专题13 数列的通项与数列的求和（练）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

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【对点演练】
一、单选题
1．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）南宋数学家杨辉给出了著名的三角垛公式：，则数列的前项和为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022秋·浙江金华·高三期末）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A．B．C．D．
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中，，，且数列是第二项为的等差数列.若以为坐标原点，以，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，则直线的斜率为（ ）
A．0.4B．0.45C．0.5D．0.55
4．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列的前20项的和为（ ）
A．350B．295C．285D．230
二、多选题
5．（2022秋·吉林·高三东北师大附中校考阶段练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年（公元1584年），他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，则依此规则，下列结论正确的有（ ）
A．B．该等比数列的公比为
C．插入的第9个数是插入的第5个数的倍D．
三、填空题
6．（2022秋·湖北·高三校联考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为__________．
四、解答题
7．（2022·上海浦东新·统考一模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值.
8．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列满足.
(1)令，求证：数列为等差数列，并求;
(2)记，求数列的前项和.
9．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，且，数列满足,且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
10．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，递增的等比数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和分别为，求.
【冲刺提升】
解答题
1．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，点在直线，设数列的前n项和为，且满，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在，使得对任意的，都有．
2．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列各项均为正数，且.
(1)求的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求的取值范围.
3．（2022·四川资阳·统考二模）已知为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，的前n项和为，求成立的n的最大值.
4．（2022秋·江苏徐州·高三期末）设为数列的前项和，，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
5．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知各项均为正数的等差数列的前n项和为，4是,的等比中项,且.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，试比较与的大小，并说明理由.
6．（2022秋·北京·高三北京八十中校考期末）已知数列满足，，数列的前项和记为.
(1)写出的最大值和最小值；
(2)若，求的值；
(3)是否存在数列，使得？如果存在，写出此时的值；如果不存在，说明理由.
7．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）在正项数列中，，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，且，设数列的前n项和为，证明：．
8．（2022秋·上海黄浦·高三校考阶段练习）已知数列和有，，而数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列为等比数列，其中；
(3)如果，试证明数列的单调性．
9．（2022秋·广西南宁·高三统考阶段练习）已知数列满足，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)记的前项和为，若，均有，求实数的最小值．
10．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列 ​的前​项和为​， 且​， __________．请在​成等比数列;​， 这三个条件中任选一个补充在上面题干中， 并解答下面问题．
(1)求数列 ​的通项公式;
(2)设数列 ​的前​项和​， 求证：​．
11．（2022秋·河南·高三信阳高中校联考期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)令，求数列的前n项和；
(2)设，是否存在实数使得对于任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．