2023-2024学年山东省大联考高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省大联考高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，物体的位移为△s，那么△t→0lim△s△t为( )
A. 从时刻t到t+△t时，物体的平均速度B. 从时刻t到t+△t时位移的平均变化率
C. 当时刻为△t时该物体的速度D. 该物体在t时刻的瞬时速度
2.下列求导运算正确的是( )
A. (x+3x)′=1+3x2B. (lg2x)′=1xln2
C. (3x)′=3xlg3eD. (x2csx)′=−2xsinx
3.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )
A. 0B. 0C. 0D. 04.函数f(x)=−13x3+x2+3x+a(其中a∈R)的单调增区间是( )
A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)
C. (−3,1)D. R
5.已知a=ln22,b=1e,c=2ln39，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. b>c>a
6.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)=P02−t30，其中P0为t=0时该放射性同位素的含量．已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为−3 2ln210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为( )
A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天
7.若点P(1,m)不在函数f(x)=x3−3mx的图像上，且过点P有三条直线与f(x)的图像相切，则实数m的取值范围为( )
A. (0,14)B. (0,14)∪(14,12)
C. (−∞,14]∪(12,+∞)D. (−∞,14)∪(12,+∞)
8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=ex(x+1)，则下列结论中正确的个数是( )
①当x>0时，f(x)=−e−x(x−1)；②函数f(x)有3个零点；③f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)；④∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列复合函数的导数计算正确的有( )
A. 若函数f(x)=e2x，则f′(x)=2e2x
B. 若函数f(x)=ln(2x)，则f′(x)=−1x
C. 若函数f(x)=33x+1，则f′(x)=33x+1ln3
D. 若函数f(x)=sin2(3x+π4)，则f′(x)=3cs(6x)
10.函数f(x)的定义域为(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则( )
A. 函数f(x)在(a,b)内一定不存在最小值B. 函数f(x)在(a,b)内只有一个极小值点
C. 函数f(x)在(a,b)内有两个极大值点D. 函数f(x)在(a,b)内可能没有零点
11.已知函数y=f(x)，x∈(0,π2)，f′(x)是其导函数，恒有f′(x)sinx>f(x)csx，则( )
A. f(π3)> 2f(π4)B. f(π4)> 22f(π6)
C. f(π6)<2cs1⋅f(1)D. f(π3)>2f(1)cs1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若f(x)=13x3−f′(1)x2+x+5，则f′(1)= ______．
13.若函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是______．
14.已知f(x)=x+3,x≤1−x2+2x+3,x>1，则使f(x)−ex−m≤0恒成立的m的范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数．
(1)y=excsx+ x−t2(t为常数)；
(2)y=ln(2x+5)3+lnxx．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+alnx．
(1)当a=−2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若函数g(x)=f(x)+2x在[1,+∞)上单调，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元.设该容器的总建造费用为y万元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−alnx(a≥2)．
(1)若a=2，求曲线y=f(x)的斜率等于3的切线方程；
(2)若f(x)在区间[1e,e]上恰有两个零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ln(x+1)和g(x)= x．
(1)求证：f(x)(2)设φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)在(0,+∞)存在极值点，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t+△t时，时间的变化量为△t，而物体的位移为△s，
那么△t→0lim△s△t为该物体在t时刻的瞬时速度；
故选：D．
根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案．
本题考查变化率的定义，涉及导数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数的运算，属基础题．
由导数的运算法则逐个选项验证可得．
【解答】
解：选项A，(x+3x)′=1−3x2，故错误；
选项B，(lg2x)′=1xln2，故正确；
选项C，(3x)′=3xln3，故错误；
选项D，(x2csx)′=2xcsx−x2sinx，故错误．
故选B．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图象的应用，导数的几何意义的应用，属于中档题．
设x=2，x=3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，将问题转化为直线的斜率进行比较，即可得到答案．
【解答】
解：设x=2，x=3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，
则f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2=kAB，
f′(3)=kBQ，f′(2)=kAT，
因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，
所以kBQ故选B．
4.【答案】B
【解析】解：∵f′(x)=−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)，
令f′(x)>0，得−1∴f(x)的单调增区间是(−1,3)．
故选：B．
求得f′(x)=−(x−3)(x+1)，令f′(x)>0，即可求得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：设f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，
故当x=e时，函数取得最大值f(e)=1e，
因为f(2)=ln22，f(9)=ln99=2ln39，
所以b>a，b>c，
因为a−c=ln22−ln99=9ln2−2ln918=ln29−ln8118>0，
所以a>c，
所以b>a>c．
故选：C．
令f(x)=lnxx，对函数求导，结合导数分析函数的单调性，利用单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了单调性在函数值大小比较中的应用，解题的关键是根据已知合理的构造函数．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查指数方程的解法，是一般题．
利用函数P(t)在t=15时的导数值求得P0，然后求解指数方程得答案．
【解答】
解：∵P(t)=P02−t30，∴P′(t)=P02−t30×ln2×(−130)，
t=15时，P′(15)=−130ln2⋅P0⋅2−12=−3 2ln210，
∴P0=18，则P(t)=18·2−t30，
由18·2−t30=4.5，得2−t30=14=2−2，即t=60．
∴该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为60天．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可得1−3m≠m，即m≠14，
设切点为(n,n3−3mn)，
由f(x)=x3−3mx的导数f′(x)=3x2−3m，可得切线的斜率为3n2−3m，
则切线的方程为y−(n3−3mn)=(3n2−3m)(x−n)，
代入P(1,m)，即m−n3+3mn=(3n2−3m)(1−n)，
化为2n3−3n2+4m=0，①
由题意可得关于n的方程①有三个实根．
设g(n)=2n3−3n2+4m，则g′(n)=6n2−6n，
当01或n<0时，g′(n)>0，g(n)递增．
所以g(n)在n=0处取得极大值，且为4m，在n=1处取得极小值，且为4m−1，
则4m>0，且4m−1<0，
解得0故选：A．
设切点为(n,n3−3mn)，求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入点P的坐标，化简可得n的方程，由题意可得该方程有三个实根，构造函数g(n)，求得导数和函数的单调性、极值，由题意可得两个极大值大于0，极小值小于0，解不等式可得所求取值范围．
本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：①f(x)为R上的奇函数，设x>0，−x<0，则：f(−x)=e−x(−x+1)=−f(x)；
∴f(x)=e−x(x−1)；
∴故①错误，
②∵f(−1)=0，f(1)=0；
又f(0)=0；
∴f(x)有3个零点；
故②正确，
③当x<0时，由f(x)=ex(x+1)<0，得x+1<0；
即x<−1，
当x>0时，由f(x)=e−x(x−1)<0，得x−1<0；
得0∴f(x)<0的解集为(0,1)∪(−∞,−1)；
故③正确，
④当x<0时，f′(x)=ex(x+2)；
∴x<−2时，f′(x)<0，−20；
∴f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,0)上单调递增；
∴x=−2时，f(x)取最小值−e−2，且x<−2时，f(x)<0；
∴f(x)即−e−2≤f(x)<0；
当x>0时，f′(x)=e−x(2−x)；
∴f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减；
x=2时，f(x)取最大值e−2，且x>2时，f(x)>0；
∴f(x)>f(0)=0；
∴0又f(0)=0，
∴−e−2≤f(x)≤e−2；
∴f(x)的值域为[−e−2,e−2]；
∴∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2；
故④正确，
∴正确的命题为②③④．
故选：C．
①根据f(x)为奇函数，可设x>0，从而有−x<0，从而可求出f(x)=e−x(x−1)，判断①；
②从而可看出−1，1，0都是f(x)的零点，可判断②；
③而由f(x)解析式便可解出f(x)<0的解集，从而判断出③的正误，
④可分别对x<0和x>0时的f(x)求导数，根据导数符号可判断f(x)的单调性，根据单调性即可求出f(x)的值域，这样便可得出∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2．
本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，结合函数奇偶性的性质求出函数的解析式，以及利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．
9.【答案】ABD
【解析】解：A项，f(x)=e2x，f′(x)=e2x⋅2=2e2x，A正确；
B项，f(x)=ln(2x),f′(x)=x2⋅(−2x2)=−1x，B正确；
C项，f(x)=33x+1，f′(x)=33x+1ln3⋅3=33x+2ln3，C错误；
D项，f(x)=sin2(3x+π4),f′(x)=2sin(3x+π4)cs(3x+π4)⋅3=3sin(6x+π2)=3cs(6x)，D正确．
故选：ABD．
根据复合函数的求导法则即可得．
本题考查复合函数的求导运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的判断，是基础题．
结合导函数的图象，判断函数的单调性，判断函数的极值，判断函数的零点，即可得到选项．
【解答】
解：由题意可知，函数的单调性是在(a,c)内单调递增，在(c,d)内单调递减，在(d,e)内单调递增，在(e,b)内单调递减，
在x=c，x=e时，函数取得极大值，
在x=d处取得极小值，所以B、C正确；
当函数的极小值是函数的最小值时，函数能取得最小值，所以A不正确；
导数的图象只能判断函数的单调性，所给条件不足以判断是否有零点，
故函数可能没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
11.【答案】AD
【解析】解：因为x∈(0,π2)，所以sinx>0，csx>0，
又f′(x)sinx>f(x)csx，所以f′(x)csx>f(x)sinx，
构造函数g(x)=f(x)csx,x∈(0,π2)，
则g′(x)=f′(x)csx−f(x)sinx>0，所以g(x)在(0,π2)上为增函数，
因为π3>π4，所以g(π3)>g(π4)，即f(π3)csπ3>f(π4)csπ4，即f(π3)> 2f(π4)，故A正确；
因为π4>π6，所以g(π4)>g(π6)，即f(π4)csπ4>f(π6)csπ6，故f(π4)> 62f(π6)，故B错误；
因为π6<1，所以g(π6)因为π3>1，所以g(π3)>g(1)，即f(π3)csπ3>f(1)cs1，故f(π3)>2f(1)cs1，故D正确．
故选：AD．
由题设得f′(x)csx>f(x)sinx，构造g(x)=f(x)csx并应用导数研究单调性，再判断各选项即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想，属中档题．
12.【答案】23
【解析】解：f′(x)=x2−2f′(1)x+1，令x=1，得f′(1)=23．
故答案为：23．
由导数的运算法则与赋值法求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
13.【答案】{a|a<−1}
【解析】解：∵y=ex+ax，
∴y′=ex+a．
由题意知ex+a=0有大于0的实根，
由ex=−a，得a=−ex，
∵x>0，
∴ex>1．
∴a<−1．
故答案为：{a|a<−1}．
先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值点故导函数有大于零的根．
本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，求解过程中用到了分离参数的方法．
14.【答案】[2,+∞)
【解析】解：当x≤1时，f(x)−ex−m≤0即为m≥x+3−ex，
可令g(x)=x+3−ex，则g′(x)=1−ex，当0当x<0时，g′(x)>0，g(x)递增．g(x)在x=0处取得极大值，也为最大值，且为2，
则有m≥2 ①
当x>1时，f(x)−ex−m≤0即为m≥−x2+2x+3−ex，
可令h(x)=−x2+2x+3−ex，h′(x)=−2x+2−ex，由x>1，则h′(x)<0，
即有h(x)在(1,+∞)递减，则有h(x)则有m≥4−e ②
由①②可得，m≥2成立．
故答案为：[2,+∞)．
运用参数分离的方法，分别讨论当x≤1时，当x>1时，函数f(x)−ex的单调性和最大值的求法，注意运用导数，最后求交集即可．
本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，同时考查运用导数判断单调性，求最值的方法，属于中档题和易错题．
15.【答案】解：(1)由y=excsx+ x−t2可得，y′=excsx−exsinx+12 x=ex(csx−sinx)+12 x；
(2)由y=ln(2x+5)3+lnxx=3ln(2x+5)+lnxx
可得，y′=3×22x+5+1x⋅x−lnxx2=62x+5+1−lnxx2．
【解析】(1)利用导数运算法则可求得原函数的导数；
(2)利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数．
本题主要考查了函数的求导公式，求导法则的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)由题意知，函数的定义域为(0,+∞)，
当a=−2时，f′(x)=2x−2x=2(x+1)(x−1)x，
当f′(x)<0时，x∈(0,1)，
故f(x)的单调递减区间是(0,1).…(6分)
(2)由题意得g′(x)=2x+ax−2x2，
函数g(x)在[1,+∞)上是单调函数．
①若g(x)为[1,+∞)上的单调增函数，
则g′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，
即a≥2x−2x2在[1,+∞)上恒成立，
设φ(x)=2x−2x2，
∵φ(x)在[1,+∞)上单调递减，
∴φ(x)max=φ(1)=0，∴a≥0.…(10分)
②若g(x)为[1,+∞)上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，不可能．
∴实数a的取值范围为[0,+∞).…(14分)
【解析】(1)求出函数的导数，解关于导数的不等式，求出函数的递减区间即可；
(2)求出函数的导数，根据函数的单调性分离参数a，问题转化为a≥2x−2x2在[1,+∞)上恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．
17.【答案】解：(1)由题意知，容器的体积为4πr33+πr2l=64π3，解得l=643r2−4r3，
又圆柱的侧面积为2πrl=128π3r−8πr23，两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y=(128π3r−8πr23)×3+4πr2×4=128πr+8πr2，
又l=643r2−4r3>0，所以0所以定义域为(0,243)．
(2)因为y′=−128πr2+16πr=16π(r3−8)r2，
所以令y′>0，解得r>2，令y′<0，解得r<2，
又定义域为(0,243)，所以函数在(0,2)上单调递减，在(2,243)上单调递增，
所以当r=2米时，该容器的建造费用最小，为96π万元，此时l=83m.
【解析】(1)根据圆柱和球的体积公式即可得l与r关系，根据题意建立y与r的函数关系；
(2)求函数的导数，判断函数的单调性，即可求出函数的最小值．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2−2lnx，x>0，则f′(x)=2x−2x，
设切点为(x0,x02−2lnx0)，则f′(x0)=2x0−2x0=3，解得x0=2或x0=−12(舍)，
∴f(2)=4−2ln2，故切点为(2,4−2ln2)，
∴所求切线方程为y−4+2ln2=3(x−2)，即3x−y−2−2ln2=0．
(2)f′(x)=2x−ax=2x2−ax,a≥2,x>0，
令f′(x)=0，得x= 2a2≥1>1e，
①当 2a2≥e，即a≥2e2时，在(1e,e)上f′(x)<0，
∴f(x)在[1e,e]上单调递减，此时f(x)在[1e,e]上不可能存在两个零点；
②当1≤ 2a2在(1e, 2a2)上f′(x)<0，f(x)递减；在( 2a2,e)上f′(x)>0，f(x)递增，
则f(x)在x= 2a2时取得极小值f( 2a2)=12a(1−lna2)，
结合零点存在定理，要使f(x)在区间[1e,e]上恰有两个零点，
则f(1e)=1e2+a≥0f(e)=e2−a≥0f( 2a2)=12a(1−lna2)<0，得2e∴综上a的取值范围是(2e,e2].
【解析】(1)求出导函数，令f′(x)=3求得切点坐标后可得切线方程；
(2)求导函数f′(x)，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，依题意结合零点存在定理，列出不等式求解即可．
本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查方程思想与分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】(1)证明：记m(x)=f(x)−g(x)(x∈(0,+∞))，所以m′(x)=1x+1−12 x=−2 x−x−12 x(x+1)=−−( x+1)22 x(x+1)<0，
因此m(x)在x∈(0,+∞)上单调递减，故m(x)故f(x)(2)解：φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)=(4x+t)ln(x+1)，
则φ′(x)=−4x2ln(x+1)+(4x+t)1x+1，
由于φ(x)=[4g2(x)+t]f(x)在(0,+∞)存在极值点，
所以φ′(x)=−4x2ln(x+1)+(4x+t)1x+1=0有正的实数根，
即方程4xln(x+1)=(4+tx)1x+1有正的实数根，
令ln(x+1)=m，则x=em−1，且m>0，
故变形为4mem−1=4+t(em−1)em，
进而等价于t(em−1)2+4(em−1)−4mem=0有正的实数根，
令h(m)=t(em−1)2+4(em−1)−4mem，m>0，
则h′(m)=2t(em−1)em−4mem=em[2t(em−1)−4m]，
令p(m)=2t(em−1)−4m，则p′(m)=2tem−4，
当t≥2时，则p′(m)=2tem−4≥4em−4>4e0−4=0，
所以p(m)在m>0单调递增，故p(m)>p(0)=0，进而h′(m)=emp(m)>0，
此时h(m)在m>0单调递增，故h(m)>h(0)=0，此时不符合要求，
当t≤0时，则p′(m)=2tem−4<0，所以p(m)在m>0单调递减，
故p(m)0单调递减，故h(m)当00单调递增，由于p′(0)=2t−4<0，
当m→+∞时，p′(m)→+∞，故存在m0>0，使得p′(m0)=0，
故当m∈(0,m0)，p′(m)<0，p(m)单调递减，当m∈(m0,+∞)，p′(m)>0，p(m)单调递增，
又当m→+∞时，p(m)→+∞，
因此存在m1∈(m0,+∞)，使得m∈(0,m1)，h′(m)<0，h(m)单调递减，
当m∈(m1,+∞)，h′(m)>0，h(m)单调递增，故当m是h(m)的零点，
综上可得0【解析】(1)构造函数m(x)=f(x)−g(x)，利用导数求单调性，即可求证；
(2)将问题转化为4xln(x+1)=(4+tx)1x+1有正的实数根，利用换元法将问题进一步等价于t(em−1)2+4(em−1)−4mem=0有正的实数根，构造函数h(m)=t(em−1)2+4(em−1)−4mem，即可求导分类讨论求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．