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新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题25概率统计解答题压轴题（教师版）
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这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题25概率统计解答题压轴题（教师版），共73页。试卷主要包含了，且各个芯片的生产互不影响等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
（1）
设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）
设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
2．（2022·山东济南·高二期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n次；
方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次．
(1)若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式；
（ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）当时，选择方案二；当时，选择方案一.
(1)
将5份待检血液排成一排有；
满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；
第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法；
第三步，将剩余3份排成一排有.
所以满足条件的排法共.
所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为
(2)
（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；
记方案二检验次数为X，则X的取值为1，n+1
，
所以
由题可知，即，
整理可得，即
（ⅱ）当时，记单次检验费用为x，
则方案一：检验费用为；
方案二：记检验费为Y，则Y的分布列为
则
记，因为，所以
因为，所以单调递增，
由（ⅰ）知，当时，，
所以当时，，则；
当时，，则.
故当时，选择方案二；当时，选择方案一.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，取到34的可能性最大.
(1)
抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为
(2)
由（1）知：甲每次被抽到的概率均为，则．
所以.
(3)
设两次都被抽到的人数为随机变量，则，
故．
令，
故，
令则，即，
当时，；当时，．
因此，时最大，即最大，
所以取到34的可能性最大．
4．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
(2)若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
(3)①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．
参考数据：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)11
(1)
记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，
则．
(2)
X的可能值为1和，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以
(3)
①设方案二的总费用的数学期望为，方案一总费用为Z，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时．，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理．
②由①知方案二总费用的数学期望，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11．
5．（2022·全国·高三专题练习）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
【答案】(1)①，②
(2)证明见解析
（1）
①因为两道生产工序互不影响，
法一：所以．
法二：所以．
答：该款芯片的次品率为；
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且．
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；
（2）
因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所．
令，得，
所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
6．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）设，，函数与在x＝0处有相同的切线．
(1)求a的值；
(2)求证：当时，；
(3)若一个盒子里装有n（且）个不同的彩色球，其中只有一个白球，每次从中随机抽取一个，然后放回，只要取到白球就停止抽取，记抽取2次就中止的概率为，抽取3次就中止的概率为，设（且），求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
，，由题可知：
(2)
当时，等价于证明：
设，，
所以当时，恒成立，故在上递增，
又，则，故不等式得证.
(3)
由题：，，故
由（2）可知，当时，
故：，得证.
7．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【答案】(1)；
(2)该同学没有希望进入决赛.
(1)
由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
(2)
设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴．
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
∴，故该同学没有希望进入决赛．
8．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．
【详解】（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以．
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，．
因为所以所以在上单调递增，
于是．
故乙赢的概率最大为故是小概率事件．
②概率与数列
1．（2022·浙江·高二期中）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
（1）
解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）
解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
2．（2022·全国·高二期末）2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.
(1)求，的值；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
(1)
解：得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以，
得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，所以；
(2)
解：因为小明得分有两种情况，一种是小明在得分的情况下又答1题错误；
另一种是小明在得分的情况下又答1题正确.
所以，即，
因为，
所以，
因此是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当时，，
，
又符合上式，
所以.
3．（2022·全国·高三专题练习）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
4．（2022·全国·高三专题练习）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【详解】(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
5．（2022·河北廊坊·模拟预测）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为.
（1）求，，的值；
（2）求证：，其中，；
（3）求及的值.
【答案】（1）...（2）见解析；（3），.
【详解】（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴.
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；
②第一次掷硬币出现反面，其概率为.
∴.
（2）证明：棋子跳到第n（）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；
②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.
∴.
∴.
（3）由（2）知，当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
∴，，
，…，.
以上各式相加，得，
∴.
∴，
.
6．（2022·山东省实验中学模拟预测）某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
【答案】（1）分布列见解析，数学期望；（2）见解析；（3）游戏不公平.
【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：
由第站跳站得到，其概率为；
可以由第站跳站得到，其概率为.
所以，.
同时减去得；
（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为，
由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.
所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.
③概率综合
1．（2022·湖南衡阳·高一期末）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(1)
设事件A为“第三局结束乙获胜”
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故
(2)
设事件B为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情
况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．
此时的概率
故
2．（2022·广东广州·高二期末）甲、乙运动员进行乒乓球选拔赛，每场比赛采用7局4胜制（即有一运动员先胜4局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的运动员积5分，负者积0分，以取胜的运动员积4分，负者积1分，以取胜的运动员积3分，负者积2分．已知知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
(1)甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；
(2)甲、乙两人比赛2场后，求两人积分不相等的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(1)
由题意知：甲的积分X可能是 ，
则,,
,,
,,
故X的分布列为：
所以 ;
(2)
记“甲、乙两人比赛2场后，两人积分相等”的事件为A，
第i 场比赛甲、乙两人的积分分别为 ，则，
由两人积分相等得，
故,故,
故
,
故两人积分不相等的概率为 .
3．（2022·福建厦门·高一期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【答案】(1)；
(2)小明更容易晋级复赛.
(1)
对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
(2)
由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
4．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ，急性乙肝炎症治愈率可达 ，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有 ，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率 .（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)分布列见解析，期望为20；
(2)0.97
(1)
病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验；
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，；
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，；
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，；
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，；
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，；
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，；故随机变量的分布列为：
则；
(2)
由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，则两人最后至少有一人痊愈的概率.
5．（2022·福建·莆田二中模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.
(1)若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
(2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.
【答案】(1)
(2)
(1)
记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题.
；
(2)
由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
又
当且仅当时，等号成立，
，，
,
令 则
开口向下，对称轴：当时，
设要进行轮竞赛，则解得：
至少要进行轮竞赛.
6．（2022·全国·高三专题练习）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以所求的概率为
(2)
设表示队伍B在比赛i中胜利，表示队伍B在比赛i中失败，
设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，
则事件F包括，，，，，且这五种情况彼此互斥，进而
事件包括，且这两种情况互斥，
进而
所以所求事件的概率为
7．（2022·重庆·三模）漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.
(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；
(3)通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.
【答案】(1)
(2)
(3)比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
(1)
这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为
(2)
一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则，
所以的可能值为，0，1，2，
，
所以的分布列为
所以
(3)
后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，2，4，6，8，10，11，10，10，11，12，9，
因为后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15，
设后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X，
则，所以，
所以后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间，所以甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
8．（2022·河北·模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式；
(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案见解析，；
(2)；
(3)这方案不合理，分析答案见解析.
【详解】解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴随机变量X的分布列如下表所示：
∴.
(2)依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得()分，再得2分，概率为，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)因为，，∴，
∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.
9．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【详解】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
的期望为.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，均值为1125元.
【详解】(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，
显然A1与A2互斥，且A=A1+A2，
，
，
所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为；
(2)该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量，的可能值为0，1000，3000，6000，
，，
，，
所以的分布列为：
的均值为：(元).
④二项分布
1．（2022·浙江衢州·高二阶段练习）自年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为.
(1)若，现对份样本进行核酸检测，求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望；
(2)若，现有份样本等待检验，并提供“合”检验方案：将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)答案见解析
(1)
解：记阳性人数为，则，，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
(2)
解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立，
，则当时，恒成立，
当时，恒成立.
综上所述，当且时，，则，
当时，，则，
当且时，，则.
2．（2022·海南省直辖县级单位·三模）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点；
②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；
(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
【答案】(1)
(2)乙选手水平更高，理由见解析
(1)
甲滑雪用时比乙多秒分钟，
因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C，
依题意，事件B和事件C是互斥事件，
，
所以，.
所以甲胜乙的概率为.
(2)
依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多分钟，
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.
3．（2022·全国·高二单元测试）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．
【答案】(1)分布列见解析，（分）
(2)
（1）
解：可取5，6，7，8，9，10，
，，
，，
，，
分布列如下：
所以（分）；
（2）
解：设一天得分不低于3分为事件，
则，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率，
则
，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值.
4．（2022·江苏·扬州市江都区丁沟中学高二期末）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择时，获奖的概率更大，理由见解析.
【详解】解：（1）由题意知，则，，
，，
所以X的分布列为
．
（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，
若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，
设局游戏中，得3分的局数为m，则，即．
易知，
故此时获大奖的概率
同理可以求出当，获大奖的概率为
因为
所以，则
答：甲选择时，获奖的概率更大．
5．（2022·全国·高三专题练习）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【详解】（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
⑤超几何分布
1．（2022·北京·北理工附中高二期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5
（1）
由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
2．（2022·全国·高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
3．（2022·北京二中高二期末）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）（2）见解析
【详解】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：
，即：，
所以，得：，
显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.
（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，
，
，
则分布列为
则期望为：
4．（2021·全国·高二单元测试）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.
（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.
①求的分布列及均值；
②求的均值取最大值时，正整数的值.
【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.
【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.
，，，
所以的分布列为
所以.
（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.
，，
，所以的分布列为
所以.
因为，所以，当且仅当时取等号.
所以取最大值时，的值为2.
5．（2021·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】（1）①；②详见解析；（2）.
【详解】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
⑥正态分布
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，)
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
（1）
（2）
由，所以，
.
（3）
小兔子开始在第1格，为必然事件，，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，
小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；
②小兔了先跳到第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；
因为，所以.
所以当时，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
.
所以获胜的概率.
2．（2022·全国·高三专题练习）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【详解】（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
3．（2022·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
4．（2022·全国·高二期末）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【详解】（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
∴.
5．（2022·江苏·扬州市江都区丁沟中学高二期末）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
6．（2022·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
【答案】（1）人；（2）（ⅰ），（ⅱ）元.
【详解】解：（1）由题意知样本平均数为，，
，所以，，
而，
故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）；
（2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，即，，，
当，时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
所以，，
所以，
令，则，
上述两个等式相减得，
化简得，所以，（元）.
7．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
【答案】（1）；（2）①；②时，最大值为.
【详解】解：（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
8．（2022·全国·高二期末）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
⑦非线性回归分析
1．（2022·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【答案】(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)①为常函数；②答案见解析
（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知，．（i），．消去条件中的得，所以．所以为常函数．（ii）由（i），，．由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．①若，．则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；②若，．则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
2．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)回归方程为，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
（1）
由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以的分布列为：
所以数学期望为.
（2）
令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
（3）
由题知，在前轮就成功的概率为
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故.
3．（2022·全国·高三专题练习）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.
（1）
由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．
（2）
①0.996
②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．
按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．
4．（2022·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.
附：回归方程中，，.
【答案】（1）；
（2）当时，.
【详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.
对两边取自然对数，得，
令，，，则，
由数据得，
，，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
则关于的回归方程为；
（2）由得，
因为，令得，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值为，也是最大值；
所以当时，.
5．（2023·全国·高三专题练习）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据：．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为
(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；
(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为2.
（1）
解：散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为
由，则，，
变量关于的回归方程为，
，
，，
综上，y关于x的回归方程为；
（2）
解：由，解得，
，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为，
的分布列为：
.
6．（2023·全国·高三专题练习）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
设，则，因为，，，
所以．
把代入，得．
即关于的回归方程为；
（2）
由题意知，，，由得，
所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，，
，，，所以X的分布列为
.
7．（2022·全国·高二课时练习）为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中，化肥施用量为（单位：千克），粮食亩产量为（单位：百千克）．令，．
(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为粮食亩产量关于化肥施用量的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计化肥施用量为千克时，粮食亩产量的值；
(3)经生产技术提高后，该化肥的有效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．问这种化肥的有效率超过的概率约为多少？
附：①在回归直线方程中，，；
②若随机变量，则有，；
③．
【答案】(1)更适宜作为关于的回归方程模型
(2)；千克．
(3)
（1）
由散点图可知：随的变化呈现非线性的变化趋势，
更适宜作为关于的回归方程模型．
（2）
由得：，即，
，，
，关于的回归方程为：；
当时，，即当当化肥施用量为千克时，粮食亩产量为千克.
（3）
，则，，
，
则，
这种化肥的有效率超过的概率约为．
8．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．
(1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的入次，参考数据：其中，．
线性回归方程：，其中，．
(3)己知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)适合
(2)， 690；
(3)分布列见解析，期望为
（1）
根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型
（2）
由（1）知，，两边同时取对数得，令，，则，
由题意知，
又，，
所以，
所以所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690；
（3）
由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4，
，，，，．
所以的分布列为：
所以
9．（2023·全国·高三专题练习（理））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(3)已知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据，，……，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：、
【答案】(1)适合
(2)
(3)46．24
（1）解：由散点图知：各点呈非线性递增趋势，所以作为回归方程比较合适．
（2）解：由，则，由，，则，所以．
（3）解：①当时，；此时年利润千元．②由题意，，所以，当，即时，年利润的预报值最大．Y
P
X
1
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
5
P
10
14
16
18
20
22
0
1
2
P
0
1
2
P
X
3
4
5
6
P
0
1
2
3
0
1000
3000
6000
5
6
7
8
9
10
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1
0
1
2
3
等级
比例
赋分区间
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
0
1
2
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
20
40
50
70
100
0
1
2
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
1
2
3
年份
1997-2016
2007-2016
线性回归模型
0.9306
指数回归模型
0.9899
0.978
平均温度
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数/个
7
11
21
24
66
115
325
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
参考数据
5215
17713
717
81.3
3.6
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
1
2
3
P
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
3
4
P
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
1．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）甲､乙两人参加一个游戏，该游戏设有奖金256元，谁先赢满5局，谁便赢得全部的奖金，已知每局游戏乙赢的概率为，甲赢的概率为，每局游戏相互独立，在乙赢了3局甲赢了1局的情况下，游戏设备出现了故障，游戏被迫终止，则奖金应该如何分配才为合理？有专家提出如下的奖金分配方案：如果出现无人先赢5局且游戏意外终止的情况，则甲､乙按照游戏再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比分配奖金.
(1)若，则乙应该得多少奖金；
(2)记事件A为“游戏继续进行下去甲获得全部奖金”，试求当游戏继续进行下去，甲获得全部奖金的概率，并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由.（注：若随机事件发生的概率小于，则称随机事件为小概率事件）
【答案】(1)252（元）
(2)事件A是小概率事件，理由见解析.
（1）
设游戏再继续进行下去X局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
由题知，当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
当时，乙以赢，所以，
所以乙赢得全部奖金的概率为，
所以乙应该得多少奖金为（元）.
（2）
设游戏继续进行Y局甲获得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题知，当时，甲以赢，所以，
当时，甲以赢，所以，
甲获得全部奖金的概率，
所以，
所以，
，，
在上单调递减，所以，
故事件A是小概率事件.
2．（2022·山东济南·高二期末）在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病．现有n（，）个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n次；
方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验n＋1次．
(1)若，且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为．
（ⅰ）若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于n的函数解析式；
（ⅱ）若，且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）当时，选择方案二；当时，选择方案一.
(1)
将5份待检血液排成一排有；
满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；
第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法；
第三步，将剩余3份排成一排有.
所以满足条件的排法共.
所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为
(2)
（ⅰ）因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值n；
记方案二检验次数为X，则X的取值为1，n+1
，
所以
由题可知，即，
整理可得，即
（ⅱ）当时，记单次检验费用为x，
则方案一：检验费用为；
方案二：记检验费为Y，则Y的分布列为
则
记，因为，所以
因为，所以单调递增，
由（ⅰ）知，当时，，
所以当时，，则；
当时，，则.
故当时，选择方案二；当时，选择方案一.
3．（2022·浙江·高二阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，取到34的可能性最大.
(1)
抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为
(2)
由（1）知：甲每次被抽到的概率均为，则．
所以.
(3)
设两次都被抽到的人数为随机变量，则，
故．
令，
故，
令则，即，
当时，；当时，．
因此，时最大，即最大，
所以取到34的可能性最大．
4．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．
(1)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
(2)若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
(3)①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值．
参考数据：
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)11
(1)
记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，
则．
(2)
X的可能值为1和，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以
(3)
①设方案二的总费用的数学期望为，方案一总费用为Z，
所以方案二总费用的数学期望为：
，
又，所以，
又方案一的总费用为，
所以，
当时．，
，又，
所以，所以该单位选择方案二合理．
②由①知方案二总费用的数学期望，
当时，，
又方案一的总费用为，
令得：，
所以，即，
即，所以，
设，
所以，
令得得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11．
5．（2022·全国·高三专题练习）我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
【答案】(1)①，②
(2)证明见解析
（1）
①因为两道生产工序互不影响，
法一：所以．
法二：所以．
答：该款芯片的次品率为；
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且．
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；
（2）
因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所．
令，得，
所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
6．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）设，，函数与在x＝0处有相同的切线．
(1)求a的值；
(2)求证：当时，；
(3)若一个盒子里装有n（且）个不同的彩色球，其中只有一个白球，每次从中随机抽取一个，然后放回，只要取到白球就停止抽取，记抽取2次就中止的概率为，抽取3次就中止的概率为，设（且），求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
(1)
，，由题可知：
(2)
当时，等价于证明：
设，，
所以当时，恒成立，故在上递增，
又，则，故不等式得证.
(3)
由题：，，故
由（2）可知，当时，
故：，得证.
7．（2022·江苏·常州市第一中学高二阶段练习）非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【答案】(1)；
(2)该同学没有希望进入决赛.
(1)
由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
(2)
设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴．
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
∴，故该同学没有希望进入决赛．
8．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）公元1651年，法国学者德梅赫向数学家帕斯卡请教了一个问题：设两名赌徒约定谁先赢满4局，谁便赢得全部赌注元，已知每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立，在甲赢了2局且乙赢了1局后，赌博意外终止，则赌注该怎么分才合理？帕斯卡先和费尔马讨论了这个问题，后来惠更斯也加入了讨论，这三位当时欧洲乃至全世界著名的数学家给出的分配赌注的方案是：如果出现无人先赢4局且赌博意外终止的情况，则甲、乙按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．（友情提醒：珍爱生命，远离赌博）
（1）若，甲､乙赌博意外终止，则甲应分得多少元赌注？
（2）若，求赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，并判断“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”是否为小概率事件（发生概率小于的随机事件称为小概率事件）．
【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．
【详解】（1）设赌博再继续进行局且甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢
由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注．
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以；
当时，甲以赢，所以．
所以，甲赢的概率为．
所以，甲应分得的赌注为元
（2）设赌注继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，则的可能取值有3、4，
当时，乙以赢，；
当时，乙以赢，；
所以，乙赢得全部赌注的概率为
于是甲赢得全部赌注的概率
求导，．
因为所以所以在上单调递增，
于是．
故乙赢的概率最大为故是小概率事件．
②概率与数列
1．（2022·浙江·高二期中）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知．
①试证明为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②
（1）
解析1：分布列与期望
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，
，，
，，X的分布列为：
期望．
（1）解析2：二项分布
依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，门将在前三次扑出点球的个数X可能的取值为0，1，2，3，易知，，．X的分布列为：
期望．
（2）
解析：递推求解
①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，
从而，又，∴是以为首项．公比为的等比数列．
②由①可知，，，故．
2．（2022·全国·高二期末）2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.
(1)求，的值；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
(1)
解：得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以，
得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，所以；
(2)
解：因为小明得分有两种情况，一种是小明在得分的情况下又答1题错误；
另一种是小明在得分的情况下又答1题正确.
所以，即，
因为，
所以，
因此是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当时，，
，
又符合上式，
所以.
3．（2022·全国·高三专题练习）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【答案】（1）；；（2） ①；②甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
【详解】解：（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.
4．（2022·全国·高三专题练习）当前，全国上下正处在新冠肺炎疫情“外防输入，内防反弹”的关键时期，为深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，始终把师生生命安全和身体健康放在第一位．结合全国第个爱国卫生月要求，学校某班组织开展了“战疫有我，爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组，每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每位同学给出道题目，其中有道是送分题(即每位同学至少答对题)．若每次每组答对的题数之和为的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数之和不是的倍数，就由对方组接着答题．假设每位同学每次答题之间相互独立，无论答对几道题概率都一样，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题．求：
(1)若第次由甲组答题的概率为，求；
(2)前次答题中甲组恰好答题次的概率为多少？
【答案】(1)；(2)．
【详解】(1)答对的题数之和为的倍数分别为，，，，，，，
其概率为，
则答对的题数之和不是的倍数的概率为，
第次由甲组答题，是第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的事件与第次由乙组答题，第次由甲组答题的事件和，它们互斥，又各次答题相互独立，
所以第次由甲组答题，第次继续由甲组答题的概率为，
第次由乙组答题，第次由甲组答题的概率为，
因此，
则
因为第一次由甲组开始，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即
(2)由于第次由甲组答题，则只要第次、第次、第次这次中再由甲组答题一次即可，由(1)可知，，，
所以所求概率
.
所以．
5．（2022·河北廊坊·模拟预测）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋向前跳一站（从k到），若掷出反面，棋向前跳两站（从k到），直到棋子跳到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第n站概率为.
（1）求，，的值；
（2）求证：，其中，；
（3）求及的值.
【答案】（1）...（2）见解析；（3），.
【详解】（1）棋子开始在第0站为必然事件，∴.
第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为，∴.
棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：
①前两次掷硬币都出现正面，其概率为；
②第一次掷硬币出现反面，其概率为.
∴.
（2）证明：棋子跳到第n（）站的情况是下列两种，而且也只有两种：
①棋子先到第站，又掷出反面，其概率为；
②棋子先到第站，又掷出正面，其概率为.
∴.
∴.
（3）由（2）知，当时，数列是首项为，公比为的等比数列.
∴，，
，…，.
以上各式相加，得，
∴.
∴，
.
6．（2022·山东省实验中学模拟预测）某游戏棋盘上标有第、、、、站，棋子开始位于第站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第站的概率为.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋子所走站数之和的分布列与数学期望；
（2）证明：；
（3）若最终棋子落在第站，则记选手落败，若最终棋子落在第站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.
【答案】（1）分布列见解析，数学期望；（2）见解析；（3）游戏不公平.
【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，；
（2）依题意，当时，棋子要到第站，有两种情况：
由第站跳站得到，其概率为；
可以由第站跳站得到，其概率为.
所以，.
同时减去得；
（3）依照（2）的分析，棋子落到第站的概率为，
由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.
所以，即最终棋子落在第站的概率大于落在第站的概率，游戏不公平.
③概率综合
1．（2022·湖南衡阳·高一期末）甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时乙获胜的概率；
(2)求甲获胜的概率．
【答案】(1)
(2)
(1)
设事件A为“第三局结束乙获胜”
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故
(2)
设事件B为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情
况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．
此时的概率
故
2．（2022·广东广州·高二期末）甲、乙运动员进行乒乓球选拔赛，每场比赛采用7局4胜制（即有一运动员先胜4局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的运动员积5分，负者积0分，以取胜的运动员积4分，负者积1分，以取胜的运动员积3分，负者积2分．已知知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
(1)甲、乙两人比赛1场后，求甲的积分X的概率分布列和数学期望；
(2)甲、乙两人比赛2场后，求两人积分不相等的概率．
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(1)
由题意知：甲的积分X可能是 ，
则,,
,,
,,
故X的分布列为：
所以 ;
(2)
记“甲、乙两人比赛2场后，两人积分相等”的事件为A，
第i 场比赛甲、乙两人的积分分别为 ，则，
由两人积分相等得，
故,故,
故
,
故两人积分不相等的概率为 .
3．（2022·福建厦门·高一期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【答案】(1)；
(2)小明更容易晋级复赛.
(1)
对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
(2)
由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
4．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是，且互不影响），设共需检验的次数为.
(1)求随机变量的分布列和期望；
(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为 ，急性乙肝炎症治愈率可达 ，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有 ，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率 .（结果保留两位有效数字）
【答案】(1)分布列见解析，期望为20；
(2)0.97
(1)
病毒被分在同一组的概率为，不被分在同一组的概率为；
若病毒被分在同一组，则下次需要进行2次检验，若病毒不被分在同一组，则下次需要进行4次检验；
若每次病毒均在同一组，则需要进行5次分组，最后一次每组有2份样品，即进行10次检验，；
若前4次病毒均在同一组，第5次病毒不在同一组，此时每组有2份样品，还需要再进行1次分组，再进行4次检验，即进行14次检验，；
若前3次病毒均在同一组，第4次病毒不在同一组，此时每组有4份样品，还需要再进行2次分组，再进行8次检验，即进行16次检验，；
若前2次病毒均在同一组，第3次病毒不在同一组，此时每组有8份样品，还需要再进行3次分组，再进行12次检验，即进行18次检验，；
若第1次病毒在同一组，第2次病毒不在同一组，此时每组有16份样品，还需要再进行4次分组，再进行16次检验，即进行20次检验，；
若第1次病毒不在同一组，此时每组有32份样品，还需要再进行5次分组，再进行20次检验，即进行22次检验，；故随机变量的分布列为：
则；
(2)
由题意知是急性乙肝的概率为，慢性乙肝的概率为，则乙肝患者治愈的概率为，
没有治愈的概率为，则两人最后至少有一人痊愈的概率.
5．（2022·福建·莆田二中模拟预测）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛､竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.
(1)若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
(2)当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.
【答案】(1)
(2)
(1)
记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题.
；
(2)
由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
又
当且仅当时，等号成立，
，，
,
令 则
开口向下，对称轴：当时，
设要进行轮竞赛，则解得：
至少要进行轮竞赛.
6．（2022·全国·高三专题练习）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．
【答案】(1)
(2)
(1)
由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以所求的概率为
(2)
设表示队伍B在比赛i中胜利，表示队伍B在比赛i中失败，
设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，
则事件F包括，，，，，且这五种情况彼此互斥，进而
事件包括，且这两种情况互斥，
进而
所以所求事件的概率为
7．（2022·重庆·三模）漳州市某路口用停车信号管理，在某日后的一分钟内有15辆车到达路口，到达的时间如下（以秒作单位）：1，4，7，10，14，17，20，22，25，28，30，33，36，38，41.记，2，3，…，15，表示第k辆车到达路口的时间，表示第k辆车在路口的等待时间，且，，，记，M表示a，b中的较大者.
(1)从这15辆车中任取2辆，求这两辆车到达路口的时间均在15秒以内的概率；
(2)记这15辆车在路口等待时间的平均值为，现从这15辆车中随机抽取1辆，记，求的分布列和数学期望；
(3)通过调查，在该日后的一分钟内也有15辆车到达路口，到达的时间如下：1，4，10，14，15，16，17，18，19，21，25，28，30，32，38.现甲驾驶车辆欲在后一分钟内或后一分钟内某时刻选择一个通过该路口，试通过比较和后的一分钟内车辆的平均等待时间，帮甲做出选择.
【答案】(1)
(2)
(3)比较见解析，甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
(1)
这15辆车到达路口的时间在15秒以内的有5辆，
记“两辆车到达路口的时间均在15秒以内”为事件A，则，
所以从这15辆车中任取2辆，到达路口的时间在15秒以内的概率为
(2)
一分钟内的这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，0，0，0，1，1，1，2，2，2，3，3，
则，
所以的可能值为，0，1，2，
，
所以的分布列为
所以
(3)
后的1分钟内这15辆车在路口等待的时间分别为：0，0，0，0，2，4，6，8，10，11，10，10，11，12，9，
因为后的1分钟内15辆车在路口等待的时间之和为15，
设后的1分钟内的15辆车在路口等待的时间之和为X，
则，所以，
所以后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间大于后的1分钟内15辆车在路口等待的平均时间，所以甲应该选择后一分钟内某时刻通过该路口
8．（2022·河北·模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲､乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为,求数列的通项公式；
(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案见解析，；
(2)；
(3)这方案不合理，分析答案见解析.
【详解】解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴随机变量X的分布列如下表所示：
∴.
(2)依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得()分，再得2分，概率为，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)因为，，∴，
∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.
9．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某学校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），最后根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以或取胜的队员积3分，失败的队员积0分；而在比赛中以取胜的队员积2分，失败的队员的队员积1分.已知第10轮张三对抗李四，设每局比赛张三取胜的概率均为.
（1）比赛结束后冠亚军(没有并列)恰好来自不同校区的概率是多少？
（2）第10轮比赛中，记张三取胜的概率为.
①求出的最大值点；
②若以作为的值，这轮比赛张三所得积分为，求的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：.
【详解】（1）比赛结束后冠亚军恰好来自不同校区的概率是；
（2）①由题可知，
，
令，得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
所以的最大值点，
②的可能取值为0，1，2，3.
；
；
；.
所以的分布列为
的期望为.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功依次分别获得猜公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（1）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（2）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及均值．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，均值为1125元.
【详解】(1)事件A=“第一关闯关成功且获得公益基金为零”， A1=“第一关闯关成功第二关闯关失败”， A2=“前两关闯关成功第三关闯关失败”，
显然A1与A2互斥，且A=A1+A2，
，
，
所以该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率为；
(2)该嘉宾获得的公益基金总金额为随机变量，的可能值为0，1000，3000，6000，
，，
，，
所以的分布列为：
的均值为：(元).
④二项分布
1．（2022·浙江衢州·高二阶段练习）自年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19开始肆虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性､阴性）是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为.
(1)若，现对份样本进行核酸检测，求这份中检验结果为阳性的份数的分布列及期望；
(2)若，现有份样本等待检验，并提供“合”检验方案：将份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“合”检验方案所需的检验次数的期望与的大小.
【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)答案见解析
(1)
解：记阳性人数为，则，，
，，
，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
(2)
解：记所需化验次数为，则的可能取值为、、，
，则，
所以，，，
，
，
令，可得，则，
所以，，即，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
，当时，恒成立，
，则当时，恒成立，
当时，恒成立.
综上所述，当且时，，则，
当时，，则，
当且时，，则.
2．（2022·海南省直辖县级单位·三模）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20男子个人赛的规则如下：
①共滑行5圈（每圈4），前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直达终点；
②如果选手有n发子弹未命中目标，将被罚时n分钟；
③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率分别为和.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.
(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；
(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.
【答案】(1)
(2)乙选手水平更高，理由见解析
(1)
甲滑雪用时比乙多秒分钟，
因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命中4发子弹.
设“甲胜乙”为事件A，“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事件B，
“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C，
依题意，事件B和事件C是互斥事件，
，
所以，.
所以甲胜乙的概率为.
(2)
依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X，乙选手在比赛中未击中目标的子弹数为Y，则，，
所以甲被罚时间的期望为（分钟），
乙被罚时间的期望为（分钟），
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多分钟，
因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.
3．（2022·全国·高二单元测试）学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．
【答案】(1)分布列见解析，（分）
(2)
（1）
解：可取5，6，7，8，9，10，
，，
，，
，，
分布列如下：
所以（分）；
（2）
解：设一天得分不低于3分为事件，
则，
则恰有3天每天得分不低于3分的概率，
则
，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值.
4．（2022·江苏·扬州市江都区丁沟中学高二期末）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数X的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择时，获奖的概率更大，理由见解析.
【详解】解：（1）由题意知，则，，
，，
所以X的分布列为
．
（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，
若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，
设局游戏中，得3分的局数为m，则，即．
易知，
故此时获大奖的概率
同理可以求出当，获大奖的概率为
因为
所以，则
答：甲选择时，获奖的概率更大．
5．（2022·全国·高三专题练习）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率．
（i）当时，求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和期望；
（ii）计算．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为，每件高端产品的利润是2元．请用表示出设备升级后单位时间内的利润（单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）分布列见解析，数学期望为2；（ii）；（2）；分类讨论，答案见解析．
【详解】（1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，
所以，
所以，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为
控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
所以升级改造后单位时间内产量的期望为；
所以
设备升级后单位时间内的利润为
，即；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其概率为；
第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即，
所以当时，，单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当时，，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为，
所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
⑤超几何分布
1．（2022·北京·北理工附中高二期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)的分布列见解析，数学期望为
(3)5
（1）
由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
2．（2022·全国·高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.
（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
【答案】（1）；（2）选择第二种方案更合算.
【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件，则，
所以两位顾客均享受到免单的概率为；
（2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、.
，，
，.
故的分布列为，
所以（元）.
若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则，
由已知可得，故，
所以（元）.
因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.
3．（2022·北京二中高二期末）某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：
而等比例转换法是通过公式计算：
其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、
假设小南的化学考试成绩信息如下表：
设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，
所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.
已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：
（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；
（2）从化学成绩获得等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）（2）见解析
【详解】（1）设化学成绩获得等级的学生原始成绩为，等级成绩为，由转换公式得：
，即：，
所以，得：，
显然原始成绩满足的同学有3人，获得等级的考生有15人.
恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率为.
（2）由题意可得：等级成绩不小于96分人数为3人，获得等级的考生有15人，
，
，
则分布列为
则期望为：
4．（2021·全国·高二单元测试）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现利用分层随机抽样的方法从样本口罩中随机抽取8个口罩，再从抽取的8个口罩中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及均值.
（2）甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加店的一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由个该型号口罩构成.假定甲､乙两人在，两店订单“秒杀”成功的概率均为，记甲､乙两人抢购成功的订单总数量､口罩总数量分别为，.
①求的分布列及均值；
②求的均值取最大值时，正整数的值.
【答案】（1）分布列答案见解析，；（2）①分布列答案见解析，；②的值为2.
【详解】（1）结合频率分布直方图，得用分层随机抽样抽取8个口罩，其中二级､一级口罩的个数分别为6，2，所以的可能取值为0，1，2.
，，，
所以的分布列为
所以.
（2）①由题意，知的可能取值为0，1，2.
，，
，所以的分布列为
所以.
因为，所以，当且仅当时取等号.
所以取最大值时，的值为2.
5．（2021·全国·高二专题练习）某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.
（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？
②若抽取的5户中购买量在（单位：）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在（单位：）的户数为，求的分布列和期望；
（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k的值.
【答案】（1）①；②详见解析；（2）.
【详解】（1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在”发生的概率为.
①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在”为A，则.
②随机变量所有可能的取值为0，1，2.则
，，，
所以
（2）每天对甲类生活物资的需求平均值为
（）
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，
若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”，，
若k户的可能性最大，则，
，得，
解得，由于，故.
⑥正态分布
1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布，经计算，（1）中样本的标准差s的近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率；（若随机变量，则，，)
(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格，共15格，刚开始有只小兔子在第1格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，每次跳1格或跳2格，概率均为，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14格（奖励0分）或第15格（奖励5分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第格的概率为，试证明是等比数列，并求（获胜的概率）的值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
（1）
（2）
由，所以，
.
（3）
小兔子开始在第1格，为必然事件，，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为，即，
小兔子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为；
②小兔了先跳到第格，乂点一下开始按钮跳了1格，其概率为；
因为，所以.
所以当时，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
.
所以获胜的概率.
2．（2022·全国·高三专题练习）2020年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是2~3米，全球服务可用性99%，亚太地区性能更优．
（Ⅰ）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，选取的4颗卫星中含3颗倾斜地球同步轨道卫星数记为，求的分布列和数学期望；
（ⅱ）某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望．
附：若，则，，．
【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）4.
【详解】（Ⅰ）由，易知
，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.84．
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，，
∴的分布列为
∴．
（ⅱ）5个基地相互独立，每个基地随机选取1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，所以5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目，
∴．
3．（2022·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
4．（2022·全国·高二期末）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【详解】（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
∴.
5．（2022·江苏·扬州市江都区丁沟中学高二期末）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心､牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
6．（2022·全国·高三专题练习）网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.年初以来，我国网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市网络服务质量的满意程度，从使用了手机的市民中随机选取了人进行了问卷调查，并将这人根据其满意度得分分成以下组：、、、、，统计结果如图所示：
（1）由直方图可认为市市民对网络满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.若市恰有万名手机用户，试估计这些手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；
（2）该调查机构为参与本次调查的手机用户举行了抽奖活动，每人最多有轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，若中奖，奖金为元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与了此次抽奖活动.
（ⅰ）求小王获得元话费的概率；
（ⅱ）求小王所获话费总额的数学期望（结果精确到）.
参考数据：若随机变量z服从正态分布，即，则，.
【答案】（1）人；（2）（ⅰ），（ⅱ）元.
【详解】解：（1）由题意知样本平均数为，，
，所以，，
而，
故万名手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）；
（2）（ⅰ）小王获得元话费表明其前轮连续中奖且第轮未中奖，故所求的概率为；
（ⅱ）由题意可知的可能取值有、、、、、、、、、、，即，，，
当，时，，说明小王前轮连续中奖且第轮未中奖，此时，
又满足，，
所以，，
所以，
令，则，
上述两个等式相减得，
化简得，所以，（元）.
7．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）中国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数为49.8%，反映出中国制造业扩张步伐有所加快.以新能源汽车､机器人､增材制造､医疗设备､高铁､电力装备､船舶､无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了中国制造目前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，记质量差，求该企业生产的产品为正品的概率；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
（2）假如企业包装时要求把件优等品和(，且)件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为，否则该箱产品记为.
①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为的概率；
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为的概率为，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，.
【答案】（1）；（2）①；②时，最大值为.
【详解】解：（1）由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为：
，即，
样本方差，故，所以，
则优等品为质量差在内，即，
一等品为质量差在内，即，
所以正品为质量差在和内，即，
所以该企业生产的产品为正品的概率：.
（2）①从件正品中任选两个，有种选法，其中等级相同有种选法，
∴某箱产品抽检被记为B的概率为：.
②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为
，
所以，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，最大值为.
此时，解得：，
∴时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为.
8．（2022·全国·高二期末）某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．
附：若，则，．
【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．
【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.
由题意可得：，，
，，
随机变量的分布列为
数学期望．
（2）①设该划线分为，由得，
令，则，
由题意，，即，
，，，
，，取．
②由①讨论及参考数据得
，
即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，
，．
由
即
解得，
，，
当时，取得最大值．
⑦非线性回归分析
1．（2022·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t时刻甲、乙种群的数量分别为，（起始时刻为）．由数学家Ltka和Vlterra提出的模型是函数，满足方程，，其中a，b，c，d均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研究人员提出了两种可能的数学模型：①；②，其中m，n均为大于1的正数．根据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设，．
①函数的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【答案】(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)①为常函数；②答案见解析
（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量对时间的导数．如选用模型①，，是关于时间的减函数，不符合折线图；如选用模型②，，是关于时间的增函数，符合折线图．所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知，．（i），．消去条件中的得，所以．所以为常函数．（ii）由（i），，．由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为，．①若，．则当时，，此时可以近似认为甲种群灭绝；②若，．则当时，，此时可以近似认为乙种群灭绝；③若，，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．综上所述，对所有的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
2．（2022·江苏·金陵中学高三学业考试）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下：
求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：．
附：经验回归方程系数：，；
参考数据：，，（其中，）．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)回归方程为，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
（1）
由题知，的取值可能为1，2，3所以；
；；
所以的分布列为：
所以数学期望为.
（2）
令，则，由题知：，，
所以，
所以，，
故所求的回归方程为：，
所以，估计时，；估计时，；估计时，；
预测成功的总人数为.
（3）
由题知，在前轮就成功的概率为
又因为在前轮没有成功的概率为
，
故.
3．（2022·全国·高三专题练习）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.
（1）
由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．
（2）
①0.996
②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．
按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．
4．（2022·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.
附：回归方程中，，.
【答案】（1）；
（2）当时，.
【详解】解：（1）由散点图可以判断，适宜作为卵数关于温度的回归方程类型.
对两边取自然对数，得，
令，，，则，
由数据得，
，，
所以，，
所以关于的线性回归方程为，
则关于的回归方程为；
（2）由得，
因为，令得，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值为，也是最大值；
所以当时，.
5．（2023·全国·高三专题练习）在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全，保稳定的前提下有序恢复生产，生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x（单位：元）与购买人数y（单位：万人）的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点集中在一条直线附近，其中
附：①可能用到的数据：．
②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为
(1)根据所给数据，求y关于x的回归方程；
(2)按照文旅部门的指标测定，当购买数量y与套票价格x的比在区间上时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”，现有三位同学从以上六款旅游套票中，购买不同的三款各自旅游．记三人中购买“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为2.
（1）
解：散点集中在一条直线附近，设回归直线方程为
由，则，，
变量关于的回归方程为，
，
，，
综上，y关于x的回归方程为；
（2）
解：由，解得，
，
乡村特色游，齐鲁红色游，登山套票，游园套票为“热门套票”，
则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，的可能取值为，
的分布列为：
.
6．（2023·全国·高三专题练习）数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，下表为2017－2021年中国在线直播用户规模（单位：亿人），其中2017年－2021年对应的代码依次为1－5．
参考数据：，，，其中．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
(1)由上表数据可知，可用函数模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（，的值精确到0.01）；
(2)已知中国在线直播购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为p，现从中国在线直播购物用户中随机抽取4人，记这4人中选择在品牌官方直播间购物的人数为X，若，求X的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
设，则，因为，，，
所以．
把代入，得．
即关于的回归方程为；
（2）
由题意知，，，由得，
所以，的取值依次为0，1，2，3，4，，，
，，，所以X的分布列为
.
7．（2022·全国·高二课时练习）为研究如何合理施用化肥，使其最大限度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染，某研究团队收集了组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如图所示的散点图及如表所示的一些统计量的值，其中，化肥施用量为（单位：千克），粮食亩产量为（单位：百千克）．令，．
(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为粮食亩产量关于化肥施用量的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计化肥施用量为千克时，粮食亩产量的值；
(3)经生产技术提高后，该化肥的有效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布．问这种化肥的有效率超过的概率约为多少？
附：①在回归直线方程中，，；
②若随机变量，则有，；
③．
【答案】(1)更适宜作为关于的回归方程模型
(2)；千克．
(3)
（1）
由散点图可知：随的变化呈现非线性的变化趋势，
更适宜作为关于的回归方程模型．
（2）
由得：，即，
，，
，关于的回归方程为：；
当时，，即当当化肥施用量为千克时，粮食亩产量为千克.
（3）
，则，，
，
则，
这种化肥的有效率超过的概率约为．
8．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．
(1)请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的入次，参考数据：其中，．
线性回归方程：，其中，．
(3)己知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)适合
(2)， 690；
(3)分布列见解析，期望为
（1）
根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，不满足线性回归，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型
（2）
由（1）知，，两边同时取对数得，令，，则，
由题意知，
又，，
所以，
所以所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690；
（3）
由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4，
，，，，．
所以的分布列为：
所以
9．（2023·全国·高三专题练习（理））某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（=1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，.
(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(3)已知这种产品的年利率与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据，，……，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：、
【答案】(1)适合
(2)
(3)46．24
（1）解：由散点图知：各点呈非线性递增趋势，所以作为回归方程比较合适．
（2）解：由，则，由，，则，所以．
（3）解：①当时，；此时年利润千元．②由题意，，所以，当，即时，年利润的预报值最大．Y
P
X
1
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
5
P
10
14
16
18
20
22
0
1
2
P
0
1
2
P
X
3
4
5
6
P
0
1
2
3
0
1000
3000
6000
5
6
7
8
9
10
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
产量
0
设备运行概率
产品类型
高端产品
一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元）
2
1
0
1
2
3
等级
比例
赋分区间
考生科目
考试成绩
成绩等级
原始分区间
等级分区间
化学
75分
等级
成绩
95
93
91
90
88
87
85
人数
1
2
3
2
3
2
2
0
1
2
3
0
1
2
0
1
2
0
1
2
组别
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
频数
2
13
21
25
24
11
4
赠送话费的金额（单位：元）
20
50
概率
20
40
50
70
100
0
1
2
原始分
91
90
89
88
87
85
83
82
转换分
100
99
97
95
94
91
88
86
人数
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
4
5
232
98
60
40
20
1
2
3
年份
1997-2016
2007-2016
线性回归模型
0.9306
指数回归模型
0.9899
0.978
平均温度
21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数/个
7
11
21
24
66
115
325
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
参考数据
5215
17713
717
81.3
3.6
旅游类别
城市展馆科技游
乡村特色游
齐鲁红色游
登山套票
游园套票
观海套票
套票价格x（元）
39
49
58
67
77
86
购买数量y（万人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
1
2
3
P
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
3.98
4.56
5.04
5.86
6.36
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2
3
4
P
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
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