2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省青桐鸣大联考高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简MA−(BA−CM)+BC=( )
A. 2MCB. 2CBC. 2BCD. 0
2.圆心角是2π5，半径是2 5的扇形的面积为( )
A. 2πB. 4πC. 5πD. 10π
3.已知集合A={x||x−1|≤2}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2,3}C. {0,1,2}D. {1,2}
4.在△ABC中，AB= 5，BC= 2，∠C=π4，则AC=( )
A. 3B. 2C. 3D. 1
5.将函数f(x)=2sin(3x+π4)的图象向右平移π4个单位长度得到函数g(x)，则下列图象中g(x)的大致图象正确的是( )
A. B.
C. D.
6.已知向量a=(−1,0)，b=(2,m)(m∈R)，若向量b在向量a上的投影向量为μa，则实数μ=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
7.已知a=20.4，b=lg0.42，c=tan43°，则( )
A. a>b>cB. b>c>aC. c>b>aD. a>c>b
8.设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，当x1≥x2，且y1>y2时，则记作a≫b；当x1①若a=(2,4)，b=(3,5)，则a≪b；
②若a≫b且μa≫λb，则μ≥λ；
③若a≫b，则对于任意向量c，都有(a+c)≫(b+c)；
④若a≪b，则对于任意向量c，都有a⋅c≤b⋅c；
其中所有正确结论的序号为( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ①④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若cs(π2−β)⋅csβ>0，则角β的终边可能在( )
A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限
10.如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD，EFGH，其中O为这两正方形的中心，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若正方形ABCD的边长为2，则下列结论正确的是( )
A. AO= 22HGB. AO⋅(GC+GB)=0
C. BH=−12EF+32EHD. AO⋅BH=−1
11.如图，为测量海岛的高度AB以及其最高处瞭望塔的塔高BC，测量船沿航线DA航行，且DA与AC在同一铅直平面内，测量船在D处测得∠BDA=α，∠CDA=β，然后沿航线DA向海岛的方向航行m千米到达E处，测得∠BEA=γ，∠CEA=δ(δ>γ>β>α，测量船的高度忽略不计)，则( )
A. AB=msinγsinαsin(γ−α)B. AE=msinγcsγsin(γ−α)
C. BC=msinαsin(δ−γ)csδsin(γ−α)D. AC=msinδsinβsin(δ−β)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanθ+ 3≤0，且θ∈(−π2,π2)，则θ的取值范围为______．
13.已知向量a=(−1,2)，a⋅b=−1且|a−b|= 10，则|b|= ______．
14.已知在△ABC中，AB=2，∠A=60°，点D为BC上一点，且2BD=DC，BE为AC边上的高，垂足为E，则AD⋅BE= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)．
(1)求a⋅(a−b)；
(2)若向量a+mb与向量ma+b的方向相反，求实数m的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，AB=2，BC=3，∠B=60°，且BC=3AD，AC与BD交于点O，设AB=a，BC=b．
(1)用向量a，b表示OC，OB；
(2)求cs∠COD的值．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=(x2−2x+4)(x2+mx+n)是偶函数．
(1)分别求实数m，n的值；
(2)求f(x)的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−e−x，g(x)=e2x+e−2x．
(1)证明：g2(x2)−f2(x)−4=0；
(2)求x∈[ln2,ln3]时，函数F(x)=2f(x)g(x)的最小值．
19.(本小题17分)
设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccsB=a(2−b)，且C=π3．
(1)求a的值；
(2)若D为BC的延长线上一点，且∠CAD=π6，求三角形ACD周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：MA−(BA−CM)+BC=MA+CM+AB+BC=CA+AC=0．
故选：D．
根据向量的线性运算求解．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：扇形的面积为12×2π5×(2 5)2=4π．
故选：B．
根据扇形的面积公式运算求解．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：集合A={x||x−1|≤2}={x|−1≤x≤3}，
B={x∈N|x<3}={0,1,2}，
则A∩B={0,1,2}．
故选：C．
利用交集定义、不等式性质求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为AB= 5，BC= 2，∠C=π4，
所以csC=a2+b2−c22ab=2+b2−52 2b= 22，
解得b=3，负值舍去．
故选：A．
由题意利用余弦定理即可求解．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由已知g(x)=2sin[3(x−π4)+π4]=2sin(3x−π2)=−2cs3x，
得g(0)=−2，观察选项可得D正确．
故选：D．
先求出g(x)，然后利用g(0)=−2排除得答案．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及余弦函数的图象和性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得：a⋅b=−2,a2=1，
若向量b在向量a上的投影向量为μa，则(a⋅ba2)a=−2b=μb，
所以μ=−2．
故选：C．
根据向量的坐标运算结合投影向量的定义分析求解．
本题主要考查投影向量的定义，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：函数y=2x在R上单调递增，所以a=20.4>20=1，
函数y=lg0.4x在(0,+∞)上单调递减，所以b=lg0.42又c=tan43°0，
所以a>c>b．
故选：D．
利用函数单调性确定与中间量0，1的大小，进而得到答案．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：对于命题①：若a=(2,4)，b=(3,5)，则2<34≤5，所以a≪b，即①正确；
对于命题②：举反例，不妨取a=(1,1)，b=(−1,−1)，满足a≫b，
再取μ=−1，λ=2，有μa=(−1,−1)，λb=(−2,−2)，满足μa≫λb，
但μ<λ，即②错误；
对于命题③：若a≫b，则x1≥x2，且y1>y2，
设c=(x0,y0)，则a+c=(x1+x0,y1+y0)，b+c=(x2+x0,y2+y0)，
所以x1+x0≥x2+x0y1+y0>y2+y0，所以(a+c)≫(b+c)，即③正确；
对于命题④：举反例，不妨取a=(−2,−2)，b=c=(−1,−1)，满足a≪b，
但a⋅c=2+2=4，b⋅c=1+1=2，
所以a⋅c>b⋅c，即④错误．
故选：C．
根据新定义，结合向量的坐标运算法则分析①③，举反例可判断②④．
本题考查平面向量的运算，理解新定义，熟练掌握平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：由题意可得：cs(π2−β)⋅csβ=sinβ⋅csβ>0，即sinβ，csβ同号，
所以角β的终边可能在第一象限或第三象限，
故AC错误，BD正确．
故选：BD．
由诱导公式可得sinβ⋅csβ>0，结合象限角的符号分析判断．
本题主要考查了诱导公式的应用，考查了三角函数值的符号判断，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：由题意，对于正方形ABCD，EFGH，O为这两正方形的中心，
E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，正方形ABCD的边长为2，
对于A：AO=12AC=12×2HG=HG，故A错误；
对于B：由AO⊥DO，可得AO⋅(GC+GB)=AO⋅2GF=2AO⋅DO=0，故B正确；
对于C：BH=BE+EH=12FH+EH=12(FE+EH)+EH=−12EF+32EH，故C正确；
对于D：由AO⊥EH，可得AO⋅BH=AO⋅(−12EF+32EH)=−12AO⋅EF+32AO⋅EH=−12× 2× 2=−1，故D正确．
故选：BCD．
利用平面向量线性运算及数量积运算，对选项逐一计算进行判断即可．
本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：在△BDE中，∠BDE=α，∠DBE=∠BEA−∠BDE=γ−α，∠BED=π−γ，
由正弦定理得，DEsin∠DBE=BDsin∠BED=BEsin∠BDE，即msin(γ−α)=BDsinγ=BEsinα，所以BD=msinγsin(γ−α),BE=msinαsin(γ−α)，所以AB=BDsinα=msinγsinαsin(γ−α)，A正确；
AE=BEcsγ=msinαcsγsin(γ−α)，B错误；
在△BCE中，∠BCE=π2−δ,∠BEC=δ−γ，由正弦定理得，BCsin(δ−γ)=BEsin(π2−δ)，
所以BC=sin(δ−γ)×BEcsδ=msinαsin(δ−γ)csδsin(γ−α)，C正确；
在△CDE中，∠CDE=β，∠DCE=∠CEA−∠CDE=δ−β，∠CED=π−δ，代入CDsin∠CED=DEsin∠DCE，所以CD=msinδsin(δ−β)，
所以AC=CDsinβ=msinδsinβsin(δ−β)，D正确．
故选：ACD．
对于AB：在△BDE中利用正弦定理计算；对于C：在△BCE中利用正弦定理计算；对于D：在△CDE中利用正弦定理计算．
本题考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】(−π2,−π3]
【解析】解：由tanθ+ 3≤0可得tanθ≤− 3，
又因为f(θ)=tanθ在(−π2,π2)上单调递增，且f(−π3)=tan(−π3)=− 3，
所以θ的取值范围为(−π2,−π3]．
故答案为：(−π2,−π3]．
根据题意结合正切函数单调性分析求解．
本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题．
13.【答案】 3
【解析】解：因为向量a=(−1,2)，
则|a|= 12+22= 5，
且a⋅b=−1，|a−b|= 10，
可得|a−b|2=|a|2+|b|2−2a⋅b=5+|b|2+2=10，
可得|b|2=3，
即|b|= 3．
故答案为： 3．
先求出|a|，再求出|a−b|2，即可求出|b|2，则可计算出答案．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：如图，以E为坐标原点，EA，EB所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，
因为AB=2，∠A=60°，BE⊥AC，则EA=1,EB= 3，
可得E(0,0),A(1,0),B(0, 3)，
设C(x0,0)，且2BD=DC，可知D(x03,2 33)，
则BE=(0,− 3),AD=(x03−1,2 33)，
所以AD⋅BE=BE=0×(x03−1)+(− 3)×2 33=−2．
故答案为：−2．
以E为坐标原点，EA，EB所以直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出BE,AD的坐标，即可求出结果．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为a+b=(3,1)，a−2b=(0,7)，
所以2(a+b)+a−2b=(6,2)+(0,7)=(6,9)，即a=(2,3)，
(a+b)−(a−2b)=3b=(3,−6)，即b=(1,−2)，
所以a−b=(1,5)，
所以a⋅(a−b)=2×1+3×5=17；
(2)因为向量a+mb与向量ma+b的方向相反，
所以存在实数λ(λ<0)使得a+mb=λ(ma+b)=λma+λb，
所以λm=1m=λ，解得m=λ=−1，
所以实数m的值为−1．
【解析】(1)由平面向量的坐标运算结合条件求出a,b的坐标，再由数量积的坐标运算即可求得；
(2)由共线向量定理建立方程，求解即可．
本题考查平面向量的坐标运算和共线向量定理的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为BC=3AD，即AD//BC，且BC=3AD，
则OC=3OA，OB=3OD，
OC=34AC=34(AB+BC)=34AB+34BC=34a+34b，
OB=OC+CB=34AB+34BC−BC=34AB−14BC=34a−14b；

(2)由(1)得OC⋅OB=(34AB+34BC)⋅(34AB−14BC)=916×4+38×2×3×(−12)−316×9=−916，
|OB|= (34AB−14BC)2= 916×4−2×316×2×3×(−12)+116×9=3 74
|OC|= (34AB+34BC)2= 916×4+2×916×2×3×(−12)+916×9=3 74，
则cs∠COB=OC⋅OB|OC|⋅|OB|=−9163 74×3 74=−17，
所以cs∠COD=cs(π−∠COB)=17
【解析】(1)利用向量的线性运算来表示即可；
(2)求出OC⋅OB和|OC||OB|，然后利用夹角公式求解即可．
本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)．
又f(−x)=(x2+2x+4)(x2−mx+n)，
f(x)=(x2−2x+4)(x2+mx+n)，
则x4+(2−m)x3+(n−2m+4)x2+(2n−4m)x+4n=x4+(m−2)x3+(n−2m+4)x2+(4m−2n)x+4n，
整理得(m−2)x3+(4m−2n)x=0恒成立，
则m−2=0,4m−2n=0,
解得m=2，n=4．
(2)由(1)可得此时f(x)=(x2−2x+4)⋅(x2+2x+4)=(x2+4)2−4x2，
令x2=t∈[0,+∞)，则g(t)=t2+4t+16，
由二次函数性质得，g(t)在[0,+∞)上单调递增，
故g(t)≥g(0)=16，则g(t)∈[16,+∞)，即f(x)∈[16,+∞)．
所以f(x)的取值范围为[16,+∞)．
【解析】(1)利用偶函数的定义求解参数即可．
(2)利用换元法结合二次函数性质求解即可．
本题主要考查函数奇偶性的应用，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：g2(x2)−f2(x)=(ex+e−x)2−(ex−e−x)2=(e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)=4，
即g2(x2)−f2(x)−4=0．
(2)当x∈[ln2,ln3]时，函数y=ex−e−x明显单调递增，故ex−e−x∈[32,83]，
则F(x)=2f(x)g(x)=2(ex−e−x)e2x+e−2x=2(ex−e−x)(ex−e−x)2+2=2(ex−e−x)+2ex−e−x，
令u=ex−e−x，则对勾函数y=u+2u在[32,83]上单调递增，
故ymax=83+2×38=4112，
则F(x)min=24112=2441．
【解析】(1)直接代入函数表达式计算即可．
(2)变形，然后利用对勾函数的单调性求最值．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为2ccsB=a(2−b)，
由正弦定理可得2sinCcsB=sinA(2−b)=2sinA−bsinA，
则2sinCcsB=2sin(B+C)−bsinA，整理得2sinBcsC=bsinA，
由正弦定理可得2bcsC=ba，即a=2csC，
且C=π3，所以a=2×12=1．
(2)在△ACD中，由题意可知：∠ACB=2π3，∠ADC=∠CAD=π6，
可知DC=BC=b，

由余弦定理可得AD2=AC2+DC2−2AC⋅CD⋅cs∠ACD=3b2，即AD= 3b，
在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，
可得b=asinBsinA=sin(A+C)sinA=12sinA+ 32csAsinA=12+ 32tanA，
因为C=π3且△ABC为锐角三角形，则0π2，解得π6则tanA> 33，可得0<1tanA< 3，所以b=12+ 32tanA∈(12,2)，
且三角形ACD周长为b+b+ 3b=(2+ 3)b∈(1+ 32,4+2 3)，
所以三角形ACD周长的取值范围为(1+ 32,4+2 3)．
【解析】(1)根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得a=2csC，即可得结果；
(2)在△ACD中，可得DC=BC=b，AD= 3b，在△ABC中，利用正弦定理结合三角函数可得b=12+ 32tanA∈(12,2)，进而可得结果．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．