2023-2024学年人教B版必修第四册 第十章 复数 单元测试 (二)
展开2023-2024学年人教B版必修第四册 第十章 复数 单元测试 (二) 一、选择题 1.若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为( ) A. B. C. D. 2.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知复数z满足(i为虚数单位),则( ) A. B. C. D. 4.已知复数z满足,则( ) A. B. C. D. 5.已知为方程(a,)的一个根,则( ) A., B., C., D., 6.若,则复数在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.已知z为纯虚数,且(i为虚数单位),则( ) A.1 B. C.2 D. 8.已知方程的四个根均为虚数,且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4,则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9.若,则( ) A. B. C. D. 10.若,为复数,则( ) A. B. C. D. 三、填空题 11.已知,且是纯虚数,则_________. 12.已知复数,i为虚数单位,则_____________. 13.已知为复数,且,则的最大值为____________. 四、解答题 14.已知复数(,i为虚数单位). (1)若,且,求实数x的值; (2)求当m为何值时,最小,并求的最小值. 15.已知z为复数,和均为实数,其中i为虚数单位. (1)求复数z和; (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围. 参考答案 1.答案:B 解析:由复数的运算法则有:, 则实部和虚部之积为. 本题选择B选项. 2.答案:B 解析:由题意知,所以, 则在复平面内对应的点位于第二象限,故B正确. 故选:B. 3.答案:B 解析:, 故选:B. 4.答案:A 解析:因为,所以, 所以. 故选:A. 5.答案:A 解析:因为为方程的一个根, 则, 可得,解得. 故选:A. 6.答案:B 解析:因为, 所以, 因此复数在复平面内所对应的点在第二象限. 故选:B. 7.答案:D 解析:, , , z为纯虚数, ,, 解得. . . 故选:D. 8.答案:D 解析:由已知得或, 当时,此方程的两个虚数根互为共轭复数, 设,,其中m,, 将代入方程得, 整理得,则, 解得,即, 同理可得,当时,该方程的虚数根为, 由复数的几何意义可知,这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形, 则该等腰梯形的面积为,解得, 故选:D. 9.答案:BC 解析:利用复数的几何意义知在复平面内,z对应的点在,对应线段的中垂线即y轴上, 所以z不一定是实数,所以A错误; 因为z与关于实轴对称,且在y轴上,所以B,C正确; 取,则,,所以D错误. 故选:BC. 10.答案:BD 解析:对于A选项,取,,则,, 所以,,,所以,, 所以,,,故,A错; 对于B选项,设,, 则,, ,,则,所以,,B对; 对于C选项,不妨取,,则,,, 所以,,故,C错; 对于D选项,设,则,所以,, 所以,,D对. 故选:BD. 11.答案: 解析:设,因为,所以.因为为纯虚数,所以,即.又,所以,所以. 12.答案: 解析:方法一:因为, 所以. 方法二:. 故答案为:. 13.答案:4 解析:由题意设,则 ,,即, 即的模的轨迹可理解为以为圆心,半径为2的圆. 则,可理解为求点到点之间的距离, 数形结合可知,的最大值为4. 故答案为:4 14、 (1)答案:或 解析:由,得,, 又, 所以, 整理得,解得或. (2)答案:当且仅当时,取得最小值,为 解析:, 当且仅当时,取得最小值,为. 15.答案:(1) (2) 解析:(1)设,a,,则, ,因为和均为实数, 则,解得,, 所以,. (2)由(1)知,,所以, 又复数在复平面内对应的点位于第四象限,则 ,即,所以或. 所以实数m的取值范围是.