19.2正比例函数与一次函数

19.2正比例函数与一次函数一．选择题（共16小题）1．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在正比例函数y＝（k﹣1）x的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k的取值范围为（　　）A．k＜1 B．k＞1 C．k≠1 D．k＞0且k≠12．已知函数y＝（k﹣1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　）A．k＝1，b＝2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k≠1，b＝2 D．k≠﹣1，b＝﹣23．下列说法中不成立的是（　　）A．在y＝3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y＝﹣中y与x成正比例 C．在y＝2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y＝x+3中y与x成正比例4．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y随x增大而减小，则m的值是（　　）A．﹣2或2 B．2 C．﹣2 D．﹣45．已知正比例函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0，那么m的取值范围是（　　）A．m＜2 B．m＞2 C．m＜0 D．m＞06．已知函数y＝（m+3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）A．m＝±3 B．m≠﹣3 C．m＝﹣3 D．m＝37．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（　　）A． B． C． D．8．一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜39．已知正比例函数y＝kx的图象与x轴的夹角为30°，且y随x的增大而减小，则k的值为（　　）A． B．﹣ C． D．﹣10．若函数y＝kx+b由直线y＝﹣x+2平移得到，且平移后的直线过点（2，1），则直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是（　　）A．（ 0，﹣3 ） B．（ 3，0 ） C．（ 1，2 ） D．（ 0，3 ）11．一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知一次函数y＝kx﹣1经过A（﹣1，y1），B（2，y2）两点，且y1＞y2，则k的取值范围是（　　）A．k＞0 B．k＝0 C．k＜0 D．不能确定13．已知直线y＝（k﹣2）x+1经过点A（a，y1），点B（a+1，y2）且y1﹣y2＞0，则k的取值范围是（　　）A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜014．将直线y＝5x沿x轴正方向平移3个单位长度，所得直线的表达式为（　　）A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝5（x﹣3） D．y＝5（x+3）15．对任意实数a，直线y＝（a﹣1）x+3﹣2a一定经过点（　　）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（3，0）16．若一次函数y＝kx+4的自变量的取值增加3，函数值就相应减少6，则k的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．4二．填空题（共6小题）17．若函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的正比例函数，则m＝　 　，且函数图象经过第 　 　象限．18．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为 　 　，该正比例函数的图象经过第 　 　象限．19．将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　 　．20．若直线l与直线y＝﹣3x+2平行，且过点（0，﹣4），则直线l的解析式是　 　．21．点（1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+1上的两点，则y1　 　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．22．若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为　 　．三．解答题（共10小题）23．已知关于x的一次函数y＝（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，求m的值．24．已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．（1）求直线l的解析式；（2）判断点P（m+1，2m+1）是否在直线l上，请说明理由．25．已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．（1）求y与x之间的函数解析式．（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝4，求点P的坐标．26．已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，请你解答下列问题：（1）m为何值时，y随x的增大而增大？（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？27．已知，一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，﹣3），且与直线y＝4x﹣3的交点在x轴上．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b图象与坐标轴围成的三角形的面积．28．如图，A为直线y＝2x上一点，AC⊥x轴于点C，交直线y＝kx于点B．（1）若点A的坐标为（2，4），S△AOB＝2，求k的值；（2）若k＝，当点A在第一象限内直线OA上运动时，求的值．29．若直线y＝x+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6（1）求点B和点P的坐标；（2）过点B作直线BQ∥AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标和四边形BPCQ的面积．30．如图，已知直线l1：与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+4经过点A，与y轴交于点B．（1）求点A的坐标和k的值；（2）点E在线段AB上，点F在直线AC上，若EF∥y轴，且，求点E坐标．31．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．（1）求点A′的坐标；（2）确定直线A′B对应的函数表达式．32．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为　 　；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．19.2正比例函数与一次函数参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．点P（x1，y1），Q（x2，y2）在正比例函数y＝（k﹣1）x的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则k的取值范围为（　　）A．k＜1 B．k＞1 C．k≠1 D．k＞0且k≠1【分析】利用正比例函数的增减性得出k﹣1的符号，进而求出k的取值范围．【解答】解：∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在正比例函数y＝（k﹣1）x的图象上，若（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y随x的增大而减小，∴k﹣1＜0，解得：k＜1，故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的增减性，得出k﹣1的符号是解题关键．2．已知函数y＝（k﹣1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　）A．k＝1，b＝2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k≠1，b＝2 D．k≠﹣1，b＝﹣2【分析】根据正比例函数的定义可知k﹣1≠0，b﹣2＝0，从而可求得k、b的值．【解答】解：∵y＝（k﹣1）x+b﹣2是正比例函数，∴k﹣1≠0，b﹣2＝0．解得；k≠1，b＝2．故选：C．【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义得到k﹣1≠0，b﹣2＝0是解题的关键．3．下列说法中不成立的是（　　）A．在y＝3x﹣1中y+1与x成正比例 B．在y＝﹣中y与x成正比例 C．在y＝2（x+1）中y与x+1成正比例 D．在y＝x+3中y与x成正比例【分析】根据正比例函数的定义来判断：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y＝kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．【解答】解：A、∵y＝3x﹣1，∴y+1＝3x，∴y+1与x成正比例，故本选项正确．B、∵y＝﹣，∴y与x成正比例，故本选项正确；C、∵y＝2（x+1），∴y与x+1成正比例，故本选项正确；D、∵y＝x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．故选：D．【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．4．设正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），且y随x增大而减小，则m的值是（　　）A．﹣2或2 B．2 C．﹣2 D．﹣4【分析】将A点坐标代入解析式，可求m＝±2，且y的值随x值的增大而减小，则m＝﹣2．【解答】解：∵正比例函数y＝mx的图象经过点A（m，4），∴4＝m2．∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，利用一次函数图象上点的坐标满足一次函数解析式解决问题是本题关键．5．已知正比例函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0，那么m的取值范围是（　　）A．m＜2 B．m＞2 C．m＜0 D．m＞0【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得到y1＝（m﹣2）x1，y2＝（m﹣2）x2，由于当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0，，然后解不等式即可．【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣2）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1＝（m﹣2）x1，y2＝（m﹣2）x2，∵x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＞0，∴m﹣2＜0，∴m＜2，故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．6．已知函数y＝（m+3）+4是关于x的一次函数，则m的值是（　　）A．m＝±3 B．m≠﹣3 C．m＝﹣3 D．m＝3【分析】根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0，再求出m即可．【解答】解：∵函数y＝（m+3）+4是关于x的一次函数，∴m2﹣8＝1且m+3≠0，解得：m＝3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数的定义，能根据一次函数的定义得出m2﹣8＝1且m+3≠0是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数．7．在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣3的图象是（　　）A． B． C． D．【分析】根据一次函数y＝2x﹣3中的k、b的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3中的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函数y＝2x﹣3的图象经过第一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．8．一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（　　）A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3【分析】根据一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小得到k﹣3＜0，从而求出k的取值范围．【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣3）x+2的函数值y随x增大而减小，∴k﹣3＜0，∴k＜3，故选：D．【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，熟知：对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y随x增大而减小．9．已知正比例函数y＝kx的图象与x轴的夹角为30°，且y随x的增大而减小，则k的值为（　　）A． B．﹣ C． D．﹣【分析】画出图象，在图象上取一点，设其到x轴的垂线段长为m，用m表示坐标代入y＝kx即可得k值．【解答】解：∵正比例函数y＝kx，y随x的增大而减小，∴k＜0，如图：在正比例函数y＝kx第二象限的图象上取点A，作AB⊥x轴于B，设AB＝m，∵∠AOB＝30°，∴OA＝2m，OB＝m，∴A（﹣m，m），将A（﹣m，m）代入y＝kx得：m＝﹣m•k，解得k＝﹣，故选：D．【点评】本题考查正比例函数的图象及解析式，解题的关键是表示A点坐标再代入y＝kx．10．若函数y＝kx+b由直线y＝﹣x+2平移得到，且平移后的直线过点（2，1），则直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是（　　）A．（ 0，﹣3 ） B．（ 3，0 ） C．（ 1，2 ） D．（ 0，3 ）【分析】根据两条直线平行的问题得到k＝﹣1，再把（2，1）代入y＝kx+b可求出b＝4，于是可确定所求直线的解析式．【解答】解：根据题意知，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+2平行，∴k＝﹣1，把（2，1）代入y＝﹣x+b，得2＝﹣1+b，解得b＝3∴该直线的函数关系式为y＝﹣x+3．令x＝0，则y＝3，即直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是（ 0，3 ）．故选：D．【点评】本题考查了两条直线相交或平行的问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．11．一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，∴2m﹣1＞0，解得：m＞，∴P（﹣m，m）在第二象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．12．已知一次函数y＝kx﹣1经过A（﹣1，y1），B（2，y2）两点，且y1＞y2，则k的取值范围是（　　）A．k＞0 B．k＝0 C．k＜0 D．不能确定【分析】根据一次函数的增减性可得出结论．【解答】解：∵﹣1＜2，y1＞y2，∴函数y随x的增大而减小．∴k＜0．故选：C．【点评】本题考查的是一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．13．已知直线y＝（k﹣2）x+1经过点A（a，y1），点B（a+1，y2）且y1﹣y2＞0，则k的取值范围是（　　）A．k＞2 B．k＜2 C．k＞0 D．k＜0【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+1的增减性解答．【解答】解：∵y1﹣y2＞0，∴y1＞y2．又∵a＜a+1，∴直线y＝（k﹣2）x+1中的y值随x的增大而减小，∴k﹣2＜0．解得k＜2．故选：B．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考查学生思维的严谨性，易错题，难度中等．14．将直线y＝5x沿x轴正方向平移3个单位长度，所得直线的表达式为（　　）A．y＝5x﹣3 B．y＝5x+3 C．y＝5（x﹣3） D．y＝5（x+3）【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解．【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式是：y＝5（x﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键．15．对任意实数a，直线y＝（a﹣1）x+3﹣2a一定经过点（　　）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（3，0）【分析】先将一次函数解析式变形，得y＝a（x﹣2）﹣x+3，当x﹣2＝0时，函数与a的取值无关，即可确定．【解答】解：∵y＝（a﹣1）x+3﹣2a＝ax﹣x+3﹣2a＝a（x﹣2）﹣x+3，∴当x＝2时，y＝1，∴直线y＝（a﹣1）x+3﹣2a一定经过平面内一个定点（2，1），故选：C．【点评】本题考查了一次函数上点的坐标特征，理解题意直线过定点也即函数与a的取值无关是解决本题的关键．16．若一次函数y＝kx+4的自变量的取值增加3，函数值就相应减少6，则k的值为（　　）A．2 B．﹣1 C．﹣2 D．4【分析】根据一次函数y＝kx+4的自变量的取值增加3，函数值就相应减少6，可以写出变化后的式子，然后变形，再与y＝kx+4对比，即可得到k的值．【解答】解：∵一次函数y＝kx+4的自变量的取值增加3，函数值就相应减少6，∴y﹣6＝k（x+3）+4，∴y＝kx+3k+10，∵y＝kx+4，∴3k+10＝4，解得k＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的变化情况，求出相应的k的值．二．填空题（共6小题）17．若函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是关于x的正比例函数，则m＝　﹣2　，且函数图象经过第 　二、四　象限．【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，m﹣2的符号判定该函数图象所经过的象限．【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1 是关于x的正比例函数，∴|m|﹣1＝1且 m﹣2≠0．解得m＝﹣2．∴m﹣2＝﹣4＜0．∴函数图象经过第二、四象限．故答案为：﹣2；二、四．【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的定义．由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键．18．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为 　2　，该正比例函数的图象经过第 　二、四　象限．【分析】设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），由正比例函数的图象经过点A（3，﹣6），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出﹣6＝3k，解之即可得出k值，代入y＝﹣4即可求出m（x）的值，再由k＝﹣2＜0，利用正比例函数的性质可得出正比例函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限．【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）．∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（3，﹣6），∴﹣6＝3k，解得：k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为y＝﹣2x．∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点B（m，﹣4），∴﹣4＝﹣2m，∴m＝2．∵k＝﹣2＜0，∴正比例函数y＝﹣2x的图象经过第二、四象限．故答案为：2；二、四．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，根据函数图象经过点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出正比例函数的解析式是解题的关键．19．将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　y＝﹣6x﹣2　．【分析】根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣6x﹣2，故答案为：y＝﹣6x﹣2．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．20．若直线l与直线y＝﹣3x+2平行，且过点（0，﹣4），则直线l的解析式是　y＝﹣3x﹣4　．【分析】设直线l的解析式为y＝kx+b，根据两直线平行的问题得到k＝﹣3，然后把（0，﹣4）代入y＝﹣3x+b中求出b的值即可．【解答】解：设直线l的解析式为y＝kx+b，∵直线l与直线y＝﹣3x+2平行，∴k＝﹣3，把（0，﹣4）代入y＝﹣3x+b得b＝﹣4，∴直线l的解析式为y＝﹣3x﹣4．故答案为y＝﹣3x﹣4．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同．21．点（1，y1）、（2，y2）是直线y＝2x+1上的两点，则y1　＜　y2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【分析】根据一次项系数的符号，以及一次函数的性质即可直接判断．【解答】解：∵一次项系数2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵1＜2，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数解析式y＝kx+b中，若k＞0，则y随x的增大而增大，若k＜0，则y随x的增大而减小．22．若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为　y＝2x+7或y＝﹣2x+3　．【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．【解答】解：（Ⅰ）当k＞0时，，解得：，此时y＝2x+7，（Ⅱ）当k＜0时，，解得：，此时y＝﹣2x+3，综上，所求的函数解析式为：y＝2x+7或y＝﹣2x+3．【点评】本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．三．解答题（共10小题）23．已知关于x的一次函数y＝（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，求m的值．【分析】由y随x的增大而增大，根据一次函数的性质得m﹣1＞0；再由于一次函数y＝（m﹣1）x+m2的图象过点（0，4），则m2＝4，然后解方程，求出满足条件的m的值．【解答】解：根据题意得m﹣1＞0且m2＝4，解得m＝2．∴m的值为2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．也考查了一次函数的性质．24．已知直线l：y＝kx+b经过点A（0，﹣1），B（1，1）．（1）求直线l的解析式；（2）判断点P（m+1，2m+1）是否在直线l上，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法把点A（0，﹣1），B（1，1）代入一次函数y＝kx+b中，可得到关于k、b的方程组，再解方程组可得到k、b的值，进而可以得到直线l的解析式；（2）把P点的横坐标代入y＝2x﹣1，如y＝2m+1时，则P（m+1，2m+1）在直线l上，不相等，则P（m+1，2m+1）不在直线l上．【解答】解：（1）把点A（0，﹣1），B（1，1）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线l的解析式为：y＝2x﹣1；（2）点P（m+1，2m+1）是在直线l上，理由如下：把P点的横坐标代入y＝2x﹣1得，y＝2（m+1）﹣1＝2m+1，所以点P在直线l上．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法求出函数解析式是解决问题的关键．25．已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．（1）求y与x之间的函数解析式．（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝4，求点P的坐标．【分析】（1）根据题意可得：y﹣3＝k（2x﹣1），再将（1，6）代入求解即可；（2）将点P坐标代入解析式，联立m﹣n＝4，求解二元一次方程组即可．【解答】解：（1）由题意可得：y﹣3＝k（2x﹣1）将（1，6）代入得，6﹣3＝k（2﹣1），解得k＝3即y﹣3＝3（2x﹣1），化简得：y＝6x即y＝6x；（2）将点P（m，n）代入得，n＝6m则，解得，即．【点评】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如y＝kx（k≠0）的函数为正比例函数．26．已知一次函数y＝（4+2m）x+m﹣4，请你解答下列问题：（1）m为何值时，y随x的增大而增大？（2）m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴下方？【分析】（1）一次函数y＝kx+b中，当k＞0，y随x的增大而增大，由此可得4+2m＞0，求出m即可；（2）由题意可得m﹣4＜0且4+2m≠0，即可求m的范围．【解答】解：（1）∵y随x的增大而增大，∴4+2m＞0，解得：m＞﹣2，当m＞﹣2时，y随x的增大而增大；（2）∵函数图象与y轴的交点在x轴下方，∴m﹣4＜0且4+2m≠0，∴m＜4且m≠﹣2时，函数图象与y轴的交点在x轴下方．【点评】本题考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．27．已知，一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，﹣3），且与直线y＝4x﹣3的交点在x轴上．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求一次函数y＝kx+b图象与坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝4x﹣3的交点在x轴上，把y＝0代入直线y＝4x﹣3中求出x的值，确定出交点坐标，将两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线的解析式；（2）根据直线的解析式先求得直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝4x﹣3的交点在x轴上，∴将y＝0代入y＝4x﹣3得：x＝，即（，0），把（3，﹣3），（，0）代入得：，解得：，∴直线解析式为y＝﹣x+1．（2）∵直线解析式为y＝﹣x+1，∴直线与y轴的交点为C（0，1），而直线与x轴的交点为B（，0），∴OB＝，OC＝1，∴S△OBC＝OB•OC＝××1＝，即直线y＝kx+b与坐标轴围成的三角形的面积为．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式，坐标轴上点的坐标特点以及三角形的面积公式的运用．求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．28．如图，A为直线y＝2x上一点，AC⊥x轴于点C，交直线y＝kx于点B．（1）若点A的坐标为（2，4），S△AOB＝2，求k的值；（2）若k＝，当点A在第一象限内直线OA上运动时，求的值．【分析】（1）由S△AOB＝2＝×OC×AB＝xA×AB＝2×AB，得到B（2，2），进而求解；（2）当x＝m时，y＝x＝m，即CB＝m；当x＝m时，y＝2x＝2m，即AC＝2m，则AB＝AC﹣BC＝2m﹣m＝m，即可求解．【解答】解：（1）∵S△AOB＝2＝×OC×AB＝xA×AB＝2×AB，∴AB＝2，由点A的坐标得，AC＝4，则BC＝AC﹣AB＝4﹣2＝2，即点B（2，2），将点B的坐标代入y＝kx得：2＝2k，解得：k＝1；（2）当k＝时，直线OB的表达式为：y＝x，设点C（m，0），当x＝m时，y＝x＝m，即CB＝m；当x＝m时，y＝2x＝2m，即AC＝2m，则AB＝AC﹣BC＝2m﹣m＝m，∴＝m÷（m）＝3．【点评】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，有一定的综合性，难度不大．29．若直线y＝x+2分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，且S△ABC＝6（1）求点B和点P的坐标；（2）过点B作直线BQ∥AP，交y轴于点Q，求点Q的坐标和四边形BPCQ的面积．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、C的坐标，根据S△ABC＝6可求出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；（2）由PB⊥x轴可得出PB∥CQ，结合BQ∥AP可得出四边形BPCQ为平行四边形，再根据点B、C、P的坐标即可得出点Q的坐标以及四边形BPCQ的面积．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）；当y＝x+2＝0时，x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0）．设点B的坐标为（m，0），则S△ABC＝AB•OC＝×[m﹣（﹣4）]×2＝6，解得：m＝2，点B的坐标为（2，0）．当x＝2时，y＝x+2＝3，∴点P的坐标为（2，3）．（2）∵PB⊥x轴，∴PB∥CQ．∵BQ∥AP，∴四边形BPCQ为平行四边形．∵点C（0，2），点B（2，0），点P（2，3），∴点Q的坐标为（0，﹣1）．∴S平行四边形BPCQ＝OB•BP＝2×3＝6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、平行四边形的判定与性质以及平行四边形的面积，解题的关键是：（1）根据S△ABC＝6求出点B的坐标；（2）根据PB∥CQ、BQ∥AP证出四边形BPCQ为平行四边形．30．如图，已知直线l1：与x轴交于点A，直线l2：y＝kx+4经过点A，与y轴交于点B．（1）求点A的坐标和k的值；（2）点E在线段AB上，点F在直线AC上，若EF∥y轴，且，求点E坐标．【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得即可；（2）设出E点横坐标，然后根据EF＝列等式即可求得．【解答】解：（1）令y＝0，﹣x﹣1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入y＝kx+4得，k＝2，∴y＝2x+4；（2）设E点横坐标为a，则E（a，2a+4），F（a，﹣a﹣1），∵EF＝，∴|2a+4+a+1|＝，∴a＝﹣1或﹣3，∴E（﹣1，2）或（﹣3，﹣2）．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题关键．31．如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．（1）求点A′的坐标；（2）确定直线A′B对应的函数表达式．【分析】（1）利用直线解析式求得点A坐标，利用关于y轴的对称点的坐标的特征解答即可；（2）利用待定系数法解答即可．【解答】解：（1）令y＝0，则x+1＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0）．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴A′（2，0）．（2）设直线A′B的函数表达式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线A′B对应的函数表达式为y＝﹣x+2．【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，关于y轴的对称点的坐标的特征，利用待定系数法解得是解题的关键．32．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为　y＝x+2　；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解；（3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴CP＝＝，当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，联立方程组，∴点P（4，4），∴CP＝＝4，综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/4/11 15:04:10；用户：初中数学；邮箱：cyzxjy02@xyh.com；学号：30082752