝xa，因为幂函数图象过（4，2），

则有2 ，∴a，即，

∴f（2）

故选：D

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，考查了求函数值，属于基础题.

3．已知方程lgx0的根为x0，则下列说法正确的是（    ）

A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，10）

C．x0∈（10，100） D．x0∈（100，+∞）

【答案】A

【解析】利用零点存在原理进行求解即可.

【详解】

构建函数f（x）＝lgx，函数的定义域为（0，+∞）

易知道函数在（0，+∞）上为单调增函数，

∵x→0，f（x）＜0，f（1）＝lg1+1＝1＞0，

∴方程lgx0的根所在区间是（0，1）．

故选：A

【点睛】

本题考查了零点存在原理的应用，属于基础题.

4．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，则2次点数之和为6的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求出基本事件的个数，再求出2次点数之和为6包括的基本事件的个数，最后利用古典概型计算公式求解即可.

【详解】

基本事件的总数为6×6＝36．

2次点数之和为6包括的基本事件数为：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个．

∴2次点数之和为6的概率为．

故选：C

【点睛】

本题考查了古典概型的计算方法，属于基础题.

5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+c（c为常数），则f（﹣1）＝（    ）

A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1

【答案】D

【解析】先利用奇函数的性质求出c的值，再利用奇函数的性质进行求解即可.

【详解】

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f（x）＝x2+c，

∴f（0）＝c＝0，

∴x≥0时，f（x）＝x2，

∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1．

故选：D

【点睛】

本题考查了奇函数的性质，考查了数学运算能力，属于基础题.

6．函数（其中是自然对数的底数）的大致图象为（        ）

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【解析】当时，；当时，，对比图像得到答案.

【详解】

当时，；当时，，对比图像知满足.

故选：.

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解.

7．已知a＞0，b＞0，则“12”是“a2+a＝3b2+2b”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】利用换元法，令t，再根据充分性、必要性的定义进行求解即可.

【详解】

根据题意，设t，

又由a＞0，b＞0，则有a＝tb，且t＞0，

若a2+a＝3b2+2b，则有t2b2+tb＝3b2+2b，变形可得（t2﹣3）b＝2﹣t，则有0，

又由t＞0，解可得：t＜2，即2；

反之：若2，即t＜2，

a2+a＝3b2+2b即t2b2+tb＝3b2+2b，变形可得b0，成立，

故2是“a2+a＝3b2+2b”的充分必要条件，则“12”是“a2+a＝3b2+2b”的必要不充分条件；

故选：B

【点睛】

本题考查了必要不充分条件的判断，考查了数学运算能力.

8．对于任意闭区间I，用M1表示函数f（x）＝x|x﹣2|在I上的最大值．已知实数a＞1，若M（a，2a）＝2M（0，a），则a的值为（    ）

A．1 B．

C．1或 D．前三个答案都不对

【答案】B

【解析】用绝对值的性质化简函数的解析式，根据题意，结合解一元二次方程，分类求解即可.

【详解】

，

∴当a＝1时，f（a）＝1，

令x2﹣2x＝1，得，

∴当时，M（0，a）＝1，

∵M（a，2a）＝2M（0，a），

∴4a2﹣4a＝2，解得，

∵，

∴；

当时，，则，

∴a＝0不合题意，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了含绝对值函数的性质，考查了数学阅读能力和数学运算能力.

二、填空题

9．已知函数f（x），则f （5）＝_____；函数f（x）的定义域为_____．

【答案】1    [，2）∪（2，+∞）．   

【解析】第一个空：直接代入求值即可；

第二个空：根据被开偶次方根被开方数为非负实数，分式的分母不为零进行求解即可.

【详解】

由f（x），得f （5），

由，解得x且x≠2．

∴函数f（x）的定义域为[，2）∪（2，+∞）．

故答案为：1；[，2）∪（2，+∞）．

【点睛】

本题考查了求函数值、求函数的定义域，考查了数学运算能力.

10．已知向量（1，3），（﹣1，t），t∈R．若向量与共线，则t＝_____；若⊥，则t＝_____．

【答案】﹣3       

【解析】第一个空：运用平面向量共线的性质直接求解即可；

第二个空：根据平面向量垂直性质进行求解即可.

【详解】

∵向量（1，3），（﹣1，t），t∈R．向量与共线，

∴，解得t＝﹣3；

若⊥，则1+3t＝0，解得t．

故答案为：﹣3，．

【点睛】

本题考查了已知两个平面向量共线、垂直求参数的值，考查了数学运算能力.

11．已知实数a，b满足a+b＝5，log2a＝log3b，则a＝_____，b＝_____．

【答案】2    3   

【解析】设log2a＝log3b＝k，运用对数式与指数式的互化公式进行求解即可.

【详解】

设log2a＝log3b＝k，则a＝2k，b＝3k，

∴a+b＝2k+3k＝5，

∴k＝1，

∴a＝2，b＝3，

故答案为：2，3．

【点睛】

本题考查了对数式与指数式的互化公式，考查了数学运算能力.

12．抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，则下列说法正确的序号是_____．

①若这枚骰子质地均匀，则这是一个不可能事件；

②若这枚骰子质地均匀，则这是一个小概率事件；

③这枚骰子质地一定不均匀．

【答案】②

【解析】根据不可能事件和小概率事件的定义进行求解即可.

【详解】

根据题意，抛掷一枚骰子10次，若结果10次都为六点，若这枚骰子质地均匀，这种结果可能出现，但是一个小概率事件；

故①③错误，②正确；

故答案为：②

【点睛】

本题考查了不可能事件、小概率事件的定义，属于基础题.

13．已知定义在R上的函数，对任意实数x，y满足：，且，若时，恒成立，则满足不等式的实数x的取值范围是_____．

【答案】

【解析】用单调性的定义，结合已知判断出函数的单调性，利用单调性进行求解即可.

【详解】

令，所以有或（舍去）

因此有，

，由可知：，因此有

.

设是任意两个实数，且

，于是有，因此函数是单调递减函数，

则不等式等价于，

或.

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数单调性的判断，考查了利用函数单调性进行解不等式的问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.

14．设正数x，y满足x6+y24x2，则x+2y＝_____．

【答案】3

【解析】对等式x6+y24x2，变形为4，运用基本不等式进行运算即可.

【详解】

∵正数x，y满足x6+y24x2，

∴4

∵x44，

故只有等号成立，此时，解可得x＝y＝1

则x+2y＝3．

故答案为：3

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

三、解答题

15．已知方程x2+bx+c＝0的两个根是2，3．

（1）求实数b，c的值；

（2）求不等式cx2﹣bx+1≤0的解集．

【答案】（1）b＝﹣5，c＝6；（2）{x|x}．

【解析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可；

（2）运用解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】

（1）二次方程x2+bx+c＝0的根为2，3，

∴2+3＝﹣b，2×3＝c；

∴b＝﹣5，c＝6；

（2）∵不等式cx2﹣bx+1≤0⇒6x2+5x+1≤0⇒（2x+1）（3x+1）≤0；

∴x；

则不等式不等式cx2﹣bx+1≤0的解集{x|x}．

【点睛】

本题考查了已知一元二次方程的根求参数的值，考查了解一元二次不等式，考查了数学运算能力.

16．已知定义在R上的函数f（x）＝kx+log9（9x+1）（k∈R）

（1）若k＝0，求函数f（x）的值域；

（2）若函数f（x）是偶函数，求实数k的值．

【答案】（1）（0，+∞）；

（2）k．

【解析】（1）利用指数函数、对数函数的单调性进行求解即可；

（2）利用偶函数的性质进行求解即可.

【详解】

（1）k＝0时，，

∵9x＞0，

∴9x+1＞1，

∴，

∴f（x）的值域为（0，+∞）；

（2）∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）＝f（x），

∴，

∴﹣（k+1）x＝kx，

∴﹣（k+1）＝k，解得k．

【点睛】

本题考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了偶函数的性质，考查了数学运算能力.

17．已知平面向量，满足：||＝2，||＝1．

（1）若（2）•（）＝1，求▪的值；

（2）设向量，的夹角为θ．若存在t∈R，使得，求cosθ的取值范围．

【答案】（1）-1（2）cosθ∈[﹣1，]∪[，1]

【解析】（1）利用数量积的运算性质，结合数量积的定义进行求解即可；

（2）对进行平方，然后根据平面向量的运算性质，结合数量积的定义、一元二次方程根的判别式、余弦函数的有界性进行求解即可.

【详解】

（1）若（2）•（）＝1，则1，

又因为||＝2，||＝1，所以42＝1，所以1；

（2）若，则1，

又因为||＝2，||＝1，所以t2+2（）t+3＝0，即t2+4tcosθ+3＝0，

所以△＝16cos2θ﹣12≥0，解得cosθ或θ，

所以cosθ∈[﹣1，]∪[，1].

【点睛】

本题考查了平面向量的运算性质和定义，考查了数学运算能力.

18．已知函数f（x）＝x2+tx+1（其中实数t＞0）．

（1）已知实数x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2．若t＝3，试比较x1f（x1）+x2f（x2）与x1f（x2）+x2f（x1）的大小关系，并证明你的结论；

（2）记g（x），若存在非负实数x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N）成立，且n的最大值为8，求实数t的取值范围．

【答案】（1）x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；见解析（2）[22，25）．

【解析】（1）利用作差比较法，结合函数f（x）的单调性进行求解即可；

（2）存在非负实数x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N）成立，且n的最大值为8，因此有成立，求出g（x）的表达式，利用基本不等式，分类讨论求出的最值，最后求出实数t的取值范围.

【详解】

（1）x1f（x1）+x2f（x2）﹣x1f（x2）﹣x2f（x1）＝（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2）），

∵t＝3，

∴f（x）＝x2+3x+1在[﹣1，1]上单调递增，

由x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2知，f（x1）＜f（x2），

∴（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，

∴x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）；

（2）∵存在非负实数x1，x2，…xn+1，使g（x1）+g（x2）+…+g（xn）＝g（xn+1）（n∈N）成立，且n的最大值为8，

∴，

下面求的最值，

当x＝0时，g（0）＝1；

当x＞0时，，

∵，

∴，

①当t＝1时，g（x）＝1，不合题意；

②当0＜t＜1时，，故函数g（x）的值域为，

可得，解得（不符，舍去）；

③当t＞1时，，故函数g（x）的值域为，

可得，解得22≤t＜25；

综上所述，实数t的取值范围为[22，25）．

【点睛】

本题考查了作差比较法的应用，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.