广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

这是一份广西南宁市武鸣区2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了在中，内角的对边分别为，若，则，若复数满足，则，已知平面向量，且，则，已知向量满足，则，的内角的对边分别为，已知则，已知为实数，复数为纯虚数，则，已知为平面向量，其中，则，古希腊数学家特埃特图斯等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
第I卷（选择题共60分）
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
1.在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，且，则（ ）
A.-1 B. C. D.1
4.已知向量满足，则（ ）
A.-2 B.2 C.-4 D.4
5.的内角的对边分别为，已知则（ ）
A. B. C.2 D.3
6.已知为实数，复数为纯虚数，则（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
7.已知为平面向量，其中，则（ ）
A.1 B.2 C. D.4
8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，错选不得分.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
9.如图，分别是的边的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
10.下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A.复数的虚部为
B.复数的共轭复数是
C.复数的模是4
D.复数对应的点在第四象限
11.下列命题中，不正确的是（ ）
A.是一个复数
B.形如的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若，则
12.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列说法正确的是（ ）
A.三条交线为异面直线
B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点
D.二条交线两两平行或交于一点
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在中，点满足，若，则的值为__________.
14.已知向量，若，则__________.
15.如图，平行四边形是四边形的直观图.若，则原四边形的周长为__________.
16.中国象棋中规定马走“日”，象走“田”.如图，在中国象棋的半个棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在处，则可跳到处，也可跳到处，用向量表示马走了“一步”.若马在或处，则以为起点表示马走了“一步”的向量共有__________个.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若与共线，求实数的值.
18.（12分）已知向量与的夹角为.
（1）求的值；
（2）求为何值时，向量与相互垂直.
19.（12分）如图，在中，是边上一点，.
（1）求角的大小；
（2）若，求和.
20.（12分）如图，在平面四边形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求四边形的面积.
21.（12分）如图所示，平面平面，平面平面平面为垂足.求证：
（1）平面；
（2）当为的垂心时，是直角三角形.
22.（12分）在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.已知三棱锥中，平面.
（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空.若____________________，则该三棱锥为“鳖臑”.
（2）已知三棱锥是一个“鳖臑”，且.
①若上有一点，如图①所示，试在平面内作出一条过点的直线，使得与垂直，说明作法，并给予证明；
②若点在线段上，点在线段上，如图②所示，且平面，证明是平面与平面的二面角的平面角.
参考答案
1.答案：A
解析：由正弦定理可得.
故选：A.
2.答案：B
解析：.
故选：B
3.答案：B
解析：因为，所以.因为，
所以，解得.故选B.
4.答案：A
解析：因为，
所以，
故选：A.
5.答案：D
解析：，
由余弦定理可得：，
整理可得：解得：或（舍去），
故选：D.
6.答案：C
解析：由为纯虚数，
.
故选：C.
7.答案：B
解析：结合题意可得：因为
.
故选：B.
8.答案：B
解析：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，
由题意得，则，
.因为，所以
解得所以.故选B.
9.答案：BCD
解析：因为分别是的边的中点，所以，且，且，所以，所以，故选：.
10.答案：BD
解析：对于，由虚部定义知的虚部为错误；
对于，由共轭复数定义知正确；
对于错误；
对于对应的点为，位于第四象限，正确.故选BD.
11.答案：BCD
解析：由复数的定义可知命题正确；形如的数，当时，它不是虚
数，故B命题错误；若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；两个虚数不能比较大小，故D命题错误.故选BCD.
12.答案：D
解析：三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线可两两平行，如三棱柱的三个侧面两两相交，交线是三棱柱的三条侧棱，这三条侧棱是互相平行的.三条交线还可交于一点，如长方体的三个相邻的面两两相交，交线交于长方体的一个顶点.
13.答案：
解析：由题意可得：
.
所以.
故答案为：.
14.答案：7
解析：
15.答案：14
解析：根据题意，平行四边形是四边形的直观图.
若，则原四边形为矩形，
如图：其中，
故原四边形的周长.
故答案为：14.
16.答案：11
解析：如图，在处时可用向量表示马走了“一步”，共3个，在
处可用向量表示马走了“一步”，共8个，所以以为起点表示马走了“一步”的向量共有11个.
17.答案：（1）
（2）4
解析：（1），所以.
（2），因为与共线，所以，解得.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）由已知，则，
则
19.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，由余弦定理可得：，
.
（2），
.
在中，由余弦定理可得：，
解得.
在中，由正弦定理可得：，
解得.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中，，
.
在中，由正弦定理可得，
.
（2）在中，由余弦定理可得
，
，
，即.
又因为，所以.
所以，
故.
21.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如图，在平面内取一点，过点作于点于点.
平面平面，且平面平面平面.
又平面.同理可证.
平面.
（2）如图，连接并延长交于点.
是的垂心，.
又平面平面.
又平面.
平面.
又平面平面.
又平面.
平面，即是直角三角形.
22.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）
解析：因为平面平面，所以，
，因此是两个直角三角形.
当时，显然是直角三角形，因为平面，
所以平面，而平面，所以，因此是直角三角形，所以该三棱锥为“鳖臑”.
（2）①：如图①，连接，在内，过点作，即可得为所求直线.
证明如下：在中，由余弦定理可得
.
因为，所以由勾股定理逆定理可知.
又因为底面平面，所以.
又因为平面，所以平面.
又因为平面，所以.
因为平面，
所以平面平面，因此.
②证明：如图②，延长，交于点，连接，点平面，点平面，所以平面平面.
因为底面，且平面，所以.
因为平面平面，所以.