2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古自治区呼和浩特市第二中学高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】A
【分析】根据平行六面体、三棱锥、圆锥、圆台的母线的概念进行逐项分析即可.
【详解】对于A：底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确；
对于B：如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示：
故B错误；
对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥，
显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C错误；
对于D：过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，故D错误；
故选：A.
2．直线经过，两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据两点间斜率公式求解出，然后根据求解出结果.
【详解】因为，，所以，
设的倾斜角为，所以，
因为，所以，
故选：B.
3．过点，且与直线垂直的直线的方程（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先设出直线方程，然后代入点求解出参数值，由此方程可求.
【详解】设与直线垂直的直线的方程为，
代入点，所以，所以，
所以，
故选：B.
4．已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．，，，，则
【答案】D
【分析】根据直线、平面的位置关系的空间想象，应用线面、面面平行与垂直判定定理来判断各项.
【详解】对A，若，，则或，A错误；
对B，若，，，则或相交，B错误；
对C，若，，，若时也满足条件，C错误；
对D，若，，，，
，又，，则.
故选：D.
5．若点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方程表示圆的方程以及点在圆外分别列出关于的不等式，由此求解出的取值范围.
【详解】因为方程表示圆，
所以，即，
又因为点在圆的外部，
所以，即，
所以，
故选：C.
6．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线与的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解.
【详解】因为
所以，
所以,
又因为侧棱与底面垂直，
所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示

易得，
所以,
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
7．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，
则，且，
所以，，，
依题意为等腰三角形，，
所以，化简得，又，
所以，即，
解得，又，所以，
即椭圆的离心率为.
故选：B

8．已知圆：，过点作直线与圆交于，两点，若是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据题意作出图示，根据条件确定出中点的轨迹方程，结合以及轨迹方程即可求解出的最小值.
【详解】设中点为，如下图所示：
因为为中点，所以，所以，
因为，
所以，所以，
所以的轨迹方程为，
又因为，所以，
因为在上，在圆上，
所以即为圆心到直线的距离再减去圆的半径，
所以，
所以的最小值为，
故选：C.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的纵截距为
B．直线必过定点
C．已知直线：，直线：，若，则或
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程为
【答案】AB
【分析】令，求出即可判断A；将直线方程化为，由此即可判断B；根据两直线平行的充要条件即可判断C；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断D.
【详解】对于A，令，则，
所以直线在轴上的纵截距为，故A正确；
对于B，将直线化为，
令，得，
所以直线必过定点，故B正确；
对于C，因为直线：与直线：平行，
所以，解得，
经检验，当时，两直线重合，
所以，故C错误；
对于D，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设直线方程为，
则，解得，所以直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或，故D错误.
故选：AB.
10．已知圆O：，圆：，下列说法正确的是（ ）
A．若，两圆相交弦所在直线为
B．两圆圆心所在直线为
C．过作圆O：的切线，切点为A，B，则
D．已知两圆的位置关系是相内切，则
【答案】BCD
【分析】由相交弦的定义，利用两圆方程相减判断A；求出圆心坐标判断B；利用圆的切线性质求出切线长判断C；由两圆内切求出半径判断D.
【详解】显然
当时，，，两圆相交，其公共弦所在直线方程为，A错误；
两圆圆心所在直线为，B正确；
显然为圆的切线，有，，C正确；
由两圆内切，得，即，解得，D正确.
故选：BCD
11．为了迎接二十大的召开，我国全体航空人以昂扬的精神面貌、实际行动，践行“航空报国，航空强国”的初心使命.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段长度的最大值为
C．的周长为
D．不算椭圆在轴上的端点，轴上方椭圆上存在2个点，使得
【答案】ABC
【分析】根据给定的条件，求出椭圆的短半轴长，半焦距，求出长轴长判断选项A；求出长度范围判断选项B；利用椭圆的定义求出焦点三角形周长判断选项C；计算判断选项D即可求解.
【详解】由题意可知：半圆所在椭圆的半焦距，短半轴长，得出长半轴长，则椭圆的长轴长为，故选项A正确；
因，，因此，故选项B正确；
因点是椭圆的两个焦点，则的周长为：，故选项C正确；
由题意，显然，在中，
，所以不可能为直角，不算椭圆在轴上的端点外，轴上方椭圆上不存在点，使得，故选项错误，
故选：ABC.
12．如图，棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与平面所成角为定值
C．线段上存在点，使平面平面
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
【答案】AD
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项的正误；设出球心的坐标为，求出的最大值，进而可求得三棱锥的外接球半径的最大值，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，因为平面，平面平面，
所以点到平面的距离等于，
的面积为，
所以为定值，A选项正确；
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，
对于C，设平面的法向量为，，，
由，可取，
设，可得点，其中，
则，
所以，解得，
故平面与平面不平行，C选项错误；
对于B选项，由B选项知，其中，则，
设平面的法向量为，，
则，可取，
设直线与平面所成角为，
则
，不为定值，
所以直线与平面所成角不为定值，B选项错误；
对于D选项，由题意可知，三棱锥的外接球球心在过线段的中点，
且垂直于平面的垂线上，
设球心为，由C选项知，
由，可得，整理可得，
因为，则，
所以三棱锥的外接球的半径为，
D选项正确.
故选：AD.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
三、填空题
13．已知，是椭圆：的两个焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长等于 .
【答案】12.
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由题意求出过焦点的的周长为；
解：，是椭圆，过焦点的直线与椭圆交于A，B两点，
则的周长为，
故答案为：12.
14．已知实数，满足方程，当时，的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分析表示的几何意义为点与点之间的斜率，作出图示，根据图示求解出的范围.
【详解】表示点与点连线的斜率，且在直线上，且满足，
如下图所示：
因为直线与轴分别交于，
所以，，
当点在线段上运动时，可知，
所以的取值范围是，
故答案为：.
15．如图所示，在棱长均为的平行六面体中，，点为与的交点，则的长为 ．

【答案】
【分析】根据向量法求得的长.
【详解】，
所以
,
所以.
故答案为：
16．已知实数满足：，则最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意可设，，且，M，N在单位圆上，所求最大值可转化为M，N的中点到直线的距离的和的最大值，运用三角函数的诱导公式，以及余弦函数的值域可得所求最大值.
【详解】由，
可设，，且，可得M，N在单位圆上，
，
所求最大值可转化为M，N到直线的距离的和的最大值的倍，
即M，N的中点到直线的距离的最大值的倍，
设，则，即，
故的中点坐标为，
的中点到直线的距离，
当时，最大，最大值为，
所以最大值为，
故答案为：4.
【点睛】本题考查代数式的最值求法，运用等式的几何意义，结合直线和圆的知识，三角函数的值域是迅速解题的关键，属于较难题.
四、解答题
17．已知中，点，，若的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)由（1）中所得轨迹，设是点关于直线的对称点，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，再根据椭圆的定义即可得解；
（2）求出点的坐标，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】（1）因为的周长为，
得，
所以，
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，
其中，故，
所以点的轨迹方程为；
（2）设，
因为是点关于直线的对称点，
所以，解得，
即，
所以.
18．如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，

(1)求证：MN平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取PD中点Q，连接AQ，QN，说明四边形AMNQ为平行四边形，然后证明MN平面PAD；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面PMC法向量，设PD与平面PMC所成角为θ，然后利用空间角的向量求法求解即可．
【详解】（1）证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，N分别为PC的中点，则，，

又因为为矩形，则，M分别为AB的中点，则，
故，所以四边形AMNQ为平行四边形，
所以，因为平面PAD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，
因为，
所以，
，．
设平面PMC法向量为：，
则，令，则．
设PD与平面PMC所成角为，，
则.
即PD与平面PMC所成角的正弦值为.
19．如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
(1)求该几何体的体积；
(2)求该几何体的表面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求解出正三棱柱的体积，然后再减去倒圆锥的体积，由此可得该几何体的体积；
（2）先计算正三棱柱的表面积，然后减去倒圆锥的底面圆的面积，再加上倒圆锥的侧面积即为该几何体的表面积.
【详解】（1）正三棱柱的底面积为，
所以正三棱柱的体积为，
设正三角形的内切圆半径为，
所以，所以，
所以圆锥的体积为，
所以该几何体的体积为.
（2）因为正三棱柱的表面积为，
倒圆锥的底面圆面积为，
倒圆锥的母线长为，
所以倒圆锥的侧面积为，
所以该几何体的表面积为.
20．已知圆经过，两点，且圆的圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若直线过点与圆相交截得的弦为，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆的方程为，利用待定系数法求出即可；
（2）根据圆的弦长公式求出圆心到直线的距离，再分直线斜率是否存在两种情况讨论即可.
【详解】（1）设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为；
（2）圆的标准方程为，
圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，解得，
当直线的斜率不存在时，方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则，解得，
所以直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或.
21．已知椭圆：的离心率为，且椭圆经过点，，是椭圆的左、右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上一点，，则三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出即可得解；
（2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）在中，，
由，得或，
设，则时，
在中，由余弦定理得，
即，解得；
所以，
所以.
22．如图：等边三角形的边长为3，，．将三角形沿着折起，使之成为四棱锥．点满足，点在棱上，满足．且．
(1)求到平面的距离；
(2)求面与面夹角的余弦值；
(3)点在面的正射影为点，求与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，利用勾股定理证得，以点为原点建立空间直角坐标系，根据求出点的坐标，再根据即可求出点的坐标，即可得解；
（2）分别求出两平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得解；
（3）先确定点的位置，再利用向量法求解即可.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理得，
所以，所以，即，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
，
因为，
所以，解得，
则，故，
所以，
设，由，
得，解得，即，
所以到平面的距离为；
（2），
设平面得法向量为，
则有，可取，
设平面得法向量为，
则有，可取，
则，
所以面与面夹角的余弦值为；
（3）因为平面，
所以平面，
因为点在面的正射影为点，所以平面，
所以，所以在上，
，则，
故，则，
则，
所以与平面夹角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.