还剩24页未读，
继续阅读
所属成套资源：新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题（附解析）
成套系列资料，整套一键下载
新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆解答题压轴题（学生版）
展开
这是一份新高考版2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆解答题压轴题（学生版），共27页。试卷主要包含了已知椭圆，已知椭圆C，已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.
(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；
(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．
3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且.证明；.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
7．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，，若的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b> 0）的左、右焦点分别为F1（-c， 0）， F2（c，0）.已知（1， e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2 与BF1交于点P.
（1）求椭圆的方程∶
（2）若，求直线AF1的斜率；
（3）求证∶是定值.
②椭圆的中点弦问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点恰好为圆A：的圆心，且圆A上的点到直线：的距离的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)过点（3，0）的直线与C相交于P，Q两点，点M在C上，且，弦PQ的长度不超过，求实数λ的取值范围．
2．（2022·上海·高三阶段练习）我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程．
5．（2022·全国·高二课时练习）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．
6．（2022·湖南·长郡中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
③椭圆中的最值问题
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
2．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．
4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
5．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设有椭圆方程，直线，下端点为，左､右焦点分别为在上.
(1)若中点在轴上，求点的坐标；
(2)直线与轴交于，直线经过右焦点，且，求；
(3)在椭圆上存在一点到距离为，使，当变化时，求的最小值.
6．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
8．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
9．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；
(3)设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值
10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．
①证明：直线CD恒过定点；
②求面积的最大值．
④椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2022·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
2．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
3．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知椭圆：，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.
(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．
(1)若直线l的方程为，求外接圆的方程；
(2)判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
12．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．
13．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．
⑤椭圆中向量问题
1．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点，且满足若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
2．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
7．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
⑥椭圆综合问题
1．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
3．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.
(1)求的周长；
(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
(3)设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.
6．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．
8．（2022·安徽·高三开学考试）已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)当点坐标为 ，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线 的斜率互为相反数， 求直线的斜率.
1．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知椭圆：的左､右顶点分别为，下顶点为.
(1)设点为椭圆上位于第一象限内一动点，直线与轴交于点.直线于轴交于点，求四边形的面积；
(2)设直线l与椭圆交于不同于右顶点的两点，且，求的最大值.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．
3．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P为x轴上的点，经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M，N两点，且.证明；.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两直线交椭圆于四点，若，求证：为定值．
5．（2022·青海·模拟预测（理））已知椭圆C：，圆O：，若圆O过椭圆C的左顶点及右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆相交于点A，B，D，E，试求的取值范围．
6．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为，求；
(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．
7．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，，，若的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当的面积S最大时，求．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b> 0）的左、右焦点分别为F1（-c， 0）， F2（c，0）.已知（1， e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率. A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2 与BF1交于点P.
（1）求椭圆的方程∶
（2）若，求直线AF1的斜率；
（3）求证∶是定值.
②椭圆的中点弦问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点恰好为圆A：的圆心，且圆A上的点到直线：的距离的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)过点（3，0）的直线与C相交于P，Q两点，点M在C上，且，弦PQ的长度不超过，求实数λ的取值范围．
2．（2022·上海·高三阶段练习）我们把椭圆和称为“相似椭圆”“相似椭圆”具有很多美妙的性质．过椭圆上任意一点P作椭圆的两条切线，切点分别为A、B，切线、与椭圆另一个交点分别为Q、R．
(1)设，证明:直线是过A的椭圆的切线；
(2)求证：点A是线段的中点；
(3)是否存在常数，使得对于椭圆上的任意一点P，线段的中点M都在椭圆上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知的两个顶点坐标分别为，该三角形的内切圆与边分别相切于P，Q，S三点，且，设的顶点A的轨迹为曲线E．
(1)求E的方程；
(2)直线交E于R，V两点．在线段上任取一点T，过T作直线与E交于M，N两点，并使得T是线段的中点，试比较与的大小并加以证明．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，过左焦点且与轴垂直的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，为椭圆上两点，为坐标原点，斜率为的直线经过点，若，关于对称，且，求的方程．
5．（2022·全国·高二课时练习）设点和分别是椭圆上不同的两点，线段最长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，且，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围．
6．（2022·湖南·长郡中学高二期末）已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.
③椭圆中的最值问题
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.
2．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
3．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．
4．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，与椭圆交于，两点，求面积的最大值.
5．（2022·上海·华师大二附中高三开学考试）设有椭圆方程，直线，下端点为，左､右焦点分别为在上.
(1)若中点在轴上，求点的坐标；
(2)直线与轴交于，直线经过右焦点，且，求；
(3)在椭圆上存在一点到距离为，使，当变化时，求的最小值.
6．（2022·山东青岛·高三开学考试）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与x轴交于点M，与椭圆C交于P，Q两点，过点P与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为N，求面积的最大值．
8．（2022·广东茂名·高二期末）已知椭圆E：（）的离心率为，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过椭圆E的右焦点F作不与两坐标轴重合的直线l，与E交于不同的两点Ｍ，N，线段的中垂线与y轴相交于点T，求（O为原点）的最小值，并求此时直线l的方程.
9．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的两个顶点，，且其离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的直线与其相交于，两点，若（为坐标原点），求直线的方程；
(3)设为椭圆上的一个异于，的动点，直线，分别与直线相交于点，，试求的最小值
10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求E的方程；
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，点C，D为E上与A，B不重合的两点，且．
①证明：直线CD恒过定点；
②求面积的最大值．
④椭圆中定点、定值、定直线问题
1．（2022·北京市第四十四中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
(1)若线段中点的横坐标为，求直线的方程；
(2)设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.
2．（2022·江西·高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
3．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））已知椭圆：，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．
4．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高二阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，过作直线l交椭圆C于M，N两点，的周长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在轴上是否存在异于点的定点Q，使得直线l变化时，直线与的斜率之和为0？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为为垂直于轴的动直线.
(1)当时，设直线交椭圆于两点，直线的斜率之积为，且的周长最大值为，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线移动至处，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，直线分别交椭圆于点，试探究直线是否经过定点，若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．
(1)若直线l的方程为，求外接圆的方程；
(2)判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点.
(1)求圆O和椭圆C的方程；
(2)已知P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N.求证：为定值.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l经过椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点（1，0），交椭圆C于点A，B，点F为椭圆C的左焦点，△ABF的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线m与直线l的倾斜角互补，且交椭圆C于点M，N，，求证：直线m与直线l的交点P在定直线上．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上．
(3)设直线的斜率分别为，证明：为定值．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．
12．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为，过点的直线l与椭圆C顺次交于点Q，P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在定直线与直线交于点G，使，G，Q共线．
13．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．
(1)求椭圆的标准方程，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线交椭圆于、两点，直线、相交于点，证明：点在定直线上．
⑤椭圆中向量问题
1．（2022·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程恒有两个交点，且满足若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.
2．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为，直线与的另一个交点为，连接，若的周长为，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，当为何值时，恒成立？
3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．
(1)若的坐标为，求四边形的面积；
(2)若与椭圆相切于且，求的值；
(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到的距离为，若存在，求出直线的方程和的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F．
(1)求抛物线的方程及a；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点离心率，左、右焦点分别为，P，Q是椭圆C上位于x轴上方的两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)延长分别交椭圆C于点M，N，设，求的最小值．
6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值.
7．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））已知椭圆：（）的短轴长为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点（为常数，且）的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，证明：．
⑥椭圆综合问题
1．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的方程为，离心率，点P(2，3)在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程
(2)求过点P的椭圆C的切线方程
(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．
3．（2022·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点.
(1)求的周长；
(2)若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；
(3)设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2022·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知椭圆的离心率；上顶点为A，右顶点为，直线与圆相切.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设与圆相切的直线与椭圆相交于两点，为弦的中点，为坐标原点.求的取值范围.
6．（2022·湖南益阳·模拟预测）已知点是椭圆的左焦点，过且垂直轴的直线交于，，且.
(1)求椭圆的方程
(2)四边形(A，D在轴上方的四个顶点都在椭圆上，对角线，恰好交于点，若直线，分别与直线交于，，且为坐标原点，求证：．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点， 求证：的充要条件为．
8．（2022·安徽·高三开学考试）已知线段的长度为3，其端点分别在轴与轴上滑动，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)当点坐标为 ，且点在第一象限时，设动直线与相交于两点，且两直线 的斜率互为相反数， 求直线的斜率.
相关试卷
专题22 椭圆（解答题压轴题） 高考数学压轴题（新高考版）： 这是一份专题22 椭圆（解答题压轴题） 高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题22椭圆解答题压轴题教师版docx、专题22椭圆解答题压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共71页， 欢迎下载使用。
专题22 椭圆（解答题压轴题）（学生+教师版）--310高考数学压轴题（新高考版）： 这是一份专题22 椭圆（解答题压轴题）（学生+教师版）--310高考数学压轴题（新高考版），文件包含专题22椭圆解答题压轴题教师版docx、专题22椭圆解答题压轴题学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆（解答题压轴题）含解析： 这是一份2023年高考数学必刷压轴题专题21椭圆（解答题压轴题）含解析，共85页。试卷主要包含了已知椭圆，已知椭圆C，已知椭圆的离心率为，且过点等内容，欢迎下载使用。
