2023年陕西省渭南市韩城市中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省渭南市韩城市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若黄河的水位上涨记为“”，则黄河的水位下降记为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数学是一门重要的自然学科，同时也是一门精美的学科，数学之美有多种形式比如数学图案，下列图形是以科学家名字命名的，其中是轴对称图形的有(    )

A. 赵爽弦图 B. 斐波那契螺旋线
C. 笛卡尔心形线 D. 费马螺线曲线

3.  如图，，将一块直角三角板的角的顶点放在直线上，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  将直线：向上平移个单位后得到直线，将直线向左平移个单位后得到直线，若直线与直线恰好重合，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，内接于，为的直径，点在上，连接、，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  二次函数、为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列关系式错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  比较大小： ______ 填“”“”或“”

10.  正六边形的一个外角的度数为          

11.  九章算术提供了许多勾股数，如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”经研究，若是大于的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于的偶数，把它除以后再平方，然后用这个平方数分别减，加，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数根据上面的规律，由生成的勾股数的“弦数”是______ ．

12.  如图，点、、为反比例函数的图象上三个点，且点、、的横坐标依次为，，，若，则的值为______ ．

13.  如图，已知、为两条定长的线段，，，，点、分别为线段，上的点点可与点重合，、，若，则四边形面积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
解不等式组：

16.  本小题分
化简：．

17.  本小题分
如图，已知为的一条弦，请用尺规作图法在上求作一点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
如图所示，在中，在，平分，于，于，求证：四边形是正方形．

 

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若点在第一象限，且，求点的坐标．

20.  本小题分
高考综合改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注，全国各省陆续落实并实施高考综合改革，改革后高考采用“”模式：“”是指语文、数学、外语科为必选科目，“”是指在物理、历史科中任选科，“”是指在化学、生物、政治、地理科中任选科王伟和李莉都是某校的中等生，且没有偏科现象，他们选择所有科目的可能性均相等．
已知王伟在“”中已经选择了一门是生物，则另一门选择化学的概率是______ ；
请用列表法或画树状图的方法求李莉在“”中选择的恰好是化学和地理两科的概率．

21.  本小题分
当、为常数，且时，定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，例如和为“逆反函数”．
请写出函数的“逆反函数”；
若点既在函数为常数，且的图象上，又在该函数的“逆反函数”的图象上，求、的值．

22.  本小题分
数学是一门与生活联系比较紧密的学科，它源于生活、启于生活，又应用于生活，为了让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学生学习数学的兴趣，进而帮助学生理解数学、掌握数学，应用数学，某校组织了一次课外实践活动，活动主题是测量某广场旗杆的高度旗杆垂直于地面，携带的测量工具有皮尺，标杆标杆比人高、平面镜，假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案不能攀登旗杆，画出测量示意图不必写出测量过程，写出测量数据线段长度用、、表示，并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度结果用含、、的式子表示．

23.  本小题分
在孩子成长的过程中，情感是一个十分重要的因素，亲子互动可以促进亲子关系的健康发展，而亲子关系直接影响孩子的心理发展、态度行为、价值观念及未来成就某校心理老师从该校九年级学生中随机抽取名学生，对他们每周参与的亲子互动次数记为次进行调查，现将数据收集，整理、分析如下：
【数据收集】名学生每周参与的亲子互动的次数单位：次：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
【数据整理】

【数据分析】

根据以上信息，解答下列问题：
填空：上表中 ______ ；
请计算上表中的值；需写出计算过程
若该校九年级共有名学生，请估计每周参与亲子互动次数不少于次的学生有多少名？

24.  本小题分
如图，，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
过山车图是一项富有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣，有惊无险的快感令不少人着迷，同时也成为了很多青少年进游乐场的首选项目之一、过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以近似看作是抛物线的一部分，过山车在这段路线上运行时，某个位置距离地面的竖直高度单位；与该段路线最初位置的水平距离单位：，以下简称“水平距离”之间的函数图象如图所示，顶点坐标为，根据图象解答下列问题：
求与之间的函数关系式；
在这段路线中，当车尾的水平距离为米时，求此时车尾距离地面的高度；
已知过山车最中间部分到达该段路线最高点时，车尾的水平距离为米，求此时车头距离地面的高度．

26.  本小题分
【问题提出】
如图，为半圆的直径，点为半圆的上一点，切半圆于点，若，，则的最小值为______ ；
【问题探究】
如图，在矩形中，，，点为矩形内一点，连接、，若矩形的面积是面积的倍，求的最小值；
【问题解决】
如图，平面图形为某校园内的一片空地，经测量，米，，，，米，劣弧所对的圆心角为，所在圆的圆心在的延长线上，米某天活动课上，九班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在上选取一点，在弧上选取一点，并在点和点处各插上一面小旗，从点出发，先到点处拔下小旗，再到点处拔下小旗，用时最短者获胜已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程应最短，问是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若黄河的水位上涨记为“”，则黄河的水位下降记为．
故选：．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
 

2.【答案】 

【解析】解：赵爽弦图不是轴对称图形，故该选项错误；
B.斐波那契螺旋线不是轴对称图形，故该选项错误；
C.笛卡尔心形线是轴对称图形，故该选项正确；
D.费马螺线曲线不是轴对称图形，故该选项错误；
故选：．
根据轴对称图象的定义逐项判断即可．
本题主要考查了轴对称图形的概念：被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合，这样的图形为轴对称图形；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质可知，再根据即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方的运算方法，求出计算的结果即可．
此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
，
故选：．
根据勾股定理可以求得的长，再根据锐角三角函数，即可求得的值．
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是求出的长，利用锐角三角函数解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：将直线：向上平移个单位后得到直线：，
将直线向左平移个单位后得到直线，：，
直线与直线恰好重合，
，
解得，
故选：．
根据一次函数的图象平移规律：“上加下减，左加右减”，可得直线和直线的解析式，再根据线与直线恰好重合，可得，进一步可得的值．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
为的直径，
，
，
．
故选：．
由圆周角定理求出，则可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的开口向上，
，
对称轴为，
，
，
二次函数与轴的交点在正半轴上，
，
，
故选项A正确；
，
，
故选项B正确；
对于，令时，，
二次函数的对称轴为，且开口向上，
点或在轴的下方，或在轴上，或在轴的上方，
无法判断的符号，
故选项C不正确；
二次函数与轴有两个交点，
，
故选项D正确．
故选：．
首先根据二次函数图象的开口方向判断，根据对称轴判断，根据二次函数图象与轴交点的位置判断，据此可对选项A进行判断，根据对称轴为直线可对选项B进行判断；令得，此时无法判断点位置，据此可对选项C进行判断；根据二次函数图象与轴有两个交点可对选项D进行判断．
此题主要考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解答此题的关键是熟练掌握二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
利用绝对值性质及零指数幂法则将两数算得结果后比较大小即可．
本题主要考查实数的大小比较，绝对值性质及零指数幂法则是重要知识点，必须熟练掌握．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于度是解题的关键．
根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于度解答即可．
【解答】
解：正六边形的外角和是，
正六边形的一个外角的度数为：，
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：把由生成的勾股数的“弦数”记为，
，，，
故A．
故答案为：．
直接根据题意分别得出由生成的勾股数的“弦数”，进而得出答案．
此题主要考查了勾股数以及数字变化规律，正确得出的值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，点、、为反比例函数的图象上三个点，且点、、的横坐标依次为，，，
，
即，
，
，
又，
，
，
，
故答案为：．
根据反比例函数系数的几何意义得出，再根据点、、的横坐标依次为，，，进而得到，再根据点、点的横坐标可得即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
四边形面积的面积矩形的面积



，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，四边形的面积的最大值，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再根据已知可得，从而可得四边形是矩形，进而可得，，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，最后设，则，从而根据四边形面积的面积矩形的面积，再根据二次函数的最值进行计算，即可解答．
本题考查了二次函数的应用，平行线的性质，熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先计算负整数指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
 

15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为． 

【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先通分括号内的式子，然后将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】过点作的垂线即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：平分，，，
，，
又，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形． 

【解析】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．
 

19.【答案】解：如图，过点作于点，
，
点是线段的中点，
，，
，即，
，
在中，，
． 

【解析】过点作于点，则点是线段的中点，再由，求出点坐标，故可得出的长，利用勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是坐标与图形性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：已知王伟在“”中已经选择了一门是生物，则另一门选择化学的概率是，
故答案为：；
将化学、生物、政治、地理科分别记作、、、，
画树状图如图：

共有个等可能的结果，其中恰好选中化学、地理两科的结果有个，
所以李莉在“”中选择的恰好是化学和地理两科的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
将化学、生物、政治、地理科分别记作、、、，画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】解：观察发现，逆反函数，则取、的相反数，再把这两个数交换位置，
，，，，，
逆反函数为；
的逆反函数，
将点代入这两个函数，
，
由得，
将代入得，，
解得，
，
． 

【解析】根据定义得到逆反函数即可；
根据题意得到关于、的方程组，解方程组即可求得．
本题考查了一次函数图象和性质的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确新定义，求得“逆反函数”是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，

将平面镜放在处，
人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部，
测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离，
计算出旗杆的高度：，
，
所以旗杆的高度． 

【解析】在人与旗杆之间的地面上放置一个平面镜，然后利用相似三角形对应边成比例求解．
本题考查了作图应用与设计作图，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，难点在于构造出适当的相似三角形．
 

23.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
所以这组数据的众数，
故答案为：；
这组数据的平均数为；
名，
答：估计每周参与亲子互动次数不少于次的学生有名．
将数据重新排列，根据众数的定义可得答案；
根据平均数的定义可得答案；
总人数乘以样本中不少于次的学生数所占比例即可．
本题主要考查众数和平均数，解题的关键是掌握众数和平均数的定义．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
，
，
，
，
，
．
，
．
为的半径，
是的切线；
解：，，
，
．
．
，
∽，
，
，
． 

【解析】连接，利用同圆的半径相等，等腰三角形的性质，等量代换和平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
利用相似三角形的判定与性质，列出比例式解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的判定，平行线的判定与性质相似三角形的判定与性质垂直的意义，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
与之间的函数关系式为；
当时，，
车尾距离地面的高度为米；
当时，，
即此时车尾距离地面的高度为米，
由抛物线是关于直线对称的图形可得，此时车头距离地面的高度为米． 

【解析】已知抛物线的顶点坐标可用顶点式求抛物线的解析式；
已知点的横坐标，根据解析式代入求纵坐标即可；
先求出时的值，再根据抛物线是轴对称图形得出结论．
本题考查二次函数的应用，关键时用待定系数法求函数解析式．
 

26.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，连接，

点为半圆的上一点，
当点与点 不重合时，，
当点与点 重合时，，
，
的最小值，
切半圆于点，
，
，，
，
的最小值，
故答案为：．
过作，如图，

矩形的面积是面积的倍，，，
，
，
过点作，分别交、于点、，则点在线段上，
作点关于的对称点，连接，则，
，
连接交于点，由三角形三边关系可知，当点与点重合时，的值最小，即为的长度，
，
，
又，
，
即的最小值为．
连接，作点关于的对称点，连接，，，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，交于点，如图：

，，
是等边三角形，
，
，，，
，
和都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形，
，
点为所在圆的圆心，则，
点与点关于对称，
，即，
当取得最小值时，的值最小，
，
的最小值为的长，
为等边三角形，点与点关于对称，，
点为的中点，，，，
和都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形，
，，，，
，
，
即存在最小值，最小值为．
连接交于点，则 是的最小值，求出 的长即可，
过点作于点，作，连接，的最小值，即为的长度，求出即可，
连接，作点关于的对称点，连接，，，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，当取得最小值时，的值最小，即的长，求出即可．
本题综合考查线段的最值问题，主要涉及了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形三边的关系等知识，综合性较强，准确作出辅助线是解题关键．