2020年中考数学考前冲刺(三) 试卷


——图形的初步认识


1．了解：直线的性质；线段的性质；对顶角与邻补角；平行线的定义与画法．
2．理解：平行线的性质；垂线的性质，并能解决与之相关的实际问题．
3．会：利用平行线的判定证明两直线互相平行．
4．掌握：掌握直线的性质；掌握对顶角与邻补角的有关性质；平行线的判定定理；平行线的性质；平行公理及平行线的画法．
5．能：利用线段的中点和线段的性质进行线段的有关计算；利用平行线的性质解决有关角的计算问题

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以选择题或填空题的形式考查,题目较为简单,属于低档题．
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有:直线或线段的性质；平行线的性质与判定；利用平行线的性质解决有关的角的计算问题．
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：平行线的性质与判定；线段的中点与线段的性质相关的计算

1．直线、射线和线段
（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线．
（2）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.也可简单说成：两点之间线段最短．
（3）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．线段的中点到两端点的距离相等．
（4）方法归纳：
①过一点的直线有无数条；直线是是向两个方向无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小；
②要注意区别直线公理与线段的性质：两点确定一条直线，两点之间线段最短；在线段的计算过程中，经常涉及线段的性质、线段的中点以及方程思想．
③延伸与延长是不同的,线段不能延伸,但可以延长,直线和射线能延伸,但是不能延长；
④直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关,但射线必须是表示端点的字母写在前面,不能互换；
⑤直线中“有且只有”中的“有”的含义是存在性,“只有”的含义是唯一性,“有且只有”与“确定”的意义相同.
⑥射线:确定端点；确定延伸方向,二者缺一不可.
2．相交线
（1）邻补角互补，对顶角相等.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
3．平行线
（1）平行公理及其推论
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（2）平行线的判定定理
①同位角相等，两直线平行．
②内错角相等，两直线平行．
③同旁内角互补，两直线平行．
（3）平行线的性质定理
①两直线平行，同位角相等．
②两直线平行，内错角相等．
③两直线平行，同旁内角互补．
（4）垂直
①要判断两条直线是否互相垂直时,只须在两直线相交所成的四个角中找到一个角是直角即可.
②运用“两线交角成九十,互叫垂线称垂直；交点此时为垂足,特殊符号来表示”进行巧妙记忆.
③经过一点作已知直线的垂线时,有且只有一条直线.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

1．（2019•德阳）已知直线AB∥CD，直线EF与AB相交于点O，且∠BOE=140°．直线l平分∠BOE交CD于点G，那么∠CGO=（　　）

A．110° B．105° C．100° D．70°
【答案】A
【解析】如图，

∵直线l平分∠BOE，且∠BOE=140°，∴∠1=12∠BOE=70°，
∵AB∥CD，∴∠DGO=∠1=70°，∴∠CGO=110°，故选A．
【考点】平行线的性质
2．（2019•济南）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（　　）

A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，∴∠1=∠ABC=70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=35°，故选B．
【考点】平行线的性质
3．（2019•鞍山）如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点G，H，∠CHG的平分线HM交AB于点M，若∠EGB=50°，则∠GMH的度数为（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】∵AB∥CD，∴∠EHD=∠EGB=50°，∴∠CHG=180°﹣∠EHD=180°﹣50°=130°．
∵HM平分∠CHG，∴∠CHM=∠GHM=12∠CHG=65°．
∵AB∥CD，∴∠GMH=∠CHM=65°．故选D．
【考点】平行线的性质
4．（2019•抚顺）一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B=∠EDF=90°，∠A=30°，∠F=45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°
【答案】A
【解析】∵∠B=90°，∠A=30°，∴∠ACB=60°．
∵∠EDF=90°，∠F=45°，∴∠DEF=45°．
∵EF∥BC，∴∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠CED=∠CEF﹣∠DEF=60°﹣45°=15°．故选A．
【考点】平行线的性质
5．（2019•南通）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为（　　）

A．110° B．125° C．135° D．140°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=70°，∴∠CAB=110°，
∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=12∠CBA=55°，
∴∠AED=∠C+∠CAE=70°+55°=125°，故选B．
【考点】平行线的性质
6．（2019•锦州）如图，AC与BD交于点O，AB∥CD，∠AOB=105°，∠B=30°，则∠C的度数为（　　）

A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】∵∠A+∠AOB+∠B=180°，∴∠A=180°﹣105°﹣30°=45°，
∵AB∥CD，∴∠C=∠A=45°，故选A．
【考点】平行线的性质
7．（2019•莱芜区）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1=65°，则∠2的度数是（　　）

A．122.5° B．123° C．123.5° D．124°
【答案】A
【解析】∵∠1=65°，∴∠BEF=180°﹣65°=115°，
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF=57.5°，
∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG=180°，∴∠2=180°﹣57.5°=122.5°，故选A．
【考点】平行线的性质
8．（2019•日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【解析】∵直尺的两边互相平行，∠1=35°，∴∠3=35°．
∵∠2+∠3=90°，∴∠2=55°．故选C．

【考点】平行线的性质
9．（2019•遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4的度数是（　　）

A．74° B．76° C．84° D．86°
【答案】B
【解析】∵∠1+∠2=180°，∠1+∠5=180°，∴∠2=∠5，∴a∥b，∴∠4=∠6，
∵∠3=104°，∴∠6=180°﹣∠3=76°，∴∠4=76°，故选B．

【考点】平行线的判定与性质
10．（2019•陕西）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（　　）

A．52° B．54° C．64° D．69°
【答案】C
【解析】∵l∥OB，∴∠1+∠AOB=180°，∴∠AOB=128°，
∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=64°，
又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2=64°，故选C．
【考点】平行线的性质
11．（2019•吉林）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（　　）

A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【解析】这样做增加了游人在桥上行走的路程，其中蕴含的数学道理是：利用两点之间线段最短，可得出曲折迂回的曲桥增加了游人在桥上行走的路程．故选A．
【考点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短；平行公理及推论
12．（2019•宜昌）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠α=135°，则∠β等于（　　）

A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【解析】由题意可得：∵∠α=135°，∴∠1=45°，∴∠β=180°﹣45°﹣60°=75°．故选C．

【考点】平行线的性质
13．（2019•深圳）如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（　　）

A．∠1=∠4 B．∠1=∠5 C．∠2=∠3 D．∠1=∠3
【答案】B
【解析】∵l1∥AB，∴∠2=∠4，∠3=∠2，∠5=∠1+∠2，
∵AC为角平分线，∴∠1=∠2=∠4=∠3，∠5=2∠1．故选B．
【考点】平行线的性质
14．（2019•河南）如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（　　）

A．45° B．48° C．50° D．58°
【答案】B
【解析】∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B﹣∠E=75°﹣27°=48°，故选B．

【考点】平行线的性质
15．（2019•海南）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC=70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【答案】C
【解析】∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，
∴AC=AB，∴∠CBA=∠BCA=70°，
∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°，∴∠1=180°﹣70°﹣70°=40°，故选C．
【考点】平行线的性质


1．（2020•长沙模拟）把一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）按如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED=50°，则∠BFA的大小为（　　）

A．130° B．135° C．140° D．145°
2．（2020•新泰市一模）如图，直线a∥b，∠1=50°，∠2=30°，则∠3的度数为（　　）

A．40° B．90° C．50° D．100°
3．（2020•江苏模拟）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，若∠2=45°，则∠1等于（　　）

A．125° B．130° C．135° D．145°
4．（2020•山西模拟）已知直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1=85°，则∠2等于（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
5．（2020•佛山模拟）将一个直角三角板与两边平行的纸条按如图所示的方式放置，若∠2=40°，则∠1的大小是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2020•锦州模拟）直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF．若∠1=58°，则∠2的度数为（　　）

A．18° B．32° C．48° D．62°
7．（2020•山西模拟）如图，是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中OA∥BC，AC∥OB．若∠1=50°，则∠3的度数为（　　）

A．130° B．120° C．50° D．125°
8．（2020•河南模拟）将一块含有30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若∠1=85°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．65° C．55° D．60°
9．（2020•河南模拟）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C路在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=34°．则∠BHQ等于（　　）

A．73° B．34° C．45° D．30°
10．（2020•武汉模拟）如图，直线MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，∠EPM=∠FQM，且∠AEP=∠CFQ，求证：AB∥CD．

11．（2020•温州模拟）已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．

如图，DE∥BC，∠1=∠B，求证：EF∥AB．




1．如图，AB∥CD，点E在CD上，点F在AB上，如果∠CEF：∠BEF=6：7，∠ABE=50°，那么∠AFE的度数为（　　）

A．110° B．120° C．130° D．140°
2．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=50°．要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．10° B．20° C．30° D．50°
3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式放置（∠ABC=30°），并且顶点A，C分别落在直线m，n上，若∠1=38°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．22° C．28° D．38°
4．如图，已知AB∥DC，∠BED=60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°
5．如图，直尺经过一块三角板DCB的直角顶点B，若将边AB绕点B顺时针旋转，∠ABC=20°，∠C=30°，则∠DEF度数为（　　）

A．25° B．40° C．50° D．80°
6．如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=4cm，PB=3cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离是___________cm．

7．如图，已知AB∥CD∥PN，∠ABC=50°，∠CPN=150°，求∠BCP的度数．

8．如图，直线AB∥CD，MN⊥CE于M点，若∠MNC=60°，求∠EMB的度数．





1．【答案】C
【解析】∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，
∵DE∥AF，∴∠BFA=∠FDE=140°．故选C．
2．【答案】D
【解析】如图所示：

∵a∥b，∴∠1=∠4，
又∵∠1=50°，∴∠4=50°，
又∵∠2+∠3+∠4=180°，∠2=30°，∴∠3=100°，故选D．
3．【答案】C
【解析】如图，

∵a∥b，∠2=45°，∴∠3=∠2=45°，
∴∠1=180°﹣∠3=135°，故选C．
4．【答案】D
【解析】∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A=30°，∠3=∠1=85°，∴∠4=65°．
∵直线l1∥l2，∴∠2=∠4=65°．故选D．

5．【答案】B
【解析】如图所示：

∵∠2+∠3+∠4=180°，
∠4=90°，∠2=40°，
∴∠3=50°，
又∵a∥b，
∴∠1=∠3，
∴∠1=50°，
故选B．
6．【答案】B
【解析】∵∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°．
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF=180°，
∴∠BEF=180°﹣58°=122°．
∵EG⊥EF，
∴∠GEF=90°，
∴∠2=∠BEF﹣∠GEF
=122°﹣90°
=32°．
故选B．
7．【答案】A
【解析】∵AC∥OB，∠1=50°，
∴∠2=50°，
∵OA∥BC，
∴∠3=180°﹣50°=130°．
故选A．
8．【答案】C
【解析】如图所示，∵AB∥CD，
∴∠1=∠BAC=85°，
又∵∠BAC是△ABE的外角，
∴∠2=∠BAC﹣∠E=85°﹣30°=55°，
故选C．

9．【答案】B
【解析】∵∠AGE=34°，
∴∠DGE=146°，
由折叠可得，∠DGH=∠EGH=12∠DGE=73°，
∵AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH=73°，
∵EG∥QH，
∴∠QHG=180°﹣∠EGH=107°，
∴∠BHQ=∠QHG﹣∠BHG=107°﹣73°=34°．
故选B．
10．【解析】如图，
∵∠EPM=∠FQM，∠AEP=∠CFQ，∠EPM+∠AEP+∠1=180°，∠FQM+∠CFQ+∠2=180°，
∴∠1=∠2，
∴AB∥CD．

11．【解析】∵DE∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠B，
∴∠2=∠B，
∴EF∥AB．


1．【答案】B
【解析】设∠CEF=6x，如图所示：

∵∠CEF：∠BEF=6：7，
∴∠BEF=7x，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEC=180°，
又∵∠ABE=50°，
∴∠BEC=130°，
又∵∠BEC=∠CEF+∠BEF，
∴7x+6x=130°，
解得：x=10°，
∴∠CEF=60°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF=180°，
∴∠AFE=120°，
故选B．
2．【答案】C
【解析】如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°=30°．
故选C．

3．【答案】B
【解析】∵∠ABC=30°，∠BAC=90°，
∴∠ACB=60°，
过C作CD∥直线m，
∵直线m∥n，
∴CD∥直线m∥直线n，
∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，
∵∠1=38°，
∴∠ACD=38°，
∴∠2=∠BCD=60°﹣38°=22°，
故选B．

4．【答案】D
【解析】∵AB∥DC，∠BED=60°，
∴∠ABE=60°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=12∠ABE=30°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=30°，
故选D．
5．【答案】C
【解析】∵∠DAB=∠C+∠ABC，∠C=30°，∠ABC=20°，
∴∠DAB=20°+30°=50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF=∠DAB=50°，
故选C．
6．【答案】3
【解析】点P到直线l的距离是点P到直线l垂线段的长度，
∵PB⊥l，且PB=3cm，
∴点P到直线l的距离是3cm，
故答案为：3．
7．【解析】∵AB∥CD∥PN，
∴∠BCD=∠ABC=50°，∠DCP=180°﹣∠CPN=180°﹣150°=30°，
∴∠BCP=∠BCD﹣∠DCP=50°﹣30°=20°．
8．【解析】∵AB∥CD，
∴∠NMB=∠MNC=60°，
又∵MN⊥CE，
∴∠EMN=90°，
∴∠EMB=90°﹣∠NMB=90°﹣60°=30°．




上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的. ——L·克隆内克
给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴. ——A·L·柯西
数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立性是其本质的直接后果.
——A·埃博
数学，科学的女皇；数论，数学的女皇. ——C·F·高斯
一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家.
——维尔斯特拉斯

数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的.
——史密斯

——三角形与尺规作图



1．了解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的外角；等腰(边)三角形的概念；全等图形的概念；尺规作图概念；了解五种基本作图的理由
2．理解：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的三边关系；等腰(边)三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；全等三角形的判定；角平分线的性质与判定；理解并掌握角平分线的性质；
3．会：作三角形的中线、角平分线、高线；证明三角形的内角和定理.识别全等图形；利用HL判定两个三角形全等；会用尺规作图完成五种基本作图；使用精练、准确的作图语言叙述画图过程；利用基本作图画三角形较简单的图形；利用基本作图画较简单的图形；会判定两个三角形全等
4．掌握：三角形的内角和定理及其三边关系定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质及判定；直角三角形的性质及判定；勾股定理及逆定理；全等三角形的判定方法；
5．能：利用三角形内（外）角和定理进行角的有关计算与证明；解决等腰三角形的有关计算；证明一个三角形是等腰（边）三角形；运用勾股定理及逆定理解决实际问题；利用角平分线的判定解决有关的实际问题.

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题考查,难度系数小,较简单,属于低档题
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：三角形的中线、角平分线、高线；三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：三角形的内（外）角和定理及其三边关系定理；勾股定理及逆定理；等腰（边）三角形的性质及判定；全等三角形的判定方法；角平分线的性质.


1．三角形的有关线段
（1）三角形的中线、高线、角平分线、中位线都是线段,三角形的中位线性质可以证明“平行”关系、“线段相等”关系,三角形的中线特点可以证明面积相等.
（2）三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
2．等腰三角形
①等腰对等角、等角对等腰
②等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°.
③等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
④等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 ⑤等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°−2∠B，∠B=∠C= .
3．直角三角形
（1）直角三角形的性质
①直角三角形两锐角互余.
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
④两个内角互余的三角形是直角三角形.三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
（2）勾股定理及逆定理
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2.
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
4. 全等三角形
（1）全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等
方法归纳：利用全等三角形的性质解决有关线段相等和角的计算的有关问题
利用全等三角形的性质时,关键是找准对应点，利用对应点得到相应的对应边以及对应角．
（2）三角形全等的判定定理：
方法归纳：证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
（3）角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角两边距离相等的点在角平分线上．
方法归纳：角平分线的性质是证明线段相等的重要工具，角平分线的性质经常用来解决点到直线的距离以及三角形的面积问题．注意区分角平分线的性质与判定，角平分线的性质和判定都是由三角形全等得到的．
5．尺规作图
（1）尺规作图的步骤
①已知:当作图是文字语言叙述时,要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件;
②求作:能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件;
③作法:能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时,一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图,可先画出草图,使它同所要作的图大致相同,然后借助草图寻找作法.
（2）与圆有关的尺规作图
①过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；②作三角形的内切圆；
③作圆的内接正方形和正六边形．

1．（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（　　）

A．2+2 B．2+3 C．2+3 D．3
【答案】A
【解析】过点D作DF⊥AC于F如图所示，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD=2DF=2，∴BC=BD+CD=2+2，故选A．

【考点】角平分线的性质
2．（2019•张家界）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=13AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC=8，DC=13AD，∴CD=8×11+3=2，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，
即点D到AB的距离为2．故选C．

【考点】角平分线的性质
3．（2019•湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【解析】过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DH=CD=4，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB•DH+12BC•CD=12×6×4+12×9×4=30，故选B．

【考点】角平分线的性质
4．（2019•安顺）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠A=∠D B．AC=DF C．AB=ED D．BF=EC
【答案】A
【解析】选A项A、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选A．
【考点】全等三角形的判定
5．（2019•兴安盟）如图，已知AB=AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）

A．∠B=∠C B．AE=AD C．BD=CE D．BE=CD
【答案】D
【解析】A、当∠B=∠C时，利用ASA定理可以判定△ABE≌△ACD；
B、当AE=AD时，利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
C、当BD=CE时，得到AD=AE，
利用SAS定理可以判定△ABE≌△ACD；
D、当BE=CD时，不能判定△ABE≌△ACD；
故选D．
【考点】全等三角形的判定
6．（2019•阿坝州）如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，添加以下条件之一，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．∠E=∠ABC B．AB=DE C．AB∥DE D．DF∥AC
【答案】B
【解析】A．添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意．
B．添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故B选项符合题意；
C．添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项不符合题意；
D．添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意；
故选B．
【考点】全等三角形的判定
7．（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD，∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选B．

【考点】全等三角形的判定与性质
8．（2019•临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】B
【解析】∵CF∥AB，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，
在△ADE和△FCE中∠A=∠FCE∠ADE=∠FDE=FE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD=CF=3，
∵AB=4，∴DB=AB﹣AD=4﹣3=1．故选B．
【考点】全等三角形的判定与性质
9．（2019•铁岭）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．80°
【答案】B
【解析】连接AC并延长交EF于点M．

∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，
∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，
∵∠FCE=180°﹣∠E﹣∠F=180°﹣80°﹣50°=50°，
∴∠BAD=∠FCE=50°，故选B．
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理
10．（2019•青海）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放：两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】A
【解析】如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，
∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，
而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．

【考点】平行线的性质；等腰直角三角形
11．（2019•恩施州）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，已知∠ADE=65°，则∠CFE的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解析】∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC=65°，
故选B．
【考点】三角形中位线定理．
12．（2019•铜仁市）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（　　）

A．12 B．14 C．24 D．21
【答案】A
【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=12BC，EF=GH=12AD，
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，
又∵AD=7，∴四边形EFGH的周长=7+5=12．故选A．
【考点】三角形中位线定理
13．（2019•铁岭）如图，∠MAN=60°，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于点D．再分别以点D，E为圆心、大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点G，连接BG，过点G作GC⊥AN，垂足为点C．若AG=6，则BG的长可能为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．23
【答案】D
【解析】由作法得AG平分∠MON，∴∠NAG=∠MAG=30°，
∵GC⊥AN，∴∠ACG=90°，∴GC=12AG=12×6=3，
∵AG平分∠MAN，∴G点到AM的距离为3，∴BG≥3．故选D．
【考点】垂线段最短；角平分线的性质；作图—基本作图
14．（2019•丹东）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，FG是（　　）

A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧 B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧 D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧
【答案】C
【解析】由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【考点】平行线的判定；作图—复杂作图
15．（2019•鄂尔多斯）如图，在▱ABCD中，∠BDC=47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算α的度数是（　　）

A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC=47°42′，
由作法得EF垂直平分BD，BE平分∠ABD，
∴EF⊥BD，∠ABE=∠DBE=12∠ABD=23°51′，
∵∠BEF+∠EBD=90°，∴∠BEF=90°﹣23°51°=66°9′，
∴α的度数是66°9′．故选D．

【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图
16．（2019•贵阳）如图，在△ABC中，AB=AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE=2，BE=1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C．3 D．5
【答案】D
【解析】由作法得CE⊥AB，则∠AEC=90°，AC=AB=BE+AE=2+1=3，
在Rt△ACE中，CE=32-22=5．故选D．
【考点】等腰三角形的性质；作图—基本作图
17．（2019•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A=30°，则S△BCDS△ABD=___________．

【答案】12
【解析】由作法得BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠CBD=30°，∴DA=DB，
在Rt△BCD中，BD=2CD，∴AD=2CD，∴S△BCDS△ABD=12．故答案为12．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形；作图—基本作图
18．（2019•本溪）如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使BE=BF；分别以E，F为圆心，以大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ABD内交于点G，作射线BG交AD于点P，若AP=3，则点P到BD的距离为__________．

【答案】3
【解析】结合作图的过程知：BP平分∠ABD，
∵∠A=90°，AP=3，∴点P到BD的距离等于AP的长，为3，故答案为：3．
【考点】角平分线的性质；矩形的性质；作图—复杂作图
19．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠C1=90°，AC=A1C1=3，BC=4，B1C1=2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是__________．
【答案】53
【解析】如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C=∠C1=90°，AC=A1C1=3，BC=4，B1C1=2，
∴AB=32+42=5，
设AD=x，则BD=5﹣x，
∵△ACD≌△C1A1D1，
∴C1D1=AD=x，∠A1C1D1=∠A，∠A1D1C1=∠CDA，∴∠C1D1B1=∠BDC，
∵∠B=90°﹣∠A，∠B1C1D1=90°﹣∠A1C1D1，
∴∠B1C1D1=∠B，∴△C1B1D1∽△BCD，
∴BDC1D1=BCC1B1，即5-xx=2，解得x=53，
∴AD的长为53，故答案为53．

【考点】全等三角形的性质
20．（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8，CE=6，则BC的长为__________．

【答案】27
【解析】如图，连接AC交BD于点O，

∵AB=AD，BC=DC，∠A=60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形
∴∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，
∵CE∥AB，∴∠BAO=∠ACE=30°，∠CED=∠BAD=60°，
∴∠DAO=∠ACE=30°，∴AE=CE=6，∴DE=AD﹣AE=2，
∵∠CED=∠ADB=60°，∴△EDF是等边三角形，∴DE=EF=DF=2，
∴CF=CE﹣EF=4，OF=OD﹣DF=2，
∴OC=CF2-OF2=23，∴BC=BO2+OC2=27 ．
【考点】等边三角形的判定与性质
21．（2019•陕西）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）

【解析】如图所示：⊙O即为所求．

【考点】等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心；作图—复杂作图
18．（2019•无锡）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，AC （1）请用直尺（不含刻度）与圆规在BC上作一点D，使得直线OD平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB=10，OD=25，求△ABC的面积．

【解析】（1）如图所示，直线OD即为所求；


（2）如图，∵OD为△ABE的中位线，∴AE=2OD=45，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵CE=CA，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=22AE=210，
由勾股定理可得BC=215，
则△ABC的面积为12AC•BC=12×210×215=106．
【考点】圆周角定理；作图—复杂作图
19．（2019•赤峰）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求△DCE的周长．

【解析】（1）如图，CE为所作；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA=EC，
∴△DCE的周长=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8．
【考点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；作图—基本作图
20．（2019•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

【解析】如图，

△DEF即为所求．
【考点】全等三角形的判定；作图—复杂作图
21．（2019•济宁）如图，点M和点N在∠AOB内部．
（1）请你作出点P，使点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．

【解析】（1）如图，点P到点M和点N的距离相等，且到∠AOB两边的距离也相等；
（2）理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图
23．（2019•重庆）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；
（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．

【解析】（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
又∠C=42°，∴∠BAD=∠CAD=90°﹣42°=48°；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴∠BAD=∠CAD，
∵EF∥AC，∴∠F=∠CAD，∴∠BAD=∠F，∴AE=FE．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
24．（2019•阿坝州）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，BD=BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD．
（1）求证：AB=BF；
（2）求∠AEB的度数；
（3）当∠A=60°时，求BEBF的值．

【解析】（1）∵∠ABC=∠AED=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，∠A+∠ADE=90°，
∴∠ACB=∠ADE，且BC=BD，∠ABC=∠DBF=90°，
∴△ABC≌△FBD（AAS），∴AB=BF；
（2）如图，过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H，

∵△ABC≌△FBD，∴AC=DF，S△ABC=S△FBD，
∴12AC×BG=12×DF×BH，∴BG=BH，且BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB=∠DEB=45°，
（3）如图，过点B作BN⊥AC于N，

∵∠BEA=45°，∴∠EBN=∠BEN=45°，∴BN=EN，∴BE=2BN，
∵∠A=60°，∴sin∠A=BNAB=32，∴AB=233BN，∴BF=233BN，∴BEBF=62．
【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形
25．（2019•兴安盟）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由．

【解析】（1）如图，点G即为所求；
（2）CO=2OE．
理由：连接DE．如图，
∵BD、CE分别是AC、AB上的中线，∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=12BC，∴OEOC=DEBC=12，∴CO=2OE．

【考点】三角形的重心；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图
26．（2019•恩施州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．试判断四边形AECF的形状，并证明．

【解析】四边形AECF为菱形．
证明如下：∵AD∥BC，∴∠1=∠2．
∵O是AC中点，∴AO=CO．
在△AOE和△COF中∠1=∠2∠AOE=∠COFAO=CO
∴△AOE≌△COF（AAS）．∴AE=CF．
又AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，
∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF为菱形．

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
27．（2019•阜新）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°．
（1）如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE．
①求证：CD=CE，CD⊥CE；
②求证：AD+BD=2CD；
（2）若△ABC与△ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系．

【解析】（1）①在四边形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°，
∵∠ADB+∠ACB=180°，∴∠DAC+∠DBC=180°，
∵∠EAC+∠DAC=180°，∴∠DBC=∠EAC，
∵BD=AE，BC=AC，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠BCD+∠DCA=90°，∴∠ACE+∠DCA=90°，∴∠DCE=90°，∴CD⊥CE；
②∵CD=CE，CD⊥CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∴DE=2CD，
∵DE=AD+AE，AE=BD，∴DE=AD+BD，∴AD+BD=2CD；
（2）AD﹣BD=2CD；
理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠ADB=90°，∴∠CBD=90°﹣∠BAD﹣∠ABC=90°﹣∠BAD﹣45°=45°﹣∠BAD，
∵∠CAE=∠BAC﹣∠BAD=45°﹣∠BAD，∴∠CBD=∠CAE，
∵BD=AE，BC=AC，∴△CBD≌△CAE（SAS），
∴CD=CE，∠BCD=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°，∴∠BCD+∠BCE=90°，即∠DCE=90°，
∴DE=CD2+CE2=2CD2=2CD，∵DE=AD﹣AE=AD﹣BD，
∴AD﹣BD=2CD．

【考点】三角形综合题．

1．（2020•保定一模）如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，
已知钝角△ABC，尺规作图及步骤如下：
步骤一：以点C为圆心，CA为半径画弧；
步骤二：以点B为圆心，BA为半径画弧，两弧交于点D；
步骤三：连接AD，交BC延长线于点H．
下面是四位同学对其做出的判断：
小明说：BH⊥AD；
小华说：∠BAC=∠HAC；
小强说：BC=HC；
小方说：AH=DH．
则下列说法正确的是（　　）

A．只有小明说得对 B．小华和小强说的都对
C．小强和小方说的都不对 D．小明和小方说的都对
2．（2020•河南模拟）如图，在▱ABCD中，CD=8，BC=10，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在▱ABCD的内部交于点P；③连接CP并延长交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AF的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2020•河南模拟）如图，已知∠MON=60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，且AB=6，则直线AB与ON之间的距离是（　　）

A．33 B．23 C．3 D．6
4．（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，弧线两两交于M、N两点，作直线MN，与边AC、BC分别交于D、E两点，连接BD、AE，若∠BAC=90°，在下列说法中：
①E为△ABC外心；
②图中有2个等腰三角形；
③当∠ABC=60°时，△ABE是等边三角形；
④当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020•河南一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，AC=5，∠CAB=90°，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于12AF的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，若点B，E在直线PQ上，且AE：EC=2：3，则BC的长为（　　）

A．26 B．35 C．8 D．13
6．（2020•遵化市一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以点G、H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则△ADF的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．（2020•长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=14，则△ABD的面积是（　　）

A．14 B．28 C．42 D．56
8．（2020•深圳模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点D，连接CD．若AE=3，BC=8，则CD的长为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2020•郑州模拟）如图，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于点Q，当CQ=13CE时，EP+BP的值为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．18
10．（2020•北京模拟）如图所示，△ABC中AB边上的高线是（　　）

A．线段DA B．线段CA C．线段CD D．线段BD
11．（2020•武汉模拟）如图，在△ABC中，AB=9，AC=7，BE、CD为中线，且BE⊥CD，则BC=___________．

12．（2020•哈尔滨模拟）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为AB边上一点，若△ACD是等腰三角形，则∠BCD的度数为___________．
13．（2020•佛山模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接DG、BF．
（1）求证：DG平分∠ADF；
（2）若AB=12，求△EDG的面积．

14．（2020•九江一模）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，如图①，若∠C=90°，则有a2+b2=c2．若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2>c2．理由如下：如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2，∴a2+b2=c2+2ax．∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2>c2．小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（温馨提示：在图③中，作BC边上的高）
（2）证明你猜想的结论是否正确．
15．（2020•哈尔滨一模）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB为直角边的Rt△ABC，点C在小正方形的顶点上，且Rt△ABC的面积为5；
（2）在（1）的条件下，画出△BCD，点D在小正方形的顶点上，且tan∠CDB=32，连接AD，请直接写出线段AD的长．

16．（2020•兰州模拟）已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC=90°，∠BAC=∠α．

17．（2020•北京模拟）已知，如图，点A是直线l上的一点．求作：正方形ABCD，使得点B在直线l上．（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，∠BAD=90°的依据是什么？

18．（2020•江西一模）在▱ABCD中，AD=2AB，∠B=60°，E、F分别为边AD、BC的中点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图中画一个以点A、点C为顶点的菱形．
（2）在图中画一个以点B、点C为顶点的矩形．

19．（2020•九江一模）在图①②中，点E在矩形ABCD的边BC上，且BE=AB，现要求仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．[保留画（作）图痕迹，不写画（作）法]
（1）在图①中，画∠BAD的平分线；
（2）在图②中，画∠BCD的平分线．

20．（2020•江西模拟）如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=50°，∠A=100°，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图（1）中，以AD为腰画一个等腰三角形ADE；
（2）若AB=AD，在图（2）中画一个60°的角．

21．（2020•长春模拟）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B在格点上，点C是线段AB与格线的交点．利用网格和无刻度的直尺按下列要求画图．
（1）在图①中，过点B作AB的垂线．
（2）在图②中，过点C作AB的垂线．

22．（2020•长春模拟）图①、图②分别是10×6的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在小正方形的顶点上，请在图①、图②中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形的面积为10，且分别满足以下要求：
（1）在图①中画一个直角三角形ABC．
（2）在图②中画一个钝角等腰三角形ABC．
（3）在图②中画出△ABC的边AB上的中线CD（只用无刻度的直尺画图，保留必要的作图过程）．

23．（2020•陕西模拟）如图，在△ABC内部有一点D，利用尺规过点D作一条直线，使其平行于BC．（保留作图痕迹，不写作法）




1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于12GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK；
（2）以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E；
（3）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF．
根据以上操作过程及所作图形，有如下结论：
①CE=CD；
②BC=BE=BF；
③S四边形CDFB=12CF•BD；
④∠BCF=∠BCE．
所有正确结论的序号为（　　）

A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④
2．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△ABC的面积为4，则△BED的面积为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，若EF=6，BC=13，CD=5，则S△DBC=（　　）

A．60 B．30 C．48 D．65
4．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的三条高线交于一点
B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点
D．三角形的三条中线交于一点
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=8，BC=6，那么∠B的余切值为（　　）
A．34 B．43 C．35 D．45
6．如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣2，3），B（2，3），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2020次旋转结束时，点D的坐标为（　　）

A．（﹣2，7） B．（7，2） C．（2，﹣7） D．（﹣7，﹣2）
7．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠A=∠D，AC、DB交于点M．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）作CN∥BD，BN∥AC，CN交BN于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论．

8．如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形，AN与MB交于P．
（1）求证：AN=BM；
（2）连接CP，求证：CP平分∠APB．

9．在△ABC和△DBE中，CA=CB，EB=ED，点D在AC上．
（1）如图1，若∠ABC=∠DBE=60°，求证：∠ECB=∠A；
（2）如图2，设BC与DE交于点F．当∠ABC=∠DBE=45°时，求证：CE∥AB；
（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC=12时，求EFDF的值．

10．已知⊙O及⊙O外一点P．
（1）方法证明：如何用直尺和圆规过点P作⊙O的一条切线呢？小明设计了如图①所示的方法：
①连接OP，以OP为直径作⊙O′；
②⊙O′与⊙O相交于点A，作直线PA．
则直线PA即为所作的过点P的⊙O的一条切线．
请证明小明作图方法的正确性．
（2）方法迁移：如图②，已知线段l，过点P作一条直线与⊙O相交，且该直线被⊙O所截得的弦长等于l．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

11．如图，△ABC的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹﹒
（1）在图1中画出AC边上的点D，使得CD=2AD；
（2）在图2中画出△ABC的重心G﹒

12．如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：在⊙O上求作点D，使∠COD=∠COB（点D不与B重合），连接CD，AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的面积．

13．已知，如图∠AOB内部有一点P，求作：等腰△EOF，使得EF过点P，点E在射线OB上，点F在射线OA上，且OE=OF．

14．图1，图2均为4×4的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1．图1中的线段AB和图2中线段CD的端点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，按下列要求画图：
（1）在图1中，画出以AB为对角线的菱形AEBF（不是正方形），点E，F均在小正方形的顶点上；
（2）在图2中，画出以CD为对角线的正方形CGDH，点G，H均在小正方形的顶点上，请直接写出正方形CGDH的面积．





1．【答案】D
【解析】如图所示，连接CD，BD，
由题可得，CA=CD，BA=BD，
∴点B，C都在AD的垂直平分线上，
∴BC垂直平分AD，
∴BH⊥AD，AH=DH．
故小明和小方说的都对，而小华和小强的说法都错误，
故选D．

2．【答案】A
【解析】由题可得，CF是∠ACD的平分线，
∴∠BCF=∠DCF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=8，
∴∠F=∠DCF，
∴∠BCF=∠F，
∴BF=BC=10，
∴AF=BF﹣AB=10﹣8=2．
故选A．
3．【答案】A
【解析】如图所示，过B作BE⊥ON于E，
由题可得OP平分∠MON，∴∠DOA=∠BOA，
∵AB∥DO，∴∠DOA=∠BAO，
∴∠BOA=∠BAO，∴BO=BA=6，
∵∠NOM=60°，∠BEO=90°，∴∠OBE=30°，
∴OE=12OB=3，∴BE=OB2-OE2=62-32=33，
即直线AB与ON之间的距离为33，故选A．

4．【答案】C
【解析】由作法得MN垂直平分BC，∴BE=CE，
∵∠BAC=90°，∴AE=BE=CE，
∴E为△ABC外心，所以①正确；
∵MN垂直平分BC，∴DB=DC，
∴△ABE、△ACE和△BCD都是等腰三角形，所以②错误；
当∠ABC=60°时，而AE=BE，
∴△ABE是等边三角形；所以③正确；
当∠C=30°时，BD垂直且平分AE．∴∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠AEB=60°，
∵EA=EC，∴∠EAC=∠C=30°，
∵∠AED=90°﹣∠AEB=30°，∴DA=DE，
∴BD垂直且平分AE．所以④正确．
故选C．
5．【答案】B
【解析】根据作图过程可知：
PQ是AF的垂直平分线，∴AE=EF，AB=FB，
∵AE：EC=2：3，AC=5，∴AE=2，EC=3，∴FC=32-22=5．
∵AB2+AC2=BC2即BF2+25=（BF+5）2，解得BF=25
∴BC=BF+FC=35．则BC的长为35．故选B．
6．【答案】D
【解析】根据画图过程可知：
DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，∴∠EAM=∠CAM，
∵∠EAC=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，∴∠AFD=∠ADF，∴AF=AD，
∵AD是高，∴∠ADB=90°，
∴∠FAD=∠ADB=90°，∴△ADF的形状是等腰直角三角形．
故选D．
7．【答案】B
【解析】作DH⊥AB于H，如图，
由作法得AP平分∠BAC，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH=DC=4，
∴S△ABD=12×14×4=28．故选B．

8．【答案】B
【解析】由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，AE=CE，
∴AC=6，
在Rt△ACB中，AB=62+82=10，
∵DE∥BC，
∴点D为AB的中点，
∴AD=12AB=5．
故选B．
9．【答案】C
【解析】如图，延长BQ交射线EF于M，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠M=∠CBM，
∵BQ是∠CBP的平分线，
∴∠PBM=∠CBM，
∴∠M=∠PBM，
∴BP=PM，
∴EP+BP=EP+PM=EM，
∵CQ=13CE，
∴EQ=2CQ，
由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，
∴EMBC=EQCQ=2，
∴EM=2BC=2×6=12，
即EP+BP=12．
故选C．

10．【答案】C
【解析】如图，∵CD⊥BD于D，
∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．
故选C．

11．【答案】26
【解析】设BE、CD交于点O，
∵BE、CD为中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴BO=2EO，CO=2OD，（也可以连接DE，利用三角形的中位线定理证明）
设OE=x，OB=2x，OD=y，OC=2y．

∵AD=BD=92，AE=CE=72，
∵BE⊥CD，
∴∠BOD=∠COE=90°，
∴y2+(2x)2=(92)2x2+(2y)2=(72)2，
可得x2+y2=132，
∴BC=(2x)2+(2y)2=26．
故答案为26．
12．【答案】20°或50°
【解析】如图，

当AC=AD时，∠ACD=∠ADC=12（180°﹣40°）=70°，
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=20°．
当CD′=AD′时，∠D′CA=∠A=40°，
∴∠BCD′=90°﹣40°=50°，
故答案为20°或50°．
13．【解析】（1）∵正方形ABCD，
∴∠C=∠A=90°，DC=DA，
∵△DCE沿DE对折得到△DFE，
∴DF=DC，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，DF=DA，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
DG=DGDF=DA，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），
∴∠ADG=∠FDG，即DG平分∠ADF；
（2）∵正方形ABCD中，AB=12，点E是BC边的中点，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=x，则EG=6+x，BG=12﹣x，
在Rt△BEG中，根据勾股定理得，EG2=BE2+BG2，
即（6+x）2=62+（12﹣x）2，
解得x=4，
∴EG=6+4=10，
∴△EDG的面积=12EG×DF=12×10×12=60．

14．【解析】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2 的大小关系为：a2+b2 （2）如图③，过点A作AD上BC于点D，设CD=x，

在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，
在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2，
∴b2﹣x2=c2﹣（a+x）2，
∴a2+b2=c2﹣2ax，
∵a>0，x>0，
∴2ax>0，
∴a2+b2 即当△ABC为钝角三角形时，a2+b2 15．【解析】如图，

（1）Rt△ABC即为所求，
观察网格，根据勾股定理，得
AC=5，AB=22+42=25，BC=32+42=5，
∴5+20=25，
即AC2+AB2=BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，
所以Rt△ABC的面积为：12AC•AB=12×5×25=5；
（2）△BCD即为所求．
观察网格可知：
tan∠CDB=CEDE=32，
所以确定了点D的位置，
连接AD，
则线段AD的长为：42+42=42．
16．【解析】如图所示，Rt△ABC即为所求．

17．【解析】如图，正方形ABCD即为所求．

依据：直径所对的圆周角是直角．
18．【解析】（1）如左图中，菱形AFCE即为所求．
（2）如右图中，矩形BECG即为所求．

19．【解析】如图，

（1）AE即为所求；
∵AB=BE，∠B=90°，
∴∠BAE=45°，
∴AE平分∠BAD；
（2）CP即为所求．
连接AC、BD相交于点O，
连接EO并延长交AD于点P，
连接CP，
则CP即为∠BCD的平分线．
20．【解析】（1）如图，△ADE即为所求（DA=DE）．
（2）如图，∠BDT即为所求．

21．【解析】（1）如图①所示：BD即为所求；
（2）如图②所示：CE即为所求．

22．【解析】（1）如图①所示：△ABC即为所求；
（2）如图②所示：△ABC即为所求；
（3）如图②所示：CD即为所求．

23．【解析】如图，

MN即为过点D平行于BC的直线．


1．【答案】B
【解析】如图，连接CF，交BD于点H，

由作图过程可知：
CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，
设CE与AB交于点Q，
∴∠CQA=∠DFA=90°，
∴CQ∥DF，
∴∠CED=∠FDE，
∵BD是∠CBF的平分线，
∴∠CBD=∠FBD，
∵∠BCD=∠BFD=90°，
BD=BD，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴∠CDB=∠FDB，
∴∠CDB=∠CED，
∴CE=CD，
所以①正确；
∵△BCD≌△BFD（AAS），
∴BC=BF，
但是BC≠BE，
∴②不正确；
∵S四边形CDFB=S△BCD+S△BFD
=12BD•CH+12BD•FH
=12CF•BD．
∴③正确；
∵△BCE与△BCF不全等，
∴∠BCE≠∠BCF，
∴④不正确．
所以正确结论的序号为①③．
故选B．
2．【答案】A
【解析】∵△ABC是等腰三角形，
根据作图可知：
AD是顶角A的平分线，
∴点D是BC的中点，
∴S△ABD=12S△ABC=2
∵点E是AB的中点，
∴S△BED=12SABD=1．
故选A．
3．【答案】B
【解析】连接BD，
∵E、F分别是AB、AD中点，
∴BD=2EF=12，
CD2+BD2=25+144=169，BC2=169，
∴CD2+BD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=12BD•CD=12×12×5=30，
故选B．

4．【答案】A
【解析】A、三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，错误；
B、直角三角形有三条高，正确；
C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；
D、三角形的三条中线交于一点，正确；
故选A．
5．【答案】A
【解析】如图，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴cotB=BCAC=68=34，
故选A．
6．【答案】A
【解析】∵A（﹣2，3），B（2，3），
∴AB=2+2=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，
∴D（﹣2，7），
∵2020=4×505，
∴每4次一个循环，第2020次旋转结束时，正方形ABCD回到初始位置，
∴点D的坐标为（﹣2，7）．
故选A．
7．【解析】如图所示

（1）在△ABM和△DCM中，
∠A=∠D∠AMB=∠DMCAB=DC
∴△ABM≌△DCM（AAS），
∴BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB，
在△ABC和△DCB中，
∠ACB=∠DBC∠A=∠DAB=DC，
∴△ABC≌△DCB（AAS）
（2）四边形BNCM是菱形，其理由如下：
∵CN∥BD，
∴∠MBC=∠NCB，
又∵BN∥AC，
∴∠MCB=∠NBC，
在△MBC和△NCB中，
∠MBC=∠NCBBC=BC∠NBC=∠MCB，
∴△MBC≌△NCB（ASA）
∴BM=CN，MC=NB，
又∵BM=CM，
∴BM=MC=CN=NB，
∴四边形BNCM是菱形．
8．【解析】∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=120°，且AC=CM，CN=CB，
∴△ACN≌△MCB（SAS）
∴AN=BM；
（2）如图，过点C作CE⊥AN于点E，作CF⊥BM于点F，

∵△ACN≌△MCB，
∴S△ACN=S△MCB，
∴12×AN×CE=12×BM×CF，且AN=BM，
∴CE=CF，且CE⊥AN于，CF⊥BM，
∴CP平分∠APB．
9．【解析】∵CA=CB，EB=ED，∠ABC=∠DBE=60°，
∴△ABC和△DBE都是等边三角形，
∴AB=BC，DB=BE，∠A=60°．
∵∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A=∠ECB；
（2）∵∠ABC=∠DBE=45°，CA=CB，EB=ED，
∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴ABBC=2，DBBE=2，
∴ABBC=DBBE，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BAD=∠BCE=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴CE∥AB；
（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，

∵∠ACB=90°，∠BCE=45°，∴∠DCM=45°，
∴∠MDC=∠DCM=45°，∴DM=MC，
设DM=MC=a，∴DC=2a，
∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN=2DC=2a，
∵tan∠DEC=DMME=12，∴ME=2DM，∴CE=a，∴CEDN=a2a=12，
∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF=CEDN=12．
10．【解析】如图1中，连接OA．
∵OP是直径，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）作法：在大圆⊙O上取点E，截取EF=线段l，交大圆⊙O于点F，
作EF的垂直平分线OC，垂足为C，
以点O为圆心，OC为半径作小圆⊙O，
连接OP，以OP为直径作圆⊙A，
交小圆⊙O于点D，
连接OD，PD并延长到Q，与大圆⊙O交于点G、H，
因为OP是⊙A的直径，
所以∠PDO=90°．则OD⊥PD，垂足为D，
∵OD=OC，
∴GH=EF=线段l．

11．【解析】（1）如图点D即为所求．

（2）如图，点G即为所求．

12．【解析】（1）如图，点D即为所求；

（2）连接BD交OC于点E，设OE=x，
∵⊙O的直径AB=10，弦AC=8，
∴∠BDA=∠ACB=90，OB=OA=5，
∴BC=AB2-AC2=6，
∵BC=DC，
∴BC=DC，
∴OC⊥BD，BE=DE，
∵BE2=BC2﹣CE2=OB2﹣OE2，
∴62﹣（5﹣x）2=52﹣x2，
解得x=75，则5﹣x=185，
∴BE=245，CE=185，
∴BD=2BE=485，
∵BE=DE，OB=OA，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=145，
∴S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD
=12×BD•CE+12×BD•AD
=12BD（CE+AD）
=12×485×（185+145）
=76825．
答：四边形ABCD的面积为76825．
13．【解析】如图，

等腰三角形EOF即为所求．
①以点O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于点D、C，
②连接CD、OP交于点M，
③作∠EPO=∠CMO，
④延长EP交OA于点F，
所以等腰三角形EOF即为所求作的图形．
14．【解析】（1）如图1，菱形AEBF即为所求；
（2）如图2，四边形CGDH即为所求，
正方形CGDH的面积为5．






——图形的相似


1．了解：知道什么是比例式、第四比例项、比例中项；知道黄金分割的意义和生活中的应用；知道什么是相似三角形；了解相似多边形的性质；位似图形的概念
2．理解：比例的基本性质及定理；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．会：会直接运用定理进行计算和证明,知道位似是相似的特殊情况．
4．掌握：相似三角形； 平行线分线段成比例定理；相似三角形的判定和性质；相似多边形的性质
5．能：能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算．能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题；能利用位似放大和缩小一个图形

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题形式考查,属于中档题,难度一般.少数以解答题的形式考查,此类题型属于中高档题,难度比较大
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有：相似三角形的定义、性质与判定；平行线分线段成比例定理；相似多边形的性质
3．从考查热点来看,涉及本知识点的重点有：相似三角形的性质及判定；相似多边形的性质；位似的性质；平行线分线段成比例定理、相似三角形与生活实际问题的应用

1．比例的基本性质及定理
（1）；
（2）；
（3）
2．三角形相似的性质及判定
（1）相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；
②两角对应相等，两三角形相似；
③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似；
⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
（2）相似三角形性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．相似多边形与位似图形
（1）相似多边形的性质
①相似多边形对应角相等，对应边成比例．
②相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
（2）位似图形
①概念：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．
②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
4．平行线分线段成比例定理
由平行线分线段成比例定理可证明线段对应成比例,推论可以证明两线平线.
正确理解“对应”的含义，结合图形形象记忆，如：

， ，，.

1．（2019•阿坝州）如图，△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=4，则EC的长度为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC，
又∵AD=2，DB=1，AE=4，∴21=4EC，∴EC=2，故选B．
【考点】平行线分线段成比例
2．（2019•青海）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，则DF的长为（　　）

A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2
【答案】B
【解析】∵AD∥BE∥CF，∴ABBC=DEEF，即13=1.2EF，∴EF=3.6，
∴DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8，故选B．
【考点】平行线分线段成比例
3．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC=（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，
∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．
又AD：DC=1：2，∴AD=DG=GC，
∴AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，∴S△AOB：S△BOE=2
设S△BOE=S，S△AOB=2S，又BO=OD，∴S△AOD=2S，S△ABD=4S，
∵AD：DC=1：2，∴S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，∴S△AEC=9S，S△ABE=3S，
∴BEEC=S△ABES△AEC=3S9S=13，故选B．

【考点】平行线分线段成比例
4．（2019•雅安）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定
【答案】B
【解析】因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选B．
5．（2019•新疆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S△ABM=4S△FDM；②PN=26515；③tan∠EAF=34；④△PMN∽△DPE，正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠ABC=∠C=∠ADF=90°，CE=BE=1，
∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADN=∠ADN+∠CDE=90°，
∴∠DAN=∠EDC，
在△ADF与△DCE中，∠ADF=∠C，AD=CD∠DAF=∠CDE，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴DF=CE=1，
∵AB∥DF，
∴△ABM∽△FDM，
∴S△ABMS△FDM=（ABDF）2=4，
∴S△ABM=4S△FDM；故①正确；
由勾股定理可知：AF=DE=AE=12+22=5，
∵12×AD×DF=12×AF×DN，
∴DN=255，
∴EN=355，AN=AD2-DN2=455，
∴tan∠EAF=ENAN=34，故③正确，
作PH⊥AN于H．
∵BE∥AD，
∴PAPE=ADBE=2，
∴PA=253，
∵PH∥EN，
∴AHAN=PAAE=23，
∴AH=23×455=8515，HN=4515，
∴PN=PH2+NH2=26515，故②正确，
∵PN≠DN，
∴∠DPN≠∠PDE，
∴△PMN与△DPE不相似，故④错误．
故选A．

【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
6．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，即24=AE6，解得，AE=3，故选C．
【考点】相似三角形的判定与性质
7．（2019•海南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）

A．813 B．1513 C．2513 D．3213
【答案】B
【解析】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，∴AC=AB2-BC2=3，
∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ，又∠ABD=∠QBD，
∴∠QBD=∠BDQ，∴QB=QD，∴QP=2QB，
∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，
∴CPCA=CQCB=PQAB，即CP3=4-QB4=2QB5，
解得，CP=2413，∴AP=CA﹣CP=1513，故选B．
【考点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
8．（2019•东营）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的14；④DF2+BE2=OG•OC．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
【答案】B
【解析】①∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°，
∵∠MON=90°，∴∠COM=∠DOF，∴△COE≌△DOF（ASA），
故①正确；
②∵∠EOF=∠ECF=90°，∴点O、E、C、F四点共圆，
∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，∴OGE∽△FGC，
故②正确；
③∵△COE≌△DOF，∴S△COE=S△DOF，∴S四边形CEOF=S△OCD=14S正方形ABCD，
故③正确；
④∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，
又∵∠EOF=90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG=∠OCE=45°，
∵∠EOG=∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，∴OG•OC=OE2，
∵OC=12AC，OE=22EF，∴OG•AC=EF2，
∵CE=DF，BC=CD，∴BE=CF，
又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，∴OG•AC=BE2+DF2，
故④错误，
故选B．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
9．（2019•鸡西）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE=1：3；③DE=2BC；④S四边形OCEF=S△AOD，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BF=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠BAF=∠CEF，
∵∠AFB=∠CFE，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；
②∵CF∥AD，
∴△OCF∽△OAD，
∴OC：OA=CF：AD=CF：BC=1：2，
∴OC：AC=1：3，∵AC=BE，
∴OC：BE=1：3，故此小题结论正确；
③∵AB=CD=EC，
∴DE=2AB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴AB=22BC，
∴DE=2×22BC=2BC，故此小题结论正确；
④∵△OCF∽△OAD，
∴S△OCFS△OAD=(12)2=14，
∴S△OCF=14S△OAD，
∵OC：AC=1：3，
∴3S△OCF=S△ACF，∵S△ACF=S△CEF，
∴S△CEF=3S△OCF=34S△OAD，
∴S四边形OCEF=S△OCF+S△CEF=(14+34)S△OAD=S△OAD，故此小题结论正确．
故选D．
【考点】等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
10．（2019•贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（　　）

A．23 B．32 C．26 D．5
【答案】C
【解析】设AD=2x，BD=x，
∴AB=3x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=AEAC，
∴DE6=2x3x，
∴DE=4，AEAC=23，
∵∠ACD=∠B，
∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴ADAC=AEAD=DECD，
设AE=2y，AC=3y，
∴AD3y=2yAD，
∴AD=6y，
∴2y6y=4CD，
∴CD=26，
故选C．
【考点】相似三角形的判定与性质
11．（2019•玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（　　）

A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【解析】图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽CFG，△ADC∽△CBA，△CFG∽△CBA
故选C．
【考点】相似三角形的判定
12．（2019•邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C．AO：AA′=1：2
D．AB∥A′B′
【答案】C
【解析】∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′=1：2，故选项C错误，符合题意．
故选C．
【考点】位似变换
13．（2019•眉山）如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：
①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC；④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为23-2．
则其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ACD，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ABE=∠ACF，
在△BAE和△CAF中，
∠BAE=∠CAFAB=AC∠ABE=∠ACF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴AE=AF，BE=CF．故①正确；
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠EAB=60°，
∴∠EAB=∠CEF，故②正确；
∵∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠ECF=60°，
∵∠AEB<60°，
∴△ABE和△EFC不会相似，故③不正确；
过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，
∴BG=2，AG=23，
在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=23，
∴EB=EG﹣BG=23-2，
∵△AEB≌△AFC，
∴∠ABE=∠ACF=120°，EB=CF=23-2，
∴∠FCE=60°，
在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=23-2，
∴CH=3-1．
∴FH=3（3-1）=3-3．
∴点F到BC的距离为3-3，故④不正确．
综上，正确结论的个数是2个，
故选B．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质

1．（2020•恩施州模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AE：EC=5：3，BF=10，则CF的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．6
2．（2020•秦皇岛一模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．下列结论：①EGGC=AGGD②EFFC=BFFD；③FCGF=BFFD；④CF2=GF•EF，其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2020•山西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（　　）

A．2411s B．95s C．2411s或95s D．以上均不对
4．（2020•哈尔滨模拟）如图，四边形ABCD中，点E在AB上，过点E作EF∥BC，交对角线AC于点F，过点F作FG∥CD，交AD于点G，则下列结论错误的是（　　）

A．AEAB=AFAC B．AGGD=AFFC C．EFBC=FGCD D．ABAD=EFFG
5．（2020•张家港市模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE：AB=2：5，则DF：BF等于（　　）

A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2
6．（2020•无锡模拟）如图，在△ABC中，点E、F在边BC上，点E、B不重合．BE=CF，点D在边AC上，连接ED、DF，∠A=∠EDF=120°，若ABAC=DFDE=m，BEEF=37，则m的值为（　　）

A．3710 B．12 C．22 D．55
7．（2020•江西一模）如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE．
求证：△ABE∽△DEF．

8．（2020•江西模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点E，点D是弧BC的中点，连结AD交BC于点F．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AC=2，CF=1，求AB的长．

9．（2020•淮安模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=8cm，DB=10cm，求AC的长．

10．（2020•东莞市一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若ADAC=37，求AFFG的值．



1．如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE∥BC，DF∥AC，若AE：EC=1：2，BF=6，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=4.8，则DE=（　　）

A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4
3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC=∠AEB；②CF⊥DE；③AF=BF；④CHHF=23，其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP=∠BPE；④S△AGM：S△DEC=1：4．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心是点O，若OE=AE，则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18
6．如图，在▱ABCD中，点E在AD边上，BE交对角线AC于点F，则下列各式错误的是（　　）

A．BFEF=BCAE B．AFBF=EFCF C．BFBE=CFAC D．AEAD=AFCF
7．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC=6，AH=4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S△ADE=S四边形DECB，则△ABC与△ADE相似比的值为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．22
9．已知△ABC是正三角形，点D是边AC上一动点（不与A、C重合），以BD为边作正△BDE，边DE与边AB交于点F，则图中一定相似的三角形有（　　）对．

A．6 B．5 C．4 D．3
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中错误的是（　　）

A．FB垂直平分OC B．DE=EF
C．S△AOE：S△BCM=3：2 D．△EOB∽△CMB
11．《海岛算经》（由魏晋时期的数学家刘徽所著）的第一题就是求海岛的高度，原文是“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末合；从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”翻译成现代语的意思就是：如图，假设我们要测量一个海岛上山峰AB的高度，在D处和F处树立两根高3丈的标杆CD和EF进行测量，D、F相距1000步（丈、步、尺都是我国古代就有的长度单位，1丈=10尺，1步=6尺），AB、CD、EF在同一平面内．从标杆CD往后退123步到G处，可以观测到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF往后退127步到H处，可以观测到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB和它与标杆CD、EF的水平距离各是多少步？根据我们所学的知识，我们可以求出BD=____________步，AB=____________步．

12．如图，在正方形ABCD中，点E是CB上一点．
（1）请用尺规作图法，在线段AE上确定点H，使△AHD∽△EBA（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）利用你的作图法，证明△AHD∽△EBA．

13．已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE，DE=kAC．（其中0 （1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABC=30°，k=33，当A、E、D共线时，直接写线CEBE的值．

14．已知，如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）当∠ACD=∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；
（2）当∠BCD=∠A时，求证：CDCA=CFAD．

15．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1=∠2，求证：△ADP∽△BCP．

16．如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC、BD交于点O，E是BC延长线上一点，且AC=EC，连接AE交BD于点P．
（1）求∠DAE的度数；
（2）求BP的长．






1．【答案】D
【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，
∵∠ADE=∠EFC，∴∠B=∠EFC，∴EF∥AB，∴CFCB=CECA，
∵AE：EC=5：3，BF=10，∴CFCF+10=33+5，解得：CF=6，故选D．
2．【答案】D
【解析】①∵AE∥CD，∴△AEG∽△DCG，∴EGCG=AGDG，结论①正确；
②∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴EFCF=BFDF，结论②正确；
③∵BC∥DG，∴△BCF∽△DGF，∴FCGF=BFDF，结论③正确；
④∵EFCF=BFDF，FCGF=BFDF，∴EFCF=FCGF，∴CF2=GF•EF，结论④正确．
∴正确的结论有4个．故选D．

3．【答案】C
【解析】设运动时间为t秒．
BP=t，CQ=2t，BQ=BC﹣CQ=6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ，BPAB=BQBC，
即t8=6-2t6，
解得t=2411；
当△BCA∽△BPQ，BPBC=BQAB，
即t6=6-2t8，
解得t=95，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为2411s或95s，
故选C．
4．【答案】D
【解析】A、∵EF∥BC，
∴AEAB=AFAC，正确，故本选项不符合题意；
B、∵FG∥DC，
∴AGGD=AFFC，正确，故本选项不符合题意；
C、∵EF∥BC，GF∥DC，
∴△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD，
∴EFBC=AFAC，AFAC=GFCD，
∴EFBC=GFCD，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF∥BC，GF∥DC，
∴△AEF∽△ABC，△AFG∽△ACD，
∴EFBC=AFAC=AEAB，AFAC=GFCD=AGAD，
根据以上等式不能推出ABAD=EFFG，错误，故本选项符合题意；
故选D．
5．【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，
∴△DEF∽△BAF，∴DFBF=AEBA=25．故选A．
6．【答案】B
【解析】如图2，过E作EH∥AB，交AC于H，过D作DM⊥EH于M，过F作FG∥ED，交AC于G，

∵BE=CF，BEEF=37，∴CFEF=37，
∵FG∥ED，∴CFEF=CGDG，∴设CG=3a，DG=7a，
∵ABAC=DFDE=m，∠A=∠EDF=120°，
∴△ABC∽△DFE，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC=10a，
∵FG∥DE，∴∠GFC=∠DEF=∠C，∴FG=CG=3a，
同理由（1）得：△EHD∽△DFG，
∴DEDG=DHFG，即10a7a=DH3a，DH=30a7，
Rt△DHM中，∠DHM=60°，
∴∠HDM=30°，∴HM=12DH=15a7，DM=1537a，
∴EM=DE2-DM2=100a2-67549a2=657a，
∴EH=657a-157a=507a，
∴m=ABAC=EHCH=507a307a+10a=12．故选B．
7．【解析】设AB=4，
在正方形ABCD中，AB=AD=CD=4，∠A=∠D=90°，
∴DF=1，AE=ED=2，
∴AEAB=DFED=12，
∴△ABE∽△DEF．
8．【解析】如图，连接OD．

∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，
∵CD=DB，∴OD⊥BC，∴DE∥BC．
（2）连接BD．∵CD=DB，∴∠CAD=∠DAB=∠DBF，
∵AB是直径，∴∠ACF=∠ADB=90°，
∴△ACF∽△ADB∽△BDF，∴ACCF=ADDB=BDDF=2，
设DF=m，则BD=2m，AD=4m，
∵AF=AC2+CF2=22+12=5，
∵DF=AD﹣AF，∴m=4m-5，∴m=53，
∴BD=253，AD=453，
∴AB=AD2+BD2=(453)2+(253)2=103．
9．【解析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB，
∴AC2=AD•AB=8×18=144，
∴AC=12（负值舍去），
答：AC的长为12cm．
10．【解析】∵∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，∴∠ADF=∠C，
又∵ADAC=DFCG，∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，
∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．


1．【答案】C
【解析】∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE=CF，
∵DE∥BC，∴DEBC=AEAC，
∵AE：EC=1：2，∴AE：AC=1：3，∴DEDE+6=13，∴DE=3．故选C．

2．【答案】C
【解析】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC，即DE4.8=34，解得，DE=3.6，故选C．
3．【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB=AD=BC=CD=6，BE=CE=3，∠DCE=∠ABE=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠DEC=∠AEB，∠BAE=∠CDE，DE=AE，故①正确，
∵AB=BC，∠ABG=∠CBG，BG=BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE=∠BCF，
∴∠BCF=∠CDE，且∠CDE+∠CED=90°，∴∠BCF+∠CED=90°，
∴∠CHE=90°，∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE=∠BCF，DC=BC，∠DCE=∠CBF=90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），∴CE=BF，
∵CE=12BC=12AB，∴BF=12AB，∴AF=FB，故③正确，
∵DC=6，CE=3，∴DE=CD2+CE2=62+32=35，
∵S△DCE=12×CD×CE=12×DE×CH，∴CH=655，
∵∠CHE=∠CBF，∠BCF=∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，∴CHBC=CECF，∴CF=6×3655=35，
∴HF=CF﹣CH=955，∴CHHF=23，故④正确，
故选D．

4．【答案】C
【解析】∵正方形ABCD，E，F均为中点，
∴AD=BC=DC，EC=DF=12BC，
∵在△ADF和△DCE中，
AD=DC∠ADF=∠DCEDF=CE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE=90°，∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DGF，∴AF⊥DE，故①正确，
∵BG∥DE，GD∥BE，
∴四边形GBED为平行四边形，∴GD=BE，
∵BE=12BC，∴GD=12AD，即G是AD的中点，故②正确，
∵BG∥DE，∴∠GBP=∠BPE，故③正确．
∵BG∥DG，AF⊥DE，∴AF⊥BG，∴∠ANG=∠ADF=90°，
∵∠GAM=∠FAD，∴△AGM∽△AFD，
设AG=a，则AD=2a，AF=5a，∴S△AGMS△AFD=(AGAF)2=15．
∵△ADF≌△DCE，∴S△AGM：S△DEC=1：5．故④错误．
故选C．
5．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心是点O，OE=AE，
∴四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为：2：1，
∴S四边形EFGH：S四边形ABCD=1：4．故选B．
6．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，∴BFEF=BCAE，BFBE=CFAC，AEBC=AFCF，
∴AEAD=AFCF，故A，C，D选项正确，
故选B．
7．【答案】B
【解析】设HP=x，则DE=GF=x，
∵四边形DEFG是矩形，∴DG=EF，DE=GF=HP=x，DG∥EF，
∵AH⊥BC，∴AH⊥DG，
∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DGBC=APAH，∴DG6=4-x4，解得：DG=6-32x，
∴矩形DEFG的面积S=DG×DE=（6-32x）x=-32（x﹣2）2+6，
∵-32<0，∴S有最大值，当x=2时，S的最大值是6，
即当HP=2时，矩形DEFG的面积最大，故选B．
8．【答案】C
【解析】∵S△ADE=S四边形DECB，
∴S△ABC=2S△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=12=（DEBC）2，
即DEBC=12=12，
即△ABC与△ADE相似比的值是2，
故选C．
9．【答案】B
【解析】图中的相似三角形是△ABC∽△EDB，△BDC∽△BFE，△BFE∽△DFA，△BDC∽△DFA，△BDF∽△BAD．
理由：∵△ABC和△BDE是正三角形，
∴∠A=∠C=∠ABC=60°，∠E=∠BDE=∠EBD=60°，
∴△ABC∽△EDB，
可得∠EBF=∠DBC，∠E=∠C，
∴△BDC∽△BFE，
∴∠BDC=∠BFE=∠AFD，
∴△BDC∽△DFA，
∴△BFE∽△DFA，
∵∠DBF=∠ABD，∠BDF=∠BAD，
∴△BDF∽△BAD．
故选B．
10．【答案】C
【解析】∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，
∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，
∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故A正确；
易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，
∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，
∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，
∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故B正确；
易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，
∵S△COF=2S△CMF，∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=2FMBM，
∵∠FCO=30°，∴FM=CM3，BM=3CM，∴FMBM=13，
∴S△AOE：S△BCM=2：3，故C错误．
∵∠EBO=∠OAB，∠FCM=∠OAB，∠FCM=∠CBM，∴∠EBO=△CBM，
∵∠EOB=∠CMB=90°，∴△EOB∽△CMB（AA），故D正确．故选C．

11．【答案】30750，1255
【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴AB∥CD∥EF，
∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，
∴CDAB=DGDG+BD，EFAB=FHFH+DF+BD，
∵CD=EF=3丈=5步，DG=123步，FH=127步，
∴5AB=123123+BD，5AB=127127+1000+BD，
∴123123+BD=127127+1000+BD
∴BD=30750步，5AB=123123+30750
得AB=1255步，
答：山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离BD各是30750步，1255步，
故答案为：30750，1255．

12．【解析】（1）如图所示，点H即为所求；

（2）∵DH⊥AE，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAH=∠ADH+∠DAH=90°，
∴∠BAE=∠DAH，
又∵∠AHD=∠B=90°，
∴△AHD∽△EBA．
13．【解析】（1）如图1中，结论：ME=MC．

理由：延长EM交AC于H，
∵∠ACB=∠BED=90°，
∴∠ACB=∠DEC=90°，
∴DE∥AH，
∴∠MDE=∠MAH，
∵DM=AM，∠EMD=∠HMA，
∴△MDE≌△MAH（ASA），
∴EM=HM，
∵∠ECH=90°，
∴CM=EM=MH，即ME=MC．
（2）如图2中，结论：ME=MC．

理由：作AH∥DE交EM的延长线于H，连接EC，CH，延长BE交AH的延长线于J，设AC交BJ于O．
∵AH∥DE，∴∠MDE=∠MAH，
∵DM=AM，∠EMD=∠AMH，
∴△MDE≌△MAH（ASA），∴EM=HM，DE=AH，
∵AJ∥DE，∴∠AJB=∠DEJ=90°，∴∠AJB=∠ACB，
∵∠AOJ=∠BOC，∴∠EBC=∠CAJ，
∵∠DBE=∠ABC=30°，∠BDE=∠ACB=90°，
∴BE=3DE=3AH，BC=3AC，
∴BCAC=BEAH，∴△CBE∽△CAH，
∴∠BCE=∠ACH，∴∠ECH=∠BCA=90°，
∵EM=MH，∴CM=ME=MH，即ME=MC．
（3）如图3﹣1中，当点E在线段AD上时，设AE交BC于M′．

∵∠DBE=30°，∠BED=90°，∴DE=33BE，
∵DE=33AC，∴BE=AC，
∵∠AM′C=∠BM′E，∠ACM′=∠BEM′=90°，
∴△AM′C≌△BM′E（AAS），
∴M′A=M′B，CM′=EM′，∴∠M′BA=∠M′AB=∠M′CE=∠M′EC=30°，
∴∠EBC=30°，∴∠EBC=∠ECB，
∴EB=EC，∴CEBE=1．
如图3﹣2中，当点E在AD的延长线上时，

∵∠BEA=∠ACB=90°，∴E，B，C，A四点共圆，∴∠BEC=∠BAC=60°
∵BE=AC，∴BE=AC，
∴∠ECB=∠AEC，∴AE∥BC，∴∠EBC+∠BED=180°，
∵∠BED=90°，∴∠EBC=90°，∴∠ECB=30°，
∴EC=2BE，∴ECBE=2．
14．【解析】∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
又∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF为矩形．
∵∠ACD=∠BCD，
∴CD平分∠ACB，
∴DE=DF，
∴四边形DECF是正方形．
（2）∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∠BCD=∠A，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=180°﹣90°=90°．
∵∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90°，
∴△CDF∽△ACD，
∴CDCA=CFAD．

15．【解析】∵∠1=∠2，∠DPA=∠CPB，
∴△ADP∽△BCP．
16．【解析】（1）∵四边形ABCD的正方形，
∴∠ACB=45°，AD∥BC，
∵AC=EC，
∴∠E=∠EAC，
∵∠ACB=∠E+∠EAC=45°，
∴∠E=22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠E=22.5°；
（2）∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，
∴AB=1，∠DAB=90°，∠DBC=45°，
∵∠DAE=22.5°，
∴∠BAP=90°﹣22.5°=67.5°，∠APB=∠E+∠DBC=22.5°+45°=67.5°，
∴∠BAP=∠APB，
∴BP=AB=1．



——解直角三角形


1．了解：锐角三角函数；仰角、俯角、坡度、坡角、方向角的概念
2．理解：特殊角的三角函数值
3．会：知道什么是正弦、余弦、正切
4．掌握：解直角三角形的应用步骤
5．能：熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算．审题、画图、解直角三角形

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查,属于中低档题,较为简单,少数以解答题形式考查,属于中档题,难度一般
2．从考查内容来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有：锐角三角函数；解直角三角形的实际生活应用

1．锐角三角函数的定义
（1）在RtABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.
正弦：sinA=，余弦：cosA=，正切：tanA=.
（2）锐角三角函数的计算
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



2．解直角三角形
（1）解直角三角形的常用关系
在RtABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则
①三边关系：a2+b2=c2；
②两锐角关系：∠A+∠B=90°；
③边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
④sin2A＋cos2A=1.
3．解直角三角形的实际运用
（1）仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角
（2）坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h:l.
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα.坡度越大，α角越大，坡面越陡.
（3）方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.

方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．所构造的直角三角形与已知条件或图形关系要密切.一般在直角三角形中，根据所给的边和角度，选用适当的锐角三角函数，求出有关的边和角.在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角
形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.

1．（2019•西宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，BC=6，CD=5，则∠ACD的正切值是（　　）

A．43 B．35 C．53 D．34
【答案】D
【解析】∵CD是AB边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，BC=6，CD=5，∴AB=10，∴AC=8，
∴tan∠A=BCAC=68=34，∴tan∠ACD的值34．故选D．
【考点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形
2．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，BC=4，则AB长为（　　）
A．6 B．455 C．83 D．213
【答案】A
【解析】如图所示：∵sinA=23，BC=4，
∴sinA=BCAB=23=4AB，解得AB=6．故选A．

【考点】锐角三角函数的定义
3．（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）

A．14 B．24 C．22 D．13
【答案】C
【解析】∵AD∥BC，∠DAB=90°，
∴∠ABC=180°﹣∠DAB=90°，∠BAC+∠EAD=90°，
∵AC⊥BD，∴∠AED=90°，∴∠ADB+∠EAD=90°，∴∠BAC=∠ADB，
∴△ABC∽△DAB，∴ABDA=BCAB，
∵BC=12AD，∴AD=2BC，∴AB2=BC×AD=BC×2BC=2BC2，∴AB=2BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=BC2BC=22；故选C．
【考点】平行线的性质；解直角三角形
4．（2019•长春）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　）

A．3sinα米 B．3cosα米 C．3sinα米 D．3cosα米
【答案】A
【解析】由题意可得：sinα=BCAB=BC3，故BC=3sinα（m）．故选A．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
5．（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=57，则BC的长是（　　）

A．10 B．8 C．43 D．26
【答案】D
【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=57，设CD=5x，BD=7x，∴BC=26x，
∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，
∵AC=12，∴x=1，∴BC=26；故选D．
【考点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形
6．（2019•宜昌）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（　　）

A．43 B．34 C．35 D．45
【答案】D
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=32+42=5．∴sin∠BAC=CDAC=45．故选D．

【考点】解直角三角形
7．（2019•广西）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（　　）

A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
【答案】C
【解析】过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF=x，∵tan65°=OFDF，∴OF=xtan65°，∴BF=3+x，
∵tan35°=OFBF，∴OF=（3+x）tan35°，∴2.1x=0.7（3+x），∴x=1.5，
∴OF=1.5×2.1=3.15，∴OE=3.15+1.5=4.65，故选C．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
8．（2019•河北）如图，从点C观测点D的仰角是（　　）

A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC
【答案】B
【解析】∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
∴从点C观测点D的仰角是∠DCE，故选B．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
9．（2019•长沙）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是（　　）

A．25 B．45 C．53 D．10
【答案】B
【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，
∵tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，∴a2=20，
∴a=25或﹣25（舍弃），∴BE=2a=45，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=45（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD=AEAB=55，
∴DH=55BD，∴CD+55BD=CD+DH，∴CD+DH≥CM，
∴CD+55BD≥45，∴CD+55BD的最小值为45．
方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得55BD=DM，从而得到CD+55BD=CM=45．故选B．
【考点】等腰三角形的性质；解直角三角形
10．（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）

A．95sinα米 B．95cosα米 C．59sinα米 D．59cosα米
【答案】B
【解析】作AD⊥BC于点D，则BD=32+0.3=95，
∵cosα=BDAB，∴cosα=95AB，解得，AB=95cosα米，故选B．

【考点】轴对称图形；解直角三角形的应用
11．（2019•绵阳）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ﹣cosθ）2=（　　）

A．15 B．55 C．355 D．95
【答案】A
【解析】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，
∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，
∴55cosθ﹣55sinθ=5，∴cosθ﹣sinθ=55，∴（sinθ﹣cosθ）2=15．故选A．
【考点】数学常识；勾股定理的证明；解直角三角形的应用
12．（2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．303nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+303）nmile
【答案】D
【解析】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC，∴CD=AC•cos∠ACD=60×32=303．
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=303，∴AB=AD+BD=30+303．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．
故选D．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
13．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
【答案】D
【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，
∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．

【考点】矩形的性质；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

1．（2020•保定一模）如图，一根电线杆PO⊥地面MN，垂足为O，并用两根斜拉线PA，PB固定，使点P，O，A，B在同一平面内，现测得∠PAO=66°，∠PBO=54°，则PAPB=（　　）

A．tan66°tan54° B．cos54°cos66°
C．sin66°sin54° D．sin54°sin66°
2．（2020•秦皇岛一模）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，则cosB的值为（　　）
A．52 B．255 C．12 D．33
3．（2020•重庆模拟）如图，某建筑物CE上挂着“巴山渝水，魅力重庆”的宣传条幅CD，王同学利用测倾器在斜坡的底部A处测得条幅底部D的仰角为60°，沿斜坡AB走到B处测得条幅顶部C的仰角为50°，已知斜坡AB的坡度i=1：2.4，AB=13米，AE=12米（点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，测倾器的高度忽略不计），则条幅CD的长度约为（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，3≈1.73）（　　）

A．12.5米 B．12.8米 C．13.1米 D．13.4米
4．（2020•长春模拟）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（　　）

A．100+1003•sinα米 B．100+1003•tanα米
C．100+1003sinα米 D．100+1003tanα米
5．（2020•安徽模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，BC=6，则AB长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（2020•福清市模拟）如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（　　）

A．12 B．55 C．255 D．105
7．（2020•长春模拟）如图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=50米，∠PCA=44°，则小河宽PA为（　　）

A．50tan44°米 B．50sin44°米
C．50sin46°米 D．100tan44°米
8．（2020•石家庄模拟）如图，嘉淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东60°的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50°的方向行驶来到C地，且C地恰好位于A地正东方向上，则下列说法正确的是（　　）

A．B地在C地的北偏西40°方向上
B．A地在B地的南偏西30°方向上
C．cos∠BAC=32
D．∠ACB=50°
9．（2019•盘锦）如图，池塘边一棵垂直于水面BM的笔直大树AB在点C处折断，AC部分倒下，点A与水面上的点E重合，部分沉入水中后，点A与水中的点F重合，CF交水面于点D，DF=2m，∠CEB=30°，∠CDB=45°，求CB部分的高度．（精确到0.1m．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

10．（2019•营口）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3≈1.73）

11．（2019•抚顺）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD=3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE=BF=1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB=5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）
（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

12．（2019•铁岭）如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53≈1.3，3≈1.7）

13．（2020•淮北一模）如图，一艘船由A港沿北偏东70°方向航行以302海里/时的速度航行2小时达到小岛B处，稍作休整，然后再沿北偏西35°方向航行至C港，C港在A港北偏东25°方向，求A，C两港之间的距离．（精确到1海里）（参考数据：2～1.41，3=1.73）

14．（2020•安徽二模）刘徽是中国古代卓越的数学家，他在为《九章算术》作注时提出了“割圆术”，即用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，设⊙O的半径为10，若用⊙O的内接正八边形ABCDEFGH的面积S来估计⊙O的面积，求S的值．（结果精确到0.1．参考数据：sin22.5°≈0.38，cos22.5°≈0.92）

15．（2020•安徽一模）投石机是古代的大型攻城武器，是数学、工程、物理等复杂学科相互融合的应用（如图（1））．在我国《元史•亦思马因传》中对这种投石机就有过记载（如图（2））．

图（1）中人工投石机的侧面示意图，炮架的横向支架均与地面相互平行，已知AB=12米，炮轴距地面4.5米，OA：AB=3：4，炮梢顶端点A能到达水平地面，最高点能到达点A1处，且旋转的夹角∠AOA1=70.5°（点A，A1，B，B1在同一平面内），求点A1到水平地面的距离（参考数据：sin25.5°≈0.43，cos25.5°≈0.90，tan25.5°≈0.48，sin40.5°≈0.65，cos40.5°≈0.76，tan40.5°≈0.85）


1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（　　）

A．97 B．9130130 C．33 D．3
2．如图，△ABC中，AB=AC，BC=10，∠B=36°，D为BC的中点，则AD的长是（　　）

A．5sin36° B．5cos36° C．5tan36° D．10tan36°
3．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，AB=4，则cosB的值是（　　）

A．154 B．13 C．1515 D．14
4．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA=67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）

A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
5．如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为90米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是____________米．（结果保留根号）

6．如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD=24m，∠D=90°．一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，1秒后到达C点，测得∠ACD=50°．
（1）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）；
（2）若规定该路段的速度不得超过25m/s，判断此轿车是否超速．参考数据：tan31°≈0.6，tan50°≈1.2．

7．如图，要测量小山上电视塔BC的高度，在山脚下点A测得：塔顶B的仰角为∠BAD=60°，塔底C的仰角为∠CAD=45°，AC=200米，求电视塔BC的高．

8．近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图无人机从A处观测，测得某建筑物顶点O的俯角为22°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（精确到0.1米）参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25．





1．【答案】D
【解析】如图，在直角△PAO中，∠POA=90°，∠PAO=66°，则PA=POsin66°．
如图，在直角△PBO中，∠POB=90°，∠PBO=54°，则PB=POsin54°．
所以PAPB=POsin66°POsin54°=sin54°sin66°．
故选D．

2．【答案】B
【解析】由勾股定理得，AB=AC2+BC2=12+22=5，
则cosB=BCAB=25=255，
故选B．
3．【答案】B
【解析】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．

Rt△ABF中，i=tan∠BAF=12.4=BFAF，AB=13米，
∴BF=5（米），AF=12（米），
∴BG=AF+AE=24（米），
Rt△BGC中，∠CBG=50°，
∴CG=BG•tan50°≈24×1.19=28.56（米），
Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=12米，
∴DE=3AE=123m，
∴CD=CG+GE﹣DE=28.56+5﹣123≈12.8（米）
故选B．
4．【答案】B
【解析】过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得：∠APC=30°，PA=200m，∠CPB=α，
则AC=12AP=100m，PC=PAcos30°=1003米，
故tanα=BCPC=BC1003，
则BC=1003•tanα米，
故AB=AC+BC=（100+1003•tanα）米．
故选B．

5．【答案】D
【解析】∵∠C=90°，sinA=BCAB=35，BC=6，
∴AB=53BC=53×6=10；
故选D．
6．【答案】A
【解析】如图所示，在Rt△ABD中，
tanB=ADBD=12．
故选A．

7．【答案】A
【解析】∵PA⊥PB，
∴∠APC=90°，
∵PC=50米，∠PCA=44°，
∴tan44°=PAPC，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=50•tan44°米．
故选A．
8．【答案】C
【解析】如图所示，
由题意可知，∠1=60°，∠4=50°，
∴∠5=∠4=50°，即B在C处的北偏西50°，故A错误；
∵∠2=60°，
∴∠3+∠7=180°﹣60°=120°，即A在B处的北偏西120°，故B错误；
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BAC=30°，
∴cos∠BAC=32，故C正确；
∵∠6=90°﹣∠5=40°，即公路AC和BC的夹角是40°，故D错误．
故选C．

9．【解析】设CB部分的高度为xm．
∵∠BDC=∠BCD=45°，
∴BC=BD=xm．
在Rt△BCD中，CD=BCsin45°=xsin45=2x（m）．
在Rt△BCE中，∵∠BEC=30°，
∴CE=2BC=2x（m）．
∵CE=CF=CD+DF，
∴2x=2x+2，
解得：x=2+2．
∴BC=2+2≈3.4（m）．
答：CB部分的高度约为3.4m．

10．【解析】高速公路AB不穿过风景区．
过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
根据题意，得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，
在Rt△CHB中，∵tan∠CBH=CHHB=1，
∴CH=BH．
设BH=tkm，则CH=tkm，
在Rt△CAH中，∵tan∠CAH=CHAH=33，
∴AH=3tkm．
∵AB=150km，
∴3t+t=150，
∴t=753-75≈75×1.73﹣75=54.75．
∵54.75>50，
∴高速公路AB不穿过风景区．

11．【解析】能，
理由如下：延长EF交CH于N，
则∠CNF=90°，
∵∠CFN=45°，
∴CN=NF，
设DN=xm，则NF=CN=（x+3）m，
∴EN=5+（x+3）=x+8，
在Rt△DEN中，tan∠DEN=DNEN，
则DN=EN•tan∠DEN，
∴x≈0.6（x+8），
解得，x=12，
则DH=DN+NH=12+1.2=13.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．

12．【解析】（1）作AM⊥CD于M，
则四边形ABCM为矩形，
∴CM=AB=16，AM=BC，
在Rt△ACM中，tan∠CAM=CMAM，
则AM=CMtan∠CAM=16tan30°=163（m），
答：AB与CD之间的距离163m；
（2）在Rt△AMD中，tan∠DAM=DMAM，
则DM=AM•tan∠DAM≈16×1.7×1.3=35.36，
∴DC=DM+CM=35.36+16≈51（m），
答：建筑物CD的高度约为51m．

13．【解析】作BD⊥AC于D，
由题意得，∠CAB=70°﹣25°=45°，∠CBA=180°﹣70°﹣35°=75°，AB=302×2=602，
∴∠CBD=75°﹣45°=30°，
在Rt△ADB中，∠CAB=45°，
∴AD=BD=22AB=60，
在Rt△CBD中，CD=BD×tan∠CBD=60×33=203，
∴AC=AD+DC=60+203≈95，
答：A，C两港之间的距离约为95海里．

14．【解析】如图，连接OA，OB，则OA=OB=10，∠AOB=45°．

过点O作OI⊥AB于点I，则∠AOI=22.5°，
∴OI=OA•sin∠AOI≈10×0.38=3.8，OI=OA•cos∠AOI≈10×0.92=9.2，
∴S=8S△AOB=8×12×3.8×2×9.2=279.68≈279.7．
15．【解析】如图，作OH⊥水平地面于H，A1N⊥AH于N，OM⊥A1N于M．

由题意：OA=OA1=34AB=9，
在Rt△AOH中，sin∠OAH=OHOA=4.59=12，
∴∠OAH=30°，
∵∠OMN=∠MNH=∠NHO=90°，
∴四边形MNHO是矩形，
∴MN=OH=4.5，OM∥NH，
∴∠MON=∠OAH=30°，
∴∠A1OM=70.5°﹣30°=40.5°，
在Rt△A1OM中，A1M=OA1•sin40.5≈5=9×0.65=5.85m，
∴A1M=A1M+MN=5.85+4.5=10.35≈10.4m，
答：点A1到水平地面的距离为10.4m．


1．【答案】B
【解析】过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC=12BC•AD=12AC•BH，
∴BH=3×322+32=91313，
∴sin∠BAC=BHAB=9131312+32=9130130，
故选B．

2．【答案】C
【解析】∵AB=AC，D为BC的中点，
∴BD=12BC=5，AD⊥BC．
在Rt△ABD中，
∵tanB=ADBD，
∴AD=tanB×BD=5tan36°．
故选C．

3．【答案】D
【解析】∵∠C=90°，AC=15，AB=4，∴BC=AB2-AC2=16-15=1，
∴cosB=CBAB=14，故选D．
4．【答案】D
【解析】∵BC⊥AB，∠BCA=67°，∴∠BAC=90°﹣∠BCA=23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；故选D．
5．【答案】（303+90）
【解析】根据题意可知：∠CAD=60°，∠CBD=45°，CD=90，
∴在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=303，
在Rt△BCD中，BD=CD=90，∴AB=AD+BD=303+90．
所以A、B两点间的距离是（303+90）米．故答案为：（303+90）．
6．【解析】（1）∵Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，∴CD=ADtan50°≈241.2=20．
∵在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD，∴BD=ADtan31°≈240.6=40．∴BC=BD﹣CD=20．

（2）此轿车的速度v=BCt=201=20(ms)<25(ms)，
∴此轿车在该路段没有超速．
7．【解析】在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，AC=200
CD=AD=AC•cos∠CAD≈200×22=1002
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠BAD=60°，AD=1002
BD=AD•tan∠BAD=1002tan60°=1006
∴BC=BD﹣CD=1006-1002（米）
答：电视塔BC的高为（1006-1002）米．
8．【解析】作OC⊥AB交AB的延长线于点C，作OD⊥AE于点E，
∵DA⊥AC，OC⊥AB，OD⊥AE，
∴四边形ADOC为矩形，∴AD=OC，
同理可得，DE=OH，
在Rt△OCB中，∠OBC=45°，∴OC=BC，
在Rt△OCA中，tan∠OAC=OCAC，
∴OCOC+10≈25，解得，OC=203，
∴OH=DE=45-203=1153≈38.3，
答：这栋楼的高度是约为38.3米．




——图形的轴对称、平移与旋转


1．了解：什么是图形的平移；平移的条件；什么是旋转；中心对称和中心对称图形的概念，能区分两个概念；轴对称图形的概念
2．理解：平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质
3．会：正确作出一个图形关于某直线的轴对称图形
4．掌握：平移的性质；旋转的性质；轴对称的性质
5．能：能准确利用平移作图；能掌握中心对称的性质，能用轴对称的性质正确作图

1．从考查的题型来看，涉及本知识点的主要以填空题或选择题的形式考查，题目简单，属于低档题
2．从考查内容来看,涉及本知识点的重点有平移的性质与旋转的性质；轴对称的性质；中心对称与中心对称图形的概念；轴对称与轴对称图形的概念
3．从考查热点来看,涉及本知识点的主要有平移、旋转、轴对称的性质；轴对称与轴对称图形；中心对称与中心对称图形；用轴对称、平移、旋转的性质作图

1．判断图形的平移
（1）把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移．
方法归纳：平移前后，图形的形状、大小一样．
（2）作已知图形的平移图形
画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．
2．识别中心对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
方法归纳：解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合．是旋转不是翻折．
3．旋转的性质
（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；
（2）对应点到旋转中心的距离相等；
（3）对应角、对应线段相等；
（4）图形的形状和大小都不变.
4．识别轴对称图形
（1）基础知识归纳：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
方法归纳：解这类问题的关键是看图形翻折180°之后是否能完全重合．对称轴是直线．
（2）作已知图形的轴对称图形
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．
方法归纳：过点作对称轴的垂线并延长倍长找到对应点．是翻折不是旋转．
（3）轴对称性质的应用
轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，对应线段、对应角相等．

1．（2019•铁岭）下面四个图形中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不属于轴对称图形，故此选项错误；
B、不属于轴对称图形，故此选项错误；
C、属于轴对称图形，故此选项正确；
D、不属于轴对称图形，故此选项错误；
故选C．
【考点】轴对称图形
2．（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【考点】轴对称图形
3．（2019•乐山）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】只有D的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；
故选D．
【考点】利用平移设计图案
4．（2019•贵阳）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（　　）

A．19 B．16 C．29 D．13
【答案】D
【解析】如图所示：当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：26=13．
故选D．

【考点】利用轴对称设计图案；几何概率
5．（2019•河北）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（　　）

A．10 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【解析】如图所示，n的最小值为3，

故选C．
【考点】利用轴对称设计图案
6．（2019•西宁）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠使点A落在点G处，延长BG交CD于点F，连接EF，若CF=1，DF=2，则BC的长是（　　）

A．33 B．26 C．5 D．26
【答案】D
【解析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，∴CM=DE，
∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，∴NM=12CF=12，∴NG=12，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3-12=52，
∴BF=2BN=5，∴BC=BF2-CF2=52-12=26，故选D．

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
7．（2019•恩施州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为（　　）

A．833 B．433 C．8 D．83
【答案】A
【解析】∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AB=2BE，∠A′EB=90°，EF∥BC．
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF的A′处并使折痕经过点B，得到折痕BM，
∴A′B=AB=2BE．
在Rt△A′EB中，∵∠A′EB=90°，∴sin∠EA′B=BEBA'=12，∴∠EA′B=30°，
∵EF∥BC，∴∠CBA′=∠EA′B=30°，
∵∠ABC=90°，∴∠ABA′=60°，∴∠ABM=∠MBA′=30°，
∴BM=ABcos30°=432=833．故选A．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
8．（2019•黑龙江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．故选D．
【考点】中心对称图形
9．（2019•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于点E，且DE=B′E，则AE的长为（　　）

A．3 B．25 C．258 D．4110
【答案】D
【解析】∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴AB′=AB=5，
∵DE=B′E，∴AE=CE，设AE=CE=x，∴DE=5﹣x，
∵∠D=90°，∴AD2+DE2=AE2，即42+（5﹣x）2=x2，解得x=4110，∴AE=4110，故选D．
【考点】矩形的性质；旋转的性质
10．（2019•济南）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线
C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．
【考点】数学常识；勾股定理的证明；轴对称图形；中心对称图形
11．（2019•抚顺）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
12．（2019•盘锦）下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
13．（2019•锦州）下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
14．（2019•莱芜区）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
15．（2019•日照）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选D．
【考点】中心对称图形
16．（2019•内江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确．故选D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
17．（2019•百色）下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．正三角形 B．正五边形
C．等腰直角三角形 D．矩形
【答案】D
【解析】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
故选D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
18．（2019•本溪）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选B．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
19．（2019•云南）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选B．
【考点】轴对称图形；中心对称图形
20．（2019•吉林）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（　　）

A．30° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．故选C．
【考点】旋转对称图形

1．（2020•哈尔滨一模）下面的四个汉字可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020•福建模拟）下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020•张家港市模拟）以下四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020•福建模拟）2019年是甲骨文发现120周年，甲骨文是中华文明重要象征，下列文字中，是轴对称的是（　　）
A．美 B．丽 C．福 D．建
5．（2019•邢台三模）一张正方形纸片按图1、图2剪头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（　　）

A． B．
C． D．
6．（2019•南昌模拟）如图所示，欢欢首先将一张正方形的纸片按（2）、（3）、（4）的顺序三次折叠，然后沿第三次折痕剪下一个四边形，这个四边形一定是（　　）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．（2020•石家庄模拟）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（　　）

A．折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等
B．△EBD 是等腰三角形，EB=ED
C．折叠后得到的整个图形是轴对称图形
D．△EBA 和△EDC 一定是全等三角形
8．（2020•江西模拟）如图是由三个全等的菱形拼接成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（　　）

A．3种 B．6种 C．8种 D．10种
9．（2020•温州模拟）下列各项中，不是由平移设计的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2020•哈尔滨一模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．25°
11．（2020•保定一模）下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2020•保定一模）如图，将一个三角板△ABC，绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ADE，连接BE，且AC=BC=2，∠ACB=90°，则线段BE=（　　）

A．6-2 B．6 C．2 D．1
13．（2020•武汉模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2020•北京模拟）下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2020•安徽一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
16．（2019•鞍山）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）．
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标．
（2）已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，若点C2的坐标为（﹣2，﹣3），请直接写出直线l的函数解析式．
注：点A1，B1，C1及点A2，B2，C2分别是点A，B，C按题中要求变换后对应得到的点．

17．（2019•广西）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）请写出A1、A2的坐标．

18．（2019•桂林）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．我们将小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；
（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣4，3）；
（3）在（2）的条件下，直接写出点A1的坐标．

19．（2020•淮北一模）在10×10网格中，点O，A，B都是格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB绕点O逆时针方向旋转90°得到的线段A1B1；
（2）以线段A1B1为边画一个格点等腰△A1B1C1（顶点均为格点）．




1．（2020•硚口区模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020•香洲区校级一模）下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2020•碑林区校级四模）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB=8，AC=6，BC=4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）

A．9 B．8 C．6 D．4
4．（2020•济宁模拟）如图，把周长为10的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）

A．14 B．12 C．10 D．8
5．（2020•鹿城区校级模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020•佛山模拟）下列四个汽车标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020•铁东区一模）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示：（每个方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；写出B点对应点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2，请你求出线段OB1旋转过程中扫过的面积．






1．【答案】A
【解析】四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选A．
2．【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，故A错误；
B、不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，故C正确；
D、不是轴对称图形，故D错误；
故选C．
3．【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
4．【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
5．【答案】D
【解析】严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是．
故选D．
6．【答案】C
【解析】由图形可得出：剪掉的三角形是4个直角三角形，故得到一个菱形．
故选C．
7．【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD∥BF，
在△EBA 和△EDC 中
∠AEB=∠CED∠A=∠CAB=DC，
∴△AEB≌△CED（AAS）（故D选项正确，不合题意）
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形（故B选项正确，不合题意），
∠ABE=∠CBD（故A选项不正确，符合题意）
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确，不合题意）
故选A．

8．【答案】C
【解析】如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．
把菱形B平移到③或④或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．共有8种方法．

故选C．
9．【答案】D
【解析】根据平移的性质可知：
A、B、C选项的图案都是由平移设计的，
D选项的图案是由旋转设计的．
故选D．
10．【答案】B
【解析】∵DC∥AB，
∴∠CAB=∠DCA=65°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，
∴AC=AD，∠DAE=∠CAB=65°，
∵∠ADC=∠ACD=65°，
∴∠DAC=50°，
∴∠CAE=∠DAE﹣∠DAC=15°，
故选B．
11．【答案】A
【解析】A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
12．【答案】A
【解析】如图，连接BD，延长BE交AD于点F，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=22，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD=AB=22，∠BAD=60°，AE=DE，
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD，且AE=DE，
∴BF是AD的垂直平分线，
∴AF=DF=2，
∴BF=AB2-AF2=6，
∵AE=DE，∠AED=90°，EF⊥AD
∴EF=12AD=2，
∴BE=BF﹣EF=6-2
故选A．
13．【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选D．
14．【答案】D
【解析】A、是平移变换图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是旋转变换图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
15．【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
16．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，

∵C（3，2），C2（﹣2，﹣3），△A2B2C2与△ABC关于直线l对称，
∴直线l垂直平分直线CC2，
∴直线l的函数解析式为y=﹣x．
17．【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）A1（2，3），A2（﹣2，﹣1）．

18．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，
（3）点A1的坐标为（2，6）．
19．【解析】如图，

（1）线段A1B1即为所求；
（2）等腰△A1B1C1即为所求．

1．【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选D．
2．【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
3．【答案】B
【解析】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=8，
即图中阴影部分的周长为8，
故选B．

4．【答案】B
【解析】∵△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DFE，
∴DF=AC，CF=AD=1，
∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD，
=AB+BC+AC+AD+CF，
=△ABC的周长+AD+CF，
=10+1+1，
=12．
故选B．
5．【答案】C
【解析】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
6．【答案】D
【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
7．【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；B点对应点B1的坐标为（﹣3，5）；

（2）如图所示，线段OB1旋转过程中扫过的面积为90×π×(32+52)360=172π．