思想02 运用数形结合的思想方法解题（精讲精练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（新高考专用）

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高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
【核心考点目录】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【真题回归】
1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D

2．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】设，，由可得．
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或．
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为．
故答案为：13．

4．（2022·浙江·统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，，设，于是，
因为，所以，故的取值范围是．
故答案为：．
5．（2022·天津·统考高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为___________，若，则的最大值为____________
【答案】
【解析】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
【方法技巧与总结】
1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．
2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．
【核心考点】
核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点
【典型例题】
例1．（2023·河北衡水·高三周测）设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，则在区间内关于的方程的根的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的偶函数，对任意的，都有，
所以，即，所以函数的周期为，
当时，则，此时，
即，
由，，得，分别作出函数和，的图象，如图所示，
则由图象可知两个函数的图象的交点个数为个，即方程的零点个数为个．
故选：D．
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是
A．B．，C．D．
【答案】C
【解析】设函数任意一点关于直线对称的点为，
则，所以，
而P在函数上，所以，即，
所以函数恒过定点，
（1）当时，，设直线与相切于点，
，
整理可得，解得，
所以；
（2）当时，，
设直线与函数相切于点点，
，整理可得，解得，
所以，
故，即时，
在时，函数与的图象相交有2个交点；
在时，函数与的图象相交有2个交点，
故函数与的图象相交有4个交点时的的范围是．
故选：C．

例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－ （x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】关于轴对称得到的函数为，依题意可知与在上有公共点，由得，．
对于函数，在上单调递减，且．
对于函数，在上单调递增．
当时，的图像向右平移个单位得到，与图像在上必有个交点．
当时，的图像向左平移个单位得到，要使与图像在上有交点，则需当时（也即轴上），的函数值小于的函数值，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故选：B．
例4．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于任意的，都有，
函数关于直线对称，
又当，时，，且函数是定义在上的偶函数，
故函数在区间，上的图象如下图所示：
若在区间，内关于的方程恰有3个不同的实数解
则，，
解得：
故选：A
核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题
【典型例题】
例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数，其中，，若存在，使得成立，则实数的值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，
动点在函数的图象上，在直线的图象上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由得，，解得，
曲线上点到直线的距离最小，最小距离，
则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，
由，解得．故选．
例6．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】由题意可知，存在唯一的整数，使得，
构造函数，则．
当时，；当时，．
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
函数在处取得极小值，
如下图所示，由于，，所以，，
结合图象可知，，解得．
故选：B
核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题
【典型例题】
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）
A．8B．10C．12D．13
【答案】C
【解析】∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设，则，故点P坐标为
则，∴
令，则，
则当时，，当时，，
则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．
故选：C．
例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）设不等式的解集为，则的值是（ ）
A．5B．C．6D．7
【答案】D
【解析】设，则，原不等式可化为．
先解．
则，移项可得，
两边平方可得，，
整理可得，，两边平方整理可得．
所以，表示的点在双曲线上．
则不等式表示的点在双曲线上及其内部．
则不等式与不等式组同解，
整理可得．
由已知可得，不等式的解集是，
所以的两个解为、，根据韦达定理有．
故选：D．
例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）若不等式的解集为区间，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】如图所示：
因为表示以坐标原点为圆心，4为半径位于轴上方（含和轴交点）的半圆，
表示过坐标原点及第一三象限内的直线，
又因为不等式的解集为区间，且，
即半圆位于直线下方的区间长度为2，
所以，
所以直线与半圆的交点，
所以．
故选：C．
核心考点四：解决数学文化、情境问题
【典型例题】
例11．（2023·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标是（ ）
A．1B．-7C．1或-1D．2或-7
【答案】A
【解析】由题M（-1，2），N（1，4），则线段MN的中点坐标为（0，3），
易知，则经过M，N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线上．
设圆心为，则圆S的方程为．
当取最大值时，圆必与轴相切于点（由题中结论得），
则此时P的坐标为，代入圆S的方程，得，
解得或，即对应的切点分别为P（1，0）和．
因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
又过点M，N，的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，
所以，故点P（1，0）为所求，即点P的横坐标为1．
故选：A．
例12．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的距离不超过2；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是1．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为；
当且时，曲线的方程可化为，
曲线的图像如图所示；
由图可知，曲线所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，
从而曲线所围成的面积，故①正确；
过原点且连接两个半圆圆心、的直线交曲线于、两点，如下图所示：
则，
所以，，故命题②错误；
因为到直线的距离为，
所以，
当最小时，易知在曲线的第一象限内的图象上，
因为曲线的第一象限内图象是圆心为，半径的半圆，
所以圆心到直线的距离，
所以，
所以的最小值为，故③正确．
故选：C
例13．（2023·青海海东·统考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________．
【答案】8
【解析】方法一：
图3
如图3，取中点为，连结，显然过点．
易知，，，
则，，．
所以，．
图4
如图4，延长交于，易知是的中点，且．
则，，
在中，，．
所以，．
所以，．
故答案为：8．
方法二：
图5
取中点为，连结，显然过点．
易知，，，
如图5，取中点为，显然，，．
在中，，．
又为中点，则．
所以，．
故答案为：8．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表示的曲线是圆心为，半径为的圆在轴以及右侧的部分，如图所示：
直线必过定点，
当直线与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
即，结合直线与半圆的相切可得，
当直的斜率不存在时，即时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
则.
故选：B.
2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x，y是实数，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与点A连线的斜率，设，即，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB时斜率最大.

此时，，，所以的最大值为.
故选：D．
3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数是定义在上的偶函数，当时，.若函数，则函数的零点个数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，,
作出的图象如图：
，
故当时，有3个零点；
当或时，的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点；
当时，的图象与x轴有4个交点，则函数有4个零点；
由于也为偶函数，结合图象可知，不可能有1个零点，
故选：A
4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，
，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而，故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，
故选：D.
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数的定义域为为偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】令解得，令解得，
所以当时，，
为偶函数，所以的图象关于轴对称，
所以的图象关于直线轴对称，
故作出的图象如下，
令，即，
由图象可知，的图象与的图象共有四个交点，
所以函数的零点个数为4个.
故选:D.
6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数是定义域为的偶函数，且是奇函数，当时，有，若函数的零点个数为5，则实数取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】∵偶函数，，是奇函数，得，即
，，得，，即与的图像交点的个数，因为，即为与的图像交点的个数，因为
的图像为半圆，故由图像可知斜率应该在与之间或为，
或，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵，∴与的图象关于直线对称，作出的大致图象如图所示，
易知，由，即，，得，
∵，∴，得，
∴.
设， 则，.
，当且仅当取到等号，
故当时，令，单减，，
故.
故选：A
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（ ）
A．，B．
C．的离心率等于D．的渐近线方程为
【答案】BCD
【解析】如下图所示，因为，即为中点，为中点，所以，
因为，所以，所以，，A错误，B正确；
由知：，又，，
所以，即，所以，解得：，C正确；
所以，所以，所以，所以，
所以的渐近线方程为，D正确．
故选：BCD．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线过抛物线的焦点，且斜率为，与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆分别与轴相切于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若为抛物线上的动点，，则
D．若为抛物线上的点，则
【答案】ABC
【解析】设直线PQ的方程为：y（x﹣2），与联立整理可得：
3x2﹣20x+12=0，解得：x或6，则P（6，4），Q（，）；
所以|PQ|=64，选项A正确；
因为F(2,0),所以PF，QF的中点分别为：（4，2），（，），
所以A（0，），B（0，），所以|AB|=2，
选项B正确；
如图M在抛物线上，ME垂直于准线交于E，可得|MF|=|ME|，
所以|MF|+|MN|=|ME|+|MN|≥NE=2+2=4，当N，M，E三点共线时，
|MF|+|MN|最小，且最小值为4，选项C正确；
对于选项D，若为抛物线上的点，则，又，
所以，选项D错误.
故选：ABC.
10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥中，平面平面BCD，，，为等边三角形，E是棱AC的中点，F是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为，则AF的值可能为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】AC
【解析】由为等边三角形，取BD的中点O，连接,则
又平面平面BCD，且平面平面
所以平面BCD，由
过作与平行的直线为轴，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，，
所以．
设，则，，
则，解得或，
故或．
故选：AC
11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知为的重心，，，则的可能取值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】CD
【解析】如图，是的重心，记，
则，
，
又，即，所以，当且仅当时等号成立，
所以．即．只有CD满足．
故选：CD．
12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，，若，且与的面积之比为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】BD
【解析】如图，，，即，设，则，
三点共线，，，
所以，与的面积之比为，， 即，化简得，解得或3.
故选：BD
13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；
②的模，(表示向量，的夹角)．
在正方体中，有以下四个结论，正确的有（ ）
A．B．与共线
C．D．与正方体表面积的数值相等
【答案】ABD
【解析】对于A，设正方体的棱长为，在正方体中，
则，
因为，且，所以，
所以，
所以，所以A正确；
对于B，，，，平面，平面，
因为平面，所以，同理可证，
再由右手系知，与同向，所以B正确；
对于C，由，和构成右手系知，与方向相反，
又由模的定义知，，
所以，则，所以C错误；
对于D，正方体棱长为，，
正方体表面积为，所以D对．
故选：ABD．
三、填空题
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】因为，
所以当时，开口向上，对称轴为，，两零点为；
当时，，则在上单调递减，零点为，且；
由此作出的图像如图，
.
令，则当时，有三个实数根，
因为有6个不同的实数根，
所以必须有两个不等实根，且，
令，则，即，
解得，即.
故答案为：.
15．（2023春·全国·高一期末）已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．
【答案】或
【解析】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或
16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若有两解，写出a的一个可能的值为__________．
【答案】（满足均可，答案不唯一）
【解析】由于满足条件的有两个，则，即.
故答案为：（满足均可，答案不唯一）．
17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数在上有3个零点，，，其中，则______．
【答案】
【解析】令，故，
故的零点为函数与函数y＝m交点的横坐标，
作出函数g(x)在上的大致图象：
令，解得，
令，得，则由图知，
令，得，则由图知，
故．
故答案为：﹒
18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线与直线无交点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】依题意，由可得，双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线与直线无交点，所以直线应在两条渐近线上下两部分之间，
故，解得，即.
故答案为：.
.