2023-2024学年湖南省永州市七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市七年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，则数−2表示的是( )
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
2.下列平面图形分别绕直线l旋转一周，得到的几何体是球体的是( )
A. B. C. D.
3.在0、−1、−π、4四个数中最小的一个数是( )
A. 0B. −1C. −πD. 4
4.永州，雅称“潇湘”，是我国的历史文化名城，总面积约22400平方千米.其中22400用科学记数法表示为( )
A. 2.24×105B. 0.224×105C. 22.4×103D. 2.24×104
5.为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，心理老师从中抽取了500名学生的评估报告进行统计分析，下列说法正确的是( )
A. 总体是8000多名学生B. 个体是500名学生的心理健康情况
C. 样本是一个学生的心理健康情况D. 样本容量是500
6.若−3x2yn与2xmy3是同类项，则m−n的值是( )
A. 3B. 2C. −1D. −3
7.下列说法正确的是( )
A. 零既不是正数也不是负数
B. 多项式x2+2x+y是四次三项式
C. 若a=b，则ac=bc(a、b、c为有理数)
D. 调查一批灯管的使用寿命采用全面调查的方式
8.一件夹克衫先按成本提高60%标价，再以7折出售，结果获利28元.若这件夹克衫的成本为x元，根据题意可列方程为( )
A. 70%(1+60%)x=x+28B. 70%(1+60%x)=x+28
C. 70%(1+60%x)=x−28D. 70%(1+60%)x=x−28
9.一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
10.若xm=y，则记(x,y)=m，例如32=9，于是(3,9)=2.若(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，则c的值为( )
A. 16B. −2C. 2或−2D. 16或−16
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.−2023的相反数是______．
12.如图，从A地到B地有三条路线，由上至下依次记为a、b、c，则从A地到B地的最短路线为______．
13.比较大小：30.15°______30°15′(用>、=、<填空)
14.单项式−12x2y的系数为a，次数为b，则ab= ______．
15.如图，在3×4的网格中，标注有7个黑点和6个白点，经过同颜色的3点可以画______条直线．
16.在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8～12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为______本.
17.若x2+3x的值为−1，则2x2+6x−3的值为______．
18.若关于x的方程mx=1+x(m为整数)的解是整数，则m的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
计算：−14÷(−3)2×(−92)−|12−2|．
20.(本小题4分)
解方程：2x−12−3x+14=1．
21.(本小题5分)
先化简，再求值：
(2x3−3x2y−2xy2)−2(x3−xy2+y3)+4(x2y−y3)，其中x=2，y=−1．
22.(本小题5分)
如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD．
(1)比较大小：AC ______BD(填“>”、“<”或“=”)；
(2)若BC=23AC，AD=12cm，求AB的长．
23.(本小题5分)
永州历史悠久，文化底蕴丰富.某校准备开设“舜文化、理学文化、碑刻文化、柳子文化、瑶文化”五大本土文化课程.为了解七年级学生对课程的选择情况，采用随机抽样的方法，抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只选一种最喜欢的课程)，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据统计图所提供的信息，解答下列问题．

(1)求随机抽样调查的学生人数；
(2)请补全条形统计图；
(3)求“碑刻文化”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数．
24.(本小题6分)
某校花费700元购入两种笔记本，其中A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，购买A笔记本的数量是B笔记本的2倍多10本，求购买A、B两种笔记本的数量分别是多少？
25.(本小题7分)
如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且|m−8|+|n+6|=0．

(1)m= ______，n= ______；
(2)P为数轴上的动点，设Q为MP的中点，点P从点M向左运动时，请探究MN+NP与2NQ的数量关系，并说明理由．
26.(本小题10分)
定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线.如图(1)，∠AOB=60°，∠BOP=36°则OP为∠AOB的近似黄金分割线．
(1)若∠AOB=100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP= ______；
(2)如图(2)，如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近似黄金分割线，当∠BOP=α°时，求∠MON的度数(可以用含α的代数式表示)；
(3)在(2)的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求∠α的度数．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据数轴的定义可知：
−2<0，在0的左半轴．
∵A对应−4，B对应−2．
∴数−2表示的是点B．
故选：B．
根据数轴定义即可得出结论．
本题考查了数轴，解题关键在于了解数轴的定义．
2.【答案】B
【解析】解：对于选项A，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆台，
故选项A不符合题意；
对于选项B，绕直线l旋转一周得到的几何体是球体，
故选项B符合题意；
对于选项C，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆锥，
故选项C不符合题意；
对于选项D，绕直线l旋转一周得到的几何体是圆柱，
故选项D不符合题意．
故选：B．
分别求出各选项绕直线l旋转一周得到的几何体即可得出答案．
此题主要考查了平面图形的旋转，理解圆台，球、圆锥、圆柱的概念是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵−π<−1<0<4，
∴在0、−1、−π、4四个数中最小的一个数是−π．
故选：C．
根据“负数<0<正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”可得答案”．
本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较方法．
4.【答案】D
【解析】解：22400=2.24×104．
故选：D．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、总体是8000多名学生的心理健康情况，故A不符合题意；
B、个体是每一名学生的心理健康情况，故B不符合题意；
C、样本是从中抽取的500名学生的心理健康情况，故C不符合题意；
D、样本容量是500，故D符合题意；
故选：D．
根据总体、个体、样本、样本容量的意义，即可解答．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵−3x2yn与2xmy3是同类项，
∴m=2，n=3，
则m−n=2−3=−1．
故选：C．
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出m、n，再代入代数式计算即可．
本题主要考查了同类项的定义，同类项定义中的两个相同：相同字母的指数相同是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：A.零既不是正数也不是负数，说法正确，故本选项符合题意；
B.多项式x2+2x+y是二次三项式，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.若a=b，则ac=bc(a、b、c为有理数且c≠0)原说法错误，故本选项不符合题意；
D.调查一批灯管的使用寿命适合采用抽样调查的方式，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：A．
选项A根据正数和负数的定义判断即可；选项B根据多项式的定义判断即可；选项C根据等式的性质判断即可；选项D根据全面调查和抽样调查的定义判断即可．
本题考查了全面调查和抽样调查，多项式，正数和负数以及等式的性质，掌握相关定义是解答本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得70%(1+60%)x=x+28，
故选：A．
根据先按成本提高60%标价，再以7折出售，结果获利28元，可得出关于x的一元一次方程，变形后即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设这个角的度数是x，
则180°−x=3(90°−x)，
解得x=45°．
故选B．
根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果．
本题考查了余角和补角的定义，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，难度适中．
10.【答案】C
【解析】解：∵(−2,a)=2，(b,8)=3，(c,a)=b，
∴(−2)2=a，b3=8，cb=a，
∴a=4，b=2，
∴c2=4，
∴c=±2．
故选：C．
根据题意和有理数的乘方可求出a，b的值，即可求出答案．
本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是求出a，b的值．
11.【答案】2023
【解析】解：−2023的相反数是−(−2023)=2023．
故答案为：2023．
由相反数的概念即可解答．
本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．
12.【答案】b
【解析】解：从A地到B地的最短路线是b，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故答案为：b．
根据线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题关键．
13.【答案】<
【解析】【分析】
本题主要考查了度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，比较简单.先进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，然后对比即可得出答案．
【解答】
解：∵30.15°=30°9′，
∴30°9′<30°15′．
故答案为<．
14.【答案】−18
【解析】解：∵单项式−12x2y的系数为−12，次数为3，
∴a=−12，b=3，
∴ab=(−12)3=−18，
故答案为：−18．
根据单项式的意义可得a=−12，b=3，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了单项式，熟练掌握单项式的意义是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：经过同颜色的3点可以画3条，
故答案为：3．
根据直线的性质即可得到结论．
本题考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．
16.【答案】20
【解析】解：15+30+10+25+205=20(本)，
即该小组平均每月阅读课外书为20本．
故答案为：20．
根据加算术平均数计算即可．该小组平均每月阅读课外书为：
本题考查了折线统计图以及算术平均数，利用数形结合的方法是解题的关键．
17.【答案】−5
【解析】解：∵x2+3x=−1，
∴2x2+6x=−2，
∴2x2+6x−3=−2−3=−5．
故答案为：−5．
将x2+3x=−1的左右两边同乘2代入即可求得．
本题考查了代数式的求值，解题的关键是发现已知与未知之间的关系．
18.【答案】0或2
【解析】解：解方程mx=1+x，
解得：x=1m−1，
∵方程的解是整数，且m为整数，
∴1m−1=±1，
解得：m=0或m=2，
故答案为：0或2．
先解出方程的解为x=1m−1，再根据方程的解为整数，且m为整数，即可求出m的值．
本题考查的是一元一次方程的解，解题的关键是正确求解原方程，再根据方程解为整数和m为整数求出m的值．
19.【答案】解：−14÷(−3)2×(−92)−|12−2|
=−1÷9×(−92)−32
=−19×(−92)−32
=12−32
=−1．
【解析】先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：去分母得：2(2x−1)−(3x+1)=4，
去括号得：4x−2−3x−1=4，
移项得：4x−3x=4+2+1，
合并同类项得：x=7．
【解析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：(2x3−3x2y−2xy2)−2(x3−xy2+y3)+4(x2y−y3)
=2x3−3x2y−2xy2−2x3+2xy2−2y3+4x2y−4y3
=x2y−6y3，
当x=2，y=−1时，
原式=22×(−1)−6×(−1)3
=4×(−1)−6×(−1)
=−4+6
=2．
【解析】原式去括号，合并同类项得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】=
【解析】解：(1)∵AC=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
∴AC=BD，
故答案为：=；
(2)∵BC=23AC，
∴BC=2AB=2CD，
且AD=12cm，
∴4AB=12，
∴AB=3(cm)．
(1)根据等式的性质，得出答案；
(2)求出BC的值，在求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；
本题考查比较线段的长短，两点间的距离，理解线段的意义是正确计算的前提．
23.【答案】解：(1)18÷30%=60(人)，
答：本次随机调查的学生人数为60人；
(2)喜欢“碑刻文化”人数为：60−(15+18+6+12)=9(人)，
条形统计图如下：

(3)360°×960=54°，
答：“碑刻文化”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角的度数为54°．
【解析】(1)根据条形统计图和扇形统计图中喜欢“理学文化”的人数和占比求解即可；
(2)用总人数减去喜欢“舜文化”、“理学文化”、“柳子文化”、“瑶文化”的人数，求出喜欢“碑刻文化”人数，然后补全条形统计图即可；
(3)用360°乘喜欢“碑刻文化”的人数占总人数的百分比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】解：设购进的B种笔记本x本，则A种笔记本(2x+10)本，
由题意得：5(2x+10)+3x=700，
解得：x=50，
则2x+10=110，
答：购买A、B两种笔记本的数量分别是110本、50本．
【解析】设购进的B种笔记本x本，则A种笔记本(2x+10)本，由题意列出方程求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．
25.【答案】8 −6
【解析】解：(1)∵|m−8|+|n+6|=0，
∴m−8=0，n+6=0．
∴m=8，n=−6．
故答案为：8，−6；
(2)设点P从点M向左运动了x个单位长度，则点P表示的数是8−x．
∵点M表示的数8，Q为MP的中点，
∴点Q表示的数是8−x+82=8−0.5x．
∵点N表示的数是−6，
∴MN=|8−(−6)|=14，NP=|8−x−(−6)|=|14−x|，NQ=|8−0.5x−(−6)|=|14−0.5x|．
∵若|14−x|=0或|14−0.5x|=0，x=14或x=28，
∴x的取值范围为：0≤x≤14，1428．
①0≤x≤14，即点P在线段MN上时．
∵MN+NP=14+14−x=28−x，2NQ=2(14−0.5x)=28−x．
∴MN+NP=2NQ；
②14∵MN+NP=14+x−14=x，2NQ=2(14−0.5x)=28−x，14∴MN+NP>2NQ；
③x>28，即点P在点N的左边距离点M超过28个单位长度时．
∵MN+NP=14+x−14=x，2NQ=2(0.5x−14)=x−28，
∴MN+NP−2NQ=28．
综上：点P在线段MN上时，MN+NP=2NQ；点P在点N的左边距离点M不超过28个单位长度时，MN+NP>2NQ；点P在点N的左边距离点M超过28个单位长度时，MN+NP−2NQ=28．
(1)根据两个非负数的和为0，这两个数均为0可得m和n的值；
(2)设点P从点M向左运动了x个单位长度，表示出点P、Q的坐标，进而表示出MN、NP与2NQ的长度，根据x的取值可得相应的关系．
本题考查绝对值的应用．分类探讨动点P所在的位置是解决本题的难点．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于数轴表示这两个数的差的绝对值或右边的数减左边的数．
26.【答案】40°或60°
【解析】解：(1)∵OP为∠AOB的近似黄金分割线，
∴∠BOP=0.6∠AOB或∠AOP=0.6∠AOB，
∴若∠BOP=0.6∠AOB=0.6×100°=60°，
则∠AOP=∠AOB−∠BOP=100°−60°=40°
若∠AOP=0.6∠AOB，
则∠AOP=0.6×100°=60°，
综上，∠AOP=40°或60°．
(2)∵∠BOP=α°，∴∠AOP=180°−α°．
若∠AOM=0.6∠AOP，那么∠BON=0.6∠BOP，
则∠POM=0.4∠AOP，∠PON=0.4∠BOP，
∴∠MON=∠POM+∠PON
=0.4∠AOP+0.4∠BOP
=0.4×(180°−α°)+0.4⋅α°
=72°．
若∠AOM=0.6∠AOP，∠PON=0.6∠BOP，
则∠POM=0.4∠AOP，
∴∠MON=∠PON+∠POM
=0.6∠BOP+0.4∠AOP
=0.6⋅α°+0.4×(180°−α°)
=72°+0.2α°．
若∠MOP=0.6∠AOP，∠BON=0.6∠BOP，
则∠PON=0.4∠BOP，
∴∠MON=∠MOP+∠PON
=0.6∠AOP+0.4∠BOP
=0.6×(180°−α°)+0.4⋅α°
=108°−0.2α°．
若∠MOP=0.6∠AOP，∠PON=0.6∠BOP，
∴∠MON=∠MOP+∠PON
=0.6∠AOP+0.6∠BOP
=0.6×(180°−α°)+0.6⋅α°
=108°．
综上，∠MON=72°或72°+0.2α°或108°−0.2α°或108°．
(3)
∵OP平分∠MON，∴∠MOP=∠NOP．
若∠MOP=0.6∠AOP=0.6×(180°−∠α)=180°−0.6∠α，∠NOP=0.6∠BOP=0.6∠α，
根据∠MOP=∠NOP，
可知108°−0.6∠α=0.6∠α，
1.2∠α=108°，
∠α=90°，
若∠MOP=0.6∠AOP=108°−0.6∠α，∠NOP=0.4∠BOP=0.4∠α，
根据∠MOP=∠NOP，
可知108°−0.6∠α=0.4∠α，
∠α=108°．
若∠MOP=0.4∠AOP=0.4×(180°−∠α)=72°−0.4∠α，∠NOP=0.6∠α，
根据∠MOP=∠NOP，
可知72°−0.4∠α=0.62α，
∠α=72°，
若∠MOP=72°−0.4∠α，∠NOP=0.4∠α，
根据∠MOP=∠NOP，
可知72°−0.4∠α=0.4∠α，
0.8∠α=72°，
∠α=90°．
综上，∠α=90°、108°或72°．
(1)利用黄金分割线公式分别代入得出2种结果；
(2)已知∠BOP=α°，求平面的另一个余角；
(3)再根据平分线的定义分别解出．
本题考查了黄金分割线、平分线的应用，关键是明确黄金分割所涉及的比．