2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题（解析版）

2020届云师大附中高三高考适应性月考（一）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出函数和圆的图象，观察两曲线的交点个数，可得出集合的元素个数.

【详解】

如下图所示，由函数与圆的图象有两个交点，

因此，集合含有两个元素，故选：C.

【点睛】

本题考查集合的元素个数，考查曲线的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

2．瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角方程：，根据三角方程，计算的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数的三角方程将复数表示为复数的一般形式，然后利用复数的加法法则可得出结果.

【详解】

由，则，故选B.

【点睛】

本题考查复数的加法运算，解题的关键就是理解题中复数三角方程的定义，考查计算能力，属于基础题.

3．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调査了位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共位，使用过移动支付的学生共有位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出韦恩图，根据题中的信息得出样本中使用共享单车和移动支付的学生人数，将人数除以可得出所求结果.

【详解】

根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，

因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值，故选：C.

【点睛】

本题考查韦恩图的应用，同时也考查了频率的计算，考查数据处理能力，属于中等题.

4．已知、满足的约束条件，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出不等式组作表示的可行域，根据代数式的几何意义为可行域内的点到原点的距离，结合图形知，的最小值为原点到直线的距离，由此可得出结果.

【详解】

作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

的几何意义为可行域内的点到点的距离，

过点作直线的垂线，则的最小值为，

故选：A.

【点睛】

本题考查线性规划问题，考查距离型非线性函数的最值问题，要理解非线性目标函数的几何意义，借助数形结合思想进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

5．函数的零点个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在平面直角坐标系内作出函数与函数的图象，观察两函数的交点个数，即为函数的零点个数.

【详解】

令，得，则函数的的零点个数等价于函数与函数图象的交点个数，如下图所示：

由图象知与的交点个数为，

因此，函数的零点个数也为，故选：B.

【点睛】

本题考查函数零点个数问题，常用的方法有两种：一种是代数法，另一种是图象法，转化为两个函数的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

6．在等差数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用等差中项的性质得出的值，再利用等差中项的性质可得出的值.

【详解】

由等差中项的性质可得，，

因此，，故选：D.

【点睛】

本题考查等差中项性质的应用，在求解等差数列的问题时，常用基本量法与等差数列性质来进行求解，考查计算能力，属于中等题.

7．函数的大致图象为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】考查函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号进行排除，可得出正确选项.

【详解】

设，该函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，排除A、C选项，且当时，，此时，

排除D选项，故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号等基本要素进行逐一排除，考查推理能力，属于中等题.

8．如图，执行程序框图后，输出的结果是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据程序框图列举出算法的每一步，可得出输出结果.

【详解】

不成立，执行第一次循环，，，；

不成立，执行第二次循环，，，；

不成立，执行第三次循环，，，；

不成立，执行第四次循环，，，；

不成立，执行第五次循环，，，；

不成立，执行第六次循环，，，；

不成立，执行第七次循环，，，；

不成立，执行第八次循环，，，；

成立，跳出循环体，输出的值为，故选B.

【点睛】

本题考查程序框图运行结果的计算，一般利用算法程序框图将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于中等题.

9．已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标扩大为原来的倍，再把图象上所有的点向上平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的周期可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先利用三角函数图象变换规律得出函数的解析式，然后由绝对值变换可得出函数的最小正周期.

【详解】

，将函数的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的，可得到函数的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再把所得图象向上平移个単位长度，得到，由绝对值变换可知，函数的最小正周期为，故选B.

【点睛】

本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.

10．若函数与函数存在公共点，并且在处具有公共切线，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意得出，解此方程组，可得出实数的值.

【详解】

因为，所以；由，得.

因为与在它们的公共点处具有公共切线，

则，即，解得，故选：C.

【点睛】

本题考查两函数在公共点处有公切线问题，解题时要将问题转化为在公共点处函数值和导数值分别相等，并利用方程组求解，考查化归与转化思想以及方程思想的应用，属于中等题.

11．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点、间的距离为，动点满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，得出点、的坐标，设点，利用两点间的距离公式结合条件得出点的轨迹方程，然后利用坐标法计算出的表达式，再利用数形结合思想可求出的最小值.

【详解】

以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线轴，建立直角坐标系，

则、，设，，，

两边平方并整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

则有，如下图所示：

当点为圆与轴的交点（靠近原点）时，此时，取最小值，且，

因此，，故选：A.

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查坐标法的应用，解题的关键就是利用数形结合思想，将代数式转化为距离求解，考查数形结合思想的应用以及运算求解能力，属于中等题.

12．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，利用二面角的定义得出，并设，计算出的值，可得出的长度和的长度，然后利用勾股定理得出三棱锥外接球的半径，最后利用球体体积公式可计算出结果.

【详解】

如下图所示，取的中点为，设球心在平面内的射影为 ，在平面内的射影为，则二面角的平面角为，，

所以，，，设，

则，，则，，

，，

球的半径，所求外接球的体积为，

故选：B.

【点睛】

本题考查外接球体积的计算，同时也考查了二面角的定义，解题的关键就是要找出球心的位置，并分析几何图形的形状，借助相关定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

二、填空题

13．已知、为单位向量，，则____________.

【答案】

【解析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算，可得出结果.

【详解】

由于、为单位向量，，则，且，

因此，，

故答案为.

【点睛】

本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s

14．等比数列的首项，，则___________.

【答案】

【解析】设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，再利用等比数列求和公式可计算出的值.

【详解】

，，所以，所以，因此，，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等比数列求和，对于等比数列，一般是通过建立首项和公比的方程组，求出这两个量，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

15．设、为椭圆:的两个焦点，为上点，，则的面积为______.

【答案】1

【解析】利用勾股定理和椭圆的定义列等式求出的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积.

【详解】

由题意可知，，，，则.

如下图，由题意知，由勾股定理得，

由椭圆定义得，

将该等式两边平方得，，

因此，的面积为，故答案为.

【点睛】

本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，解题时应充分利用椭圆的定义与余弦定理求解，并结合三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

16．边长为的正方体中，点为上底面的中心，为下底面内一点，且直线与底面所成线面角的正切值为，则点的轨迹围成的封闭图象的面积为_____.

【答案】

【解析】作出图形，设正方体底面的中心为点，可得出平面，由直线与平面所成角的定义得出，可得出，从而可知点的轨迹是半径为的圆，然后利用圆的面积公式可得出结果.

【详解】

如下图所示，

由题意知，在底面内的投影为底面的中心，连接，

则即为直线与底面所成的角，所以，，

则，所以的轨迹是以底面的中心为圆心，以为半径的圆，

因此，的轨迹围成的封闭图象的面积为，故答案为：.

【点睛】

本题考查立体几何中的轨迹问题，同时也考查直线与平面所成角的定义，解题时要熟悉几种常见曲线的定义，考查空间想象能力，属于中等题.

三、解答题

17．某调研机构，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有人为“低碳族”，该人的年龄情况对应的频率分布直方图如图.

（1）根据频率分布直方图，估计这名“低碳族”年龄的平均值，中位数；

（2）若在“低碳族”且年龄在、的两组人群中，用分层抽样的方法抽取人，试估算每个年龄段应各抽取多少人？

【答案】（1）平均值为，中位数为；（2）年龄在的人，在的人.

【解析】（1）将频率分布直方图中每个矩形底边的中点值乘以矩形的面积，再将这些乘积相加可得出平均值，利用中位数左右两边的矩形面积和均为计算出矩形的面积；

（2）先计算出年龄在、的频率之比，再利用分层抽样的特点得出样本中年龄段在、的人数.

【详解】

（1）位“低碳族”的年龄平均值为，

设中位数为，前三个矩形的面积为，

前四个矩形的面积为，则，

由题意可得，解得，因此，中位数为；

（2）年龄在、的频率分别为，，

频率之比为，所抽取的人中，年龄在的人数为，

年龄在的人数为.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数和中位数的计算，同时也考查了分层抽样相关的计算，考查计算能力，属于基础题.

18．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若为的中点，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；

（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三角形的面积公式可得出面积的最大值.

【详解】

（1）由正弦定理及得，

由知，

则，化简得，.

又，因此，；

（2）如下图，由，

又为的中点，则，

等式两边平方得，

所以，

则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形的中线问题以及三角形面积的最值问题，对于三角形的中线计算，可以利用中线向量进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

19．如图甲，在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得.取的中点，连接、、 ，如图乙.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）可证明出，由折叠的性质得出，，利用直线与平面垂直的判定定理得出平面，再由，可得出平面；

（2）证明平面，由为的中点可知三棱锥的高为，计算出的面积，然后利用锥体体积公式可计算出三棱锥的体积，即为所求结果.

【详解】

（1）在图甲中，直角梯形中，，，，

，则.

折叠后，在图乙中，，，又，平面.

，平面；

（2）由（1）知，，又，且，平面.

为的中点，所以，三棱锥的高为，

，易知四边形是矩形，则，

的面积为，

因此，.

【点睛】

本题考查立体几何的翻折问题，考查直线与平面垂直的证明以及三棱锥体积的计算，在处理翻折问题时，要注意翻折前后相关直线的位置关系以及长度的变化，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．已知，.

（1）令，求证：有唯一的极值点；

（2）若点为函数上的任意一点，点为函数上的任意一点，求、两点之间距离的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）求出函数的导数，利用函数的单调性以及零点存在定理，说明函数在定义域上有唯一零点，再分析函数在该零点处函数值符号，可得证函数有唯一极值点；

（2）根据函数与关于直线，将直线平移后与分别与曲线、切于、，由此可得出的最小值.

【详解】

（1）由题意知，所以，

由单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以存在唯一的，使得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

因此，函数有唯一的极值点；

（2）由于与互为反函数，两个函数图象关于直线对称，

如下图，

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点.

将直线平移使得平移后的直线与函数的图象相切，，

令，，可得点，

因此，、两点间距离的最小值为.

【点睛】

本题考查函数极值点个数，同时也考查反函数对称性的应用，在求解函数极值点个数问题时，要结合导数的单调性与零点存在定理来分析求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

21．已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用韦达定理并结合条件可求出实数的值，由此得出抛物线的方程；

（2）由（1）得出直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式，可得出的最小值.

【详解】

（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，因此，抛物线的方程；

（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，

联立抛物线的方程，所以，，

则有，，

因此

.

因此，当且仅当时，有最小值.

【点睛】

本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和曲线的极坐标方程；

（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.

【解析】（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由可将两曲线的方程化为极坐标方程；

（2）作出图形，设点、的极坐标分别为、，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出、的表达式，可得出，利用基本不等式可求出的最大值.

【详解】

（1）由曲线的参数方程为（其中为参数），

所以曲线的普通方程为，

由则曲线的极坐标方程为.

又曲线的普通方程为，

由，得曲线的极坐标方程为；

（2）如图，由题意知，

点、的极坐标分别为、，

将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，

，

，

，

当且仅当，即，不等式取等号，

因此，的最大值为.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及利用极坐标解决最值问题，解题时要注意极坐标方程法的适用情况，考查运算求解能力，属于中等题.

23．已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）当 时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，可得出，从而求出实数的值；

（2）利用绝对值三角不等式得出函数的最小值为，可得出，再令，可得出，解出，即，从而可解出实数的取值范围.

【详解】

（1）由题意得出关于的方程的两根分别为和，

则，即，解得；

（2）当时，由绝对值三角不等式得，

又对一切实数恒成立，所以，

令，化简得，解得，

所以，实数的取值范围为.

【点睛】

本题考查不等式的解集与不等式之间的关系，同时也考查了绝对值不等式恒成立，解题时根据不等式恒成立转化为函数的最值，并借助三角不等式求解，考查化归与转化思想，属于中等题.