2020届新疆乌鲁木齐市高三第一次诊断性测试数学理试题

2020年高三年级第一次诊断性测试理科数学

（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

1、设集合，，则

2、若复数满足（其中为虚数单位），则

3、已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是

    若，则        若，则

若，且，则  

若，且，则

4、设，，，则有

5、已知向量满足，且与的夹角为，则

6、已知双曲线（）的左、右焦点分别为，为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为

7、执行如右图所示的程序框图，则输出的

8、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为

9、等比数列的前n项和为，且成等差数列，若，则

10、将奇函数（）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于的一个单调递减区间是

11、已知抛物线C：的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线交于A、B两点（A在B的上方），若，则抛物线C的方程为

12、已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分

13、若实数满足约束条件，则的最大值为_______

14、已知，为锐角，则_______

15、已知数列满足：（），若，则____

16.如图，已知在长方体中，AB =3,AD =4,AA1=5，点E为CC1上的一个动点，平面BED1与棱AA1交于点F，给出下列命题：

①四棱锥B1-BED1F的体积为20；

②存在唯一的点E，使截面四边形BED1F的周长取得最小值；

③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得CG//平面BED1

④存在唯一一点E，使得B1D⊥平面BED1，且

其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤

17、△ABC的内角的对边分别是，且

（Ⅰ）求∠C的值

（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值；

18、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M为PD的中点

  （Ⅰ）证明：CM//平面PAB

  （Ⅱ）若△PBD是等边三角形，求二面角A-PB-M的余弦值

19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（亿件：精确到0.1）及其增长速度（%）的数据

  （Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；

  （Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知与t具有线性相关关系，试建立关于t的回归直线方程；

  （Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量

附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：

，

20、已知椭圆C：过点，左焦点F

   （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

   （Ⅱ）过点F作于轴不重合的直线，与椭圆交于A，B两点，点A在直线上的投影N与点B的连线交轴于D点，D点的横坐标是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由

21、已知函数

   （Ⅰ）讨论的单调性；

   （Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求证：

选考题：共10分，二选一

22、在平面直角坐标系中，曲线C：，直线的参数方程为（t为参数），其中，以坐标原点O为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。

（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）设，的极坐标方程，A，B分别为直线与曲线异于原点的公共点，当时，求直线的斜率；

23、函数

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若的最小值为，且实数满足，求证：