湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 分值：150分
命题人：李昌达 审题人：黄知清、邓佩君
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，若，则（ ）
A．1B．4C．D．
3．已知抛物线上一点的横坐标为4，则点到焦点的距离为（ ）
A．4B．2C．6D．8
4．若复数，则下列说法错误的是（ ）
A．的实部为B．的虚部为
C．D．对应的点在复平面第四象限
5．（教材原题）已知与是两个事件，，则（ ）
A．0.18B．0.3C．0.5D．0.6
6．从4个男生和4个女生中挑选3个人组成小组参加歌唱比赛，要求至少2个女生参与，则不同的小组组成方式有（ ）种
A．20B．28C．36D．44
7．截角四面体可由四面体经过适当的截角而得到．如图所示为一个正四面体，作平行于各个面的截面截角得到一个所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．（作业原题）设函数，若对于都有成立，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组不全相等的样本数据，由生成一组新的样本数据，则新数据与原数据中可能相等的量有（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．标准差
10．连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．事件与事件互为独立事件
11．（作业原题改编）对于式子，以下判断正确的有（ ）
A．存在，使得展开式中没有常数项B．对任意，展开式中有常数项
C．存在，使得展开式中有的一次项D．对任意，展开式中没有的一次项
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知正项等差数列的前项和为，则_________。
13．（作业原题）如图是一组数据的散点图，经最小二乘估计公式计算，与之间的经验回归方程为，则_________*。
14．已知圆，圆，过上一点作的切线与交于不同两点，，点的坐标为，则的取值范围为_________。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数，曲线在点处的切线平行于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
16．（15分）
在中，角所对的边分别为，记的面积为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．
17．（15分）
为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）．
（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）；
（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望．
附注：若，则，．
18．（17分）
已知椭圆经过四个点中的三个．
（1）求椭圆的方程与离心率；
（2）过点的直线与线段（不含端点）交于点，与椭圆交于点，
（i）若，求直线的斜率；
（ii）若，求直线的斜率．
19．（17分）
某商城进行促销活动，购买某产品的顾客可以参加一次游戏：在一个不透明箱子中放入红、蓝、黄三种颜色的小球各1个，顾客从中有放回地取出小球，直到取出的小球集齐了三种颜色则停止取球．设顾客停止取球时，取过的小球次数为，
（1）求；
（2）设，数列，求的通项公式；
（3）顾客停止取球时，取过的小球次数为，顾客可以获得对应的元奖金，其中，求证：．
高二数学第一次月考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．B 2．D 3．A 4．B
5．【答案】C
【解析】
6．【答案】B
【解析】情况1，2女1男，有种；情况2，3女，有种，共28种．
7．【答案】D
【解析】大正四面体的体积为，小正四面体的体积为，则截角四面体的体积为
8．【答案】C
【解析】法一：直接求导法
，令得，
时，单调递增；时，单调递减；
时，单调递增；故或，只需
法二：分离参数法
，令
时，；时，，所以．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．【答案】BC
【解析】不妨设，则的极差为的极差为，因为不全相等，所以错误；
设的平均数为，则的平均数为，当时，，B正确；时，取为为，他们的中位数相等，C正确；
设的标准差为，则的标准差为，因为不全相等，所以，D错误．
10．【答案】ABD
【解析】，
所以，A正确；，B正确；，C错误；，D正确．
11．【答案】BD
【解析】展开式通项为其中，当时，存在常数项，A错误，B正确，为偶数，不存在一次项，C错误，D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．【答案】
【解析】法一：特值法，令，易知法二：基本量法，
13．【答案】1
【解析】，带入经验回归方程得
14．【答案】
【解析】如图，不妨设，中点为，则，又，所以，所以，在中，由余弦定理有
因为，所以，所以
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．【解析】（1），由题意有；
（2）由（1）可得，令得或，列表如下：
极大值为，极小值为．
16．【解析】（1）因为，所以，可得，因为，所以．
（2）由余弦定理可知，即，
因为，所以，所以，可得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为24．
17．【解析】（1）
千米时．
（2）由（1）及题设知：，则，
（i），
辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆．
（ii）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为，故，．
18．【解析】（1）易知椭圆过三点，方程为，离心率为；
（2）（i）易知，设，
或或
所以直线的斜率为或
（ii）即，
与椭圆联立得，解得
或（舍）
所以直线的斜率为
19．【解析】（1）；
（2）不妨设第次首次取到红球，则前次中每次都取到蓝球或黄球中的一种，但不能全取蓝球，也不能全取黄球，；
（3）
下面证明：
，显然成立
故
1
3
+
0
-
0
+
极大值
极小值