2024年陕西省渭南市临渭区渭南初级中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、，是无理数，符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选C．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：一个图形绕一点旋转180度与自身完全重合，这个图形叫做中心对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
3. 如图，已知分别交于点平分，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到．
【详解】解：，
，
平分，
，
．
故选：A
4. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，变除法为乘法进行计算即可．
【详解】解：
．
故选：D．
5. 如图，在中，点是上一点，连接，已知，若，则的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形等边对等角，三角形内角和，以及三角形外角的性质，根据三角形内角和定理求得，进而根据等角对等边即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
6. 一次函数图象向左平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，写出平移后的解析式，将代入后，求解即可．
【详解】解：由题意，得：平移后的解析式为：，
把，代入，得：，
解得：；
故选A．
7. 如图，是的直径，点是上一点，为上一点，连接并延长交的延长线于点，若是的中点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，连接，圆周角定理得到，斜边上的中线，得到，进而推出为等边三角形，推出，再根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】解：连接，则：，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴
故选：C．
8. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上．若，则．正确结论的个数是（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据图形的开口方向，对称轴，与轴的交点的位置判断①②③；增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
∴，
∴；故①错误，②错误；
∵，
∴，故③正确；
点在二次函数图象上，
当时，，故④错误；
故选D．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 将实数和2由小到大用“”号连接起来为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
10. 每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常的遥远，它距地球的距离约为150000000千米，将150000000千米用科学记数法表示为______千米．
【答案】1.5×108
【解析】
【详解】考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：150 000 000=1.5×108千米．
故150 000 000千米用科学记数法表示1.5×108千米．
11. 如图，点分别是正方形的边上一点，连接，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质；根据正方形的性质得出，，再利用证得和全等，得到，从而得到是等腰直角三角形，即可求出的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，延长交轴负半轴于点，则的面积为______．

【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的性质与判定；作轴，连接，根据值的几何意义可得，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算出即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为点，连接，
反比例函数解析式，
，
，轴，
，
又，
，
，
，
，
，
．
故答案为：1．
13. 如图，在中，为上一点，且为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】以为边在的上方构造等边三角形，连接，过点作，证明，得到，根据垂线段最短，得到时，最小，此时重合，根据三线合一和矩形的判定和性质，求出的长即可．
【详解】解：以为边在的上方构造等边三角形，连接，过点作，
∵，，均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵为边上的一个动点，
∴当时，最小，此时，重合，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，综合性强，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤，进行求解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，利用负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查整式运算中化简求值，先进行完全平方公式和平方差公式的计算，再合并同类项，化简后代值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
17. 如图，在中，点是边上一点，利用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图，作线段的垂直平分线，交于点E，则点E即为所求，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：先作出线段的垂直平分线，
该垂直平分线交于点E，
则点E即为所求，如图所示：
．
18. 如图，在中，于点，已知，求的长．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，先解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
19. 如图，是等腰直角三角形，，点是上一点，延长至点，使得，连接，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：是等腰直角三角形，
，
，
，
在与中，
，
，
．
20. 又是一年春来早，油菜花开万里香．为方便游客赴汉中踏青赏花，加开多趟列车，目前，西安至汉中每日往返开行动车组列车138趟，实现“公交化”开行．明明和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶搭乘高铁外出赏花，爸爸在网上给五人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是高铁座位示意图），明明进入该车厢后，可以从这五个座位中随机选择一个，每一个座位被选择的可能性相同．
（1）明明选择的座位恰好是座位A的概率是______；
（2）明明坐下后，奶奶从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，用列表法或画树状图法求明明和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法以及树状图法球概率；
（1）直角由概率公式求解即可；
（2）列表得出共有20种等可能结果，其中明明和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：明明选择的座位恰好是座位的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
列表如下，
共有20种等可能结果，其中明明和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的结果有8种，
明明和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率为．
21. 小雁塔位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志，一个晴朗的周末，王老师带领学生以小组为单位进行测量物体高度的实践活动，准备测量小雁塔的高度，他们带的测量工具有卷尺、测倾器、平面镜、标杆．
你选择的是 组中的方法计算小雁塔的高度，请写出解答过程．（结果精确到）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，解直角三角形的实际应用：
甲组：证明，列出比例式进行求解即可；
乙组：解直角三角形，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：选择甲组：
∵均与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择乙组：
由题意，得：，
在中，，
∴．
22. 小美在阅读物理课外书时，了解到在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量之间满足一次函数关系．她通过实验验证了这个事实，部分测量结果如表所示：
（1）根据所测量的数据，求该弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系式；
（2）小美的妈妈在市场买了一些水果，小美将该水果放在袋中（袋子的质量忽略不计）挂到该弹簧下（在弹性限度内），并测得弹簧的长度为．请你计算出小美的妈妈购买水果的质量．
【答案】（1）
（2）小美的妈妈购买水果的质量为
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键．
（1）根据表格数据写出函数关系式即可；
（2）将代入（1）中解析式进行求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，所挂质量每增加，弹簧伸长，
∴；
【小问2详解】
当时，，
解得：；
∴小美的妈妈购买水果的质量为．
23. 2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”．某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的______，补全频数分布直方图；
（2）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第______组，求被调查的这些学生每周课外阅读时间的平均数（以每组的组中值为该组阅读的平均时间，例如第一组每周课外阅读的平均时间为）；
（3）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于的学生人数．
【答案】（1）14，图见解析
（2）三，
（3）675名
【解析】
【分析】本题考查分布表和直方图，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）根据频率，频数，总数之间的关系进行求解，进而补全直方图即可；
（2）根据中位数和平均数的计算方法进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：；补全直方图，如图：

故答案为：；
【小问2详解】
调查的总人数为，
∴中位数为第20和第21个数据的平均数，
∵，
∴第20和第21个数据均在第三组，
故中位数在第三组；
被调查的这些学生每周课外阅读时间的平均数为；
故答案为：三，
【小问3详解】
（名）．
24. 如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作的切线，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质；正方形的性质．
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，，接着证明得到，则利用平行线分线段成比例定理得到，所以；
（2）利用正方形的性质得到，由于，所以，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的长．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
25. 如图，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线与抛物线的对称轴交于点，点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在；点的坐标为：，或，或．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合运用，平行四边形的性质、中点坐标公式等；
（1）由待定系数法即可求解；
（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当为对角线时，同理可解．
【小问1详解】
解：（1）的坐标为，，则点，
，则点，
设抛物线的表达式为：，
则，
∵，
∴，
∴，
则；
【小问2详解】
存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
由点、的坐标得，
设直线的表达式为，
∴
解得：
∴直线的表达式为：，
设点，点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：，
则点，或，；
当为对角线时，同理可得：
，解得：（舍去）或2，
则点，
综上，点的坐标为：，或，或．
26. 【问题提出】
（1）如图1，是菱形的对角线，则______；（填“”“”或“”）；
【问题探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，点在的延长线上，且，过点的直线分别交边于点，若恰好将正方形的面积平分，求的长；
【问题解决】
（3）某公园有一片空地，其形状如图3所示，由矩形和以为直径的半圆构成，点在上，公园规划人员欲将这块空地打造成花海供人们观赏，已知花海的人口在半圆上的点处，，要在边上找一点，再沿修一条小路（小路的宽度忽略不计），使得将这块空地分成面积相等的两部分，用于种植不同的花，已知，请你在图3中找出点的位置，并计算出小路的长．（结果保留根号）
【答案】（1）；（2）；（3）见解析，m
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，即可求解；
（2）连接交于点，得出经过正方形的中心，则，证明得出，进而证明，得，进而即可求解；
（3）空地由矩形和以为直径的半圆构成设交分别于点，过点作于点，交于点，得出，且为半圆的圆心，依题意，四边形是矩形，设梯形，的面积分别为，则，进而证明，得出，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）∵菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是菱形的一条对称轴
∴，
故答案：．
（2）解：如图所示，连接交于点，
∵恰好将正方形的面积平分，
∴经过正方形的中心，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）如图所示，空地由矩形和以为直径的半圆构成设交分别于点，过点作于点，交于点，
∵，则，且为半圆的圆心，
依题意，四边形是矩形，
设梯形，的面积分别为，
依题意，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
设，则
∴
∴，，
∴，
∵
∴
∴
解得：
∴
∴，
答：小路的长为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键．，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
课题
测量小雁塔的高度
组别
甲组
乙组
测量工具
卷尺、平面镜、标杆
测倾器、卷尺
测量示意图及说明

说明：点在同一水平线上，均与垂直，平面镜大小忽略不计，

说明：点在同一水平线上，和均与垂直，在点处测得塔顶的仰角为于点
测量数据
参考数据
备注
测量过程中注意安全及保护文物不被破坏
所挂物体质量
0
1
2
3
…
弹簧的长度
7
7.5
8
8.5
…
组别
每周阅读时间
频数
频率
第一组
4
0.1
第二组
7
0.175
第三组
0.35
第四组
9
0.225
第五组
6
0.15