湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.2 C. D.5
2．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为5,弧长为的扇形,则此圆锥的体积是( )
A.B.C.D.
3．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知,为双曲线的左、右焦点,过的直线l与双曲线的渐近线交于A、B两点,满足A,B均在y轴右侧,且为正三角形,则双曲线E的渐近线方程为( )
A.B.C. D.
5．在等比数列中,已知,,那么等于( )
A.B.C.D.
6．将5个相同的白球和5个相同的红球全部放入3个不同的盒子中,每个盒子既要有白球,又要有红球,则不同的放球方法共有( )
A.18种B.24种C.36种 D.48种
7．如图,已知圆O的半径为2,弦长,C为圆O上一动点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数为定义在R上的偶函数,当时,,则下列四个判断正确的为( )
A.B.C. D.
二、多项选择题
9．为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性,某学校随机抽取了200名学生进行统计.得到如图所示的列联表,则下列说法正确的是( )
参考公式：,其中.
附表：
A.喜爱物理学科的学生中,男生的频率为
B.女生中喜爱物理学科的频率为
C.依据小概率值的独立性检验,可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关
D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为学生是否喜爱物理学科与性别无关
10．函数是定义域为R的奇函数,且它的最小正周期是2,已知,.下列四个判断中,正确的有( )
A.函数有5个零点
B.当时,为偶函数
C.当时,函数的值域为
D.当时,函数关于对称
11．已知函数图象如图1所示,A,B分别为图象的最高点和最低点,过A,B作x轴的垂线,分别交x轴于,,点C为该部分图象与x轴的交点,与y轴的交点为,此时.将绘有该图象的纸片沿x轴折成的二面角,如图2所示,折叠后,则下列四个结论正确的有( )
A.
B.的图象在上单调递增
C.在图2中,上存在唯一一点Q,使得面
D.在图2中,若,是上两个不同的点,且满足,,则的最小值为
三、填空题
12．已知,则的最小值为______________.
13．已知直线与抛物线交于A,B两点,抛物线的焦点为F,O为原点,且,则_____________.
14．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥”,现有阳马（如图）,平面,,,点E,F分别在,上,当空间四边形的周长最小时,三棱锥外接球的表面积为____________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,,求的面积.
16．已知平面内的一动点满足方程.
（1）求动点P的轨迹C的标准方程;
（2）已知点,过的直线交轨迹C于A、B两点,若,求的面积.
17．在如图所示的直三棱柱中,,,D,E分别是线段,上的动点.
（1）若平面,求证：;
（2）若为正三角形,E是的中点,求二面角余弦值的最小值.
18．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）若函数有两个零点,.
（i）求m的取值范围;
（ii）求证：.
19．某校开展科普知识团队接力闯关活动,该活动共有两关,每个团队由位成员组成,成员按预先安排的顺序依次上场,具体规则如下：若某成员第一关闯关成功,则该成员继续闯第二关,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关;若某成员第二关闯关成功,则该团队接力闯关活动结束,否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关;当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关,该团队接力闯关活动结束.
已知A团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为,且每位成员闯关是否成功互不影响,每关结果也互不影响.
（1）用随机变量X表示A团队第位成员的闯关数,求X的分布列;
（2）已知A团队第位成员上场并闯过第二关,求恰好是第3位成员闯过第一关的概率;
（3）记随机变量表示A团队第位成员上场并结束闯关活动,证明单调递增,并求使的n的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：,,故选A.
另解：.
2．答案：B
解析：圆锥底面圆的半径为,又圆锥母线长为5,所以圆锥的高为,所以圆锥的体积为.
3．答案：B
解析：不等式等价于等价于,所以,即,解得或,故能推出成立,但是成立不一定有,所以“”是“”的必要不充分条件.
4．答案：B
解析：依题意,,根据对称性可知,从而,
不妨设A在第一象限,则,故,故,
可得渐近线方程为.
5．答案：A
解析：设等比数列的公比为q,,
,.
6．答案：C
解析：先在每个盒子中放一个白球和一个红球,剩下2个红球、2个白球共四个球,
红球有种放法,同理白球也有6种放法,总共种放法.
7．答案：D
解析：依题意,,过点C作的垂线,垂足为E,
则,当与圆相切时取到最大值与最小值,
如图,此时.
8．答案：D
解析：令,则在恒成立,
所以在单调递增,所以,即,
又因为函数为定义在R上的偶函数,所以,即.
9．答案：AC
解析：对于A,喜爱物理学科的学生共有（名）,
故喜爱物理学科的学生中男生的频率为,A正确;
对于B,女生共有100名,喜爱物理的女有20名,故女生中喜爱物理学科的频率为,B错误;
对于C,D,,
故依据小概率值的独立性检验,可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关,
即在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为学生是否喜爱物理学科与性别有关,C正确,D错误.
10．答案：ACD
解析：A选项,令,得,作出和的图象可知此两个函数的图象有5个交点,故A正确;
B选项,当时,,因为关于对称,所以关于对称,即为奇函数,故B错误;
C选项,函数的最小正周期为2,当时,,求出的值域为,进而得到,C正确;
D选项,的图象关于点对称,当时,的图象关于直线对称,所以的图象关于点对称,所以D正确.
11．答案：BD
解析：函数的最小正周期为T,,则,又,
平方得,即,
即,即,因为,解得,故,即,
所以,则,可得,
又因为函数在附近单调递减,且,所以,故A错误;
对于B选项,因为,当时,,
此时单调递增,B符合题意;对于C选项,在平面内,过点D作交x轴于M,交于,再在平面上,过M作平行于的直线交于,此时,面,故C错误;
对于D选项,若,均在上,由可知,平行于x轴,此时,
若,均在上,如图,作于点E,则,又,从而面,
故,而,因此,在图1中作直线,则为与的交点,不妨设,为与在y轴右侧最近的两个交点,
则此时的最小值为,若,不在同一个面上,此时,故D正确.
12．答案：
解析：,
因为,故,当且仅当,
即时取等号.
13．答案：13
解析：设,,
由得,则,,
所以,因为,所以,解得,
所以,所以.
14．答案：
解析：如图所示,把,剪开,使得与矩形在同一个平面内.
延长到M,使得,则四点,E,F,M在同一条直线上时,取得最小值,
即空间四边形的周长取得最小值.
在中,C是的中点,
又,得,.
设的外心为,外接圆的半径为r,由得,,
则,即.
设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,连接,
则,则.
所以三棱锥外接球的表面积等于.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
所以.
（2）因为,
因为,所以.
因为,①
又,,所以②,联立方程①②得：,.
所以的面积为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）方程,
表示平面内到定点,的距离的和是常数的点的轨迹,
它的轨迹是以,为焦点,长轴,焦距的椭圆.
,,,
轨迹C的方程是.
（2）当直线的斜率不存在时,则,显然不符合题意;
当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,
由消去y整理得,
显然,所以,①
,②
因为,所以,代入①得,,
代入②得,所以,即,
因为,所以,
所,
所以的面积为.
17．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）过点E作,交于M,连接.
则平面且.
又平面,,且,平面,
故平面平面,
又平面平面,平面平面,
所以,从而.
故,所以.
（2）过D作,垂足为G,则平面,再过G作,垂足为N,连接,
则即为二面角的平面角.
在中,当点D从B向C运动时,增加,而减小,从而增加,
故D与C重合时二面角的余弦值最小.
此时,,故,.
故二面角余弦值的最小值为.
18．答案：（1）当时,在上单调递增;
当时,在内单调递减,在单调递增.
（2）（i）（ii）见解析
解析：（1）函数,
当时,则在上单调递增;
当时,令,得.
当时,单调递减,
当时,单调递增;
综上所述,当时,在上单调递增;
当时,在内单调递减,在单调递增.
（2）（i）由题意可得：,
令,整理可得,
设,则,
且,可知,
令,解得;令,解得;
则在内单调递减,在内单调递增,
由题意可知：有两个零点,则,解得,
若,令,则,
则,
可知在内有且仅有一个零点;
且当x趋近于趋近于,可知内有且仅有一个零点;
即,符合题意,综上所述：m的取值范围为.
（ii）由（i）可知：令,,
则,
令,,
则,
因为,则,
可知在内单调递增,则,
可得在内恒成立,可知在内单调递增,
则,即,,
不妨设,则,
且,在内单调递减,可得,即,证毕.
19．答案：（1）见解析
（2）
（3）5
解析：（1）X的所有可能取值为0,1,2,
,
,
的分布列如下：
（2）记A团队第位成员上场且闯过第二关的概率为,
若前面人都没有一人闯过第一关,其概率为,
若前面人有一人闯过第一关,其概率为,
故,
“第6位成员上场且闯过第二关”,“第3位成员闯过第一关”,
故,
.
（3）由（2）知,.
当时,若前面人都没有一人闯过第一关,其概率为,
若前面人有一人阁过第一关,其概率为,
故.
故.
,即单调递增;
又,
故,
所以,①
,②
得,
故.
由,得,
设,则,
故单调递减,,故满足题意的n的最大值为5.
性别
物理学科
合计
喜爱
不喜爱
男
60
40
100
女
20
80
100
合计
80
120
200
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
P