2023年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷（含解析）

2023年陕西省渭南市蒲城县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.  如图是一块三角形的草坪，现要在草坪内建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(    )

A. 三边的中垂线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点

4.  下列各式中，计算结果是的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接若，，则菱形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一次函数为常数，的图象不经过第四象限，则的值可能为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的直径，、是的两条弦，交于点，点是的中点，点是的中点，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  将抛物线、是常数，向下平移个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，则、的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9.  比较大小： ______ ．

10.  如图，在中，，将沿边向右平移得到，点、、的对应点分别为、、，交于点，点恰好为的中点若，，则图中阴影部分的面积为______ ．

11.  魏朝时期，刘微利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，交于，若，，则的长为______ ．

12.  反比例函数的图象经过、两点，当时，，则的取值范围是______ ．

13.  如图，在中，，边上的高为，则周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：．

15.  本小题分
求不等式的正整数解．

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
如图，是的内接三角形，是的直径，，请利用尺规作图法，在上求作点，使得保留作图痕迹，不写作法

18.  本小题分
已知，点、、、在同一直线上，，，求证：≌．

19.  本小题分
发现：任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是的倍数验证：
的结果是的______ 倍；
求证：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是的倍数．

20.  本小题分
近年来，西安充分挖掘传统文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品小华在西安旅游时购买了四件文创产品：唐妞徽章领针，不倒翁小姐姐摆件，华清宫彩色金属书签，秦将军兵马俑手办她想让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有、、、的四张纸片上面的字母分别代表对应的文创产品，折叠成外表完全一样的纸团搅匀，她先让晶晶从这个纸团中随机抽取一个，搅匀后，再让从剩下的个纸团中随机抽取一个．
晶晶抽到华清宫彩色金属书签的概率是______ ；
利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率．

21.  本小题分
如图，某天傍晚，数学兴趣小组的小敏和小芳在公园散步时作了如下探索：当小芳竖直站立在处时，她在路灯下的影子为线段，并测得米，已知、均与地面垂直，且、、在同一直线上，小芳的身高为米，小芳与灯杆底部的距离为为米．
求路灯的高度；
如果要缩短小芳的影子的长度，同时不能改变路灯的高度和位置，请你写出一种方法．

22.  本小题分
李雯根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
列表：下表是列出的几组、的对应值；

表中 ______ ；
描点连线：根据表中的数值，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分；
性质探究：
观察图象，当 ______ 时，函数有最小值为______ ；
除了上述性质外，请你再写出一条该函数的性质．

23.  本小题分
年月日至日，习近平主席在陕西省西安市主持召开中国中亚峰会，此次峰会将有力助推“一带一路”高质量共建，构建更加紧密的中国中亚命运共同体，促进中国同中亚国家友谊再攀高峰，合作再创佳绩今年是“一带一路”倡议提出十周年，中亚地区，是“一带一路”的首倡之地，而西安又是古丝绸之路的起点某校为了了解学生对“一带一路”的知晓情况，开展了“一带一路”知识竞赛活动，赛后随机抽取了甲、乙两班各名同学的成绩单位：分进行整理分析，给出了部分信息如下：
【信息一】甲班同学的样本成绩频数分布表：

【信息二】甲班样本成绩在一组的是单位：分：，，，，；甲班样本成绩的众数在这一组
【信息三】乙班样本成绩的平均数为分，中位数为分．
甲班样本成绩的众数是______ 分，甲班样本成绩的中位数是______ 分；
计算甲班样本成绩的平均数；
根据两个班样本成绩的平均数和中位数，请你判断哪个班的竞赛成绩较好．

24.  本小题分
如图，为的直径，点、在上，连接、、、，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，若．
求证：；
若的半径为，，求的长．

25.  本小题分
夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜如图，将罩子开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形姗姗测得罩子的直径为厘米，罩子内壁的最大高度为厘米，她以罩子左边缘点为原点、所在的水平线为轴建立平面直角坐标系如图．
求抛物线的函数表达式；
某天，姗姗将一盘菜沿水平线圆形盘子直径与重合放置在罩子下，盘子左侧边缘离点的水平距离为厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线再放置高度为厘米的一碗稀饭碗的俯视图也是圆形，其直径与重合，已知盘子和碗的直径分别为厘米、厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？

26.  本小题分
【问题提出】
如图，在等腰中，，是底边上的任一点不与、重合，于，于，于求证：；
【问题探究】
如图，和是两个含的直角三角形，其中，，连接、，，求的长；
【问题解决】
如图，四边形是某农业观光园的部分平面示意图，是一条灌溉水渠，为入口，在线段上，管理人员计划从入口处沿、分别修两条笔直的小路，将园区分割为、和三个区域，用来种植不同的农作物根据设计要求，，，且，米，米，米，已知修建小路、每米的造价为元，求所修小路的总费用．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义求解即可．
本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：水面和杯底互相平行，
，
．
水中的两条折射光线平行，
．
故选：．
由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到三条角平分线的交点到三条边的距离相等．
故选：．
由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可判断．
本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则，分别化简进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点、分别是、的中点，
，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
又，
菱形的面积，
故选：．
先求出，的长，由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，中点的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象不经过第四象限，
，
解得，
故选：．
由一次函数不经过第四象限可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围．
本题主要考查一次函数的图象和性质，由图象所在的象限得到关于的不等式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图，

点是的中点，点是的中点，
，，
，，
，是的直径，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
故选：．
连接，根据弧、弦的关系求出，，，根据勾股定理求解即可．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：将抛物线、是常数，向下平移个单位长度后，得到的新抛物线为，
得到的新抛物线恰好和抛物线关于轴对称，
，，
解得，．
故选：．
先根据平移的特征得到将抛物线、是常数，向下平移个单位长度后，得到的新抛物线，再根据关于轴对称的点的坐标特征即可求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
求出、的平方，比较出它们的平方的大小关系，即可判断出它们的大小关系．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方值大的，这个数也大．
 

10.【答案】 

【解析】解：由平移变换的性质可知，
，，
，
，
阴影部分的面积．
故答案为：．
判断出，，的长，利用梯形的面积公式求解．
本题考查平移的性质，梯形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是正方形，
，
，
∽，
：：，
：：，
，
，
．
故答案为：．
由∽，得到：：，代入有关数据求出，由勾股定理即可求出．
本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由∽，求出的长．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过、两点，当时，，
此反比例函数的图象在二、四象限，
，
，
故答案为：．
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数与函数图象的关系解答即可．
本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：作线段的垂直平分线分别交、于点、，则有，
，
周长最小时为．
，
此时，
，
为等边三角形，
，
．
的周长最小值为：．
故答案为：．
根据条件，作线段的垂直平分线，转移线段，出现线段和的不等式，根据条件证出三角形是等边三角形，求出边长即可．
本题考查了三角形在高一定时周长的最小值，解决本题的关键是导出等边三角形求出边长．
 

14.【答案】解：


． 

【解析】先算二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，乘方，再算乘法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
，
该不等式的正整数解为：，，． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】原式先根据除法法则变形，再利用同分母分式的减法法则计算，同时利用约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：作的角平分线交于，连接，如图：

点即为所求；
理由：
是的直径，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】作的角平分线交于，连接，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图方法．
 

18.【答案】证明：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据平行线的性质得出，，根据求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可．
本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
设三个连续奇数分别是：，，，
则：


，
任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是的倍数．
根据有理数的运算法则计算求解；
先用表示出三个连续奇数，再用平方差公式计算证明．
本题考出来因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：小华在西安旅游时购买了四件文创产品：唐妞徽章领针，不倒翁小姐姐摆件，华清宫彩色金属书签，秦将军兵马俑手办，
晶晶抽到华清宫彩色金属书签的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的结果有种，
晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：，
∽，
：：，
米，米，米，
米，
：：，
米；
由知：，
，
，
，的值不变，
要缩短小芳的影子的长度，应该减小的长度，
小芳可以向灯杆方向行走，即可缩短小芳的影子的长度． 

【解析】由∽，得到：：，代入有关数据即可求出的长；
由，得到，由此，由，的值不变，即可得到答案．
本题考查相似三角形的应用，关键是由∽，得到：：．
 

22.【答案】     

【解析】解：当时，，
，
故答案为：；
函数图象如图所示：

观察图象，发现最低点，
当时，最小是，
故答案为：；；
根据图象可知，当时，随着的增大而增大．
当代入解析式即可；
根据表格描点，连线即可画出函数图象；
根据图象即可确定，
根据图象即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：由甲班同学的样本成绩频数分布表得：
甲班样本成绩的众数是分，甲班样本成绩的中位数是分；
故答案为：，；
甲班样本成绩的平均数是：分；
甲班的竞赛成绩较好，理由如下：
甲班样本成绩的平均数、中位数大于乙班的，因此甲班的竞赛成绩较好．
根据中位数和众数的定义即可求解；
根据甲班同学的样本成绩频数分布表的数据可以求得甲班样本成绩的平均数；
从平均数和中位数等方面进行判断．
本题考查了平均数、中位数、众数的意义以及频数分布表，明确平均数、中位数、众数所反映数据的特征是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
．
解：的半径为，
，
，，
，
，
，
的长是． 

【解析】连接，由是的直径，得，由切线的性质证明，因为，所以，则，而，则；
因为的半径为，所以，因为，所以，则，所以．
此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、等角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的关系式为，则
，
解得，
所以抛物线的关系式为；
当时，即，
当时，即，
所以她这样放，罩子不会接触到碗． 

【解析】根据题意得出点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
求出当时相应的的值，再求出当时相应的的值，这两个的值与比较大小即可．
本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数关系式是正确解答的前提．
 

26.【答案】【问题提出】如图所示，连接，

，，，
，，，
，
即，
，
又，
，
；
【问题探究】，
，
即，
和是两个含的直角三角形，
，
∽，
，
的长为；
【问题解决】如图所示，延长、交于，过点作与，连接，
，，
即，
又，
∽，
，
则，由的结论可知，
设，则，
在和中，
，
即，
解得，
，
，
所修小路的总费用为． 

【解析】【问题提出】连接，根据得到，再由即可证明；
【问题探究】先证明，再解直角三角形证明，由此可证明∽，由相似三角形的性质可得；
【问题解决】如图所示，延长、交于，过点作与，连接，证明∽，得到，则，由的结论可知；设，则，利用勾股定理建立方程求出，进而即可得到答案．
本题考查等腰三角形，三角形全等，相似，勾股定理等综合知识，解题的关键是对以上知识的熟练掌握．