数学（安徽卷）2023年中考第二次模拟考试卷（解析版）

这是一份数学（安徽卷）2023年中考第二次模拟考试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了下列事件中的随机事件是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．下列有理数：，，，，，，中，负数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】运用相反数，绝对值进行化简即可．
【详解】 ，，，，
题目中负数有：，，
故选：C．
【点睛】本题考查了运用相反数，绝对值等知识对有理数的符号进行辨别的能力，关键是能正确理解并运用以上知识解题．
2．长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是（ ）
A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．12cm2
【答案】D
【详解】试题分析：根据题意，正方体的俯视图是矩形，它的长是4cm，宽是3cm，面积=4×3=12（cm2），故选D．
考点：由三视图判断几何体．
3．脆香甜柚是苍溪县农业局从柚芽变中选育出来的早熟良种，平均单果重1300克左右，已种植1万余亩，商品果产量6000吨，单价一般为每千克6元，可得毛利润约为36000000元．数据36000000用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成的形式，其中，n是比原整数位数少1的数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．已知|2020﹣a|+＝a，则4a﹣40402的值为（ ）
A．6063B．8084C．4042D．2021
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出a-2021≥0，从而得出2020-a<0，将式子化简整理后得到，根据积的乘方的逆用，将4a﹣化为的形式，求解即可．
【详解】解：∵a-2021≥0，
∴a≥2021，
∴2020-a<0，
∴化简|2020﹣a|+＝a得：（a-2020）+=a，
整理得：=2020，
两边同时平方：a-2021=，
∴，
====4×2021=8084．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简求值，根据二次根式有意义的条件将等式化简整理是解题的关键．
5．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )
A．a2-1
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【详解】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
考点：因式分解.
6．下列事件中的随机事件是（ ）
A．在数轴上任取一个点，它表示的数是实数
B．任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形
【答案】B
【分析】根据必然事件，不可能事件以及随机事件的概念对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、在数轴上任取一个点，它表示的数是实数，这是必然事件，不符合题意；
B、任意画一个三角形，恰好同一边上的高线与中线重合，这是随机事件，符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是180°，这是必然事件，不符合题意；
D、用长度分别是3，3，6的木条首尾顺次相连可组成一个等腰三角形，这是不可能事件，不符合题意，
故选：B
【点睛】此题考查了必然事件，不可能事件以及随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．或B．C．且D．且
【答案】A
【分析】首先求得分式方程的解为x=4-m,再根据解为正数得4-m>0且4-m 1,从而求得m的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母，得1-m-(x-1)=-2，
去括号，得1-m-x+1=-2，
移项，合并得x=4-m，
∵方程的解为正数，
∴4-m>0且4-m 1，
解得m<4且，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的特殊解,难度适中，解题的关键是注意要排除分式方程无解情况．
8．已知点关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先确定点P所在的象限，然后根据点所在象限的坐标特点列不等式组求解即可．
【详解】解：点关于原点的对称点在第四象限，
点在第二象限，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征，掌握第二象限的点的横坐标小于零、纵坐标大于零是解答本题的关键．
9．如图，E是菱形ABCD边AD上一点，连接BE，若，，点P是BE的中点，点Q在BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．菱形ABCD的面积是156B．若Q是BC的中点，则
C．D．若，则
【答案】C
【分析】过点B作BM⊥AD于M，过点E作EN⊥BC于N，连接EC，PQ，由四边形BNEM是平行四边形可得BN=ME，由BA=BE可得ME，解Rt△BNE可得EN，进而求得菱形面积，∠EBC的正弦值；解Rt△ENC可得EC，若Q是BC中点，由三角形中位线的性质可得PQ；若PQ⊥BE，由∠EBC的正切值解Rt△BPQ可得PQ；
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于M，过点E作EN⊥BC于N，连接EC，PQ，
ABCD是菱形，则AD∥BC，
BM⊥AD，EN⊥BC，则BM∥EN，
∴四边形BNEM是平行四边形，
∴BN=ME，
ABCD是菱形，则AD=AB=BC=13，DE=3，则AE=10，
BA=BE，BM⊥AE，则ME=AM=AE=5，
∴BN=5，CN=8，
Rt△ENB中，EN=，
∴菱形ABCD的面积=BC•EN=156，
sin∠EBN=，tan∠EBN=，
∴，
Rt△CNE中，CE=，
若Q是BC中点，则QP是△BCE的中位线，
∴QP=CE=，
若QP⊥BE，则Rt△BPQ中，BP=BE=，
QP=BPtan∠PBQ=×=，
综上所述：
C．，选项错误，符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识；正确作出辅助线是解题关键．
10．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接CF、CG、AE，证可得，当A、E、F、C四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．把根号外的因式移到根号内：＝__________.
【答案】
【分析】根据题意可得a－1＜0，原式可以化成，然后根据二次根式的乘法法则即可求解．
【详解】由题意，得a－1＜0，
所以
.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确理解题目中的隐含条件：a－1＜0是关键．
12．化简：（1_____．
【答案】．
【分析】原式括号中两项通分，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】(1+)÷
=
=
=，
故答案为.
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
13．如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连接DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为___．
【答案】．
【详解】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，）．
∴C（a，0），B（a，2），A（a－，0），
设直线AB的解析式为，
∴，解得．
∴线AB的解析式为．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°．
∴直线AB与直线DE垂直．
如图，过点D作x轴的垂线，过点R作y轴的垂线，两线交于点H ，
则△DEH为等腰直角三角形，
∴HE=HD，即．
∴．
又∵点D在直线AB上，∴，即．
∴，
解得（舍去）．
∴点E的坐标是．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝mx－2mx＋m－2（m＞0）．
（1）抛物线的顶点坐标为_________；
（2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2≤3）是拋物线上的两点，若y1＜y2，x2－x1＝2，则y2的取值范围为_________（用含 m的式子表示）
【答案】 （1，-2）
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，
结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，得到当2＜x2≤3时，y1＜y2，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解即可 ．
【详解】（1）∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，-2），
故答案为 （1，-2）．
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，
结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，
∴当2＜x2≤3时，y1＜y2，
对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，
∴．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
【答案】
【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示：
(1)分别写出下列各点的坐标：______，______；
(2)若点是三角形内部一点，则三角形内部的对应点的坐标______．
(3)三角形是由三角形经过怎样的平移得到的？
【答案】(1)(1，3)，(-3， 1) ；
(2)(x-4，y-2) ；
(3)△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到．
【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可；
（2）利用平移变换的规律解决问题即可；
（3）根据平移变换的性质解决问题．
【详解】（1）解：由△ABC和在坐标系中的位置可得 A(1，3)， ，
故答案为：( 1，3)，(-3，1) ；
（2）解：∵A(1，3)， ，
∴-3-1=-4，1-3=-2，
∴△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，
∴P (x，y)的对应点 (x-4，y-2)，
故答案为：(x-4，y-2) ；
（3）解：∵A(1，3)， ，
∴-3-1=-4，1-3=-2，
∴△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，
【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若甲、乙两工程队合做20天可完成；若让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．
(1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)如果甲工程队施工每天需付施工费10000元，乙工程队施工每天需付施工费26000元，此项工程若由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，则甲工程队至少要独做多少天，才能使施工费不超过680000元？
【答案】(1)甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天
(2)甲工程队至少要独做20天
【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需x天，由题意：让两队合做15天后，剩下的工程由甲队独做，还需15天才能完成．列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，由题意：由甲工程队先独做若干天后，乙工程队再加入共同完成剩下的工程，列出二元一次方程，得b＝20−a，再由题意：施工费不超过680000元，列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设甲队单独完成此项工程需x天，
由题意得：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∵，
∴乙工程队单独完成此项工程需要30天，
答：甲队单独完成此项工程需60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
（2）解：设甲工程队要独做a天，乙工程队做了b天，
由题意得： ，
整理得：a＋3b＝60，
∴b＝20−a，
∵施工费不超过680000元，
∴10000（a＋b）＋26000b≤680000，
∴10000（a＋20−a）＋26000（20−a）≤680000，
解得：a≥20，
答：甲工程队至少要独做20天．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：___________；
(2)写出你猜想的第n（n取正整数）个等式：________（用含n的等式表示），并验证等式的正确性．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第6个等式；
（2）根据题目中给出的等式的规律，可以猜想出第n个等式，并加以证明．
【详解】（1）解：由题意可得，第6个等式为：；
（2）解：猜想的第n（n取正整数）个等式为： ．
证明：左边
．
右边，
∵左边=右边，
∴原等式成立．
∴第n（n取正整数）个等式为： ．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，写出相应的猜想并加以证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两观景台之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）
【答案】（1）A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．
在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝BP＝5km．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝5km，PA＝12．
∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；
答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
则∠BAP＝30°，
∵AB＝（5+5），
∴BF＝AB＝（）km．
答：观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
20．如图，在中，以为直径作，交于点，交于点，且，过点作的切线交于点，过点作的垂线，交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线，得到；连接OD，通过证OD是的中位线，证，进而得到，即可证明；
（2）连接DE，分别证AC= AB=2OB，CD=DE，得到CF=BG，CF=EF，再利用，即可求解．
【详解】（1）证明：∵过点作的切线交于点，
∴，
连接OD，
∵，OA=OB，
∴OD是的中位线，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设圆与AC相交于点E，连接DE，
由（1）可知，，
∴，
∵OD=OB，
∴，
∴，
∴AC= AB=2OB，
∵在和中，
，
∴，
∴CF=BG，
又∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴CD=DE，
又∵，
∴CF=EF，
∴，
即．
【点睛】本题考查圆、全等三角形和等腰三角形的相关知识．包括圆的切线，圆内接四边形；以及全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强．熟练掌握圆、全等三角形和等腰三角形的判定和性质是本题解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．某校为进一步提高教职工的身体素质，提倡“每天一万步”活动，校工会随机抽取20名教职工一天行走的步数，对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：a＝______，b＝______，m＝______，并补全频数分布直方图；
(2)这20名教职工一天行走步数的中位数落在______组；
(3)若该校教职工共有320人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
【答案】(1)2、3、0.1
(2)B
(3)128人
【分析】（1）由A组频数及频率得出样本容量，再用样本容量乘以E组频率得出其频数b，根据频数之和等于总人数得出a的值，继而可得m的值；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）总人数乘以样本中C、D、E组频率之和即可得出答案．
（1）
解：样本容量为2÷0.1=20，
∴b=20×0.15=3，
则a=20-（2+10+3+3）=2，
∴m=2÷20=0.1，
补全图形如下：
故答案为：2、3、0.1；
（2）
这20名教职工一天行走步数的中位数是第10、11个数据的平均数，而这两个数据均落在B组，
所以这20名教职工一天行走步数的中位数落在B组，
故答案为：B．
（3）
估计其中一天行走步数不少于7500步的有320×（0.1+0.15+0.15）=128（人）．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
七、（本题满分12分）
22．如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点与y轴交于点C，其中点A的坐标为
(1)求点B的坐标；
(2)若点P在AC下方的抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△ACG是直角三角形？若存在，求出符合条件的G点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，的坐标为或或或．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，点，即可求得点的坐标；
（2）待定系数法求得抛物线解析式，进而求得的坐标，求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，设，则，根据建立方程，解方程求得的值，即可求得点的坐标；
（3）设，根据勾股定理求得的长，分三种情况讨论，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A、B两点，，
∴
（2）∵抛物线，中，，，
∴抛物线解析式为，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，则
，
解得，
∴直线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴的坐标为：，；
（3）∵抛物线对称轴为，设，
由，
∴，，，
设在抛物线的对称轴上存在点G，使△ACG是直角三角形，则
①当为斜边时，
即
解得：
∴的坐标为或
②当为斜边时，，
即，
解得，
∴的坐标为，
③当为斜边时，，
即，
解得，
∴的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．
（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ；将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？答： （填“会”或“不会”）；若改变，的值为 （不必说明理由）；
（2）在（1）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）
【答案】（1）8，不会，8；（2）当时，；
当时，.
【详解】（1）由题意得8；将三角板旋转后的值不会改变；8；
即
斜边中点为O
;
将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为
在与中，
,
;
（2）当时，如图2，过点D作于M，于N，
O是斜边的中点，
,
则，
，
，
当时，如图3，过点D作于G,DG=2
则，
，
,
即
考点：旋转问题的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
组别
步数分组
频数
频率
A
5500≤x<6500
2
0.1
B
6500≤x<7500
10
0.5
C
7500≤x<8500
a
m
D
8500≤x<9500
3
0.15
E
9500≤x<10500
b
0.15