内蒙古自治区呼和浩特市第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．一组数据为2，4，4，5，7，8，则这组数据的第60百分位数是（ ）
A．3B．4C．4.5D.5
2．某班50名同学参加体能测试，经统计成绩近似服从，若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）
A.5B．10C．15D．30
3．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比值，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高．某学校社会调查小组通过调查得到如下数据：
若与之间具有线性相关系，老张年个人消费支出总额为2．8万元，据此估计其恩格尔系数为（ ）
（参考数据：；参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为）
A．0.148B．0.138C．0.248D．0.238
4．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．2或C．D．或2
5．设若，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．C．D．
6．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球等三个兴趣小组．现由甲、乙、丙、丁、戊五名同学报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一个人报名，则不同的报名方法有（ ）
A．72B．100C．240D．150
7．已知两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子中，乙从盒子中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子中．按上述规则重复两次后，盒子中恰有8个球的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．已知平面上两定点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆．已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有6个红球、4个白球，下列说法正确的是（ ）
A．从甲箱中不放回地取球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为
B．从甲箱中不放回地每次任取一个球，直至取到白球后停止取球，则抽取两次后停止取球的概率为
C．从乙箱中有放回地抽取4次，则3次抽到红球的概率为
D．从乙箱中不放回地抽取3个球，则抽到2个红球的概率为
10．设等差数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的前项和中最大D．中最大的项为
11．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．当离心率为时，的最大值为
C．存在点使得
D．的最小值为1
12．如图，在平行四边形中，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）
A．平面平面
B．三棱锥四个面都是直角三角形
C．与所成角的余弦值为
D．过的平面与交于，则面积的最小值为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
13．的展开式中的常数项是________．
14．将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种．（用数字作答）
15．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为________．
16．已知数列满足：，则________．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）2024年春节期间，电影《飞驰人生2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩．某平台为了了解观众对该影片的评价情况（评价结果仅有“好评”“差评”），从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如下表所示（单位：人）：
（1）把列联表补充完整，并判断是否有的把握认为对该部影片的评价与性别有关；
（2）若将样本频率视为总体概率，从平台参与评价给出“好评”的所有观众中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的女性观众的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
18．（12分）已知数列的前项和为，数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）已知过点的动直线与抛物线相交于两点．
（1）当直线的斜率是时，．求抛物线的方程；
（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．
20．（12分）一只昆虫的产卵数与温度有关，现收集了6组观测数据于下表中．由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线的周围．
令，经计算有：
（1）试建立关于的回归直线方程并写出关于的回归方程．
（2）若通过人工培育且培育成本与温度和产卵数的关系为（单位：万元），则当温度为多少时，培育成本最小？
注：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘公式分别为
21．（12分）某市举办了党史知识竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为，求的分布列与数学期望；
（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．
22．（12分）如图，在三棱锥中，的中点分别为．
（1）求的长；
（2）证明：平面平面；
（3）求平面和平面夹角的余弦值．
答案和解析
1．D 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．C 8．C 9．AC 10．ABD 11．BD 12．ABD
13． 14．480 15． 16．
1．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了百分位数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
因为，进而可以求解．
【解答】
解：因为，
故数据2，4，4，5，7的第60百分位数为5，
故选：D．
2．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布的特点及概率的求解，属于基础题．
测试的成绩近似服从正态分布，分析出，得到，即可求解．
【解答】
解：因为近似服从正态分布，
所以，
所以，
所以该班体能测试成绩低于85分的人数估计为（人）．
故选B．
3．【答案】A
【解析】【分析】
本题以实际问题为背景，考查线性回归方程的求解与应用，
结合题意求出，然后进行求解即可．
【解答】
解：由条件可得：估计分别为，，
故，
则，
所以老张的恩格尔系数为．
故答案选A．
4．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，属于基础题．
由双曲线的性质求解．
【解答】
解：由题意得双曲线的渐近线为，
而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或，
或2，
故选：B．
5．【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项，属于基础题．
由题意得，当时，，利用二项展开式的通项求出，结合条件求得，得出二项式系数最大的项为，即可求出结果．
【解答】
解：由题可知，，
当时，，
的展开式中，通项为：，
则常数项对应的系数为：，即，得，
所以，解得：，
则展开式中二项式系数最大为：，
则二项式系数最大的项为：．
故选A．
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查互斥事件以及相互独立事件的概率，解题的关键是确定所求事件是由哪几个互斥事件构成，且每个事件是由哪几个相互独立事件同时发生的．属于中档题．
求出第一次取球甲、乙都取到红球的概率，再求第二次取到同色球（分两类）的概率，相乘即可．
【解答】
解：若两次取球后，盒子中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为，则第一次取球后盒子中有4个红球和3个白球，盒子中有2个红球和3个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为，故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，盒子有8个球的概率为，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，盒子中有8个球的概率为，
所以两次取球后，盒子中恰有8个球的概率是．故选C．
8．【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了新定义条件下空间几何体的截面问题、弧长的计算，对空间想象能力要求较高，属于困难题．根据阿氏圆性质求出阿氏圆圆心位置及半径，在空间内轨迹为以为球心的球，球与面，交线为圆弧，求出截面圆的半径及圆心角，从而求出在截面内的圆弧的长度即可．
【解答】
解：在平面中，以为原点，以为轴，为轴建系如图，设阿氏圆圆心，半径为，
，
设圆与交于，由阿氏圆性质知，
，
，
在空间内轨迹为以为球心，半径为2的球．
若在四边形内部时如图②，截面圆与分别交于，所以在四边形内的轨迹为，
在中，
所以，当在面内部的轨迹长为，
同理，当在面内部的轨迹长为．
当在面时，如图③所示，
面，平面截球所得小圆是以为圆心，以为半径的圆，截面圆与分别交于，且，
所以在正方形内的轨迹为，
所以，
综上：的轨迹长度为．
故选：C．
9．【分析】
本题考查了条件概率，二项分布及超几何分布的概率计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由题意，利用条件概率公式计算可判断A：利用古典概型的概率公式计算可判断B；利用二项分布及超几何分布的概率计算可判断C，D选项．
【解答】
解：设“从甲箱中不放回地取球，第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，
则，
，故A正确；
对于B选项，，故B错误；
对于C选项，抽到红球的次数，三次抽到红球的概率为，故C正确；
对于D选项，抽到红球的个数服从超几何分布，，故D错误．
故选AC．
10．【分析】
本题考查等差数列的性质以及前项和公式，考查逻辑推理能力，属于拔高题．
由，得，故可判断；由，而，可判断D．
【解答】
解：，
，
，可得：，
且该等差数列为递减数列，前8项均为正，从第9项起为负，
故A，B都正确，的前项和中最大，C错误；
因为，
所以，而，
所以中最大的项为，故D正确．
故选ABD．
11．【分析】
本题考查了椭圆的定义和相关性质、椭圆离心率和距离最值问题、基本不等式的应用，属于拔高题．
根据椭圆的定义和相关性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解．
【解答】解：由题意可得，，所以．
由点在椭圆内部，可得：．
所以，即，所以．
A选项，由椭圆离心率，又，
所以，故A错误；
B选项，当时，，
如图，，故B正确；
C选项，由A知，，
当在短轴端点时，最大．
此时，即．
由，故可得的最大值小于，
所以不存在点使得，故C错误；
D选项，，
当且仅当时等号成立，故D正确．
故选BD
12．【分析】
本题以命题真假关系为载体，主要考查了垂直关系的相互转化，异面直线所成角的求解，空间点到直线的距离的求解，属于中档题．
结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A，B；结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验C，D即可．
【解答】
解：中，，
所以，
故，即
因为平面平面且平面平面平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确；
由平面平面，故；
同理可得平面，
因为平面，所以，
所以三棱锥四个面都是直角三角形，故B正确；
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
因为，
所以，
即与所成角的余弦值为，C错误；
因为在线段上，设，则，
所以点到的距离
当时，取得最小值，
此时面积取得最小值为，D正确．
故选：ABD．
13．【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
先将原式通分化简为，转化为求的展开式中含项的系数的，利用二项式展开式的通项公式求出常数项即可．
【解答】
解：原式，
求原式的展开式中的常数项，转化为求的展开式中含项的系数的，
即所求的常数项为．
故答案为．
14．【分析】
本题考查了排列的应用，考查了分类讨论的思想，属于拔高题．
就C的位置分类讨论即可．
【解答】
解：如图六个位置1 2 3 4 5 6，
若放在第一个位置，则满足条件的排法共有种情况；
若放在第2个位置，则从3，4，5，6共4个位置中选2个位置排，再在余下的3个位置排，共种排法；
若放在第3个位置，则可在1，2两个位置排，其余位置排，则共有种排法或在4，5，6共3个位置中选2个位置排，再在其余3个位置排，共有种排法；
若在第4个位置，则有种排法；
若在第5个位置，则有种排法；
若在第6个位置，则有种排法．
综上，共有（种）排法．
15．【分析】
本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于较难题．
设“甲获得冠军”为事件，“比赛一共进行了三局”为事件，则求出，根据条件概率公式即可得出．
【解答】
解：设“甲获得冠军”为事件，“比赛一共进行了三局”为事件
由题意，甲获得冠军的概率，
其中比赛进行了3局且甲获得冠军的概率，
所求概率，
故答案为．
16．【分析】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列递推式，是基础题．
由，得出为等差数列，又，求出，则答案可求．
【解答】
解：由，
得，
数列为等差数列，设公差为，
又，
．
．
故答案为：．
17．解：（1）列联表补充完整如下：
根据列联表中数据，经计算得
，
有99.5%的把握认为对该部影片的评价与性别有关
（2）从抽取的400人中所有给出“好评”的观众中随机抽取1人为女性的概率，
且各次抽取之间互相独立，故，
所以，
，
故的分布列为：
所以．或．
18．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，所以，
当时，，
又也符合上式，故数列的通项公式为．
（2）当时，，
数列的前项和；
当时，，
数列的前项和
，
．
综上所述：．
19．解：（1）设，
当直线的斜率是时，的方程为，即，
由得，并满足，
又，
由这三个表达式及得，则抛物线的方程为．
（2）设的中点坐标为，
由得，
，
线段的中垂线方程为，
线段的中垂线在轴上的截距为：，
由得或．
20．解：（1）由得．令，得．
由表格，得．
，又，
；
（2）．
即时，取最小值．
答：温度为25℃时，培育成本最小．
21．解：（1）设甲，乙通过两轮制的初赛分别为事件，
则，
由题意可得，的取值可能为0，1，2，
则，
，
，
则的分布列为：
所以；
（2）设表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，表示事件“甲小组抢到最后一道题”，表示事件“乙小组抢到最后一道题”，
则，
根据全概率公式，可得，
从而，
从而该题如果被答对，恰好是甲小组答对的概率为．年个人消费总额万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数
0.9
0.8
0.5
0.2
0.1
好评
差评
合计
男性
80
200
女性
90
合计
400
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
温度
21
23
25
27
29
31
产卵数个
7
11
21
24
66
114
26
40.5
19.50
6928
526.60
70
好评
差评
合计
男性
120
80
200
女性
90
110
200
合计
210
190
400
0
1
2
3
0
1
2