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所属成套资源：新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题（附解析）
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新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题22双曲线解答题压轴题（教师版）
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这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题22双曲线解答题压轴题（教师版），共55页。试卷主要包含了已知双曲线过点，且离心率为，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，理由见解析.
（1）
设，，
因为为等边三角形时，其面积为，
所以，解得，即，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知，所以，
所以的方程；
（2）
设，则在动直线上的投影，
当时，，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得，
所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；
（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，
又因为在双曲线上，所以 ，所以，
所以双曲线的方程为：，渐近线方程为；
（2）设，所以，所以，
所以，又因为，
所以，所以弦所在直线的方程为：，即.
【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则.
3．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）.
【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，
双曲线的标准方程为C：.
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，
所以，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，
所以直线方程为，即.
4．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
(1)
因为椭圆的焦点坐标为
所以可设M的方程为．
因为M与圆相切，所以，
则，故M的虚轴长．
(2)
由（1）知，M的方程为．
设A，B两点的坐标分别为，，则
两式相减得，
假设存在直线l满足题意．则所以，
因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，
故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；
(2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
（1）
证明：如图，由点与关于对称，
则，
且
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，
设双曲线方程为：
所以双曲线方程为
（2）
由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，
由，设.
，由于点在双曲线上
又，同理，设的倾斜角为，
则.
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，；
2．（2022·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)24
（1）
双曲线C的渐近线方程为，
所以，双曲线的方程可设为．
因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为；
（2）
当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、，
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为，
所以①
则，．
由
即，所以
化简得，
．
则（当k=0时等号成立）且满足①，
又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，知，，，
故双曲线C的方程为或.由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为.
（2）设l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可，
由得，
所以，.
4．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行.
（1）求的方程；
（2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值.
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）最大值.
【详解】解：（1）椭圆的右焦点为为双曲线，的右顶点，
，
直线与的一条渐近线平行，，，
双曲线的方程为，
（2），
理由如下：、为的左右焦点，，，，，
直线方程为，直线方程为，
即直线方程为，
直线方程为，
由点在的平分线上，得，
由，，以及，解得，
，
，解得，结合，则
；
（3）由（2）可知：直线的方程为：，
令，得，故点，，
由，消去得，
，
设，，，，则，，
，
由，，，
，，△的面积，
设，，则△的面积，
时，即为，时，△的面积最大值为．
5．（2022·湖南师大附中高二期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为.
【详解】（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，，且双曲线的实轴长为，所以解之得
双曲线的标准方程为
（2）联立方程组解之得所以点
，
，
，∴
（3）当直线的斜率不存在时，
，，此时
当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆方程得，
由弦长公式得
把直线方程代入双曲线方程得
由弦长公式得
因为直线与双曲线的右支相交于的，两点，
所以
设原点到直线的距离为，
∴
综上可知，的最小值为.
6．（2022·全国·高二期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由椭圆可得，
所以等轴双曲线的顶点为，
设等轴双曲线为，所以，
所以等轴双曲线的方程为；
（2）设，，,,
设直线的方程为，直线的方程为，
由得：，
所以显然成立，所以，
同理可得，
所以，
，
联立直线和：，解得，
所以，
因为在双曲线上，所以，解得，
所以
，
.
当且仅当，即时，取得最小值.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），
【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由，得 解得 从而，该双曲线的方程为；
（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，，
所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而
当在线段CD上时取等号，此时的最小值为
直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得，所以点的坐标为
③双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值，并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在，
（1）
，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）
由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
2．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，常数为．
（1）
因为双曲线的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以的方程为.
（2）
设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，
由题可知且，即且，
所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
3．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
（1）
由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）
①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另解：
设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
4．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）
解：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即,
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
（1）
双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）
由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
【答案】(1)
(2)或者
（1）
由对称性可设，
则，
因为点在双曲线上，所以，即，且
所以，
当时，为直角，
当时，为钝角，
所以最小时，.
（2）
设，由题意知动直线一定有斜率，设点的动直线为，
设
联立得，
所以，解得且，
，即，
即，
化简得，
，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
将①代入②得，从而
如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，
因此，从而，代入，解得，
此时在双曲线上，
综上，，或者.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在；
（1）
由题意得，解得
所以双曲线C的方程为．
（2）
证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为．
设P（x，y），则，
由得，
所以．
（3）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
与双曲线方程联立消y得，
所以，得且，
所以
．
假设存在实数m，使得，
则对任意的恒成立，
所以，解得．
所以当时，．
当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立．
综上，存在M（－1，0），使得．
8．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）
解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
（1）
由双曲线的方程可知，，
∴双曲线的离心率．
（2）
设，，由，得，
则，，
，
∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，
∴，∴，
∴，解得或．
当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意
∴直线l过定点，定点坐标为．
10．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．
(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．
(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线过定点
（1）
设，，，
由题意得，两式相减得，
整理得，
即直线的斜率，
又为的中点，即，所以，
所以；
（2）
由可知是以为直角顶点的直角三角形，即，
且直线不与双曲线的渐近线平行，即，
①当直线斜率存在时，设的方程为，，
联立直线与双曲线得，
，即，且，
则，，
所以，，
，
又，所以，即，
解得或，
当时，直线方程为，恒过点，不成立；
当时，直线方程为，恒过点，
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，，，即
，，
，解得或，
当时，过点，不成立；
当时，过，
综上所述，直线恒过定点.
11．（2022·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)或
(1)
由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以
(2)
设，将代入
整理得：
则
由得
因为
所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
12．（2022·全国·高二课时练习）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，在定直线方程上
（1）
由得，且
所以
即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）
由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
④双曲线中向量问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）
设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．
(1)求的标准方程．
(2)经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．
①若为坐标原点，求的取值范围；
②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
（1）
解：由题意得，其中，则，所以，即，
所以的渐近线方程为．
因为，与的一条渐近线垂直，所以，解得，所以，所以的标准方程为．
（2）
解：显然直线的斜率存在，设其方程为，，联立直线与的方程，消去得，因为直线与的两支分别交于点，，
所以，得，
设，，则，，．①，
所以的取值范围是．
②因为，所以直线的方程为，
由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，
在直线的方程中，令，得
，
所以直线过定点，定点坐标为．
3．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)过定点，证明见详解
（1）
因为，所以
由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中
所以
所以曲线C的方程为：
（2）
若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，
联立求解可得，直线PQ过点.
当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，
代入，整理得：
则
因为AP⊥AQ，所以
整理得
解得或
因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意
故，代入，得，过定点.
综上，直线PQ过定点.
4．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为.
(1)
由题意可设双曲线C的标准方程为，
由已知得，则，解得，，
故双曲线C的标准方程为.
(2)
由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，设，，，
若直线PB的斜率存在，则，
则直线PB的方程为.
联立，消去x整理得，
将代入上式整理得.
，，
则，
故，（根据向量的关系转化为坐标间的关系），
同理可得，故.
若直线PB的斜率不存在，则，此时轴，，直线
PA的方程为.
联立，消去x整理得，解得，
故，此时.
综上所述，为定值.
一题多解：
（2）由于P，N，B三点共线，设，，
又，所以由，，，
得①.
由于，
将上述两式相减可得②.
将①代入②可得③.
①+③得，解得为，，
故，
同理可得，故.
5．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)
解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，即．
又因为右焦点F的坐标为，所以，
又由，解得，所以，
所以双曲线C的方程为．
(2)
解：存在定值，使得．
因为与同向，所以，
由题意，可设直线，
联立方程组，整理得，
设，，可得，
由直线分别交双曲线C的左、右两支于A、B两点，
可得，即，
可得，
所以
由，可设，
由，整理得．
设 ，则，所以，
则，
所以，故存在定值，使得．
6．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.
(1)求，；
(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
椭圆的离心率为
，其中，
双曲线的两条渐近线的方程为，设，则
因为三角形的面积为1，所以，所以，，
故椭圆的方程为；
(2)
①当直线的斜率不存在时，因为，所以，此时的方程为，或，此时的方程为.
将，代入椭圆方程得，，，
所以的面积为
由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为.
②当直线的斜率存在时：
设直线方程为，设，，，
因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点
所以，
联立和，得，
，当时，，，
所以，，故
因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足
因而与满足的等式关系为①
当时，
因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍
设直线与轴交于点，则.
那么的面积为，
关系式①代入得，综合①②得的面积为定值.
7．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值
(1)
由题意，得双曲线的渐近线方程为，
右顶点为.又，
且，
所以，故.
又，解得，
所以双曲线的方程为.
(2)
设.
当直线和轴线平行时，，解得，
所以点到直线的距离为.
当直线和轴线不平行时，
设直线的方程为，
由得，
，
所以.
又，
所以，
得，
解得.
又点到直线的距离为，
则，故，
所以点到直线的距离为定值.
8．（2022·山东·高三开学考试）已知点是一个动点，，，．动点的轨迹记为．
(1)求的方程．
(2)设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在；理由见解析.
(1)
因为，
且，所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．
由，，得，，，
所以的方程为．
(2)
设，，，设直线的方程为，即，
联立得，
则，
且，，
所以．
假设存在点满足，则，
整理得，但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点．
⑤双曲线综合问题
1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)以为直径的圆过定点或
（1）
由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）
因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，2
(1)
解：由题可知：
∵，∴c＝2
∵，∴，
∴双曲线C的方程为：
(2)
证明：设直线的方程为：，另设：，，
∴，
∴，
又直线的方程为，代入,
同理，直线的方程为，代入,
∴，
∴
,
故为定值.
(3)
解：当直线的方程为时，解得，
易知此时为等腰直角三角形，其中 ，
即，也即：，
下证：对直线存在斜率的情形也成立，
，
∵，
∴，
∴，
∴结合正切函数在上的图像可知，，
3．（2022·全国·高三专题练习）已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②不存在，理由见解析
(1)
解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
(2)
解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，
，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
5．（2022·杭州求是高级中学高二期末）已知双曲线C的离心率，左焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
【答案】(1)
(2)0
（1）
依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为，
左焦点到其渐近线的距离，
∵，∴，解得，
所以双曲线方程是．
（2）
设，直线AB：，，，
直线PQ：，，，
联立，
依题意，
同理可得，，
∵，∴，
∴，化简得，
∵，∴．
∵，，
∴．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)双曲线一条渐近线方程为 ，
焦点 ，则焦点到准线的距离 ，
由F到渐近线的距离为可知： ，
由渐近线方程为知： ，故 ，
所以双曲线方程为： ；
(2)设直线l的方程为 ，
联立 ，整理得： ，
设 ，而 ,
则 ，
所以 ， ，
假设存在实数t，使得，则 ,
故由方程： ,令得 ，
同理方程： ,令得，
所以，
即 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故存在实数，使得.
7．（2022·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于M，N两个不同的点，F为右焦点.
(1)求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
(2)当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.
【答案】(1)双曲线的渐近线方程为，它们所夹的锐角为
(2)存在，或
(1)
由题意，令，所以双曲线的渐近线方程为，易得它们所夹的锐角为.
(2)
右焦点F的坐标为，
设，联立得，
化简得或且，
所以，又，所以三角形面积，即或，满足题意，所以存在或使得成立.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且经过点
（1）求双曲线C的标准力程；
（2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．
【答案】（1）；（2），，或者，．
【详解】（1）由题意．
且．
联立解得，所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，过点的动直线为：．
设，，联立得，-
所以，由且，解得且，
，即，即，．
化简得，
所以，．
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
所以
如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．
因此，从而，所以，代入
得，解得，此时在双曲线C上．
综上，，，或者，．
1．（2022·四川·树德中学高三期中（文））已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，，理由见解析.
（1）
设，，
因为为等边三角形时，其面积为，
所以，解得，即，
由抛物线定义可知，y=t为抛物线的准线，
由题意可知，所以，
所以的方程；
（2）
设，则在动直线上的投影，
当时，，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得，
所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程及渐近线方程；
（2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为，
又因为在双曲线上，所以 ，所以，
所以双曲线的方程为：，渐近线方程为；
（2）设，所以，所以，
所以，又因为，
所以，所以弦所在直线的方程为：，即.
【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则.
3．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）.
【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，
双曲线的标准方程为C：.
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，
所以，
因为恰好为线段的中点，则，
化简可得，
所以直线方程为，即.
4．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．
(1)求M的虚轴长．
(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，2
(1)
因为椭圆的焦点坐标为
所以可设M的方程为．
因为M与圆相切，所以，
则，故M的虚轴长．
(2)
由（1）知，M的方程为．
设A，B两点的坐标分别为，，则
两式相减得，
假设存在直线l满足题意．则所以，
因此l的方程为，代入M的方程，整理得，，l与M相交，
故存在直线l满足题意，且l的斜率为2．
②双曲线中的最值问题
1．（2022·全国·高三阶段练习）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片上的某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点.
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹的轨迹方程；
(2)若曲线上一点，点分别为在第一象限上的点与在第四象限上的点，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
（1）
证明：如图，由点与关于对称，
则，
且
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线，
设双曲线方程为：
所以双曲线方程为
（2）
由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，
由，设.
，由于点在双曲线上
又，同理，设的倾斜角为，
则.
由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，；
2．（2022·全国·高二期中）已知双曲线C：的渐近线方程为，O为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)24
（1）
双曲线C的渐近线方程为，
所以，双曲线的方程可设为．
因为点在双曲线上，可解得，所以双曲线C的方程为；
（2）
当直线PQ不垂直与x轴时，设其方程为y＝kx＋m，设点、，
将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为，
所以①
则，．
由
即，所以
化简得，
．
则（当k=0时等号成立）且满足①，
又因为当直线PQ垂直x轴时，，所以的最小值是24．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称.若双曲线C的实轴长为2，焦距为，且点P（0，-1）到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、E（D在y轴左侧）.记和的面积分别为、，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，知，，，
故双曲线C的方程为或.由点到渐近线的距离为，知双曲线方程为.
（2）设l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可，
由得，
所以，.
4．（2022·江苏·高二单元测试）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为双曲线：的右顶点，直线与的一条渐近线平行.
（1）求的方程；
（2）如图，､为的左右焦点，动点在的右支上，且的平分线与轴､轴分别交于点､，试比较与的大小，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，设过点､的直线与交于､两点，求的面积最大值.
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）最大值.
【详解】解：（1）椭圆的右焦点为为双曲线，的右顶点，
，
直线与的一条渐近线平行，，，
双曲线的方程为，
（2），
理由如下：、为的左右焦点，，，，，
直线方程为，直线方程为，
即直线方程为，
直线方程为，
由点在的平分线上，得，
由，，以及，解得，
，
，解得，结合，则
；
（3）由（2）可知：直线的方程为：，
令，得，故点，，
由，消去得，
，
设，，，，则，，
，
由，，，
，，△的面积，
设，，则△的面积，
时，即为，时，△的面积最大值为．
5．（2022·湖南师大附中高二期中）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为.
【详解】（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，，且双曲线的实轴长为，所以解之得
双曲线的标准方程为
（2）联立方程组解之得所以点
，
，
，∴
（3）当直线的斜率不存在时，
，，此时
当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆方程得，
由弦长公式得
把直线方程代入双曲线方程得
由弦长公式得
因为直线与双曲线的右支相交于的，两点，
所以
设原点到直线的距离为，
∴
综上可知，的最小值为.
6．（2022·全国·高二期末）已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.
（1）求等轴双曲线的方程；
（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由椭圆可得，
所以等轴双曲线的顶点为，
设等轴双曲线为，所以，
所以等轴双曲线的方程为；
（2）设，，,,
设直线的方程为，直线的方程为，
由得：，
所以显然成立，所以，
同理可得，
所以，
，
联立直线和：，解得，
所以，
因为在双曲线上，所以，解得，
所以
，
.
当且仅当，即时，取得最小值.
7．（2022·全国·高二课时练习）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），
【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由，得 解得 从而，该双曲线的方程为；
（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，，
所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而
当在线段CD上时取等号，此时的最小值为
直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得，所以点的坐标为
③双曲线中定点、定值、定直线问题
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值，并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在，
（1）
，得，
当时，如图1所示，
因为D，C都在圆A上
所以，即
又因为，所以，
所以，∴，
所以
当时，如图2所示，
同理可得，
因此，所以点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，
故，，即，，所以，
∴为定值2，且点E的轨迹方程为.
（2）
由题知，直线l的斜率不为0，设l：，
联立消去x得，，
于是，
设，，则有，，
故，
所以线段的中点为，
从而线段的中垂线的方程为
令得，，∴
又
故，于是
即存在使得.
2．（2022·湖南·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在上.
(1)求双曲线的方程.
(2)设过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标以及该常数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，常数为．
（1）
因为双曲线的离心率为，
所以，化简得.
将点的坐标代入，可得，
解得，
所以的方程为.
（2）
设，直线的方程为，联立方程组消去得（1-，
由题可知且，即且，
所以.
设存在符合条件的定点，则，
所以.
所以，
化简得.
因为为常数，所以，解得.
此时该常数的值为，
所以，在轴上存在点，使得为常数，该常数为.
3．（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
（1）
由题意点在双曲线上，离心率
可得； ，解出，，
所以，双曲线的方程是
（2）
①当直线的斜率不存在时，则可设，
代入，得，
则，
即，解得或，
当时，，其中一个与点重合，不合题意；
当时，直线的方程为，它与双曲线不相交，故直线的斜率存在；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程代入，
整理得，，设，
则，
由，
所以
所以，，
即,
整理得，
即，
所以或，
若，则，直线化为，过定点；
若，则，直线化为，它过点，舍去
综上，直线恒过定点
另解：
设直线的方程为①，
双曲线的方程可化为，
即②，
由①②可得，
整理可得，
两边同时除以，
整理得③，
，
则是方程③的两个不同的根，
所以，即④，
由①④可得 ，解得，
故直线恒过定点.
4．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
解：由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为.
（2）
解：由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则且，
设，则，
直线的方程为，
令，可得，即,
同理可得，
因为为的中点，所以，
即，
可得，即，
所以或，
若，则直线方程为，即，
此时直线过点，不合题意；
若时，则直线方程为，恒过定点，
所以为定值，
又由为直角三角形，且为斜边，
所以当为的中点时，.
5．（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形的面积为．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为，F为C的右焦点，若，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【答案】(1)1；
(2)证明见解析.
（1）
双曲线的渐近线方程为，则不妨令点，
，而点O到直线AB的距离为m，因此，解得，
所以．
（2）
由（1）知，双曲线C的方程为，右焦点，
因直线l与x轴不垂直且斜率不为0，设直线l与x轴交于点，直线l的方程为，
设，则，由消去y并整理得，
显然有且，化简得且，
则，，
而，F，N三点共线，即，则，
因此，又，有，
整理得，于是得，化简得，
即直线：，过定点，
所以直线l经过x轴上的一个定点．
6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知双曲线和点.
(1)斜率为且过原点的直线与双曲线交于两点，求最小时的值.
(2)过点的动直线与双曲线交于两点，若曲线上存在定点，使为定值，求点的坐标及实数的值.
【答案】(1)
(2)或者
（1）
由对称性可设，
则，
因为点在双曲线上，所以，即，且
所以，
当时，为直角，
当时，为钝角，
所以最小时，.
（2）
设，由题意知动直线一定有斜率，设点的动直线为，
设
联立得，
所以，解得且，
，即，
即，
化简得，
，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
将①代入②得，从而
如果时，那么，此时不在双曲线上，舍去，
因此，从而，代入，解得，
此时在双曲线上，
综上，，或者.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程．
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值．
(3)若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在；
（1）
由题意得，解得
所以双曲线C的方程为．
（2）
证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为．
设P（x，y），则，
由得，
所以．
（3）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
与双曲线方程联立消y得，
所以，得且，
所以
．
假设存在实数m，使得，
则对任意的恒成立，
所以，解得．
所以当时，．
当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立．
综上，存在M（－1，0），使得．
8．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）已知双曲线过点，且离心率为．
(1)求双曲线C的方程．
(2)设直线l是圆上的动点处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：以为直径的圆过坐标原点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
由题意得：，故，故.
又过点可得，即，解得，则双曲线C的方程为
（2）
解法1：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，
化简得．
则直线l的方程为，代入双曲线C的方程，
变形为，
整理得等号两边同除以，
得到．
设，则，
故，即以为直径的圆过坐标原点．
解法2：因为点在圆上，
所以圆在点处的切线方程为，化简得
由及得，
∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
则，
，即以为直径的圆过坐标原点．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点（A，B均异于左、右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
（1）
由双曲线的方程可知，，
∴双曲线的离心率．
（2）
设，，由，得，
则，，
，
∵以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点，∴，
∴，∴，
∴，解得或．
当时，直线l的方程为，直线l过定点，与已知矛盾；
当时，直线l的方程为，直线l过定点，经检验符合题意
∴直线l过定点，定点坐标为．
10．（2022·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为，，是双曲线上除顶点以外的任意两点，为的中点．
(1)设直线与直线的斜率分别为，，求的值．
(2)若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，直线过定点
（1）
设，，，
由题意得，两式相减得，
整理得，
即直线的斜率，
又为的中点，即，所以，
所以；
（2）
由可知是以为直角顶点的直角三角形，即，
且直线不与双曲线的渐近线平行，即，
①当直线斜率存在时，设的方程为，，
联立直线与双曲线得，
，即，且，
则，，
所以，，
，
又，所以，即，
解得或，
当时，直线方程为，恒过点，不成立；
当时，直线方程为，恒过点，
②当直线斜率不存在时，设直线方程为，点，，，即
，，
，解得或，
当时，过点，不成立；
当时，过，
综上所述，直线恒过定点.
11．（2022·广东汕尾·高二期末）已知点，分别为双曲线C：的左、右焦点，点A为双曲线C的右顶点，已知，且点到一条渐近线的距离为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线：与双曲线C交于两点，，直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)或
(1)
由题知，，其中一条渐近线为，即，
所以，解得
所以
(2)
设，将代入
整理得：
则
由得
因为
所以，得，即
所以直线的方程为
所以当，且时，直线过定点；
所以当，且时，直线过定点.
12．（2022·全国·高二课时练习）设是双曲线的左､右两个焦点，为坐标原点，若点在双曲线的右支上，且的面积为3.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若双曲线的两顶点分别为，过点的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，在定直线方程上
（1）
由得，且
所以
即解得
又,
故双曲线的渐近线方程为.
（2）
由（1）可知双曲线的方程为.
（i）当直线的斜率不存在时，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，
（ii）当直线的斜率存在时，易得直线l不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线的方程为，
联立得
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又满足，
.
，
，或，（舍去.
综上，在定直线上，且定直线方程为.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.
（1）求实数的值；
（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；
（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到
，进而证明点恒在定直线上.
试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，
故双曲线的方程为；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，
则，，
，因此点的坐标为，
故直线的斜率，直线的斜率为，
因此直线与直线的斜率之积为，
由于点在双曲线上，所以，所以，
于是有
（定值）；
（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，
设，则，即，
整理得，
由①③，②④得，，
将，，代入⑥得，⑦，
将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；
证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
由，
消去得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，
则有，
设点，由，得，
整理得，
将②③代入上式得，
整理得，④
因为点在直线上，所以，⑤
联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.
④双曲线中向量问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；
(1)求双曲线的方程；
(2)过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
（1）
依题意，，当l垂直于x轴时，，
即，即，
解得，，因此；
（2）
设，联立双曲线方程，
得：，
当时，，
，
当时，设，
因为直线与双曲线右支相交，
因此，即，同理可得，
依题意，
同理可得，，
而，
代入，，
，
分离参数得，，
因为，
当时，由，
，
所以，
综上可知，的取值范围为.
2．（2022·江苏·南京师大附中高三阶段练习）已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．
(1)求的标准方程．
(2)经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．
①若为坐标原点，求的取值范围；
②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
（1）
解：由题意得，其中，则，所以，即，
所以的渐近线方程为．
因为，与的一条渐近线垂直，所以，解得，所以，所以的标准方程为．
（2）
解：显然直线的斜率存在，设其方程为，，联立直线与的方程，消去得，因为直线与的两支分别交于点，，
所以，得，
设，，则，，．①，
所以的取值范围是．
②因为，所以直线的方程为，
由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，
在直线的方程中，令，得
，
所以直线过定点，定点坐标为．
3．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.
【答案】(1)
(2)过定点，证明见详解
（1）
因为，所以
由双曲线定义可知，M的轨迹为双曲线，其中
所以
所以曲线C的方程为：
（2）
若直线PQ垂直于x轴，易知此时直线AP的方程为，
联立求解可得，直线PQ过点.
当直线PQ斜率存在时，设直线PQ方程为，
代入，整理得：
则
因为AP⊥AQ，所以
整理得
解得或
因为点P和Q都异于点A，所以不满足题意
故，代入，得，过定点.
综上，直线PQ过定点.
4．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定值为.
(1)
由题意可设双曲线C的标准方程为，
由已知得，则，解得，，
故双曲线C的标准方程为.
(2)
由双曲线的对称性不妨设P在第一象限，设，，，
若直线PB的斜率存在，则，
则直线PB的方程为.
联立，消去x整理得，
将代入上式整理得.
，，
则，
故，（根据向量的关系转化为坐标间的关系），
同理可得，故.
若直线PB的斜率不存在，则，此时轴，，直线
PA的方程为.
联立，消去x整理得，解得，
故，此时.
综上所述，为定值.
一题多解：
（2）由于P，N，B三点共线，设，，
又，所以由，，，
得①.
由于，
将上述两式相减可得②.
将①代入②可得③.
①+③得，解得为，，
故，
同理可得，故.
5．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)
解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，即．
又因为右焦点F的坐标为，所以，
又由，解得，所以，
所以双曲线C的方程为．
(2)
解：存在定值，使得．
因为与同向，所以，
由题意，可设直线，
联立方程组，整理得，
设，，可得，
由直线分别交双曲线C的左、右两支于A、B两点，
可得，即，
可得，
所以
由，可设，
由，整理得．
设 ，则，所以，
则，
所以，故存在定值，使得．
6．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.
(1)求，；
(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
椭圆的离心率为
，其中，
双曲线的两条渐近线的方程为，设，则
因为三角形的面积为1，所以，所以，，
故椭圆的方程为；
(2)
①当直线的斜率不存在时，因为，所以，此时的方程为，或，此时的方程为.
将，代入椭圆方程得，，，
所以的面积为
由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为.
②当直线的斜率存在时：
设直线方程为，设，，，
因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点
所以，
联立和，得，
，当时，，，
所以，，故
因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足
因而与满足的等式关系为①
当时，
因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍
设直线与轴交于点，则.
那么的面积为，
关系式①代入得，综合①②得的面积为定值.
7．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，定值
(1)
由题意，得双曲线的渐近线方程为，
右顶点为.又，
且，
所以，故.
又，解得，
所以双曲线的方程为.
(2)
设.
当直线和轴线平行时，，解得，
所以点到直线的距离为.
当直线和轴线不平行时，
设直线的方程为，
由得，
，
所以.
又，
所以，
得，
解得.
又点到直线的距离为，
则，故，
所以点到直线的距离为定值.
8．（2022·山东·高三开学考试）已知点是一个动点，，，．动点的轨迹记为．
(1)求的方程．
(2)设为直线上一点，过的直线与交于，两点，试问是否存在点，使得？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在；理由见解析.
(1)
因为，
且，所以的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线的右支．
由，，得，，，
所以的方程为．
(2)
设，，，设直线的方程为，即，
联立得，
则，
且，，
所以．
假设存在点满足，则，
整理得，但，所以假设不成立，故不存在满足题意的点．
⑤双曲线综合问题
1．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））设为双曲线的左､右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形.
(1)求双曲线的离心率；
(2)已知，若直线分别交直线于两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过定点，若过定点求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)以为直径的圆过定点或
（1）
由已知得：，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2
（2）
因为，所以，解得：，
故，，所以双曲线方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，
则，，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，
同理可求得：，
则
，
其中，
所以
则以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
所以以为直径的圆的方程为：，
整理得：，所以以为直径的圆过定点，，
当直线的斜率不存在时，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
.以为直径的圆的方程为，点，在此圆上，
综上：以为直径的圆过定点，.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，2
(1)
解：由题可知：
∵，∴c＝2
∵，∴，
∴双曲线C的方程为：
(2)
证明：设直线的方程为：，另设：，，
∴，
∴，
又直线的方程为，代入,
同理，直线的方程为，代入,
∴，
∴
,
故为定值.
(3)
解：当直线的方程为时，解得，
易知此时为等腰直角三角形，其中 ，
即，也即：，
下证：对直线存在斜率的情形也成立，
，
∵，
∴，
∴，
∴结合正切函数在上的图像可知，，
3．（2022·全国·高三专题练习）已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，且的渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②不存在，理由见解析
(1)
解：由题意有，则，
将点代入双曲线方程得，
联立解得，
故的方程为；
(2)
解：①，易知直线，的斜率均存在且不为，
设，
的方程为，则的方程为，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，则，
则，
则，
联立，消整理得，
直线与双曲线交于两点，
故且，解得，
则，
则，
根据对称性可知四边形为菱形，
其面积
，
，∴，∴，
∴，
；
②，假设满足题意的直线存在，
易知直线斜率存在，设直线的方程为，
，
联立，整理得，
则且，
解得且，
由韦达定理有，
则
，
不妨设为直线与渐近线的交点，
联立，解得，
，
同理可得点的坐标为，
则，
因为，为线段的三等分点，，
即，
整理得，①
，，
则，即，
，
整理得,②
联立①②得，无解，
故没有满足条件的直线．
5．（2022·杭州求是高级中学高二期末）已知双曲线C的离心率，左焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
【答案】(1)
(2)0
（1）
依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为，
左焦点到其渐近线的距离，
∵，∴，解得，
所以双曲线方程是．
（2）
设，直线AB：，，，
直线PQ：，，，
联立，
依题意，
同理可得，，
∵，∴，
∴，化简得，
∵，∴．
∵，，
∴．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，渐近线方程为，F到渐近线的距离为．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
(1)双曲线一条渐近线方程为 ，
焦点 ，则焦点到准线的距离 ，
由F到渐近线的距离为可知： ，
由渐近线方程为知： ，故 ，
所以双曲线方程为： ；
(2)设直线l的方程为 ，
联立 ，整理得： ，
设 ，而 ,
则 ，
所以 ， ，
假设存在实数t，使得，则 ,
故由方程： ,令得 ，
同理方程： ,令得，
所以，
即 ，
则 ，
即 ，解得 ，
故存在实数，使得.
7．（2022·全国·高三专题练习）设直线与双曲线交于M，N两个不同的点，F为右焦点.
(1)求双曲线C的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；
(2)当时，设直线与C交于M，N，三角形面积为S，判断：是否存在k使得成立？若存在求出k的值，否则说明理由.
【答案】(1)双曲线的渐近线方程为，它们所夹的锐角为
(2)存在，或
(1)
由题意，令，所以双曲线的渐近线方程为，易得它们所夹的锐角为.
(2)
右焦点F的坐标为，
设，联立得，
化简得或且，
所以，又，所以三角形面积，即或，满足题意，所以存在或使得成立.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一个焦点为，且经过点
（1）求双曲线C的标准力程；
（2）已知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值．
【答案】（1）；（2），，或者，．
【详解】（1）由题意．
且．
联立解得，所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，过点的动直线为：．
设，，联立得，-
所以，由且，解得且，
，即，即，．
化简得，
所以，．
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，
所以
如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去．
因此，从而，所以，代入
得，解得，此时在双曲线C上．
综上，，，或者，．
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