高中数学11.3.1 平行直线与异面直线学案

11.3.1 平行直线与异面直线

【学习重点】

空间平行直线的公理、等角定理、异面直线、空间四边形

【学习难点】

平行公理、等角定理

问题1：平行直线

知识点1　平行直线

1．定义：在         内         的两条直线称为平行直线．

2．空间平行线的传递性

(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相         .

(2)符号表述：                    

(3)图形表述：

注：（1）由空间平行线的传递性可以得到几何体中的一些线线平行关系，例如，如图11-32-2所示的棱柱中，因为侧面都是平行四边形，所以有：                       

（2）由空间平行线的传递性可以得到空间中的等角定理

证明：

知识点2：等角定理

(1)文字表述：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应         ，并且方向         ，那么这两个角         .

(2)符号表述：                        

(3)图形表述：

【对点快练】

1．直线a，b，c，d满足a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是________.

2．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝(　　)

A．30°　　　　　　　 B．150°

C．30°或150° D．大小无法确定

问题2：异面直线

我们知道，异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线，而且前面也从几何体中直观认识了异面直线。事实上，异面直线在实际生活中也是广泛存在的，如果所示.

知识点：　异面直线

(1)定义：两条直线异面，实际上也就是这两条直线不能同时在                      

(2)异面直线的画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个         衬托，如图所示．

(3)判定方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内         的直线异面．

【对点快练】

1．没有公共点的两条直线一定是异面直线？

2．直线a在平面α内，直线b在平面β内，则直线a，b是异面直线吗？

问题3：空间四边形

知识点：空间四边形

1．定义：         连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的         ，连接         顶点间的线段称为空间四边形的边，连接         顶点间的线段称为空间四边形的对角线．

2．表示：用表示         的4个字母表示，如图所示为空间四边形ABCD，这个空间四边形的边为                    ，对角线为         .

【对点快练】

1．平行四边形、梯形等平面四边形是空间四边形？

2．空间四边形是四面体吗？

例1.如图所示的空间四边形ABCD中，分别是边的中点，求证：四边形是平行四边形。

例2.已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.

【变式练习】

已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．

求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；

(2)∠DNM＝∠D1A1C1.

例3. 已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是△ABC中BC边上的高，DF是△BCD中BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．

【变式训练】

若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)

A．l至少与l1，l2中的一条相交      B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交      D．l与l1，l2都不相交