2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题（解析版）

2020届四川省绵阳市高三第二次诊断性测试数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．

【详解】

由题意，∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．

2．已知为虚数单位，复数满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由除法计算出复数．

【详解】

由题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查复数的除法运算，属于基础题．

3．已知高一（1）班有学生45人，高一（2）班有50人，高一（3）班有55人，现在要用分层抽样的方法从这三个班中抽30人参加学校“遵纪守法好公民”知识测评，则高一（2）班被抽出的人数为（    ）

A．10 B．12 C．13 D．15

【答案】A

【解析】分层抽样是按比例抽取人数．

【详解】

设高一（2）被抽取人，则，解得．

故选：A．

【点睛】

本题考查分层抽样，属于基础题．

4．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】C

【解析】根据向量平行的坐标运算计算出，再由模的坐标表示求模．

【详解】

∵，∴，，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．

5．已知为任意角，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】B

【解析】说明命题和是否为真即可．

【详解】

，则，因此“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，是的必要条件．

6．已知，是圆：上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用，确定点轨迹是椭圆，从而易求得其方程．

【详解】

由题意圆标准方程为，圆心为，半径为6，

∵线段的垂直平分线交于点，∴，

∴，

∴点轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，

∴，，

∴其轨迹方程为．

故选：A．

【点睛】

本题考查用椭圆的定义求轨迹方程，属于基础题．根据椭圆定义确定动点轨迹是椭圆，然后求出得标准方程，要注意所求轨迹方程是不是圆锥曲线的标准方程．

7．已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得对的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（    ）

A．产品的销售额与广告费用成正相关

B．该回归直线过点

C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元

D．的值是20

【答案】C

【解析】根据回归直线方程中系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得，同样利用回归方程可计算出时的预估值．

【详解】

因为回归直线方程中系数为6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；

又，∴，回归直线一定过点，B正确；

时，，说明广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；

由，得，D正确．

故选：C．

【点睛】

本题考查回归直线方程，回归直线方程中系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线一定过中心点，回归直线方程中计算的值是预估值，不是确定值．

8．甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．

【详解】

两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．

故选：B．

【点睛】

本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有的基本事件．

9．双曲线的右焦点为，过作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【解析】把四边形面积用表示出来，它等于，变形后可求得离心率．

【详解】

由题意，渐近线方程为，不妨设方程为，

由，得，即，同理，

∴，由题意，∴．

故选：B．

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于的一个等式，本题中四边形的面积是就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．

10．已知圆：，直线经过点，且将圆及其内部区域分为两部分，则当这两部分的面积之差的绝对值最大时，直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】如图，设设，求出直线分圆所成两部分面积之差的绝对值，利用导数确定函数的单调性，确定出当最小时最大，由圆的性质知最小时，，从而可求得直线方程．

【详解】

圆标准方程为，圆心为，半径为，

直线交圆于两点，设，如图，则直线分圆所成两部分中较小部分面积为，较大部分面积为，

∴这两部分面积之差的绝对值为，

，∴是减函数，最小时，最大．

在中，，∴最小时，最大，从而最小．

∵经过点，∴由圆的性质知当时，取得最小值.此时，∴直线方程为，即．

故选：D．

【点睛】

本题考查直线与圆相交问题，解题关键是引入，借助于扇形面积公式用表示出两个弓形面积之差的绝对值，再利用导数确定这个绝对值最大时的值，从而确定直线的位置，求得其方程．本题考查了函数思想的应用．

11．已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由偶函数性质把不等式化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．

【详解】

∵是偶函数，∴，则不等式可化为，即，

时，，，

令，则，∴是上的增函数，∴当时，，

∴时，，∴在上是增函数，

∴由得，即，．

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化为，一种是偶函数，不等式为，转化为，然后由单调性去函数符号“”．

12．函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由零点存在定理得，但还要验证此时在上是否只有一个零点，然后讨论和两种情形是否符合题意．

【详解】

（1）若由得，，

，，∴．

设，，∵，∴在定义域内是增函数，

作出，的示意图，如图．

，，，∴与的图象在上只有一个交点，即在上只有一个零点，符合题意．

（2）若，则，．如（1）中示意图，是增函数，只是，而，∴与的图象在上只有一个交点，即在上只有一个零点，符合题意．

（3）若，则，，如（1）中示意图，是增函数，此时，但，而，因此在上与的图象还有一个交点，即在上有两个零点，不合题意．

综上，的取值范围是．

故选：D．

【点睛】

本题考查函数零点分布问题．在闭区间上只有一个零点，首先由零点存在定理确定参数范围，但是此种情形下必须验证在上是否是一个零点，零点存在定理只说明有零点，没有说明有几个零点．其次分别讨论和两种情形是否满足题意．

二、填空题

13．直线：与直线平行，则实数的值是______.

【答案】2.

【解析】由两直线平行的条件判断．

【详解】

由题意，解得．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．

14．某同学在最近的五次模拟考试中，其数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学这五次数学成绩的方差是______.

【答案】30.8.

【解析】写出茎叶图中的5个数据，计算均值后再计算方差．

【详解】

五个数据分别是：110，114，119，121，126，其平均值为，

方差为

故答案为：30.8

【点睛】

本题考查茎叶图，考查方差的计算．读懂茎叶图是解题基础．

15．函数的图象如图所示，则在区间上的零点之和为______.

【答案】.

【解析】先求出周期，确定，再由点确定，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．

【详解】

由题意，∴，又且，∴，

∴．

由得，，，

在内有：，它们的和为．

【点睛】

本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是，区间含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此在上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．

16．过点的直线与抛物线：交于，两点（在，之间），是抛物线的焦点，若，则的面积为______.

【答案】3.

【解析】不妨设在第一象限且由设，由，得，从而．由共线及在抛物线上，可求得．

【详解】

不妨设在第一象限，如图，设，由题意，

∵，∴，∴．

又共线，∴，即，把代入得：

，显然，解得，∴，

∴，，∴．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交的面积问题．解题关键是善于发现和有共同的底，从而由面积比得出两点的纵坐标比，再由共线及在抛物线上，求得的纵坐标，从而得三角形面积．

三、解答题

17．每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：

（1）求样本学生一个月阅读时间的中位数.

（2）已知样本中阅读时间低于的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

列联表

附表：

其中：.

【答案】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

【解析】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；

（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于的人数为50人，小于的也有50人，阅读时间低于的女生有30名，这样可得列联表中的各数，得列联表，依据公式计算，对照附表可得结论．

【详解】

（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为

.

所以阅读时间的中位数.

（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，

由频率分布直方图知，阅读时长大于等于的人数为人，

故列联表补充如下：

的观测值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题基础．

18．已知等差数列的公差，，且为与的等比中项.数列的通项公式为.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由等差数列的通项公式表示出，由等比中项定义求得，注意可确定只有一解，从而中得，也即得；

（2）由（1）得，用分组求和法可求得．

【详解】

（1）由题意得，.

∴，解得或.

又，得，故.

∴.

∴.

（2）由（1）可知，.

.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查等比中项的定义，考查分组求和法以及等差数列和等比数列前项和公式，掌握等差数列与等比数列的通项公式和前项和公式是解题基础．

19．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.

（1）求；

（2）若为边上一点，且，，求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得；

（2）把的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得的值．

【详解】

（1）在中，由正弦定理得

，即.

由余弦定理得，

结合，可知.

（2）在中，，即.

由已知，可得.

在中，由余弦定理得，

即，整理得，即，

∴.

∴.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．

20．已知椭圆：，动直线过定点且交椭圆于，两点（，不在轴上）.

（1）若线段中点的纵坐标是，求直线的方程；

（2）记点关于轴的对称点为，若点满足，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设，，直线：，直线方程与椭圆方程联立消元得的二次方程，由判别式得的取舍范围，由韦达定理得，利用中点纵坐标是可求得，只要满足即可；

（2）由题意，，说明，，三点共线，即.这样可求出，化为只含的式子后代入（1）中的就可求得．

【详解】

（1）设，，直线：.

由消去得.

，解得或.

由韦达定理得，.①

∵中点的纵坐标是，

∴，代入①解得或.

又或，得.

∴直线的方程为.

（2）由题意得，

由，知，，三点共线，

即.

∴，

即，

解得.

将，，代入得.②

由①有，.③

将③代入②得到.

【点睛】

本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是“设而不求”的思想方法，解题时注意体会．

21．已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，记函数的两个极值点为，（其中），求的最大值.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；

（2）.

【解析】（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间，注意题中函数定义域是，因此对二次三项式分类情况为第一类：或，第二类且．

（2）与极值点有关的问题，不是直接代入极值点，而是用表示极值点，由是方程的解，得，..不妨设，引入变量，则，就转化为的函数，由求得的范围，由导数知识可得所求最大值．

【详解】

（1）.

令，则.

①当或，即时，得恒成立，

∴在上单调递增.

②当，即时，

由，得或；

由，得.

∴函数在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.

则，为的两根，

∴，.

.

令，

则.

由，得，

即，解得.

∵，

∴在上单调递减，

∴.

即的最大值为.

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，函数的极值点以及与极值点有关的最值．在求单调区间时要注意分类讨论．在研究极值点有关的最值问题时，常常设极值点为，由极值点的定义得出函数中参数与的关系，即用表示参数，并代入待求（证）式，同时设（本题），可把待求（证）式转化为的函数式，从而再利用导数的知识确定这个函数得出结论．这类题难度较大，对学生的思维能力、推理论证能力、转化与化归能力要求较高．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的直角坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程，曲线的极坐标方程；

（2）若，是曲线上两点，当时，求的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程；

（2）直接把两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，得，这样就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围．

【详解】

（1）将的参数方程化为普通方程为.

由，，

得点的直角坐标为，代入，得，

∴曲线的普通方程为.

可化为，即，

∴曲线的极坐标方程为.

（2）将点，代入曲线的极坐标方程，

得，，

∴

.

由已知，可得，

于是.

所以的取值范围是.

【点睛】

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法．

23．已知关于的不等式，其中.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若该不等式对恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）；

（2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得的最大值，解相应不等式可得的范围．

【详解】

（1）由时，.原不等式化为，

当时，，解得，综合得；

当时，，解得，综合得；

当时，，解得，综合得.

∴不等式的解集为.

（2）设函数，

画图可知，函数的最大值为.

由，解得.

【点睛】

本题考查解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．