2023届广西南宁市武鸣区武鸣中学高三三模试题数学试题含解析

2023届广西南宁市武鸣区武鸣中学高三三模试题数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合的范围，直接求交集即可得解.

【详解】

．

故选：A

2．复数（为虚数单位）的虚部为（    ）

A． B．2 C．5 D．1

【答案】D

【分析】根据复数的除法，把复数化为的形式，即得的虚部.

【详解】,

复数的虚部为1.

故选：.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念，属于基础题.

3．已知点是角终边上的一点，则

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．

【详解】∵点是角终边上的一点，

∴，

∴．

故选A．

【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．

4．若，，，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由题意得，所以有，只有是正确的，故选D.

【解析】指对式比较大小.

5．已知各项均不相等的等比数列，若成等差数列，设为数列的前n项和，则等于（    ）

A． B． C．3 D．1

【答案】A

【分析】设等比数列的公比为，由成等差数列以及等比数列的通项公式列方程，解得，再根据等比数列的前项和公式和通项公式可解得结果.

【详解】设等比数列的公比为，∵成等差数列，

∴，∴，

因为，所以，

解得或，又各项均不等，所以，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与等比数列的前项和公式，属于基础题．

6．已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（    ）

A．，，且

B．，，，且，

C．，，，且

D．，，且

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直、面面垂直判定逐项判断作答.

【详解】对于A，，，且，，可以平行、相交不垂直、垂直，A不正确；

对于B，，，，且，，当不相交时，l不一定与垂直，则不一定与垂直，B不正确；

对于C，，，，且，显然直线与无关系，，可以平行、相交不垂直、垂直，C不正确；

对于D，由，，得，又，根据面面垂直的判定知，D正确．

故选：D

7．某袋中有大小相同的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球，从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由题意确定基本事件的总数，再根据这2个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，即可求出结果.

【详解】袋中有大小都相同的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球，从中一次随机取出2个球，基本事件的总数为，

这2个球颜色不同的对立事件是两个球颜色相同，

所以这2个球颜色不同的概率为.

故选：D.

8．已知 p：0≤2x-1≤1， q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　 　)

A．[0，] B．(0，) C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．(－∞，0)∪(，＋∞)

【答案】A

【分析】若p是q的充分不必要条件，则p所代表的范围是q所代表范围的真子集，解出不等式，即可得解.

【详解】由0≤2x-1≤1得：，

由(x－a)(x－a－1)≤0得：，

若p是q的充分不必要条件，

则，

即：，解的：，

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，考查了命题语言和集合语言的转化，考查了转化思想，属于基础题.

9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，再求出表面积即可．

【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，

且底面等腰直角三角形的直角边长为2,斜边长为，

故该几何体的表面积．

故选：B．

10．如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆与三边所在的直线都相切，切点为，，，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【分析】连接，，，由直线和圆相切的性质，可得，设，运用双曲线的定义，求得，再由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．

【详解】解：连接，，，

由直线和圆相切的性质，可得，设，

由双曲线的定义可得，，

则，

，，

由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，

即有，即，

．

故选：B．

11．已知函数，且对于任意的，有，设的最小值为，记，则下列区间为函数的一个递减区间的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将原函数化简为，根据已知条件得到为的一个周期，故，由此可得，所以，然后根据函数图像的对称性，即可得出函数的递减区间．

【详解】，

由得，

为的一个周期，

，得，

，，，

，

其图象是将函数的图象在x轴下方的部分作关于x轴对称得到，

令，

，

令，得．

故只有A选项满足要求．

故选：A．

12．函数的极小值点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值点.

【详解】因为定义域为，

所以，令得，

令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值．

故选：D

二、填空题

13．已知向量，则 ______ ．

【答案】

【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.

【详解】因为，，所以．

故答案为：．

14．已知数列的前项和，则 ______ ．

【答案】387

【分析】由已知数列的前项和，利用求得结果．

【详解】由，得．

故答案为：387．

15．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交与点，与其准线相交于点，则___________.

【答案】

【分析】求出抛物线的焦点的坐标，从而得到的斜率．过作于，根据抛物线物定义得．中，根据，从而得到，进而算出，由此即可得到的值．

【详解】解：抛物线的焦点为，点坐标为，

抛物线的准线方程为，直线的斜率为，

过作于，根据抛物线物定义得，

中，，

，可得，

得

因此可得．

故答案为：．

16．如图，矩形中，，E为边的中点，将沿直线翻折成．若M为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个选项中正确的是______（填写所有的正确选项）

（1）是定值

（2）点M在某个球面上运动

（3）存在某个位置，使

（4）存在某个位置，使平面

【答案】（1）（2）（4）

【解析】首先取中点，连结，，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等角定理和余弦定理判断（1），再判断（2），假设成立,根据直线与平面垂直的性质及判定,可得矛盾来判断（3）.

【详解】取中点，连结，，

则，，

平面平面，又平面，

平面 ，故（4）正确；

由，定值，定值，

由余弦定理可得

所以是定值，故（1）正确；

是定点，是在以为球心，为半径的球面上，故（2）正确；

，，且设，，

则，

若存在某个位置,使,则因为,即,因为,则平面,所以,与矛盾，

故（3）不正确.

故答案为：（1）（2）（4）

【点睛】关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（4）是否正确，其他选项就迎刃而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行.

三、解答题

17．已知的内角的对边分别为，若，且.

(1)求角；

(2)求面积的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理由边化角和和差角公式即得；

（2）根据余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面积公式即可求解．

【详解】（1）由正弦定理及，得

，

在中，，

所以，

∵，

∴；

（2）由余弦定理，，

∴，

∴，当且仅当时等号成立，

∴的面积的最大值为．

18．某商店经营一批进价为每件40元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间的关系如下表所示：

(1)求回归直线方程；

(2)假设今后销售依然服从中的关系，预测销售单价为多少元时，日利润最大？利润销售收入成本.

参考公式及数据：，，，.

【答案】(1)

(2)销售单价为72元时，日利润最大

【分析】（1）求出回归系数，即可得y关于x的回归直线方程；

（2）先求出日利润解析式，利用二次函数知识求出最大值即可.

【详解】（1），

所以，

所以，

所求回归直线方程

（2）设日利润为z元，销售单价为x元时，

，

当时，z取最大值，

所以销售单价为72元时，日利润最大.

19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形,,,,且底面.

(1)证明：平面；

(2)若为的中点，求三棱锥的体积.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由余弦定理可得，证得，则，由底面，平面，证得，可证平面；

（2）为的中点，利用体积转化法 ，可求出结果

【详解】（1）在中，由余弦定理得

，

，∴，

∵，∴.

又∵底面，平面  

∴.            

∵，平面

∴平面.

（2）因为为的中点，

所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，

而 .

所以三棱锥的体积.

20．已知函数．

(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．

(2)，使得成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到所求的值；

（2）由题意可得，使得成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性即可得到最小值，进而得到的范围．

【详解】（1）函数的导数为，

即有曲线在处的切线斜率为，

由切线与直线垂直，可得，解得；

（2）因为，使得成立，

即，使得成立，

由，则，

当，即时，

此时显然不满足，

当，即有，，

令，，则，

由于，所以，

所以函数在上单调递增，所以，

所以，解得，

则实数的取值范围是．

21．若曲线上的点到点的距离与它到的距离之比为．

(1)求出P点的轨迹方程

(2)过作直线l与曲线交于A，B两点，曲线与x轴正半轴交于Q点，若的面积为，求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)或；

【分析】（1）由已知得等式，整理后即可得到P点的轨迹方程；

（2）设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，由根与系数关系得到A，B两点的纵坐标的和与积，代入三角形的面积公式求得t的值，则直线方程可求．

【详解】（1）由题意知：，即，

整理得：．

点的轨迹方程为；

（2）若直线的斜率为，则三点共线，与条件矛盾，

所以可设直线的方程为，，，

联立，化简得：．

，，

．

，

，

解得：．

直线的方程为或.

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

22．在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（其中为参数）.在以为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，曲线：的焦点的极坐标为.

（1）求常数的值；

（2）设与交于、两点，且，求的大小.

【答案】（1）8；（2）或.

【分析】（1）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程知曲线C为抛物线，焦点的极坐标方程转化为直角坐标方程即可求得；（2）将直线的参数方程代入整理得到关于t的一元二次方程，根据韦达定理用表示出、，由得，三个方程联立即可求出.

【详解】（1）曲线方程可化为，其直角坐标方程为.

又焦点的直角坐标为，

所以，解得.

（2）将直线的参数方程代入，并整理得，

其中恒成立，且①，②，

由得，结合①得，.

代入②得，解得.

又因为，所以的大小为或.

【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线的参数方程的应用，韦达定理，属于基础题.

23．已知函数，记不等式的解集为.

（1）求；

（2）设，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.

（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.

【详解】（1）解：，

由，解得，

故.

（2）证明：因为，所以，，

所以，

所以.

【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.