2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题（解析版）

2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题


一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先解得不等式及时函数的值域,再根据交集的定义求解即可.
【详解】
由题,不等式,解得,即；
因为函数单调递增,且,所以,即,
则,
故选:C
【点睛】
本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域.
2．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ）
A． B．3 C．1 D．
【答案】D
【解析】整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.
【详解】
由题,,
因为纯虚数,所以,则,
故选:D
【点睛】
本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算.
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若,则,利用均值定理可得,则,进而判断命题之间的关系.
【详解】
若,则,
因为,当且仅当时等号成立,
所以,
因为,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选:A
【点睛】
本题考查充分条件和必要条件的判定,考查利用均值定理求最值.
4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；
③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；
④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.
以上说法正确的是（ ）
A．③④ B．①② C．②④ D．①③④
【答案】A
【解析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】
由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；
,,则,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.
【详解】
由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,
设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,
所以每个等腰三角形的面积为,
所以圆的面积为,即,
所以当时,可得,
故选:A
【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.
6．函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.
【详解】
由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,
故选:C
【点睛】
本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.
7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【解析】化简圆到直线的距离 ，
又 两圆相交. 选B

8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】
由题意易得平面,
所以,
当且仅当时等号成立,
又阳马体积的最大值为,
所以,
所以堑堵的外接球的半径,
所以外接球的体积,
故选:B
【点睛】
本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.

二、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,先利用与的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.
【详解】
由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为,
对于选项A,,则为奇函数,故A不符合题意；
对于选项B,,即为偶函数,
当时,设,则,由对勾函数性质可得,当时是增函数,又单调递增,所以在上单调递增,故B符合题意；
对于选项C,,即为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为,则在上单调递增,故C符合题意；
对于选项D,由余弦函数的性质可知是偶函数,但在不恒增,故D不符合题意；
故选:BC
【点睛】
本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.
10．已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含项的系数为45
【答案】BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,由展开式的各项系数之和为1024可得,则二项式为,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】
由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,
又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,
所以二项式为,
则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；
由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；
由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,
故选: BCD
【点睛】
本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
11．在中，D在线段上，且若，则（ ）
A． B．的面积为8
C．的周长为 D．为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】由同角的三角函数关系即可判断选项A；设,则,在中,利用余弦定理求得,即可求得,进而求得,即可判断选项B；在中,利用余弦定理求得,进而判断选项C；由为最大边,利用余弦定理求得,即可判断选项D.
【详解】
因为,所以,故A错误；
设,则,在中,,解得,所以,
所以,故B正确；
因为,所以,
在中,,解得,
所以,故C正确；
因为为最大边,所以,即为钝角,所以为钝角三角形,故D正确.
故选:BCD
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.
12．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，F是的中点，E是上的一点，则下列说法正确的是（ ）

A．若，则平面
B．若，则四棱锥的体积是三棱锥体积的6倍
C．三棱锥中有且只有三个面是直角三角形
D．平面平面
【答案】AD
【解析】利用中位线的性质即可判断选项A；先求得四棱锥的体积与四棱锥的体积的关系,再由四棱锥的体积与三棱锥的关系进而判断选项B；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C；先证明平面,进而证明平面平面,即可判断选项D.
【详解】
对于选项A,因为,所以是的中点,
因为F是的中点,所以,
因为平面,平面,所以平面,故A正确；
对于选项B,因为,所以,
因为,
所以梯形的面积为,,所以,
所以,故B错误；
对于选项C,因为底面,所以,,所以,为直角三角形,
又,所以,则为直角三角形,
所以,,
则,所以是直角三角形,
故三棱锥的四个面都是直角三角形,故C错误；
对于选项D,因为底面,所以,
在中,,
在直角梯形中,,
所以,则,
因为,所以平面,
所以平面平面,故D正确,
故选:AD
【点睛】
本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.


三、填空题
13．已知向量，，且，则实数m的值是________．
【答案】1
【解析】根据即可得出，从而求出m的值．
【详解】
解：∵；
∴；
∴m＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为___．
【答案】
【解析】由题意，根据数列的通项与前n项和之间的关系，即可求得数列的通项公式．
【详解】
由题意，可知当时，；
当时，.
又因为不满足，所以.
【点睛】
本题主要考查了利用数列的通项与前n项和之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与前n项和之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.
【答案】
【解析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.
【详解】
由题设双曲线的左、右焦点分别为,,
因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；
当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,
故答案为:
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
16．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】
设F（x），
则F′（x），
∵，
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴，即F（x）＜F（2x）
∴，即x＞1
∴不等式的解为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．

四、解答题
17．已知函数在上的最大值为3.
（1）求的值及函数的单调递增区间;
（2）若锐角中角所对的边分别为，且，求的取值范围.
【答案】（1）,函数的单调递增区间为；（2）.
【解析】（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出的值，再结合正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知，可以求出角的值，通过正弦定理把问题的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出的取值范围.
【详解】
解：（1）

由已知，所以
因此
令
得
因此函数的单调递增区间为
（2）由已知，∴
由得，因此
所以

因为为锐角三角形，所以，解得
因此，那么
【点睛】
本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
18．已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）先由公式求出数列的通项公式；进而列方程组求数列的首项与公差，得数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用“错位相减法”求数列的前项和.
试题解析：（1）由题意知当时，，
当时，，所以．
设数列的公差为，
由，即，可解得，
所以．
（2）由（1）知，又，得，，两式作差，得所以．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

19．如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.

（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；
（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.
【详解】
（1）在等腰梯形中,
点E在线段上,且,
点E为上靠近C点的四等分点,
,,,
,
点P在底面上的射影为的中点G,连接,
平面,
平面,.
又,平面,平面,
平面.

（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,

由（1）易知,,,
又,,
,为等边三角形,,
则,,,,,
,,,,
设平面的法向量为,
则，即,
令,则,,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,,
设平面与平面的夹角为θ,则

二面角的余弦值为.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.
20．某单位准备购买三台设备，型号分别为已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数
6
7
8

型号A
30
30
0
频数
型号B
20
30
10

型号C
0
45
15


将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
【答案】（1）（2）应该购买21件易耗品
【解析】（1）由统计表中数据可得型号分别为在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】
（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为；
设该单位一个月中三台设备使用易耗品的件数分别为,则
,,,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
,
,
故,
即该单位一个月中三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为.
（2）以题意知,X所有可能的取值为
；
；
；
由（1）知,,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为元,则的所有可能取值为,
；
；
；
；
,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
【点睛】
本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
21．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；
（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】
（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,
因为线段AB的中点是,
设,则,且,
又,作差可得,
则,得
又,
所以,
因此椭圆的方程为.
（2）由（1）联立,解得或,
不妨令,易知直线l的斜率存在,
设直线,代入,得,
解得或,
设,则,
则,
因为到直线的距离分别是,
由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,
所以,
四边形的面积,
令,,则,
所以,
当,即时,，
因此四边形面积的最大值为.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
22．已知函数，.
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）若在上单调递增，且求c的最大值.
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】（1）将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解；
（2）由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.
【详解】
（1）当时,,定义域为,
由可得,
令,则,
由,得；由,得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
则的最大值为,
且当时,；当时,,
由此作出函数的大致图象,如图所示.

由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点；
当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点；
当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.
（2）因为在上单调递增,即在上恒成立,
设,则,
①若,则,则在上单调递减,显然,
在上不恒成立；
②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意；
③若,当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
由,得,
设,则,
当时,,单调递减；
当时,,单调递增,
所以,所以,
又,所以,即c的最大值为2.
【点睛】
本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.