2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学（文）试题（解析版）
展开2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的定义域和值域，求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合,，
所以.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合是解答的关键，着重考查了计算能力．
2．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简复数，根据复数在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解．
【详解】
由题意，复数，
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，可得且，解得.
即实数的取值范围是．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．
【详解】
由题意，函数的对称轴为，
若，则，函数在上递增，充分性成立；
若在区间上递增，则，即，不能推出，
所以必要性不成立，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16 B．20 C． D．
【答案】D
【解析】根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体体积公式，即可求解．
【详解】
由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为，侧棱长为1的长方体，下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，
其体积为.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及几何体的体积的计算，其中解答中利用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
5．已知等比数列中，，，则数列的前12项之积为（ ）
A．512 B．1024 C．2046 D．2048
【答案】B
【解析】根据等比数列的定义和性质，求得数列是公比为2的等比数列，进而求得的值，即可求解．
【详解】
由题意，数列是等比数列，可得数列也是等比数列，
其中数列的公比为，
所以，，
因此数列的前12项之积为.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的应用，其中解答中熟记等比数列的概念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
6．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得，，，再结合对数函数的单调性，即可求解．
【详解】
根据指数函数和对数函数的的性质，可得，，，
又因为，，
因为，所以，
即.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
7．若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．4 B．0 C． D．
【答案】D
【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，
目标函数，可化为直线当直线经过时，取得最小值，
又由，解得，
所以目标函数的最小值为.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
8．已知函数，为奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【解析】由函数为奇函数，根据，得到，即可求解．
【详解】
由题意，函数为奇函数，
所以，
整理得，所以．
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
9．已知向量满足，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，求得，再结合向量的夹角公式，求得，即可求得向量与的夹角．
【详解】
由题意，向量满足，，
因为，可得，解得，
所以，
又因与的夹角，所以与的夹角为.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．
10．函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，即可求解．
【详解】
由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
11．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，化简函数为，得到函数在上前三个零点，列出不等式组，即可求解．
【详解】
由题意，因为，可得，
设，则函数
则函数在上，前三个零点分别是，
所以，解得.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
12．设函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据分段函数的解析式，分和讨论，结合对数的运算性质分别求得不等式的解集，即可求得不等式的解集．
【详解】
由题意，函数,
当时，由，可得，解得，
又因为，所以；
当时，由，可得，解得，
又因为，所以，
所以不等式的解集为．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质，着重考查了分类讨论思想，以及运算能力．
二、填空题
13．设函数则_______.
【答案】98
【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解．
【详解】
依题意，函数，可得得，
所以.
故答案为：98．
【点睛】
本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
14．已知函数的图象上有一点，则曲线在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】利用导数求得为增函数，根据，求得，进而求得，得出即在点处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．
【详解】
由题意，点在曲线上，可得，
又由函数，则，
所以函数在上为增函数，且，所以，
因为，所以，即在点处的切线的斜率为2，
所以曲线在点的切线方程为，即.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
15．设函数的定义域为，在区间上随机取一个实数，的概率为______.
【答案】
【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解．
【详解】
由题意，函数，则满足，解得，
即函数的定义域为，
又由在区间上随机取一个实数，满足，则，
所以概率为.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
16．若函数有唯一零点，则实数的值_______.
【答案】
【解析】由函数有唯一零点，转化为有唯一实数解，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．
【详解】
由题意，函数有唯一零点，
即方程有唯一实数解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得最小值，最小值为，
要使得函数有唯一零点，则.
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．
三、解答题
17．设为实数，，，不等式恒成立.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由命题为真命题，得到关于实数不等式，结合指数的运算性质，即可求解；
（2）由命题为真命题，结合基本不等式求最值，得到，再由为真命题，得出为假命题且为真命题，列出不等式组，即可求解．
【详解】
（1）由命题为真命题，即，
解得，可得，即实数的取值范围是.
（2）若命题为真命题，由，不等式恒成立，
即在上恒成立，即对恒成立，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以为真命题时，可得，
又因为为真命题，则为假命题且为真命题，
所以，解得或.
所以实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
18．已知函数，其导函数是偶函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数的图象与轴有三个不同的交点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由是偶函数，根据，求得所以，再由，解得，即可得到函数的解析式；
（2）由（1），求得，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线与直线有三个不同的交点，得出，即可求解．
【详解】
（1）由题意，函数，则，
因为是偶函数，则，可得，
所以，
又因为，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可得函数，则，
令，解得.
当或时，，所以在，上分别单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以的极大值为，的极小值为
又由曲线与直线有三个不同的交点，
所以，即，
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知定点及动点，以为斜边作一等腰直角三角形（原点与点分别在直线的两侧）.
（1）当时，求；
（2）求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，得到点的坐标为，在中，由余弦定理，即可求得的值．
（2）根据三角形的面积公式，求得四边形的面积为，结合三角函数的性质，即可求解．
【详解】
（1）在直角坐标系中，已知定点及动点，
当时，点的坐标为，所以，且.
所以，，
在中，由余弦定理，可得
，
所以．
（2）由题意可得，，.
四边形的面积
，
因为，当时，四边形面积最大，最大值为.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
20．已知等差数列满足，，等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求和的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求满足的最大正整数.
【答案】（1），；（2）8
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，根据题设条件，列出方程组，求得，即可得到和的通项公式；
（2）由（1）得到，结合乘公比错位相减法，求得数列的前n项和，进而求得满足的最大正整数.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
设等比数列的公比为，且，
因为，可得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当时，.
当时，，
则.
两式相减，得
.
所以，
当时也符合上式，所以，
又因为，，
所以满足的最大正整数.
【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力.
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题设条件，列出的方程组，结合，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，分和两种情况讨论，当时，联立的方程组，取得，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解
【详解】
（1）由椭圆的上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为，
可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，椭圆的方程，可得，，
设，则，.
当时，与相交于点不符合题意；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立和的方程，解得，，所以，
因为点在椭圆上，由椭圆的对称性，可知，
所以或，
由方程组，解得，而方程组无解（舍去），
所以点的坐标为.
【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
22．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：.
【答案】（1）递增区间是，递减区间是；（2），见解析
【解析】（1）当时，求出函数的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）求得，令，根据函数在区间上有唯一的极值点，得出在上有唯一的解，根据求得的范围，再由由，得到，结合函数的单调性和最值，即可求解．
【详解】
（1）由题意，函数，
当时，函数.
则，
令，即且，可得，
令，即，可得.
所以当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由函数，则，
记，
因为在区间上有唯一的极值点，又，
根据二次函数的图象分析可知，只需即可，即，解得，
所以实数的取值范围是，
又由，可得，
所以，
又由函数，可得，
可得函数在上单调递增，且，
所以.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
