专题04 数列的通项、求和及综合应用（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

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数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
【核心考点目录】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
核心考点二：证明等差等比数列
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
核心考点四：数列的通项公式
核心考点五：数列求和
核心考点六：数列性质的综合问题
核心考点六：实际应用中的数列问题
核心考点七：以数列为载体的情境题
【真题回归】
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．
3．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
4．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
6．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【方法技巧与总结】
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列满足（常数）（，）不能判断数列为等差数列，需要补充证明；
2、数列满足，则是等差数列；
3、数列满足，为非零常数，且，则为等比数列；
4、在处理含，的式子时，一般情况下利用公式，消去，进而求出的通项公式；但是有些题目虽然要求的通项公式，但是并不便于运用，这时可以考虑先消去，得到关于的递推公式，求出后再求解．
5、遇到形如的递推关系式，可利用累加法求的通项公式，遇到形如的递推关系式，可利用累乘法求的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：
（1）形如（，），可变形为，则是以为首项，以为公比的等比数列，由此可以求出；
（2）形如（，），此类问题可两边同时除以，得，设，从而变成，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如，可以考虑两边同时除以，转化为的形式，设，则有，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：，，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求的前项和；
（2）通项公式为，其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列中，若（，，，，），则．
在等比数列中，若（，，，，），则．
12、前项和与积的性质
（1）设等差数列的公差为，前项和为．
= 1 \* GB3 ①，，，…也成等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②也是等差数列，且，公差为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，．
若项数为奇数，则，．
（2）设等比数列的公比为，前项和为
= 1 \* GB3 ①当时，，，，…也成等比数列，公比为
= 2 \* GB3 ②相邻项积，，，…也成等比数列，公比为．
= 3 \* GB3 ③若项数为偶数，则，；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列和均是等差数列，且等差数列的公差为，，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等差数列，公差为．
= 2 \* GB3 ②数列，也是等差数列，而是等比数列．
（2）设数列和均是等比数列，且等比数列的公比为，为常数．
= 1 \* GB3 ①的等距子数列也是等比数列，公比为．
= 2 \* GB3 ②数列，，，，，
也是等比数列，而是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为，解方程组，再与首项比较大小．
【核心考点】
核心考点一：等差、等比数列的基本量问题
【规律方法】
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
【典型例题】
例1．（2022·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
例2．（2022·江西·临川一中高三阶段练习（文））已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
例3．（2022·新疆·高三期中（理））已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（ ）
A．1B．C．2D．1或
例4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（ ）
A．1B．2C．81D．80
例5．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·湖北·高三阶段练习）在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2022·江苏无锡·高三期中）已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1460B．1472
C．1666D．1678
核心考点二：证明等差等比数列
【规律方法】
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于的任意正整数：
①若为一常数，则为等差数列；
②若为常数，则为等比数列．
（2）通项公式法：
①若，则为等差数列；
（2）若，则为等比数列．
（3）中项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列．
（4）前项和法：若的前项和满足：
①，则为等差数列．
②，则为等比数列．
【典型例题】
例8．（2022·吉林长春·模拟预测）已知数列满足：，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，求数列的前n项和．
例9．（2022·河南·高三期中（理））已知数列的前项和为，，.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和.
例10．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，.
(1)求，；
(2)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
例11．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
例12．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知数列满足：，．
(1)求，；
(2)设，，证明数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)求数列前10项中所有奇数项的和．
例13．（2022·河南·高三期中（理））已知数列的各项均不为0，其前项的乘积.
(1)若为常数列，求这个常数；
(2)若，设，求数列的通项公式.
例14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列的通项公式;
例15．（2022·全国·高三专题练习）问题：已知，数列的前n项和为，是否存在数列，满足，__________﹖若存在．求通项公式﹔若不存在，说明理由．
在①﹔②；③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
核心考点三：等差等比数列的交汇问题
【规律方法】
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．
【典型例题】
例16．（2022·河南·一模（理））已知等比数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项（其中是公差不为的等差数列）成等比数列？若存在，求出这项；若不存在，请说明理由．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．
例18．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列中成等差数列，则__________．
例19．（2022·湖北·高三期中）已知是等差数列，是等比数列，是数列的前n项和，，，则=______．
例20．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列的前项利为，若，，1成等比数列，且，则的公差的取值范围为______．
例21．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列的公差不为零，等比数列的公比是小于1的正有理数．若，，且是正整数，则的值可以是______．
例22．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.
例23．（2022·全国·模拟预测（文））设数列，满足，，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列．在和中插入个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前20项和______．
核心考点四：数列的通项公式
【规律方法】
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公式．
【典型例题】
例24．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则___________
例25．（2022·黑龙江·肇州县第二中学高三阶段练习）已知数列的前项和为，，，则数列_____________．
例26．（2022·福建·高三阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则______.
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______．
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则__________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则______．
例30．（2022·全国·高三专题练习）设是首项为1的正项数列且，且，求数列的通项公式_________
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，（），则___________
例32．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
例33．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两人各拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，则第n次由甲掷的概率______（用含n的式子表示）．
核心考点五：数列求和
【规律方法】
求数列前项和的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前项和公式求数列的前项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：；
②根式裂项：；
③对数式裂项；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
【典型例题】
例34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
例35．（2022·陕西渭南·一模（理））已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例36．（2022·陕西渭南·一模（文））已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例37．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
例38．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知数列的各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
例39．（2022·四川省蓬溪县蓬南中学高三阶段练习）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；
(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(2)若，求数列的前项和.
例40．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，（为正常数），且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例41．（2022·全国·高三专题练习）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.
例42．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
核心考点六：数列性质的综合问题
【典型例题】
例43．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且，则的最小值是（ ）
A．-15B．-14C．-11D．-6
例44．（2022·福建三明·高三期中）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是数列中的最大值
C．D．数列无最大值
例45．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列的前项和，则数列中的最大项为（ ）
A．B．C．D．
例46．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（文））已知数列的前n项和为，且，若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
例47．（2022·山西运城·高三期中）已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例48．（2022·山东聊城·高三期中）若函数使得数列，为递增数列，则称函数为“数列保增函数”．已知函数为“数列保增函数”，则a的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
例49．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例50．（2022·北京八中高三阶段练习）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例51．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列，的前项和分别为，，，，当时，，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
核心考点六：实际应用中的数列问题
【规律方法】
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
【典型例题】
例52．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率，当付清全部房款时，各次付款的总和为（ ）
A．1205万元B．1255万元C．1305万元D．1360万元
例53．（2022·全国·高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为，则下列结论正确的是（ ）（参考数据：，）
①
②
③2020年小王的年利润约为40000元
④两年后，小王手中现款约达41万
A．②③④B．②④C．①②④D．②③
例54．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（ ）（取，）
A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元
例55．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A．2806万元B．2906万元C．3106万元D．3206万元
例56．（2022·全国·高三专题练习）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（ ）
A．35B．42C．49D．56
核心考点七：以数列为载体的情境题
【规律方法】
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
【典型例题】
例57．（2022·上海市行知中学高三期中）定义：对于各项均为整数的数列，如果(=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在数列与不是同一数列，且满足下面两个条件：
（1）是的一个排列；
（2）数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.给出下面三个数列：
①数列的前项和；
②数列：1，2，3，4，5；
③数列：1，2，3，4，5，6.
具有“性质”的为________；具有“变换性质”的为_________.
例58．（2022·江苏·沭阳县建陵高级中学高三阶段练习）在数列的每相邻两项之间插入这两项的和，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.设，其中___________，___________.
例59．（2022·河北唐山·三模）角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______．
例60．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知数列为1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此规律类推．若其前n项和，则称k为的一个理想数．将的理想数从小到大依次排成一列，则第二个理想数是______；当的项数时，其所有理想数的和为______．
例61．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.
例62．（2022·全国·模拟预测）将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级Kch曲线“”，将1级Kch曲线上每一线段重复上述步骤得到2级Kch曲线，同理可得3级Kch曲线（如图1），…，Kch曲线是几何中最简单的分形．若一个图形由N个与它的上一级图形相似，相似比为r的部分组成，称为该图形分形维数，则Kch曲线的分形维数是________．（精确到0.01，）在第24届北京冬奥会开幕式上，一朵朵六角雪花（如图2）飘拂在国家体育场上空，畅想着“一起向未来”的美好愿景．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Kch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Kch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3），…，依次得到n级Kn（）角雪花曲线．若正三角形边长为1，则n级Kn角雪花曲线的周长________．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．0B．50C．100D．2525
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
3．（2022·江苏·常熟市中学高三阶段练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
4．（2022·浙江·绍兴市越州中学高三阶段练习）记表示不超过实数的最大整数，如，，，设，则（ ）．
A．B．C．D．
5．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）设等比数列，首项，实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公比的取值可能为（ ）．
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高三阶段练习）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·广西·南宁市第十九中学模拟预测（文））数列满足，则满足的的最小值为（ ）
A．16B．15C．14D．13
8．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知定义在上的函数满足，当时，，设在上的最大值为（），且的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·江苏盐城·模拟预测）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是数列中的最大值
D．若，则n最大为4038．
10．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·山西临汾·高三阶段练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，，则
12．（2022·山东·微山县第二中学高三期中）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．是数列中的最大项D．
三、填空题
13．（2022·全国·模拟预测）已知正实数b是实数a和实数c的等差中项，且，若，，成等比数列，则______．
14．（2022·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且恰有（）个根（，2，…，），，则数列的前项和___________.
15．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的通项公式为，，记的前n项和为，前n项积为，则使不等式成立的n的最大值为___________.
16．（2022·河北·高三期中）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为______
四、解答题
17．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．
18．（2022·全国·模拟预测）已知数列的各项均不为零，，前n项和满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前n项和.
19．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若数列满足，求的前n项和.
20．（2022·全国·模拟预测）在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题.
问题：已知等比数列的前项和为，___________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若的前项和为，且，求的值.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
21．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习）已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
22．（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，向量，向量，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意正整数都有成立，求．
23．（2022·江苏盐城·模拟预测）已知数列满足，()，且()．
(1)求数列的通项公式；
(2)若()，求数列的前n项和．