2023-2024学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. x2−1=0C. y+x=1D. 1x+x2=1
2.下列计算正确的是( )
A. x2⋅x3=x5B. (x3)3=x6
C. x(x+1)=x2+1D. (2a−1)2=4a2−1
3.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−1)，则k的值是( )
A. 2B. −2C. 12D. −12
4.空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是( )
A. 条形图B. 折线图C. 扇形图D. 直方图
5.已知点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y16.将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )
A. y=(x−3)2+4B. y=(x+3)2+4C. y=(x−3)2−4D. y=(x+3)2−4
7.如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,1)，C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )
A. (2,4)
B. (4,2)
C. (6,4)
D. (5,4)
8.关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有两个相等的实数根，则k=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
9.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为( )
A. 3A
B. 4A
C. 6A
D. 8A
10.在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=14x2交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则下列结论：①x1+x2=4k；②y1y2=1；③AB长的最小值为4；④若点N(0,−1)，则AN⊥BN.其中正确的有( )
A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在函数y=2x−8中，自变量x的取值范围是______．
12.若关于x的方程x2+mx−6=0的一个根为1，则m= ______．
13.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若S△ADE=1，则S△ABC= ______．
14.为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡井放回，经过一段时间后观察发现，300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟．
15.抛物线y=3(x−1)2+8的顶点坐标为______．
16.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC= ______．
17.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为 ．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE.若AB=2BC，△CDE的面积是4，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：(12)−1+4cs60°−(5−π)0．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1a−1)÷aa2−1，其中a= 2−1．
21.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
(1)求证：△ABE∽△DFA；
(2)若AB=6，BC=4，求AF的长．
22.(本小题8分)
为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类(A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类)的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项)将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图．
(1)这次调查中，一共调查了______名学生；
(2)在扇形统计图中，“D”部分所对应的圆心角的度数为______度；并补全条形统计图．
(3)若全校有4800名学生，请估计喜欢B(科技类)的学生有多少名？
23.(本小题8分)
如图所示，一次函数y1=−x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B(3,−1)．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当y1>y2时，求x的取值范围．
24.(本小题8分)
建设美丽城市，改造老旧小区.某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2023年老旧小区改造的平均费用为每个72万元.2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加10%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线L1：y=14x2−32x−4的顶点为D，交x轴于点A，B(点A在点B左侧)，交y轴于点C.抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线L2经过点(2,−12)，求L2对应的函数表达式；
(2)当△APC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、2x+1=0未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、x2−1=0是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、y+x=1含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、1x+x2=1含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】A
【解析】解：A、x2⋅x3=x5，本选项符合题意；
B、(x3)3=x9≠x6，本选项不符合题意；
C、x(x+1)=x2+x，本选项不符合题意；
D、(2a−1)2=4a2−4a+1≠4a2−1，本选项不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，将点(2,−1)代入y=kx(k≠0)，
可得：k2=−1，
解得：k=−2．
故选：B．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点(2,−1)代入求解即可得出k的值．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，牢记“函数图象上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，得
要求直观反映空气的组成情况，即各部分在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇形统计图．
故选：C．
扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；
折线统计图表示的是事物的变化情况；
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
频数分布直方图清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，易于显示各组之间频数的差别．
此题考查扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点．
5.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=3x，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A(−2,y1)，B(−1,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=3x的图象上，
∴y2故选：B．
根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
6.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y=(x−3)2+4．
故选：A．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解得即可．
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟记“左加右减，上加下减”的法则是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为(3,2)，
∴点F的坐标为(3×2,2×2)，即(6,4)，
故选：C．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得k≠0且Δ=22−4k×(−1)=0，
解得k=−1．
故选：B．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=22−4k×(−1)=0，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】B
【解析】解：设I=UR，
∵图象过(8,3)，
∴U=24，
∴I=24R，
当电阻为6Ω时，电流为：I=246=4(A)．
故选：B．
根据函数图象可设I=UR，再将(8,3)代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
本题考查了反比例函数的应用，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
10.【答案】C
【解析】解：由题意，联立方程组y=kx+1y=14x2，
∴可得得x1，x2满足方程14x2−kx−1=0；y1，y2满足方程y2−(2+4k2)y+1=0．
依据根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1⋅x2=−4，y1+y2=4k2+2，y1⋅y2=1，
∴①、②正确．
由两点间距离公式得，AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2= (x1+x2)2−4x1x2+(y1+y2)2−4y1y2=4(k2+1)．
∴当k=0时，AB最小值为4．
∴③正确．
由题意，kAN=y1+1x1，kBN=y2+1x2，
∴kAN⋅kBN=y1+1x1⋅y2+1x2=(y1+1)(y2+1)x1x2=4k2+2+1+1−4=−k2−1．
∴当k=0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．
∴④错误．
故选：C．
根据题意联立方程组y=kx+1y=14x2，于是得到x1，x2满足方程14x2−kx−1=0；y1，y2满足方程y2−(2+4k2)y+1=0.依据根与系数的关系得到x1+x2=4k，x1⋅x2=−4，y1+y2=4k2+2，y1⋅y2=1，于是得到①、②正确．根据两点间距离公式得到AB=4(k2+1).当k=0时，AB最小值为4.得到③正确．根据如图得到kAN=y1+1x1，kBN=y2+1x2，于是得到kAN⋅kBN=−k2−1.当k=0时，AN⊥BN；当k≠0是，AN与BN不垂直．于是得到④错误．
本题主要考查了二次函数的图象与一次函数图象的交点问题，解题时要能将问题转化成一元二次方程问题解决是关键．
11.【答案】x≠8
【解析】解：由题意得：x−8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：∵关于x的方程x2+mx−6=0的一个根是1，代入方程x2+mx−6=0得：
∴12+m−6=0，
∴m=5，
故答案为：5．
由关于x的方程x2+mx−6=0的一个根是1，得出将x=1代入方程x2+mx−6=0求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为−1，代入方程是解决问题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC，且DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(DEBC)2=14，
又∵S△ADE=1，
∴S△ABC=4．
故答案为：4．
首先判断△ADE∽△ABC，根据面积比等于相似比平方求出△ADE与△ABC的比，继而可得出S△ABC的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是△ABC的中位线，判断△ADE∽△ABC，要求同学们掌握相似三角形的面积比等于相似比平方．
14.【答案】1500
【解析】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则300：6=x：30，
解得x=1500．
答：估计该湿地约有1500只A种候鸟．
故答案为：1500．
在样本中300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
本题主要考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
15.【答案】(1,8)
【解析】解：∵抛物线y=3(x−1)2+8是顶点式，
∴顶点坐标是(1,8)．
故答案为：(1,8)．
已知抛物线顶点式y=a(x−h)2+ka≠0，顶点坐标是(h,k)．
本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
16.【答案】 22
【解析】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2=22+42=20，BC2=12+32=10，AC2=12+32=10，
则BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴sin∠ABC=ACAB= 102 5= 22，
故答案为： 22．
连接AC，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°是解题的关键．
17.【答案】x(x−12)=864
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由长和宽之间的关系可得出宽为(x−12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：∵长为x步，宽比长少12步，
∴宽为(x−12)步．
依题意，得：x(x−12)=864．
18.【答案】16
【解析】解：过点B作BF⊥AD于点F，连接AE，设点A的坐标为(a,ka)，点B的坐标为(b,kb)，则AD=a，AF=a−b,BF=kb−ka，
∵AB=2BC，
∴ABAC=23，
∵AD⊥y轴于点D，
∴CD/​/BF，
∴△ABF∽△ACD，
∴ABAC=AFAD=BFCD，
∴ABAC=a−ba=23，
∴a=3b，
∴AF=a−b=2b,BF=kb−ka=2k3b，CD=32BF=32×2k3b=kb，
∵△CDE的面积是4，
∴EO×CD=2S△CDE=8，
∴EO=8kb=8bk，
又∵DO=ka=k3b，
∴S△EOC=12×EO×OD=12×8bk×k3b=43，
∵∠BDF=∠DEO，∠BFD=∠DOE，
∴△BFD∽△DOE，
∴BDDE=BFDO=2k3bk3b=2，
∵△CDE的面积是4，
∴S△BCD=2S△CDE=8，则S△BCE=12，
∴S△ABE=2△BCE=24，
∴12AD⋅BF+12AD⋅OD=24，
∴12a(kb−ka)+12a⋅ka=24，
则123b(kb−k3b)+123b⋅k3b=24，
即32k−12k+12k=24，
解得k=16，
故答案为：16．
过点B作BF⊥AD于点F，连接AE，设点A的坐标为(a,ka)，点B的坐标为(b,kb)，则AD=a，AF=a−b,BF=kb−ka，证明△ABF∽△ACD，则ABAC=AFAD，得到a=3b，根据S△ABE=2△BCE=12，进一步列式即可求出k的值．
此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
19.【答案】解：由题意，原式=2+4×12−1
=2+2−1
=3．
【解析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20.【答案】解：(1+1a−1)÷aa2−1
=a−1+1a−1⋅(a+1)(a−1)a
=aa−1⋅(a+1)(a−1)a
=a+1，
当a= 2−1时，原式= 2−1+1= 2．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
(2)解：∵E是BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵AB=6，
∴AE= AB2+BE2= 62+22=2 10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，
∵△ABE∽△DFA，
∴BEAF=AEAD，
∴AF=BE⋅ADAE=2×42 10=25 10．
【解析】(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的性质求得AF．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
22.【答案】解：(1)200 ；(2)54；
C的人数是：200×30%=60(名)，
补图如下：
(3)4800×70200=1680(名)，
答：估计喜欢B(科技类)的学生有1680名．
【解析】解：(1)40÷20%=200(名)，
故答案为：200；
(2)D所占百分比为30200×100%=15%，
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%=54°，
故答案为54；
补全的条形统计图见答案；
(3)见答案。
(1)根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
(2)用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
(2)扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数等于D所占的百分比乘以360∘即可;用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全条形统计图;
(3)总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，正确利用条形统计图得出正确信息是解题关键．
23.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−x+m与反比例函数y2=kx相交于点A和点B(3,−1)，
∴−1=−3+m，−1=k3，
解得m=2，k=−3，
∴反比例函数的解析式为y2=−3x；
(2)解方程组y=−x+2y=−3x，得x=−1y=3或x=3y=−1，
∴A(−1,3)，
观察图象可得，当y1>y2时，x的取值范围为x<−1或0【解析】(1)把B(3,−1)分别代入一次函数y1=−x+m与反比例函数y2=kx，即可求出m的值和反比例函数的解析式；
(2)先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1>y2时x的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式．
24.【答案】解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000(1+x)2=1440，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；
(2)设该市在2024年可以改造y个老旧小区，
依题意得：72×(1+10%)y≤1440×(1+20%)，
解得：y≤24011，
又∵y为整数，
∴y的最大值为21．
答：该市在2024年最多可以改造21个老旧小区．
【解析】(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，利用2023年投入资金金额=2021年投入资金金额×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设该市在2024年可以改造y个老旧小区，根据2024年改造老旧小区所需资金不多于2024年投入资金金额，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)当y=0时，14x2−32x−4=0，解得x=−2或8，
∴A(−2,0)，B(8,0)，C(0,−4)，
由题意设抛物线L2对应的函数表达式为y=a(x+2)(x−8)，
把(2,−12)代入y=a(x+2)(x−8)，
−12=−24a，
解得a=12，
∴L2对应的函数表达式为y=12(x+2)(x−8)=12x2−3x−8；
(2)由定义可知，P点在直线x=3上，
∵A、B关于直线x=3对称，
连接BC于直线x=3的交点即为P点，连接AP，

∴AP=BP，
此时△APC的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B(8,0)，C(0,−4)，
∴8k+b=0b=−4，解得k=12b=−4，
∴直线BC的解析式为y=12x−4，
∴P(3,−52)；
(3)由题意，AB=10，CB= 82+42=4 5，CA=2 5，
∴AB2=BC2+AC2，
∴∠ACB=90°，CB=2CA，
∵y=14x2−32x−4=14(x−3)2−254，
∴顶点D(3,−254)，
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ=90°时，
①如图2中，当△QDP∽△ABC时，QPDP=ACBC=12，

设Q(x,14x2−32x−4)，则P(3,14x2−32x−4)，
∴DP=14x2−32x−4−(−254)=14x2−32x+94，QP=x−3，
∵PD=2QP，
∴2x−6=14x2−32x+94，解得x=11或3(舍去)，
∴P(3,394)；
②如图3中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ=2PD，

x−3=12x2−3x+92，
解得x=5或3(舍去)，
∴P(5,−214)；
第二种情形：当∠DQP=90°．
①如图4中，当△PDQ∽△ABC时，PQDQ=ACBC=12，

过点Q作QM⊥PD于M.则△QDM∽△PDQ，
∴QMMD=PQDQ=12，由图4可知，M(3,394)，Q(11,394)，
∴MD=16，MQ=8，
∴DQ=8 5，
由DQDM=PDDQ，可得PD=20，
∵D(3,−254)，
∴P(3,554)；
②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．

同法可得M(3,−214)，Q(5,−214)，
∴DM=1，QM=2，QD= 5，
由QDDM=PDDQ，可得PD=5，
∴P(3,−54).
综上所述：P点坐标为(3,394)或(3,−214)或(3,554)或3，−54).
【解析】(1)设抛物线L2的函数解析式为y=a(x+2)(x−8)，将点(2,−12)代入y=a(x+2)(x−8)求出a的值，即可求函数的解析式；
(2)连接BC于直线x=3的交点即为P点，连接AP，此时△APC的周长最小，再确定△ACP是直角三角形，利用面积公式求面积即可；
(3)由题意，顶点D(3,−254)，∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ=90°时，①如图2中，当△QDP∽△ABC时．②如图3中，当△DQP∽△ABC时．第二种情形：当∠DQP=90°.①如图4中，当△PDQ∽△ABC时．②当△DPQ∽△ABC时，分别求解即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，理解新定义，确定P点在直线x=3上是解题的关键．