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2024年辽宁省盘锦市兴隆台区辽河油田实验中学中考模拟预测数学模拟预测题（原卷版+解析版）
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1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为（ ）
A. 零上8℃B. 零下8℃C. 零上2℃D. 零下2℃
【答案】B
【解析】
【分析】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为零下8℃，
故选B．
【点睛】本题考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了组合体的三视图，从正面观察组合体得到平面图形，再画出图形．
【详解】解：从正面看，底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形．
如图所示.
故选：B．
3. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单项式的乘法，除法法则，幂的乘方，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查单项式的乘法，除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5. 关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程根的判别式的值即可得解.
【详解】解：∵方程x2-4x+4=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-4，常数项c=4，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
7. 已知一次函数（），如表示与的一些对应数值，则下列结论中错误的个数是（ ）
①随的增大而增大；②该函数的图象经过第一、二、三象限；③该函数的图象与轴的交点是；④关于的方程的解是．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】观察、分析表格中的所给数据，即可判断．
【详解】解：观察表格中数据可知，
随的增大而减小，故①错误；
点在第二象限，点在第一象限，点在第四象限，即该函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；
当时，，即该函数的图象与轴的交点是，故③错误；
当时，，即是关于的方程的解，故④错误；
综上，错误结论的个数是4，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，能够运用数形结合思想将一次函数图象与一元一次方程结合起来是解题的关键．
8. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A. 32°B. 28°C. 26°D. 23°
【答案】D
【解析】
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
9. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，分别与所在圆相切于点A，B，
，，，交于点，
连接，，，
，
，
，，
优弧对应的圆心角为，，
优弧的长是：．
故选：C．
10. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
【详解】解：由作法得平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
二、填空题（共5小题）
11. 据新闻网报道：截止2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球．北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元．将“156亿”美元用科学记数法表示为______美元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：156亿．
故答案为：．
12. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设，，，分别代表交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全．
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故答案为：．
13. 如图，点A，B的坐标分别为（－4，2），（0，－4），将线段AB平移至，若点，的坐标分别为（a，8），（6，b），则的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点图形平移的特点，点A到点A1的平移方式与点B到点B1的平移方式相同，即A、B平移前后横纵坐标的变化相同，据此求解即可
【详解】解：∵将线段AB平移至，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—变化，熟知同一图形上的两点平移前后横纵坐标的变化相同是解题的关键．
14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为8，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于k的方程是解题的关键．
设，则，由，的面积为8，得出，的面积为4，即可得出，求出k的值即可．
【详解】解：设，则，
∵，的面积为8，
∴，的面积为4，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 如图，四边形是边长为8的正方形，E是边延长线上的一点，，点F在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点H，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
当F在上时， ,利用三角形内角和，推导，通过计算出的长度；
当F在上时，,通过以及对等角相等，推导出为等腰三角形，并在中利用算出的长度．
【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形，
∴，，
在中，，
∴．
由，点F在该正方形的边上可知点F在边和上，
①当点F在边上时，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴；
②当点F在边上时，如图，
同理可证，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作于G，
则，
在中，
，
∴；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（共8小题）
16. （1） 计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）按照立方根，特殊角的三角函数值，负指数，绝对值的运算法则化简，然后合并解题；
（2）按照分式的运算法则化简，再代入数值计算解题．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
（1）求，两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
（2）购买跳绳所需最少费用是元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．
（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
由题意可得，
解得：，
答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
【小问2详解】
解：设购买型跳绳根．
班级计划购买，两型跳绳共48根
购买型跳绳根．
根据题意得：
解得：．
设购买跳绳所需费用为元，
则
即
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值，最小值为（元）．
答：购买跳绳所需最少费用是元．
18. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图．
（1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 ，中位数是 ；
（3）求扇形统计图中“E”部分对应扇形的圆心角的度数；
（4）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数．
【答案】（1）50人，补充条形统计图见解析
（2）众数是10，中位数是12.5
（3）
（4）220人
【解析】
【分析】（1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数，进而补全统计图即可；
（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，由此可知众数；中间两个数据的平均数即为中位数；
（3）用360度乘以扇形统计图中“E”部分所占的百分比计算即可；
（4）用八年级学生的总人数乘以样本中捐款20元及以上的人数所占比例即可得到答案．
【小问1详解】
解：本次抽查的学生有：（人，
捐款10元的有（人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：由条形统计图可知，捐款10元人数最多，
捐款金额的众数是10，
中位数是．
【小问3详解】
解：，
答：扇形统计图中“E”部分对应扇形的圆心角的度数为．
【小问4详解】
解：（人；
答：师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数估计有220人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，补画条形统计图，扇形统计图中某项目圆心角的度数，求众数，中位数，扇形统计图圆心角的度数，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
19. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m．
（2）当时，求乙队y与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【答案】（1）10 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据图象中给出的性质可知，甲队6小时内挖的总长度为，即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分别求出在时，乙队与x的之间的函数关系式，在时，甲队与x的之间的函数关系式，然后再列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵甲队6小时内挖的总长度为，
∴甲队在开挖后6小时内，每小时挖，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
；
【小问3详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
当时，令，解得：；
当时，令，解得：；
令，解得：；
综上分析可知，开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据图象求出相应的函数解析式．
20. 快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，）
【答案】火箭在段的平均速度为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，根据三角函数定义求出，，根据速度公式求出．
【详解】解：由题可知．
设火箭在段的平均速度为v，则，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．
答：火箭在段的平均速度为．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】对于（1），由D是的中点可得OD⊥AC，得出∠FAO+∠AOD＝90°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠C，得出∠CAE＝∠AOD，进而得出OA⊥AE，即可得出结论；
对于（2），连接AD，由D是的中点，得出DA＝DC，得∠DAC＝∠C，由DH＝9，，可求出AD的长，进而在Rt△ADC中求出BD的长度，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【小问1详解】
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠FAO+∠AOD＝90°．
∵∠CAE＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOD，
∴∠FAO+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE．
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；
【小问2详解】
如图，连接AD，
∵D是的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADH中，，
∵DH＝9，
∴，
∴AD＝12．
∵∠B＝∠C，
∴．
在Rt△ABD中，，
∴，
∴BD＝16，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，构造直角三角形是解题的关键．
22. 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
（1）求抛物线和的函数表达式；
（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
（3）点M为上一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
（2）或
（3）和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将代入，
点．
点与点关于直线对称，
点．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点，分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为．
将，代入 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 的点．
当 时，，．
，
解得，
根据图像可知，
综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或；
【小问3详解】
解：设，则，，
，
点为上一点，
，且的值随的增大而增大，
当时，，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时的坐标为．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；
小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”．
小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，为上动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1），
（2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，从而可得出结论．
（3）连接，在上截取，过作于，先证明，得，从而求得．由（1）得是等边三角形，，则，，，所以．然后解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．如图1，
，．
是等边三角形，
，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，即．
在和中，
，
．
，，
．
．
，
．
（2）证明：在上截取，连接．如图2，
，．
是等边三角形，
，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，．
，即
在和中，
，
．
又为等边三角形，
．
，
．
（3）解：连接，如图3．
线段绕点逆时针旋转得到线段．
，，
是等边三角形．
，
为中点，
．
在中，，
，于．
，
．
又，
，即，
，
，
，
．
在上截取，由（1）得是等边三角形，．
，，，
．
过作于，
，
．
，
，，
．
四边形的面积．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．本题综合性较强，正确作出辅助线，构造全等三角形、相似三角形与直角三角形是解题的关键．…
0
1
2
…
…
6
3
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…
1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为（ ）
A. 零上8℃B. 零下8℃C. 零上2℃D. 零下2℃
【答案】B
【解析】
【分析】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为零下8℃，
故选B．
【点睛】本题考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了组合体的三视图，从正面观察组合体得到平面图形，再画出图形．
【详解】解：从正面看，底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形．
如图所示.
故选：B．
3. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用单项式的乘法，除法法则，幂的乘方，逐一进行计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查单项式的乘法，除法，幂的乘方运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5. 关于一元二次方程x2﹣4x+4＝0根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程根的判别式的值即可得解.
【详解】解：∵方程x2-4x+4=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-4，常数项c=4，
∴△=b2-4ac=（-4）2-4×1×4=0，
∴方程x2-4x+4=0有两个相等的实数根．
故选B.
【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
7. 已知一次函数（），如表示与的一些对应数值，则下列结论中错误的个数是（ ）
①随的增大而增大；②该函数的图象经过第一、二、三象限；③该函数的图象与轴的交点是；④关于的方程的解是．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】观察、分析表格中的所给数据，即可判断．
【详解】解：观察表格中数据可知，
随的增大而减小，故①错误；
点在第二象限，点在第一象限，点在第四象限，即该函数的图象经过第一、二、四象限，故②错误；
当时，，即该函数的图象与轴的交点是，故③错误；
当时，，即是关于的方程的解，故④错误；
综上，错误结论的个数是4，
故选D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，能够运用数形结合思想将一次函数图象与一元一次方程结合起来是解题的关键．
8. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A. 32°B. 28°C. 26°D. 23°
【答案】D
【解析】
【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
9. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点A，B．若长，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧的度数．
根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，分别与所在圆相切于点A，B，
，，，交于点，
连接，，，
，
，
，，
优弧对应的圆心角为，，
优弧的长是：．
故选：C．
10. 如图，在平行四边形中，以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点F，G，再分别以点F，G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交于点E，连接，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，，，再证明，则，接着利用勾股定理的逆定理判断为为直角三角形，，然后在中利用勾股定理计算的长．
【详解】解：由作法得平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质和勾股定理及其逆定理．
二、填空题（共5小题）
11. 据新闻网报道：截止2023年12月底，我国在轨运行的北斗系列卫星已经达到48颗，完成组网已覆盖全球．北斗导航系统的建成，是我国经济增长的催化剂，预计2025年，北斗导航对我国经济的贡献可达156亿美元．将“156亿”美元用科学记数法表示为______美元．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
【详解】解：156亿．
故答案为：．
12. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设，，，分别代表交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全．
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故答案为：．
13. 如图，点A，B的坐标分别为（－4，2），（0，－4），将线段AB平移至，若点，的坐标分别为（a，8），（6，b），则的值为___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点图形平移的特点，点A到点A1的平移方式与点B到点B1的平移方式相同，即A、B平移前后横纵坐标的变化相同，据此求解即可
【详解】解：∵将线段AB平移至，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—变化，熟知同一图形上的两点平移前后横纵坐标的变化相同是解题的关键．
14. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，过A作轴于点B，点D为x轴正半轴上一点且，连接交y轴于点C，连接．若的面积为8，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意得到关于k的方程是解题的关键．
设，则，由，的面积为8，得出，的面积为4，即可得出，求出k的值即可．
【详解】解：设，则，
∵，的面积为8，
∴，的面积为4，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 如图，四边形是边长为8的正方形，E是边延长线上的一点，，点F在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点H，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
当F在上时， ,利用三角形内角和，推导，通过计算出的长度；
当F在上时，,通过以及对等角相等，推导出为等腰三角形，并在中利用算出的长度．
【详解】解：∵四边形是边长为8的正方形，
∴，，
在中，，
∴．
由，点F在该正方形的边上可知点F在边和上，
①当点F在边上时，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴；
②当点F在边上时，如图，
同理可证，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点H作于G，
则，
在中，
，
∴；
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
三、解答题（共8小题）
16. （1） 计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）按照立方根，特殊角的三角函数值，负指数，绝对值的运算法则化简，然后合并解题；
（2）按照分式的运算法则化简，再代入数值计算解题．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
17. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元．
（1）求，两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买，两型跳绳共根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？
【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
（2）购买跳绳所需最少费用是元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键．
（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案．
【小问1详解】
解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．
由题意可得，
解得：，
答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元
【小问2详解】
解：设购买型跳绳根．
班级计划购买，两型跳绳共48根
购买型跳绳根．
根据题意得：
解得：．
设购买跳绳所需费用为元，
则
即
，
随的增大而减小．
当时，取得最小值，最小值为（元）．
答：购买跳绳所需最少费用是元．
18. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了两幅不完整统计图．
（1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是 ，中位数是 ；
（3）求扇形统计图中“E”部分对应扇形的圆心角的度数；
（4）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数．
【答案】（1）50人，补充条形统计图见解析
（2）众数是10，中位数是12.5
（3）
（4）220人
【解析】
【分析】（1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数，进而补全统计图即可；
（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，由此可知众数；中间两个数据的平均数即为中位数；
（3）用360度乘以扇形统计图中“E”部分所占的百分比计算即可；
（4）用八年级学生的总人数乘以样本中捐款20元及以上的人数所占比例即可得到答案．
【小问1详解】
解：本次抽查的学生有：（人，
捐款10元的有（人，
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
解：由条形统计图可知，捐款10元人数最多，
捐款金额的众数是10，
中位数是．
【小问3详解】
解：，
答：扇形统计图中“E”部分对应扇形的圆心角的度数为．
【小问4详解】
解：（人；
答：师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数估计有220人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，补画条形统计图，扇形统计图中某项目圆心角的度数，求众数，中位数，扇形统计图圆心角的度数，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
19. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m．
（2）当时，求乙队y与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【答案】（1）10 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据图象中给出的性质可知，甲队6小时内挖的总长度为，即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分别求出在时，乙队与x的之间的函数关系式，在时，甲队与x的之间的函数关系式，然后再列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵甲队6小时内挖的总长度为，
∴甲队在开挖后6小时内，每小时挖，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
；
【小问3详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
当时，令，解得：；
当时，令，解得：；
令，解得：；
综上分析可知，开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图象获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据图象求出相应的函数解析式．
20. 快舟湖北交广号火箭发射成功（如图1），实现了2024年中国航天发射“开门红”．其发射过程示意图如图2．火箭从地面A处发射，前以的平均速度竖直上升到达点B．此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．火箭再继续上升后到达C处，此时在雷达站P处测得的火箭仰角为．求火箭在段的平均速度．（参考数据：，，，，，）
【答案】火箭在段的平均速度为
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，根据三角函数定义求出，，根据速度公式求出．
【详解】解：由题可知．
设火箭在段的平均速度为v，则，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴．
答：火箭在段的平均速度为．
21. 如图，已知AB是⊙O的直径，D是的中点，∠CAE＝2∠C，连结OD并延长交∠CAE的边AE于点E，连结AC分别交OE，BD于点F，H．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若DH＝9，tanC＝，求直径AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）20
【解析】
【分析】对于（1），由D是的中点可得OD⊥AC，得出∠FAO+∠AOD＝90°，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠C，得出∠CAE＝∠AOD，进而得出OA⊥AE，即可得出结论；
对于（2），连接AD，由D是的中点，得出DA＝DC，得∠DAC＝∠C，由DH＝9，，可求出AD的长，进而在Rt△ADC中求出BD的长度，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【小问1详解】
∵D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠FAO+∠AOD＝90°．
∵∠CAE＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠CAE＝∠AOD，
∴∠FAO+∠CAE＝90°，
∴OA⊥AE．
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；
【小问2详解】
如图，连接AD，
∵D是的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ADH中，，
∵DH＝9，
∴，
∴AD＝12．
∵∠B＝∠C，
∴．
在Rt△ABD中，，
∴，
∴BD＝16，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，构造直角三角形是解题的关键．
22. 图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象，并模拟过山车（抽象为点）的运动．线段是一段直滑道，点A在y轴上，且．滑道为抛物线：的一部分，在点处达到最低，点B，D到x轴的距离相等，其中点B到点A的水平距离为2，轴于点G．滑道与滑道可看作形状相同、开口方向相反的两段抛物线，点．
（1）求抛物线和的函数表达式；
（2）当过山车沿滑道从点A运动到点F的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它到出发点A的水平距离；
（3）点M为上一点，求点M到和到x轴的距离之和（图中）的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为，的函数表达式为
（2）或
（3）和长度之和的最大值为4．此时M的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出滑道和 的解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，再分析时在各段函数上的对应值，最后计算各点到点的水平距离即可；
（3）设，则，，整理出关于的函数解析式，分析判断最值即可得到点坐标．
【小问1详解】
解：滑道； 的顶点为点，
即，
点到点的水平距离为2，
将代入，
点．
点与点关于直线对称，
点．
滑道 与滑道 是形状完全相同、开口方向相反的抛物线，
可设抛物线 的函数表达式为．
将点，分别代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
解：设直线的函数表达式为．
将，代入 得：
，解得，
直线的函数表达式为．
点为抛物线 的顶点，
抛物线 不存在 的点．
当 时，，．
，
解得，
根据图像可知，
综上所述， 时，过山车到出发点的水平距离为：或；
【小问3详解】
解：设，则，，
，
点为上一点，
，且的值随的增大而增大，
当时，，
当时，和长度之和的最大值为4．
此时的坐标为．
23. 【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，D为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？
小明说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；
小强说：“在点D的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段，，数量关系”．
小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．
请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段，，的数量关系．
【类比分析】
（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．
如图3，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．．
【学以致用】
（3）如图4，在中，，为上动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1），
（2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，，即可得出结论；
（2）在上截取，连接．先证明是等边三角形，得到，，再证明，得到，从而可得出结论．
（3）连接，在上截取，过作于，先证明，得，从而求得．由（1）得是等边三角形，，则，，，所以．然后解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．如图1，
，．
是等边三角形，
，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，即．
在和中，
，
．
，，
．
．
，
．
（2）证明：在上截取，连接．如图2，
，．
是等边三角形，
，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，．
，即
在和中，
，
．
又为等边三角形，
．
，
．
（3）解：连接，如图3．
线段绕点逆时针旋转得到线段．
，，
是等边三角形．
，
为中点，
．
在中，，
，于．
，
．
又，
，即，
，
，
，
．
在上截取，由（1）得是等边三角形，．
，，，
．
过作于，
，
．
，
，，
．
四边形的面积．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．本题综合性较强，正确作出辅助线，构造全等三角形、相似三角形与直角三角形是解题的关键．…
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