2020年中考数学考前冲刺(一) 试卷

 ——实数的概念与运算


1．了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数的概念；
2．理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律.
3．会：比较有理数大小；求有理数的相反数；求有理数的绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行实数的简单四则运算.
4．掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方；简单的混合运算.
5．能：灵活处理较大数字的信息；能用有理数估计无理数的大致范围.

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，少数题目以解答题的形式考查,题型较为简单,属于中低档题.
2．从考查内容来看,主要以实数的概念与运算为核心进行考查.实数的概念与运算的重点:有理数,有理数的绝对值与比较大小,有理数的四则运算法则,平方根(立方根),非负数,无理数及其估算,实数与数轴的关系.
3．从考查热点来看,涉及本知识点中的问题就是实数与生活生产相结合的问题:科学记数法,有理数正负表示,实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用等.

1．实数的分类

注意：在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如，等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
2．实数大小的比较
实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.
3．解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握
（1）常见的非负数有：任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则也为非负数，即≥0；
（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.在解决非负性为0的问题上通过运用方程思想方法来求相关实数的值.
4．对于实数的运算关键就是掌握运算法则、规律及顺序
(1)实数的加减法则.注意异号两数相加时,取“绝对值较大”的数的“符号”.
(2)实数的乘除法则.注意“异号”得“负”，除法中的除数不等于0.两数的积为0,则两数中至少有一个为0.
(3)实数的乘方开方运算中,乘方时,注意底数相同,开平方时,被开方数为非负数.
(4)实数的混合运算中,在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．
(5)实数的运算律:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.
(6)熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.
5．科学记数法
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
6．解决探索数、式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.

1．（2019·潍坊）2019的倒数的相反数是
A．-2019 B． C． D．2019
【答案】B
【解析】2019的倒数是，的相反数为，所以2019的倒数的相反数是，故选B．
【考点】本题考查相反数和倒数.
2．（2019•邵阳）下列各数中，属于无理数的是
A． B．1.414 C． D．
【答案】C
【解析】=2是有理数；是无理数，故选C．
【考点】本题考查无理数.
3．（2019·安徽）2019年“五一”假日期间，某省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为
A．1.61×109 B．1.61×1010 C．1.61×1011 D．1.61×1012
【答案】B
【解析】161亿=16100000000=1.61×1010．故选B．
【考点】本题考查科学记数法.
4．（2019•广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是

A．a>b B．|a|<|b| C．a+b>0 D．<0
【答案】D
【解析】由图可得：-2 |a|>|b|，故B错误；
a+b<0，故C错误；
<0，故D正确，故选D．
【考点】本题考查实数与数轴.
5.（2018·四川遂宁）－2×（－5）的值是
A．－7 B．7
C．－10 D．10
【答案】D
【解析】﹣2×（﹣5）=+(2×5)=10.故选D．
【考点】本题考查有理数的乘法.
6．（2018·广东韶关）四个实数0、、、2中，最小的数是
A．0 B．
C． D．2
【答案】C
【解析】根据实数比较大小的方法，可得，﹣3.14＜0＜＜2，所以最小的数是﹣3.14，故选C．
【考点】本题考查实数比较大小.
7．（2019·南京）面积为4的正方形的边长是
A．4的平方根 B．4的算术平方根
C．4开平方的结果 D．4的立方根
【答案】B
【解析】面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根，故选B．
【考点】本题考查平方根的应用.
8．（2019·天津）估计的值在
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【解析】∵25<33<36，∴5<<6．故选D．
【考点】本题考查无理数的估算.
9．（2019·连云港）64的立方根是__________．
【答案】4
【解析】∵43=64，∴64的立方根是4，故答案为：4．
【考点】本题考查立方根.
10．（2019·嘉兴）数轴上有两个实数a，b，且a>0，b<0，a+b<0，则四个数a，b，-a，-b的大小关系为__________（用“<”号连接）．
【答案】
【解析】∵a>0，b<0，a+b<0，∴四个数a，b，-a，-b在数轴上的分布为：

∴b<-a 【考点】本题考查数轴和比较大小.
11．（2019•贵港）将实数3.18×10-5用小数表示为__________．
【答案】0.0000318
【解析】3.18×10-5=0.0000318，故答案为：0.0000318．
【考点】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
12．（2019•梧州）计算：-5×2+3（-1）．
【解析】原式=-10+9+1
=0．
【考点】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．（2019·宿迁）计算：．
【解析】原式
．
【考点】实数的运算.

1．（重庆市永川区板桥镇初级中学2019-2020学年九年级下学期线上教学质量监测数学试题）的相反数是
A． B．2 C． D．
2．（2019年陕西省商洛市商南县中考数学一模试题）如果向北走6km记作+6km，那么向南走8km记作
A．+8km B．﹣8km C．+14km D．﹣2km
3．（2020年福建省中考模拟练习卷二数学试题）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中错误的是

A． B． C． D．
4．（2019年浙江省台州市椒江二中中考二模数学试题）截止到2019年2月19日，浙江省的注册志愿者人数达到14 480 000人． 数据14 480 000用科学记数法表示为
A．1.4487 B．1448×104 C．14.48×106 D．1.448×107
5．（2019年陕西省交大附中中考数学第二次模拟试题）若a是绝对值最小的有理数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的自然数，则代数式a﹣b+c的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2019年湖北省荆州石首市中考数学一模试卷）下列各数中最小的是
A．0 B．1 C．﹣ D．﹣π
7．（2020年浙江省杭州市数学中考一模试题）如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是

A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．（湖北省黄石市下陆区、西塞山区2019年中考数学模拟试卷）下列实数3π，-，0，，-3.15，，，-1.414114111…，中，无理数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（安徽省宿州埇桥教育集团2019-2020学年九年级下学期网上授课质量检测数学试题）的算术平方根是________．
10．（广东省潮州市2019年中考数学模拟试卷）计算：（﹣1）0﹣|﹣4|+（﹣）﹣1．


1.的倒数是
A．− B． C．− D．
2.下列各数中，最小的数是
A．−5 B．−1
C．0.1 D．0
3.陆地上最高处是珠穆朗玛峰峰顶，高出海平面8 848 m，记为+8 848 m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m，记为
A．+415 m B．−415 m C．±415 m D．−8 848 m
4.这个数是
A．整数 B．分数
C．有理数 D．无理数
5.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

A．ac > bc B．|a–b| = a–b C．–a <–b < c D．–a–c>–b–c
6.的值介于2个连续的整数n和n+1之间，则整数n为
A．7 B．8 C．9 D．10
7.表示
A．16的平方根 B．16的算术平方根
C．±4 D．±2
8.计算：.


1．【答案】B
【解析】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．
2．【答案】B
【解析】向北和向南互为相反意义的量．
若向北走6km记作+6km，
那么向南走8km记作﹣8km．故选B．
3．【答案】A
【解析】，原点在a，b的中间，如图，

由图可得：，，，，，故选项A错误，故选A．
4．【答案】D
【解析】14480000= 1.448×107．故选D．
5．【答案】C
【解析】根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1，
则a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+1＝2，故选C．
6．【答案】D
【解析】﹣π＜﹣＜0＜1．
则最小的数是﹣π．故选D．
7．【答案】C
【解析】∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．

8．【答案】D
【解析】、、、是无理数，有4个，故选D.
9．【答案】3
【解析】∵，
∴的算术平方根是3，
故答案为：3．
10．【解析】原式＝1﹣4﹣3
＝﹣6．

1.【答案】D
【解析】因为的倒数是，而=，所以选D.
2.【答案】A
【解析】因为−5<−1<0<0.1，所以−5最小，故选A.
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键．根据有理数在数轴上的关系进行比较，最左的数最小.
3.【答案】B
【解析】∵高出海平面8 848 m，记为+8 848 m；∴低于海平面约415 m，记为−415 m．故选B．
4.【答案】D
【解析】实数π是一个无限不循环的小数．所以是无理数．故选D．
【点睛】本题主要考查无理数的概念，π是常见的一种无理数的形式，比较简单．由于圆周率π是一个无限不循环的小数，由此即可求解．
5.【答案】D
【解析】由数轴可以看出a0,∴ac−b,故选项错误；D.∵a−b，∴−a−c>−b−c，故选项正确.故选D.
6.【答案】B
【解析】∵64<79<81，∴∴n=8.故选B．
7.【答案】C
【解析】A.=2是有理数，故选项错误；B.的平方根是±2，故选项错误；C.0的相反数是0，故选项正确；D.的倒数是−2，故选项错误.故选C．
8.【解析】原式.
【点睛】考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的法则是解题的关键.原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

——代数式

1．了解：整式的概念;因式分解的概念;分式的概念;二次根式的概念;单项式的概念;同类项的概念;约分、通分的概念;最简分式的概念;最简二次根式的概念;同类二次根式的概念.
2．理解：分式的意义;整式与分式的区别,因式分解与整式乘法的区别,二次根式的意义,因式分解的方法与步骤;二次根式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序;整(分)式加、减、乘、除运算法则及混合运算顺序.
3．会：比较分式与二次根式的大小;运用整式、分式、二次根式加、减、乘、除法则及简单的混合运算顺序进行正确运算;选择适合方法进行因式分解;判断出代数式是否是整式、分式、二次根式、最简二次根式;用合并同类项进行整式、分式、二次根式的化简.
4．掌握：整式、分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则及简单的混合运算;因式分解的三种方法.
5．能：用合并同类项、约分、通分来化简相关的代数式;选择一种方法会进行因式分解.

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查,部分涉及本知识点以解答题形式的出现,属于中低档题.
2．从考查内容来看,涉及本知识点主要的有整式:幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则;分式:分式的意义、分式的加减乘除化简;二次根式:二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简;因式分解:因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进行分解因式、分式的化简中运用因式分解.
3．从考查热点来看,涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中考命题的热点.


代数式（整式、因式分解、分式、二次根式）如下表:

对于学习代数式归纳从以下几个方面进行：
1．整式的概念与运算
(1)单项式与多项式统称整式.
观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．
多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．
考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独一个非0数的次数是0；
(2)幂的运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除);单项式、多项式的加减与乘除运算
①幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．
②整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．
2．因式分解的概念与方法步骤
①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．
②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.
③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．
一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.
3．分式的意义与运算
（1）“0”的归纳：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0．
分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
（2）分式的化简:将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；
（3）分式的加减运算
通分找关键归纳：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：（i）将各个分母分解因式；（ii）找各分母系数的最小公倍数；（iii）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（ii）（iii）的因式之积即为各分式的最简公分母．
（4）分式的乘除运算,约分找先后归纳：①分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（5）分式的乘方运算,先确定幂的符号,遵守“正数的任何次幂都是正数,负数的偶数次幂是正数,负数的奇数次幂是负数”的原则.
（6）分式的混合运算有乘方,先算乘方,再算乘除,有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．
4．二次根式的意义及运算
①非负性转化归纳：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
②二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并.
③二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数.
④二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
⑤判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
5．比较分式与二次根式的大小
①分式：对于同分母分式,直接比较分子即可,异分母分式通常运用约分或通分法后作比较;
②二次根式：可以直接比较被开方数的大小,也可以运用平方法来比较.

1．（2019•扬州）分式可变形为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分式可变形为：．故选D．
【考点】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形是解题关键．
2．（2019•河南）下列计算正确的是
A．2a+3a=6a B．（-3a）2=6a2
C．（x-y）2=x2-y2 D．
【答案】D
【解析】2a+3a=5a，A错误；（-3a）2=9a2，B错误；
（x-y）2=x2-2xy+y2，C错误；，D正确，故选D．
【考点】本题考查整式的运算.
3. （2018·广西百色）因式分解x﹣4x3的最后结果是
A．x（1﹣2x）2 B．x（2x﹣1）（2x+1）
C．x（1﹣2x）（2x+1） D．x（1﹣4x2）
【答案】C
【解析】原式=x（1﹣4x2）=x（1+2x）（1﹣2x）.故选C．
【考点】本题考查因式分解的方法．
4．（2019•武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x>0 B．x≥-1
C．x≥1 D．x≤1
【答案】C
【解析】由题意，得x-1≥0，解得x≥1，故选C．
【考点】本题考查函数自变量的取值范围.
5．（2019·滨州）若与的和是单项式，则的平方根为
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【解析】由与的和是单项式，得．，64的平方根为．故选D．
【考点】单项式和平方根.
6. （2018·内蒙古赤峰）代数式中x的取值范围在数轴上表示为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得：3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得：x≤3且x≠1，在数轴上表示如图：
．故选A．
【考点】本题考查二次根式有意义的条件.
7.（2018·重庆）按如图所示的运算程序,能使输出的结果为的是

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意；
B选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意；
C选项，故将、代入，输出结果为，符合题意；
D选项，故将、代入，输出结果为，不符合题意，
故选C．
【考点】本题考查程序型代数式求值.
8. （2018·广西柳州）苹果原价是每斤元，现在按8折出售，假如现在要买一斤，那么需要付费
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】A
【解析】由题意得，a×80％=0.8a（元）.故选A．
【考点】本题考查了列代数式.
9．（2019•山西）下列二次根式是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．故选D．
【考点】本题考查最简二次根式.
10．（2019•黄冈）分解因式3x2-27y2=__________．
【答案】3（x+3y）（x-3y）
【解析】原式=3（x2-9y2）=3（x+3y）（x-3y），故答案为：3（x+3y）（x-3y）．
【考点】本题考查因式分解.
11．（2019•常德）若x2+x=1，则3x4+3x3+3x+1的值为__________．
【答案】4
【解析】∵x2+x=1，∴3x4+3x3+3x+1=3x2（x2+x）+3x+1=3x2+3x+1=3（x2+x）+1=3+1=4，故答案为：4．
【考点】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
12．（2019•枣庄）若m3，则m2__________．
【答案】11
【解析】∵m2-29，∴m211，故答案为：11．
【考点】本题主要考查了完全平方公式的运用，把已知式子变形，然后整体代入求值计算，难度适中．
13．（2019·南充）计算：__________．
【答案】x+1
【解析】=，故答案为：x+1．
【考点】本题考查分式的计算.
14．（2019·安徽）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：__________；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【解析】（1）第6个等式：．
（2）．
证明：∵右边左边，
∴等式成立．
【考点】等式的规律题.
15.（2018·内蒙古赤峰）先化简，再求值：，其中．
【解析】原式（x﹣1）

．
∵x=22﹣（1）=21，
∴原式．
【考点】本题考查分式的化简求值和二次根式的运算.
16．（2019•烟台）先化简（x+3），再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值．
【解析】（x+3）
=（）
·
，
当x=1时，原式．
【考点】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

1．（河南省信阳市城关四中2019-2020年九年级上学期期末数学试题）单项式的系数是
A． B．π C．2 D．
2．（2020年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题）下列计算正确的是
A．x4＋x4＝2x8 B．x3·x2＝x6
C．(x2y)3＝x6y3 D．(x－y)(y－x)＝x2－y2
3．（2020年云南省红河州蒙自市中考数学一模试题）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是
A．    B．
C．    D．
4．（重庆市江北区2019届中考一诊数学试题）根据以下程序，当输入x＝2时，输出结果为

A．﹣1 B．﹣4 C．1 D．11
5．（2020年天津市南开区中考数学三模试题）把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为

A．12 B．14 C．16 D．18
6．（2020年重庆市双福育才中学中考数学二模试题）若时，则代数式的值为
A．17 B．11 C． D．10
7．（2020年辽宁省沈阳市沈北新区中考数学一模试题）分解因式：x4﹣2x2y2+y4=_____．
8．（2020年贵州省遵义市播州区泮水中学九年级中考模拟（二）数学试题）计算的结果是_____．
9．（山东省日照市五莲县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）当__________时，分式的值等于零.
10．（四川省自贡市田家炳中学2019-2020学年九年级下学期4月月考数学试题）先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣．
11．（2020年甘肃省临洮县九年级中考一模数学试题）先化简，再求值：，其中．

1.下列各式中，是3x2y的同类项的是
A．2a2b B．－2x2yz
C．x2y D．3x3
2. 下列计算正确的是
A． B． C． D．
3. 下列函数中，自变量的取值范围为的是
A． B．
C． D．
4. 已知x(x﹣2)＝3，则代数式2x2﹣4x﹣7的值为
A．6 B．﹣4
C．13 D．﹣1
5. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x−3)，则a，b的值分别是
A．a=2，b=3 B．a=−2，b=−3 C．a=−2，b=3 D．a=2，b=−3
6. 化简的结果为
A． B．
C． D．
7. 若x、y满足，则的值等于
A． B． C． D．
8. 有一组单项式依次为﹣x2，，…，则第n个单项式为 ．
9. 在实数范围内分解因式：= ．
10.当x＝3时，代数式ax2－3x－4的值为5，则字母a的值为　 　．
11. 如果分式的值为0，那么x的值为　 　．[来源:学_科_网]
12.用一根长为a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加 cm．

13. 先化简（1−）÷，并求当x满足x2−6=5x时该代数式的值.
14. 先化简，再求值：，其中，.


1．【答案】D
【解析】单项式的系数是：．故选D．
2．【答案】C
【解析】选项A，根据合并同类项法则可得x4+x4=2x4，故错误；选项B，根据同底数幂的乘法可得x3•x2=x5，故错误；选项C，根据积的乘方可得（x2y）3=x6y3，故正确；选项D，根据平方差公式（x﹣y）（y﹣x）=﹣x2+2xy﹣y2，故错误；故答案选C．
3．【答案】D
【解析】∵二次根式在实数范围内有意义，
∴被开方数x+2为非负数，
∴x+2≥0，解得：x≥-2.故答案选D.
4．【答案】D
【解析】当x＝2时，x2﹣5＝22﹣5＝﹣1，结果不大于1，
代入x2﹣5＝（﹣1）2﹣5＝﹣4，结果不大于1，
代入x2﹣5＝（﹣4）2﹣5＝11，故选D．
5．【答案】C
【解析】∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，故选C.
6．【答案】A
【解析】因为3－2x＋10y＝3＋2(5y－x)，又5y－x＝7，
所以3－2x＋10y＝3＋2×7＝17.故选A.
7．【答案】（x+y）2（x﹣y）2
【解析】x4−2x2y2＋y4＝（x2−y2）2＝（x＋y）2（x−y）2．
故答案为：（x＋y）2（x−y）2．
8．【答案】
【解析】原式＝
＝
＝．
故答案为．
9．【答案】-2
【解析】依题意得x2-4=0,x-2≠0，解得x=-2，
故填：-2.
10．【解析】原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4 =x2﹣5．
当x=﹣时，原式=（﹣）2﹣5=3﹣5=﹣2．
11．【解析】原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．

1.【答案】C
【解析】A、字母不同不是同类项，故A不符合题意；
B、字母个数不同不是同类项，故B不符合题意；
C、3x2y的同类项的是x2y；
D、相同字母的指数不同不是同类项，故D不符合题意.故选C．
【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
2.【答案】A
【解析】选项A，根据二次根式的运算法则可得原式=，正确；
选项B，根据乘方的运算法则可得原式=9，错误；
选项C，不是同类项，不能合并，错误；
选项D，根据积的乘方运算可得原式=，错误，故选A.
3.【答案】B
【解析】A．中，此选项不符合题意；
B．中，此选项符合题意；
C．中，此选项不符合题意；
D．中，此选项不符合题意，故选B．
【点睛】本题考查函数自变量的范围，根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分别列式计算即可得解．具体从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
4. 【答案】D
【解析】当x（x﹣2）=3时，原式=2x（x﹣2）﹣7=2×3﹣7=6﹣7=﹣1．
故选D．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用．将x（x﹣2）=3代入原式=2x（x﹣2）﹣7，计算即可得到结论．
5.【答案】B
【解析】根据多项式乘以多项式的法则可得(x+1)(x−3)=x•x−x•3+1•x−1×3=x2−3x+x−3=x2−2x−3，对比系数可以得到a=−2，b=−3．故选B．
6. 【答案】B
【解析】原式===，故选B．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则.根据分式的运算法则即可求出答案．
7.【答案】B
【解析】∵，∴.∴.故选B．
8.【答案】
【解析】∵有一组单项式依次为﹣x2，，…，∴第n个单项式为：，
故答案为：.
【点睛】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中单项式的变化规律．根据题目中所给的的单项式，找出它们的变化规律， 从而可以写出第n个单项式．
9. 【答案】
【解析】首先利用完全平方公式进行因式分解，然后利用平方差公式进行因式分解即原式==.
10.【答案】2
【解析】当x=3时，原式=9a−9−4=5，解得：a=2，故答案为：2.
【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把x=3代入原式使其值为5，求出a的值即可．
11.【答案】4
【解析】 根据题意，得若分式的值为0，则x−4=0且x+2≠0，解得x=4，故填4.
12.【答案】8
【解析】∵原正方形的周长为acm，∴原正方形的边长为cm，∵将它按图的方式向外等距扩1cm，∴新正方形的边长为（+2）cm，则新正方形的周长为4（+2）=a+8（cm），因此需要增加的长度为a+8﹣a=8cm，故选B．
【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及规范书写代数式．根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案．
13.【解析】原式=.解方程x2−6=5x得x1=6，x2=−1.
∵当x=−1时，分式无意义,
∴当x=6时，原式=.
14.【解析】，
当，时，
原式=.

——一次方程（组）


1．了解：方程及其解的概念;一元一次方程及其解的概念;二元一次方程及其解的概念;二元一次方程组的概念.
2．理解：解一元一次方程的步骤；列一元一次方程解应用题的一般步骤;二元一次方程（组）的解法,二元一次方程（组）的应用.
3．会：识别一个数是不是方程的解;解一元一次方程;列一元一次方程解应用题;识别一组数是不是二元一次方程的解;二元一次方程组的概念并会判断;选择适当的方法解二元一次方程组.
4．掌握：解一次方程（组）的解法;列一元一次方程（组）解应用题的一般步骤;
5．能：灵活解出二次一次方程组;由实际问题抽象出一元一次方程或一次方程组.

1．从考查的题型来看，填空题或选择题、解答题的形式都有考查,一般情况三种形式选择其一,不同时存在一套试题,占比分相当大,难度属于中档题较多.
2．从考查内容来看,由实际问题抽象出一次方程组为主要考查，其次考查列一次方程组、判断一次方程（组）的解、解一次方程组.
3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:二次一次方程组的解法,由实际问题列出二次一次方程组,由二元一次方程组的解求有关问题等比较受命题者的关注.

1．一次方程的概念
（1）判断一个方程是否是一元一次方程的方法：①方程的两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高指数是1.
（2）二元一次方程的识别：①方程的两边都是整式；②含有两个未知数；③每个未知数的最高指数都是1.
2．一次方程（组）的解法
解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号 ；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
方法归纳：根据解一元一次方程的五步法计算即可（有时个别步骤可以省略）．除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意括号前是“−”号时每一项应该变号．
解一元二次方程组的方法:代入法与加减法.
方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元.当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不相等或互为相反数时，一般采用加减消元法．根据题意选择适当的方法快速求解．
3．列一次方程（组）解应用题的一般步骤简化：
（1）审题;（2）设未知数;（3）列方程（组）;（4）解方程（组）;（5）检验;（6）写出答案．
解应用题的书写格式： 设→根据题意列方程（组）→解这个方程（组）→答．

1．（2019•怀化）一元一次方程x–2=0的解是
A．x=2 B．x=–2 C．x=0 D．x=1
【答案】A
【解析】x–2=0，解得x=2．故选A．
【考点】解一元一次方程．
2．（2019•天津）方程组的解是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，①+②得，x=2，
把x=2代入①得，6+2y=7，解得y=，
故原方程组的解为：．故选D．
【考点】解二元一次方程组的方法——加减消元法.
3．（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则
A．2x+3（72–x）=30 B．3x+2（72–x）=30
C．2x+3（30–x）=72 D．3x+2（30–x）=72
【答案】D
【解析】设男生有x人，则女生有（30–x）人，根据题意可得：3x+2（30–x）=72．故选D．
【考点】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．
4．（2019•南充）关于x的一元一次方程2xa–2+m=4的解为x=1，则a+m的值为
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】因为关于x的一元一次方程2xa–2+m=4的解为x=1，
可得：a–2=1，2+m=4，解得：a=3，m=2，所以a+m=3+2=5，故选C．
【考点】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
5．（2019•重庆）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设甲的钱数为x，乙的钱数为y，依题意，得：．故选A．
【考点】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2019·贵阳）数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是
A．3 B．4.5
C．6 D．18
【答案】C
【解析】∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，
∴9﹣a=2a﹣9，解得a=6，故选C．
【考点】列一元一次一元一次方程并求解．
7．（2019•成都）若m+1与–2互为相反数，则m的值为__________．
【答案】1
【解析】根据题意得：m+1–2=0，解得：m=1，故答案为：1．
【考点】本题考查了解一元一次方程和相反数，正确掌握相反数的定义和一元一次方程的解法是解题的关键．
8．(2018·江苏南通）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__________．
【答案】240x=150x+12×150
【解析】设快马天可追上慢马，根据路程=速度×时间，结合二者总路程相等，根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150.
【考点】列一元一次方程．
9．（2019•广州）解方程组：．
【答案】
【解析】，
②–①得，4y=8，解得y=2，
把y=2代入①得，x–2=1，解得x=3，
故原方程组的解为．
【考点】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
10．（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x–2）米，
由题意，得2x+（x+x–2）=26，
解得x=7，
所以乙工程队每天掘进5米，=10（天）．
答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【考点】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．
11．（2019•盐城）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
【解析】（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，
根据题意可得：，解得：．
答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；
（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a=17，解得：a=（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b=17，解得：b=（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c=17，解得：c=2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d=17，解得：d=（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e=17，解得：a=（不合题意舍去），
综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．
【考点】此题主要考查了二元一次方程的应用.

1．（2020年福建省泉州市泉港区九年级下学期质量监测数学试题）若关于x的一元一次方程x−m+2=0的解是负数，则m的取值范围是
A．m≥2 B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2
2．（2020年天津西青区九年级学业考试调查（一）数学试题）方程组的解是
A． B． C． D．
3．（浙江省湖州市第五中学2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元．
A． B． C． D．
4．（2020年河北省衡水市九年级中考模拟数学试题）用加减法解方程组时，如果消去y，最简捷的方法是
A．①×4﹣②×3 B．①×4+②×3 C．②×2﹣① D．②×2+①
5．（2020年安徽省中考数学模拟试题）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
6．（浙江省杭州市西湖区绿城育华中学2019届九年级中考数学模拟卷）关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是
A． B． C． D．
7．（2019年吉林省长春市汽开区中考数学预测模拟试卷（三)）我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元，问这个物品的价格是多少元？”设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，则符合题意的方程组是
A． B． C． D．
8．（浙江省嘉兴市2019年中考数学二模试卷）若二元一次方程组的解为，则m+n＝_____.
9．（2020年四川省成都市青羊区九年级一诊（上学期期末）数学试题）方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，则m的值为____．
10．（山东曲阜实验学校2019-2020学年九年级下学期4月线上诊断性检测数学试题）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数为例进行说明：设＝x，由＝0.7777…可知，10x＝7.7777…，所以10x﹣x＝7，解方程，得x＝，于是，得＝．将写成分数的形式是_____．
11．（湖北省武汉市青山区2019-2020学年九年级下学期学4月线上测试数学试题）解方程：15x﹣3=3（x﹣4）
12．（2020年安徽省安庆市九年级数学中考模拟试题）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
13．（2020年河北省九年级数学中考模拟试题）数学课上，高老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式．然后翻开纸片②是4x2＋5x＋6，翻开纸片③是－3x2－x－2．

解答下列问题：
（1）求纸片①上的代数式；
（2）若x是方程2x＝－x－9的解，求纸片①上代数式的值．

1．若代数式的值与互为相反数，则
A．1 B．2
C． D．4
2．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为
A.4 B.2 C. D. ±2
3．某家具生产厂家生产桌椅，已知每块板材可做桌子1张或椅子3把，现计划用100块这种板材生产一批桌椅（不考虑板材的损耗），设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套（一张桌子配两把椅子），则下列方程组正确的是
A． B．
C． D．
4．已知a，b满足方程组，则2a+b的值为　　 ．
5．如图，小华买了一盒福娃和一枚奥运徽章，已知一盒福娃的价格比一枚奥运徽章的价格贵120元，则一盒福娃的价格是________元．

6．某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆，现在停车场共有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费480元，中、小型汽车各有多少辆？
7．程大位是珠算发明家，他的名著《算法统宗》中详述了传统的珠算规则，确立了算盘用书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？
8．已知是二元一次方程组的解，计算的值.


1．【答案】C
【解析】∵程x﹣m+2=0的解是负数，∴x=m﹣2＜0，解得：m＜2，故选C．
2．【答案】D
【解析】
①－②得：
∴
将代入①得：
∴
∴方程组的解为
故选D．
3．【答案】B
【解析】设商品的进价为x元，售价为每件0.8×200元，由题意得
0.8×200=x+40
解得：x=120
答：商品进价为120元．
故选：B．
4．【答案】D
【解析】用加减法解方程组 时，如果消去y，最简捷的方法是②×2+①,
故选D.
5．【答案】C
【解析】设安排x名工人生产螺钉，则（26-x）人生产螺母，由题意得
1000（26-x）=2×800x，故C正确.
6．【答案】B
【解析】，
①+②得：，即，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为：，
把代入二元一次方程中得：
，解得：，
故选B.
7．【答案】A
【解析】设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，
依题意，得：．
故选：A．
8．【答案】2
【解析】
①+②得：5x+5y＝10
∴x+y＝2
方程组的解为，
∴m+n＝x+y＝2．
故答案为：2．
9．【答案】-3
【解析】2x−4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=−3.
故答案为−3.
10．【答案】
【解析】设，则，
，
解得：．
故答案为．
11．【解析】15x﹣3=3（x﹣4）
去括号得，15x﹣3=3x﹣12，
移项得，15x﹣3x=3﹣12，
合并同类项得，12x=﹣9，
x的系数化为1得，x=．
12．【解析】设共有x人，
根据题意得： ，
去分母得：2x+12＝3x﹣27，
解得：x＝39，
∴ ，
则共有39人，15辆车．
13．【解析】（1），
所以纸片①上的代数式为；
（2）解2x＝－x－9得，
将代入得，
所以纸片①上代数式的值为1.

1．【答案】B
【解析】∵（−1）0=1，代数式的值与互为相反数，∴+1=0，解得：x=2，
故选B．
【点睛】此题考查了相反数的定义，关键是根据一元一次方程的解法解答．此题还考查了零次幂.先求出（−1）0=1，再根据互为相反数的含义是两个代数式的和为0．进而得出方程解答即可．
2.【答案】B
【解析】由题意得，解得，则，4的算术平方根为2.故选B.
3．【答案】A
【解析】设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，使得恰好配套，
根据题意得，
故选A.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，审清题意找到等量关系是关键.设用x块板材做桌子，用y块板材做椅子，根据共有100块板材和每块板材可做桌子1张或椅子3把且一张桌子两把椅子列出方程组即可.
4.【答案】
【解析】解方程组得，所以2a+b =.
5．【答案】145
【解析】设一盒福娃价格是x元，则x+x﹣120＝170，解得：x＝145．
则一盒福娃价格是145元．
故答案为：145．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是要读懂题目的意思，找出题目中等量关系，列出方程，再求解．本题的等量关系为:一盒福娃的价格+一枚奥运徽章的价格=170元，设一盒福娃的价格是x元，可用代数式表示一枚奥运徽章的价格，即可根据等量关系列方程求解．
6. 【解析】设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆，
根据题意，得，
解得.
答：中型汽车20辆，小型汽车30辆.
7．【解析】设大和尚有x人，小和尚有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：大和尚有25人，小和尚有75人．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设大和尚有x人，小和尚有y人，根据100个和尚吃100个馒头且1个大和尚分3个、3个小和尚分1个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
8．【解析】把代入，得关于、的二元一次方程组：，
解之得：，
代入得：．
【点睛】考查二元一次方程的解以及解二元一次方程，掌握二元一次方程的解法是解题的关键.根据方程组的解满足方程，把解代入，可得关于m、n的二元一次方程组，解方程，可得答案．


——一元一次不等式（组）


1．了解：不等式的概念；不等式的解（集）；一元一次不等式（组）的概念；
2．理解：不等式的基本性质及其应用；一元一次不等式（组）的解法
3．会：识别不等式；识别一个数是不是不等式的解（集）并会在数轴上表示；识别一元一次不等式（组）；会解一元一次不等式（组）,并会表示解集.
4．掌握：不等式基本性质及其应用；一元一次不等式（组）的解法.
5．能：应用性质进行恒等变形；由实际问题抽象出不等式（组）.

1．从考查的题型来看，填空题或选择题以中低档型出现,解答题以中档型出现;三种题型必考其一.解答题占的分值在8分~10分之间,以应用题考查为主.
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,并会表示解集;一元一次不等式（组）的应用.
3．从考查热点来看,涉及本知识点的有：不等式的基本性质；解一元一次不等式（组）,解集在数轴上表示；一元一次不等式（组）的应用.

1．不等式的有关概念：用 不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的集合叫做不等式的解集.求一个不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
2．不等式基本性质
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
3．一元一次不等式（组）的解法
（1）解一元一次不等式的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
（2）一元一次不等式组的解法
i）分别求出不等式组中各个不等式的解集;
ii）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．
iii）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”.
4．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系；
（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数；
（3）列一元一次不等式（组）；　　
（4）解一元一次不等式（组）；
（5）检验，看解集是否符合题意；
（6）写出答案．
解应用题的书写格式：设→根据题意列不等式（组）→解不等式（组）→答．

1．（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为
A．+x≤5 B．+x≥5 C．≤5 D．+x=5
【答案】A
【解析】“x的与x的和不超过5”用不等式表示为x+x≤5．故选A．
【考点】列一元一次不等式．
2．（2019·广安）若，下列不等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以-3，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、如，故D正确，故选D．
【考点】本题考查不等式的性质.
3．（2019•宁波）不等式的解为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，3-x>2x，3>3x，x<1，故选A．
【考点】解一元一次不等式.
4．（2018·四川德阳）如果关于的不等式组的整数解仅有、，那么适合这个不等式组的整数、组成的有序数对共有
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】D
【解析】解不等式2x−a≥0，得：x≥，
解不等式3x−b≤0，得：x≤，
因为不等式组的整数解仅有x＝2、x＝3，
所以1＜≤2、3≤＜4，解得：2＜a≤4、9≤b＜12，
则a＝3时，b＝9、10、11；
当a＝4时，b＝9、10、11，
所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个，
故选D．
【考点】本题考查一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解.
5．（2019·聊城）若不等式组无解，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解不等式-，得：x>8，
∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A．
【考点】解一元一次不等式组.
6．（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是__________．
【答案】m≤-2
【解析】，①+②得2x+2y=4m+8，则x+y=2m+4，根据题意得2m+4≤0，解得m≤-2．
故答案为：m≤-2．
【考点】解二元一次方程组和一元一次不等式.
7．（2019·达州）如图所示，点C位于点A、B之间（不与A、B重合），点C表示，则x的取值范围是__________．

【答案】
【解析】根据题意得：，
解得：，
则x的范围是，
故答案为：．
【考点】考查了解一元一次不等式组，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2019·湘潭）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解析】，
解不等式①得，，
解不等式②，，
所以，原不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
．
【名师点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
9．(2018·辽宁锦州) 为迎接“七·一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个.
（1）求每辆大客车和小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？
【解析】（1）设每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为个和个，
依题意得，，
解得.
答：每辆大客车和每辆小客车的座位数分别为40个和25个.
（2）设租用小客车辆，则租用大客车辆，
依题意得，.
解得，
∵为整数，
∴的最大值为3.
答：最多租用小客车3辆.
【考点】本题考查二元一次方程、一元一次不等式组的实际应用.
10．（2019·广元）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【解析】（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元．
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元，
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
【考点】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

1．（广西南宁三中2019届九年级下学期开学数学试题）下列不等式变形正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
2．（2020年河北省唐山市路北区九年级一模数学试题）如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是

A． B． C． D．
3．（浙江省温州市鹿城区2019-2020学年九年级下学期5月七校联考数学试题）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打
A．6折 B．7折
C．8折 D．9折
4．（浙江省杭州市艮山中学2019-2020学年九年级下学期阶段练习数学试题）已知4＜m＜5，则关于x的不等式组的整数解共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2019年河北省唐山市丰南区九年级下学期第二次模拟数学试题）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
6．（2020年河南省安阳市中考数学一模试题）已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
7．（2020年四川省绵阳市三台县中考数学一模试题）一元一次不等式组的最大整数解是
A． B．0 C．1 D．2
8．（2020年甘肃省临洮县九年级中考一模数学试题）不等式组的整数解是x=　 　．
9．（2020年辽宁省沈阳中考数学评价检测试题（一））若不等式组的解集是﹣1＜x≤1，则a＝_____，b＝_____．
10．（北京22中、21中联盟校2019-2020学年九年级下学期5月模拟数学试题）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

11．（江苏省盐城景山中学2019-2020学年九年级下学期第一次质量检测数学试题）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来
12．（2020年北京市中考数学4月模拟试题）解不等式组 ，并判断x＝是否为该不等式组的解？
13．（2020年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考数学模拟试题）今年 3 月 12 日植树节期间， 学校预购进 A、B 两种树苗，若购进 A种树苗 3 棵，B 种树苗 5 棵，需 2100 元，若购进 A 种树苗 4 棵，B 种树苗 10棵，需 3800 元．
（1）求购进 A、B 两种树苗的单价；
（2）若该单位准备用不多于 8000 元的钱购进这两种树苗共 30 棵，求 A 种树苗至少需购进多少棵？
14．（2020年湖北省麻城思源实验学校九年级模拟考试数学试题）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

1．不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
2．不等式组的整数解有
A．0个 B．5个
C．6个 D．无数个
3．不等式的最小整数解是 ．
4．定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（ab）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（25）+1=2×（3）+1=5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ．
5．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.

6．某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠.”
若全票价是1 200元，则：
（1）设三好学生的人数为x，则参加甲旅行社的费用是 元；参加乙旅行社的费用是 元．
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
7．某校九年级举行“做创新型青年”的演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经过了解得知，该超市的A、B两种笔记本的价格分别是12元和8元，他们准备购买这两种笔记本共30本．
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各多少本？
（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的，如果设他们买A种笔记本n本，买这两种笔记本共花费W元．
①请写出W (元)关于n (本)的函数关系式，并求出自变量n的取值范围；
②请你帮他们计算，购买这两种笔记本各多少时，花费最少，此时花费是多少元？



1．【答案】B
【解析】A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；
B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确；
C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误；
D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．
故选：B．
2．【答案】A
【解析】由数轴可得：关于x的不等式组的解集是：x≥2．
故选A．
3．【答案】B
【解析】设可打x折，则有1200×-800≥800×5%，
解得x≥7．
即最多打7折．
故选B．
4．【答案】B
【解析】不等式组
由①得x＜m；
由②得x＞2；
∵m的取值范围是4＜m＜5，
∴不等式组的整数解有：3，4两个．
故选B．
5．【答案】A
【解析】解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，
∵不等式有最小整数解2，
∴1≤＜2，
解得：4≤m＜7，
故选A．
6．【答案】A
【解析】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m），
又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：．
故选A．
7．【答案】C
【解析】
由①得到：2x+6-4≥0，
∴x≥-1，
由②得到：x+1＞3x-3，
∴x＜2，
∴-1≤x＜2，
∴最大整数解是1，
故选C．
8．【答案】﹣4
【解析】,
∵解不等式①得：x≤﹣4，
解不等式②得：x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4，
∴不等式组的整数解为x=﹣4，
故答案为﹣4．
9．【答案】-2 -3
【解析】由题意得：
解不等式 ① 得: x>1+a ,
解不等式②得:x≤
不等式组的解集为: 1+a＜x≤
不等式组的解集是﹣1＜x≤1,
..1+a=-1, =1,
解得:a=-2,b=-3
故答案为: -2, -3.
10．【解析】3x-6≤4x-3
∴x≥-3

11．【解析】
解不等式①可得x≤1，
解不等式②可得x＞-1
在数轴上表示解集为：

所以不等式组的解集为：-1＜x≤1.
12．【解析】由①得：x＞﹣3；
由②得：x≤1；
所以原不等式组的解集为：﹣3＜x≤1．
因为＞1，所以x=不是原不等式组的解．
13．【解析】设购进 A 种树苗的单价为 x 元/棵，购进 B 种树苗的单价为 y 元/棵，根据题意得： ，
解得： ．
答：购进 A 种树苗的单价为 200 元/棵，购进 B 种树苗的单价为 300 元/棵．
（2）设需购进 A 种树苗 a 棵，则购进 B 种树苗（30﹣a）棵，根据题意得：
200a+300（30﹣a）≤8000，
解得：a≥10．
∴A种树苗至少需购进 10 棵．
14．【解析】（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，
∴
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3中方案；
有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，
③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
设总费用为w元
W=50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
∵k=-100，∴w随y的增大而减小
∴当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．

1．【答案】B
【解析】不等式x≤﹣1的解集在数轴上表示正确的是 ，
故选B．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），需要注意的是：在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
2．【答案】B
【解析】解不等式x+3＞0，得x＞﹣3，
解不等式﹣x≥﹣2，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
∴整数解有：﹣2，﹣1，0，1，2，共5个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．解答本题时，先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求整数解即可．
3．【答案】－2
【解析】∵，∴，∴，
∴不等式的最小整数解是x=−2.
故答案为−2.
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变.解答本题时，先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可.
4.【答案】x＞1
【解析】3⊕x＜13，即3（3x）+1＜13，解得x＞1．
5．【解析】∵解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为：

【点睛】考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
6.【解析】（1）设三好学生的人数为x，
由题意得，参加甲旅行社的费用是1 200+1 200×0.5×x =1 200+600x；
参加乙旅行社的费用是1 200×0.6×（x+1）=720（x+1）．
（2）由题意得1 200+600x720（x+1）＜0，
解得x＞4.
即当学生多于4人时，选择参加甲旅行社比较合算．
7.【解析】（1）设能买A种笔记本x本，则能买B种笔记本（30−x）本，
根据题意，得 12x+8（30−x）=300，
解得：x=15，
∴30−x=15.
答：如果他们计划用300元购买奖品，那么能买这两种笔记本各15本．
（2）①由题意，得：，
解得，n为整数.
∴（，n为整数）.
②∵＞0，
∴随的增大而增大，当取最小值时，花费最少．
∴当n=8本时,W最小=4×8+240=272元.


——一元二次方程与分式方程


1．了解： 一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念.
2．理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根.
3．会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与系数的关系;识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程.
4．掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用.
5．能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象出分式方程.

1．从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大,属于中档题,少数题目以填空题或选择题的形式考查.属于中档题.
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；根的判别式；根与系数的关系；分式方程与一元二次方程的实际应用
3．从考查热点来看,涉及本知识点的有:分式方程的增根问题;根与系数的关系;分式方程与一元二次方程的解法及其实际应用.

1．一元二次方程
（1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）
（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：
i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解；
ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解；
iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．
（3）一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：
i）b2−4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
ii）b2−4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
iii）b2−4ac<0⇔方程没有实数根．
温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．
应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根．
（4）一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝，x1·x2＝．
2．分式方程
分式方程的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：i）这个数是化成的整式方程的根；ii）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．
注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．
3．用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．
（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数．
（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．
（4）解方程．
（5）检验，看方程的解是否符合题意．
（6）写出答案．
解应用题的书写格式：设→根据题意列方程→解这个方程→答．

1．（2019·山西）一元二次方程配方后可化为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故选D．
【考点】一元二次方程根配方．
2．（2019·湖南益阳）解分式方程+=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．x+2=3 B．x﹣2=3
C．x﹣2=3（2x﹣1） D．x+2=3（2x﹣1）
【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x﹣1），得x﹣2=3（2x﹣1），故选C．
【考点】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
3．（2018·广东韶关）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，
∴=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，∴m＜，
故选A．
【考点】一元一次不等式；一元二次方程根的判别式.
4．（2019•河北）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x=–1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=–1，
∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，则b2–4ac=16–4×1×5=–4<0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选A．
【考点】此题主要考查了根的判别式，正确得出c的值是解题关键．
5．（2019•广州）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设甲每小时做x个零件，可得：，故选D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
6．（2019•四川绵阳）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为______km/h．
【答案】10
【解析】设江水的流速为xkm/h，根据题意可得：=，解得：x=10，
经检验得：x=10是原方程的根，所以江水的流速为10km/h．故答案为：10．
【考点】分式方程的应用.
7．（2019•南京）解方程：．
【答案】x=2
【解析】方程两边都乘以（x+1）（x–1），
去分母得x（x+1）–（x2–1）=3，
即x2+x–x2+1=3，
解得x=2．
检验：当x=2时，（x+1）（x–1）=（2+1）（2–1）=3≠0，
∴x=2是原方程的解，
故原分式方程的解是x=2．
【考点】解分式方程．
8．（2019·云南）为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动，已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.
【解析】设甲校师生所乘大巴车的平均速度为xkm/h，则乙校师生所乘大巴车的平均速度为1.5xkm/h.
根据题意得，解得x=60，
经检验，x=60是原分式方程的解.
1.5x=90.
答：甲、乙两校师生所乘大巴车的平均速度分别为60km/h和90km/h．
【考点】分式方程的应用．
9．（2018·湖北十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤.
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
10．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．
【答案】（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【解析】（1）1.5×4=6（万座）．
答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．
（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
根据题意，得：6（1+x）2=17.34，
解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．
【考点】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

1．（广东省惠州市惠东县吉隆实验学校2019-2020学年九年级10月月考数学试题）若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个解是x＝0，则a的值为
A．1 B．－1 C．±1 D．0
2．（2020年湖南省长沙市教科院中考数学五模数学试题）若方程3-4x-4=0的两个实数根分别为，，则 =
A．-4 B．3 C．− D．
3．（湖北省鄂州市梁子湖区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）下列一元二次方程中，没有实数根的是
A． B． C． D．
4．（2020年山东省日照市五莲县九年级学业水平模拟（一）数学试题）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
5．（贵州省黔东南州2019-2020学年九年级上学期期中数学试题）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6．（2020年四川省南充市第一中学中考二模数学试题）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是
A． B． C．且 D．且
7．（河南省郑州市郑州枫杨外国语学校2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题）若x1是方程ax2+2x+c＝0(a≠0)的一个根，设M＝(ax1+1)2，N＝2﹣ac，则M与N的大小关系为
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不能确定
8．（重庆市巴蜀中学2019年初三第二次模拟考试数学试题）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
9．（安徽省合肥市庐江县2019-2020学年九年级下学期质量检测数学试题）分式方程+=1的解为________.
10．（湖北省武汉市六中上智2019-2020学年九年级9月起点考数学试题）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k－1=0有两个实数根，则k的取值范围是________.
11．（2019年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题）若关于x的分式方程﹣3有增根，则实数m的值是________.
12．（2020年江西省中等学校中考数学一模模拟试题）设m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，则m3+2020n﹣2019＝_____．
13．（江苏省南京市鼓楼区实验中学2019-2020学年九年级下学期4月阶段性测试数学试题）解方程：．
14．（2020年北京市丰台区中考数学4月模拟试题）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
15．（广东省揭阳市阳东区2019-2020学年九年级上学期11月月考数学试题）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？


1．分式方程的解是
A． B．
C． D．
2．x=1是关于x的一元二次方程2x2+mx−1=0的一个根，则此方程的两根之和为
A.−1 B.1 C. D.−
3．已知关于的方程的解是非负数，则的取值范围是
A．且 B．
C．且 D．
4．设，是方程的两个实数根，则的值是________.
5．解分式方程：（1）；（2）.
6．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值．
7．早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
（1）求小明步行速度（单位：米/分）是多少；
（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
8．某学校准备采购一批茶艺耗材和陶艺耗材.经查询，如果按照标价购买两种耗材，当购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍时，购买茶艺耗材共需要18000元，购买陶艺耗材共需要12000元，且一套陶艺耗材单价比一套茶艺耗材单价贵150元.
（1）求一套茶艺耗材、一套陶艺耗材的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的茶艺耗材和陶艺耗材.商家告知，因为周年庆，茶艺耗材的单价在标价的基础上降价2元，陶艺耗材的单价在标价的基础上降价150元，该校决定增加采购数量，实际购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量在原计划基础上分别增加了2.5%和，结果在结算时发现，两种耗材的总价相等，求的值.



1．【答案】A
【解析】把x=0代入方程得到：a2－1＝0
解得：a=±1．
（a＋1)x2＋x＋a2－1＝0为一元二次方程
即．
综上所述a=1.
故选：A．
2．【答案】D
【解析】如果一元二次方程a+bx+c=0的两根为和，则+=，=，根据方程可得：+=.
3．【答案】C
【解析】A.的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
B.的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
C.的根的判别式，方程没有实数根，此项符合题意
D. 的根的判别式，方程有两个不相等的实数根，此项不符题意
故答案为：C.
4．【答案】C
【解析】一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，从而根据题意得出方程：
50+50（1+x）+50（1+x）2=196．
故选C．
5．【答案】D
【解析】∵是关于x的方程的根，
∴，即n(n+m+2)=0,
∵
∴n+m+2=0,即m+n=-2,
故选D.
6．【答案】D
【解析】分式方程去分母得：，即，
因为分式方程解为负数，所以，且，
解得：且，
故选D．
7．【答案】C
【解析】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，
则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）
=a2x12+2ax1+1-2+ac
=a（ax12+2x1）+ac-1
=-ac+ac-1
=-1，
∵-1＜0，
∴M-N＜0，
∴M＜N．
故选C．
8．【答案】C
【解析】∵关于x的不等式组有解，
∴1﹣2m＞m﹣2，
解得m＜1，
由得x＝,
∵分式方程有非负整数解，
∴x＝是非负整数，
∵m＜1，
∴m＝﹣5，﹣2，
∴﹣5﹣2＝﹣7，
故选C．
9．【答案】
【解析】方程两边都乘以，得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解为，
故答案为．
10．【答案】k≥-13，且k≠0
【解析】∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，
∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，
解得：k≥-13，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0．
11．【答案】1
【解析】去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，
故答案为1．
12．【答案】2020
【解析】∵m是方程x2﹣x﹣2019＝0的根，
∴m2﹣m﹣2019＝0，
∴m2＝m+2019，
m3＝m2+2019m＝m+2019+2019m＝2020m+2019，
∴m3+2020n﹣2019＝2020m+2019+2020n﹣2019＝2020（m+n），
∵m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的两实数根，
∴m+n＝1，
∴m3+2020n﹣2019＝2020．
故答案为2020．
13．【解析】方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．
14．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2=0，
解得x=1或x=2．
15．【解析】（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：﹣= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．

1．【答案】B
【解析】＝−1，方程两边都乘以2x+5得：1−3x=−2x−5，解得：x=6，
检验：当x=6时，2x+5≠0，即x=6是原方程的解，
故选B．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
2.【答案】C
【解析】设方程的另一根为x1，∵x=1是关于x的一元二次方程2x2+mx−1=0的一个根，
根据根与系数的关系可得：x1·1=−，∴x1=−，∴x1+1=．故选C．
3．【答案】C
【解析】去分母得：2x+a=x−1，即x=−a−1，
∵关于x的分式方程的解是非负数，
∴−a−1≥0，−a−1≠1，解得：a≤−1且a≠−2，
故选C．
【点睛】此题考查了分式方程的解法、分式方程的解以及不等式组的解法．此题难度适中，注意不要漏掉分式方程无解的情况．解答本题时，首先解此分式方程，可得x=−a−1，由关于x的方程的解是非负数，即可得x=−a−1≥0，且x=−a−1≠1，解不等式组即可求得答案．
4．【答案】2018
【解析】∵设a，b是方程x2+x−2019=0的两个实数根，
∴a+b=−1，a2+a−2019=0，
∴a2+a=2019，
∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2019+（−1）=2018，
故答案为：2018．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b=−1和a2+a=2019是解此题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b=−1，a2+a−2019=0，变形后代入，即可求出答案．
5.【解析】（1）方程两边同时乘以得，即，解得，检验：当时，，∴不是原方程的解，∴原方程无解.
（2）方程两边同时乘以得，解得，检验：当时，，
∴是原方程的解．
6.【解析】（1）∵关于的一元二次方程有实数根，∴≥0，即，解得.
（2）由题意得，＞0，∵，
∴，即，
∴，即，
∴，，∵，∴．
7.【解析】（1）设小明步行的速度是x米/分，由题意得：，解得：x=60，经检验：x=60是原分式方程的解.
答：小明步行的速度是60米/分；
（2）小明家与图书馆之间的路程是y米，根据题意可得：，解得：y600.
答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米.
8．【解析】（1）设购买一套茶艺耗材需要元，则购买一套陶艺耗材需要元，
根据题意，得.
解方程，得.
经检验，是原方程的解，且符合题意
.
答：购买一套茶艺耗材需要450元，购买一套陶艺耗材需要600元.
（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺耗材的数量均为，由题意得：
，
整理，得，
解方程，得，（舍去）.
的值为95.
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键，列方程解决实际问题注意要检验与实际情况是否相符.
（1）设购买一套茶艺耗材需要元，则购买一套陶艺耗材需要元，根据购买茶艺耗材的数量是陶艺耗材数量的2倍列方程求解即可；
（2）设今年原计划购买茶艺耗材和陶艺素材的数量均为，根据两种耗材的总价相等列方程求解即可.