湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则“”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合A，根据求出a的取值范围，结合选项，即可判断出答案.
【详解】由题意得或，，
故时，需满足,
结合选项，可知当时，必有，反之不成立，
故“”的一个充分不必要条件是，
故选：D
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
3. 如果随机变量，且，，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】依据贝努力分布的数学期望、方差的计算公式可得方程组：，则，应选答案C．
点睛：贝努力分布是随机变量的概率分布中的重要分布，求解时充分借助题设条件和贝努力分布中数学期望和方差的计算公式，巧妙建立方程组，通过解方程组求出使得问题巧妙获解．
4. 已知函数，则函数满足
A. 最小正周期为B. 图象关于点对称
C. 在区间上为减函数D. 图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【详解】∵函数f（x）=cs（x+）sinx=（csx﹣sinx）•sinx=sin2x﹣•
=（sin2x+cs2x）﹣=sin（2x+）+，
故它的最小正周期为，故A不正确；
令x=，求得f（x）=+=，为函数f（x）的最大值，故函数f（x）的图象关于直线x=对称，
且f（x）图象不关于点（，）对称，故B不正确、D正确；
在区间（0，）上，2x+∈（，），f（x）=sin（2x+）+ 为增函数，故C不正确，
故选D．
5. 某企业有4个分厂，现有新培训的6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 1080B. 480C. 1560D. 300
【答案】C
【解析】
【分析】先利用分组法将6名技术人员分成4组，再分配到4个分厂，从而得解.
【详解】先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，
若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分组方案有种，
若4个组的人数按2、2、1、1分配，则不同的分组方案有种，
所以分组方法共有种；
再这4组分给4个厂，不同的分配方法有.
故选：C.
6. 已知向量，若，则与夹角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】分析：先判断出方向相反，求出的夹角，与的夹角为，从而可得结果.
详解：由，，
因为，,
所以方向相反，
设的夹角为，则与夹角为，
由可得，
，
所以与夹角为，故选A.
点睛：本题主要考查平行向量的性质，平面向量夹角余弦公式的应用，属于中档题. 本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
7. 过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ）
A. B. ．
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案.
【详解】由题意设所求圆的方程为，
即，
圆心坐标为，代入中，
即，解得，
将代入中，即，
满足，
故所求圆的方程为，
故选：A
8. 已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得到画出函数图像，计算直线与函数相切和过点时的斜率，根据图像得到答案.
【详解】函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx
故，
画出函数图像，如图所示：

当直线与相切时：
，设切点为则
此时
当直线经过点时：
综上所述：
故选：
【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对部分给分，选错得0分．
9. 已知为两条不重合的直线,为两个不重合的平面,则下列说法正确的是
A. 若且则
B. 若则
C. 若则
D. 若则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】A. 若且则可以，异面，或相交，故错误；
B. 若则，又故，正确；
C. 若则或，又故，正确；
D. 若则，则或，错误；
故选：
【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.
10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ）
A. B. C. D. 外接圆的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设的外接圆的半径为, 利用正弦定理求出，再利用余弦定理和正弦定理求出和即得解.
【详解】解：设的外接圆的半径为,
因为，所以，
所以，则外接圆的面积为.
因为，所以
所以，所以. 所以ABD正确，C错误.
故选：ABD
11. 如图，双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交双曲线的右支于、两点，且，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 与面积之比为
C. 与周长之比为
D. 与内切圆半径之比为
【答案】BD
【解析】
【分析】设设，则，则，，在和中由余弦定理可得，即可得离心率可判断A；将代入可得，进而可得与周长可判断C；由可得与面积之比可判断C；由三角形的面积等于乘以三角形的周长再乘半径结合周长之比可得内切圆的半径之比，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】设，，
由双曲线的定义可得：，，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，所以，
所以，，整理可得，
所以该双曲线的离心率为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，因为，代入可得，
所以，，，
的周长为，
，，
所以，的周长为，
所以，和的周长之比为，C错；
对于D选项，设和的内切圆半径分别为、，
则，解得，D对.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机变量 服从正态分布，若，则______．
【答案】0.2
【解析】
【分析】利用正态曲线的对称性即可得到答案.
【详解】因为，所以.
故答案为：0.2.
13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【解析】
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
14. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图所示，从抛物线的焦点向轴上方发出的两条光线分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所成角均为，且，则两条反射光线之间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】延长交抛物线C于，判断和A关于x轴对称，利用直线方程和抛物线方程求出的坐标的表达式，结合可求出p的值，求出的值，即得答案.
【详解】如图，延长交抛物线C于，
因为两条入射光线与轴所成角均为，故，
即和A关于x轴对称，所以，
则，
又，则直线的方程为，
联立，则，
解得或，结合图示可知，
将代入，可得，同理求得，
则，即得，
故，
即两条反射光线之间的距离为，
故答案为：
四、解答题：本题共4小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；
（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.
【详解】（1）是和的等比中项，
，即，
，，
则可解得，，
∴；
（2），
，
，.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
16. 如图，在长方体中，，点E在棱上移动．
（1）证明：；
（2）若，求平面和平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，求出的坐标，计算，即可证明结论；
（2）结合（1），求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
故，则；
【小问2详解】
由于，
，
设平面法向量为，则，
令，则，
平面的法向量可取，
由原图可知平面和平面所成角锐角，设为，
则.
17. 已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【答案】（1）的减区间为，增区间为.
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.
（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.
（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.
【小问1详解】
当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
设，则，
又，设，
则，
若，则，
因为为连续不间断函数，
故存在，使得，总有，
故在为增函数，故，
故在为增函数，故，与题设矛盾.
若，则，
下证：对任意，总有成立，
证明：设，故，
故在上为减函数，故即成立.
由上述不等式有，
故总成立，即在上为减函数，
所以.
当时，有，
所以在上为减函数，所以.
综上，.
【小问3详解】
取，则，总有成立，
令，则，
故即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.
18. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.
【解析】
【详解】试题分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.
所以，直线的方程为，或.
【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键.
19. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率．
（1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的分布列及数学期望；
（2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复．
（ⅰ）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ⅱ）求甲第天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数．
【答案】（1）分布列见解析，4
（2）（i）；（ii）2
【解析】
【分析】（1）确定三人合计得分的可能的取值，求出每个值对应的概率，即得分布列，由期望公式即可求得数学期望；
（2）（i）根据第一天选择的情况，结合互斥事件的概率加法公式，即可求得答案；
（ii）由题意得出与之间的递推关系，构造等比数列，求出的表达式，解不等式，结合讨论n的取值情况，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为，
随机抽取3人，设随机变量X表示三人合计得分，则X的可能取值为：，
则，
，
则X的分布列如表：
则，
即三人合计得分的数学期望为4；
【小问2详解】
第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为，
若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为
若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，
则后一天继续选择“单车自由行”的概率为，
（i）甲第二天选择“单车自由行”的概率为；
（ii）甲第n天选择“单车自由行”的概率为，则，
则，
则，
又，
即数列为以为首项，以为公比的等比数列，
故，
由题意知，需，
即，
则n必为奇数，偶数不成立，
故当时，有成立即可；
当时，成立；
当时，成立；
当时，，即此时不成立；
又因为在R上单调递减，故当，n取奇数时，不成立；
综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数为2.
X
3
4
5
6
P