广西南宁市青秀区2023-2024学年高一下学期4月考试数学试题
展开本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试用时120分钟.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.
第I卷(选择题共60分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.
1.复数( )
A. B. C.1 D.-1
2.已知向量,则( )
A. B. C. D.
3.已知的内角的对边分别为,且则( )
A.2 B. C. D.1
4.已知向量,若,则实数的值为( )
A. B.-2 C.-1 D.8
5.如图,在边长为2的菱形中,,点分别在边上,且若,则( )
A. B. C.1 D.
6.已知复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )
A. B. C. D.
7.在中,点在直线上,且满足,则( )
A. B.
C. D.
8.在正方体中,下列四对截面彼此平行的是( )
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求,全部选对得5分,部分选对得3分,错选不得分.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.
9.下列各组向量中,可以用来表示向量的是( )
A. B.
C. D.
10.用一个平面去截三棱锥,截面的形状可能是( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
11.如图,分别为正方体中所在棱的中点,过两点作正方体的截面,则截面的形状可能为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
12.已知点在所在平面内,则( )
A.满足时,是的外心
B.满足时,是的重心
C.满足时,是的内心
D.满足时,是的垂心
第II卷(非选择题共90分)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,若,则__________.
14.已知向量若,则__________.
15.设向量,若,则__________.
16.在中,内角的对边分别为,且,则的最小值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.在中,角所对的边分别为,且.
(1)若,求;
(2)若,求.
18.已知向量满足,且.
(1)求;
(2)若与的夹角为,求的值.
19.已知向量满足.
(1)求;
(2)若,求.
20.已知向量.
(1)若,求;
(2)若在上的投影向量为,求.
21.已知.
(1)求的值;
(2)求向量与夹角的余弦值.
22.若圆锥底面半径为,高为,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.
参考答案
1.答案:D
解析:.
故选:D.
2.答案:C
解析:,
.
故选:C.
3.答案:D
解析:由余弦定理得,
整理得,解得(负值舍去).
故选:D.
4.答案:A
解析:由向量,因为,可得,解得.
故选:A.
5.答案:C
解析:设,可得,有,
,有
,
又由,有,解得(舍),可得.
故选:C.
6.答案:A
解析:由可得,
故虚部为,
故选:A.
7.答案:A
解析:因为,
所以
故选:A.
8.答案:A
解析:如图,在正方体中,因为,所以四边形是平行四边形,所以.
又平面平面,所以平面,同理平面.因为平面,所以平面平面,其他三对平面均不平行.故选A.
9.答案:BC
解析:为零向量,基底不能含零向量,故不能表示,错;
B:,故可以表示,对;
C:,故可以表示,对;
,基底不能共线,故不能表示,错;
故选:BC.
10.答案:AB
解析:按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.截面的形状不可能是五边形或六边形,C,D错误.故选.
11.答案:BD
解析:由正方体的对称性,可知截面的形状不可能为三角形和五边形,如图,截面的形状只可能为四边形和六边形.故选BD.
12.答案:BC
解析:A.根据向量数量积的运算律变形,利用数量积的性质,即可判断选项:B.利用向量加法的运算公式,结合三角形重心的性质,即可判断选项;C.结合正弦定理,以及转化向量,变形为,即可判断选项;D.构造特殊三角形,即可判断选项.
13.答案:2
解析:由题意,得所以.
14.答案:-1
解析:因为,所以,解得.
15.答案:
解析:,可得,
即,则.
16.答案:
解析:因为,所以,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.
17.答案:(1)
(2)或
解析:(1)由余弦定理,得,
又,
.
(2)由正弦定理,得,
,
或.
当时,,
;
当时,,
.
综上,或.
18.答案:(1)-1;
(2).
解析:(1),
又因为,
(2)由题意可得,
又因为,
所以.
19.答案:(1)
(2)
解析:(1)因为,所以,,
所以,.
(2)因为,所
以,,
所以,边的长度为.
20.答案:(1)
(2)1
解析:(1),
,解得,
故.
(2)因为,
又在上的投影向量为,
所以,解得.
故.
21.答案:(1)
(2)
解析:(1)依题意,因为,
所以,因为,所以,所以.
(2)因为,
,
所以.
令与的夹角为,
则,
所以向量与夹角的余弦值是.
22.答案:
解析:过圆锥的顶点和正方体的上底面的一条对角线作圆锥的截面,得圆锥的轴截面,正方体的对角面,如图所示.
设正方体的棱长为,则,作于点,则.
,即,
,即内接正方体的棱长为.
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