2024九年级数学下册第五章圆综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制）

这是一份2024九年级数学下册第五章圆综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制），共16页。

第五章综合素质评价 一、选择题(每题3分，共36分) 1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是(　　) A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．无法确定 2．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E，F，若∠EOF＝55°，则∠BOC的度数等于(　　) A．125° B．120° C．115° D．110° 3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠BDC＝41°，则∠ABC＝(　　) A．39° B．41° C．49° D．59° 4．如图，已知AC是⊙O的直径，AB＝6，BC＝8，D是弧BC的中点，则DE＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB.若AB＝4，CD＝1，则EB的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，C是eq \o(AB,\s\up8(︵))上一点，若∠APB＝40°，则∠ACB的度数是(　　) A．110° B．100° C．140° D．80° 7．如图，从一块半径为8 cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形BAC，则扇形BAC中弧BC的长为(　　) A.eq \f(4π,3) cm B.eq \f(8π,3) cm C.eq \f(4\r(3)π,3) cm D.eq \f(8\r(3)π,3) cm 8．如图，AB是⊙O的弦，且直径AC＝6，BD＝3，AC⊥BD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°，则DE的长为(　　) A．3 B．4 C．3eq \r(2) D．4eq \r(2) 9．如图，点I是△ABC的内心，CI的延长线交AB于D，点A，E关于CD所在的直线对称，若∠B＝38.20°，则∠DIE的度数是(　　) A．70.88° B．70.90° C．70.92° D．70.94° 10．如图，扇形纸片AOB的半径为4，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在eq \o(AB,\s\up8(︵))上的点C处，则图中阴影部分的面积为(　　) A.eq \f(16π,3)－4eq \r(3) B.eq \f(32π,3)－4eq \r(3) C.eq \f(16π,3)－8eq \r(3) D.eq \f(32π,3)－8eq \r(3) 11．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，AB＝20 cm，BC＝15 cm，CD＝12eq \r(2) cm，DA＝13 cm，BD＝21 cm，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为(　　) A．21 cm B．15eq \r(2) cm C.eq \f(65,3) cm D．25 cm 12．【2023·淄博张店区模拟】如图，多边形A1A2A3…An是⊙O的内接正n边形．已知⊙O的半径为r，∠A1OA2的度数为α，点O到A1A2的距离为d，△A1OA2的面积为S.下面三个推断： ①当n变化时，α随n的变化而变化，α与n满足的函数关系是反比例函数关系； ②若α为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系； ③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系． 其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题(每题3分，共18分) 13．已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为______． 14．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是________． 15．【2023·烟台】如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝eq \f(k,x)(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________． 16．【2023·常德】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，eq \o(AB,\s\up8(︵))是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB.“会圆术”给出eq \o(AB,\s\up8(︵))的长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋eq \f(CD2,OA) .当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l－s|＝________．(结果保留一位小数) 17．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO，BO，CO，DO，记△AOD，△AOB，△COB，△DOC的面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1，S2，S3，S4的数量关系为____________. 18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为________． 三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分) 19．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，OP交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°，求∠B的度数． 20．如图，⊙O的半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连接AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E. (1)求证：BE∥AM； (2)过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D.求AH的长． 21．【2023·烟台莱阳模拟】如图，P为直径AB上一点，EF，CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB.求证： (1)CD＝EF； (2)eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)). 22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若OB＝10，CD＝5eq \r(3)，求图中阴影部分的面积． 23.如图是一座圆弧形拱桥，水面跨度AB＝80 m，桥拱到水面的最大高度为20 m. (1)求桥拱所在圆的半径． (2)现有一艘宽60 m，顶部截面为长方形且高出水面9 m的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由． 24．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D. (1)求证：S△ABF∶S△ACF＝AB∶AC； (2)求证：AB∶AC＝BF∶CF； (3)求证：AF2＝AB·AC－BF·CF； (4)猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．(直接写出，不需证明) 答案 一、1.A 2．D　【点拨】设OF交AC于点J.∵OE⊥AC，OF⊥AB，∴∠OEJ＝∠AFJ＝90°.∵∠OJE＝∠AJF，∴∠FAJ＝∠EOF＝55°，∴∠BOC＝2∠CAB＝110°. 3．C　【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BAC＝∠BDC＝41°， ∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠BAC＝180°－90°－41°＝49°. 4．B　【点拨】连接OB. ∵D是弧BC的中点，∴∠BOD＝∠COD. ∵OB＝OC，∴OD⊥BC，BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×8＝4. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°. ∴AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10. ∴OB＝eq \f(1,2)AC＝5.∴OE＝eq \r(OB2－BE2)＝eq \r(52－42)＝3. ∴DE＝OD－OE＝OB－OE＝5－3＝2. 5．B　【点拨】∵半径OD⊥弦AB，∴AC＝BC＝eq \f(1,2)AB＝2. 又∵OA＝OE， ∴CO是△ABE的中位线，∴EB＝2OC. 在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x－1. ∵AO2＝OC2＋AC2，∴x2＝(x－1)2＋22， 解得x＝eq \f(5,2)，∴OC＝eq \f(3,2)，∴EB＝2OC＝3. 6．A　【点拨】连接OA，OB，作eq \o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角∠ADB. ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠APB＝140°. ∴∠ADB＝eq \f(1,2)∠AOB＝70°. ∴∠ACB＝180°－70°＝110°. 7．D　【点拨】连接OB，OC，BC，过O作OD⊥BC交BC于点D. ∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°. ∵OD⊥BC，OB＝OC， ∴BD＝CD，∠BOD＝∠COD＝eq \f(1,2)∠BOC＝60°，∠BDO＝90°.∴BD＝OB· sin 60°＝8×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3)(cm)． ∴BC＝2BD＝8eq \r(3) cm. ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形． ∴AB＝BC＝8eq \r(3) cm. ∴弧BC的长为eq \f(60π×8\r(3),180)＝eq \f(8\r(3)π,3)(cm)． 8．C　【点拨】连接OE.∵直径AC＝6，BD＝3， ∴OD＝OB＝BD＝3，∴△BOD为等边三角形． ∴∠BOD＝∠OBD＝∠ODB＝60°. ∵AC⊥BD，∴∠BOC＝eq \f(1,2)∠BOD＝30°. ∴∠A＋∠ABO＝30°. 又∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO＝15°. ∴∠ABD＝∠ABO＋∠OBD＝75°. ∵∠ABD＝eq \f(1,2)∠AOD，eq \f(1,2)∠AOD＋∠EDB＝180°， ∴∠ABD＋∠EDB＝180°， 即∠ABD＋∠ODE＋∠ODB＝180°.∴∠ODE＝45°. 又∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED＝45°， 即△DOE为等腰直角三角形．∴DE＝eq \r(2)OD＝3eq \r(2). 9．B　【点拨】∵∠B＝38.20°，∴∠BAC＋∠ACB＝180°－∠B＝180°－38.20°＝141.80°. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠DAI＝∠CAI＝eq \f(1,2)∠BAC，∠ACI＝∠ECI＝eq \f(1,2)∠ACB， ∴∠CAI＋∠ACI＝eq \f(1,2)(∠BAC＋∠ACB)＝70.90°. ∵点A，E关于CD所在的直线对称， ∴AI＝EI，AD＝ED. 在△ADI和△EDI中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝ED，,AI＝EI，,DI＝DI，)) ∴△ADI≌△EDI(SSS)， ∴∠AID＝∠EID. ∵∠AID＝∠CAI＋∠ACI＝70.90°， ∴∠EID＝70.90°. 10．C　【点拨】连接OC交AB于点H. ∵△OAB沿AB折叠得到△CAB， ∴AB垂直平分OC，△OAB≌△CAB， ∴OH＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(1,2)×4＝2，△OAB的面积＝△CAB的面积． ∵cos∠AOH＝eq \f(OH,OA)＝eq \f(1,2)，∴∠AOH＝60°. ∵OA＝OB，OC⊥AB， ∴∠AOB＝2∠AOH＝120°，AB＝2AH. ∴扇形AOB的面积＝eq \f(120π×42,360)＝eq \f(16π,3). 易得AH＝eq \r(3)OH＝2eq \r(3)，∴AB＝4eq \r(3)， ∴△OAB的面积＝eq \f(1,2)AB·OH＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2＝4eq \r(3)， ∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积－△OAB的面积×2＝eq \f(16π,3)－8eq \r(3). 11．D　【点拨】过A作AE⊥BD于点E，过C作CF⊥BD于点F，连接AC交BD于点G. 在Rt△ABE中，AE2＝AB2－BE2， 在Rt△ADE中，AE2＝AD2－DE2. 设BE＝x cm，则DE＝(21－x)cm， ∴202－x2＝132－(21－x)2， 解得x＝16，即BE＝16 cm， ∴AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \r(202－162)＝12(cm)． 在Rt△BCF中，CF2＝BC2－BF2， 在Rt△DCF中，CF2＝DC2－DF2. 设BF＝y cm，则DF＝(21－y)cm， ∴152－y2＝(12eq \r(2))2－(21－y)2，解得y＝9，即BF＝9 cm， ∴CF＝eq \r(BC2－BF2)＝eq \r(152－92)＝12(cm)． ∵∠BGC＝∠AGD，∠CFG＝∠AEG＝90°， CF＝AE＝12 cm，∴△CFG≌△AEG(AAS)， ∴FG＝EG，AG＝CG. 又∵FE＝BE－BF＝16－9＝7(cm)， ∴FG＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(7,2) cm， ∴CG＝eq \r(CF2＋FG2)＝eq \r(122＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))\s\up12(2))＝eq \f(25,2)(cm)． ∴AC＝2CG＝2×eq \f(25,2)＝25(cm)，∵AC＞BD， ∴此圆形纸板的直径为25 cm. 12．D　【点拨】①∵α＝eq \f(360°,n)，∴α是n的反比例函数，故①正确． ②如图，过点O作OB⊥A1A2于点B，则d＝OB.∵OA1＝OA2，∴∠BOA1＝eq \f(1,2)∠A1OA2＝eq \f(1,2)α，∴d＝r·coseq \f(1,2)α. ∵α为定值，即coseq \f(1,2)α为定值， ∴d是r的正比例函数，故②正确． ③∵n为定值，α＝eq \f(360°,n)，∴α为定值． 易得BA1＝eq \f(1,2)A1A2.∵BA1＝r·sineq \f(1,2)α，d＝r·coseq \f(1,2)α， ∴S＝eq \f(1,2)·A1A2·d＝r·sineq \f(1,2)α·r·coseq \f(1,2)α＝(sin eq \f(1,2) α·coseq \f(1,2) α)·r2， ∴S为r的二次函数，故③正确． 二、13.60π cm2　【点拨】圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，由勾股定理得，底面半径为6 cm，侧面展开图的面积＝πrl＝π×6×10＝60π(cm2)． 14．120°　【点拨】设∠A＝4x，则∠B＝3x，∠C＝5x， ∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°， ∴4x＋5x＝180°，解得x＝20°， ∴∠B＝3x＝60°，∴∠D＝180°－60°＝120°. 15．24　【点拨】过点A作AE⊥y轴于点E，设⊙A的半径为r. 则AC＝AB＝r，BC＝2r， 设AE＝a，则点C的坐标为(a，2r)， ∴k＝2ar. 易知S△ACD＝eq \f(1,2)AC·AE，∴eq \f(1,2)·r·a＝6， 即ar＝12，∴k＝2ar＝24. 16．0.1　【点拨】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°， ∴AB＝2eq \r(2). ∵C是弦AB的中点，D在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，CD⊥AB， ∴延长DC可得O在直线DC上，OC＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2). ∴CD＝OD－OC＝2－eq \r(2)， ∴s＝AB＋eq \f(CD2,OA)＝2eq \r(2)＋eq \f(（2－\r(2)）2,2)＝3， 又∵l＝eq \f(90×π×2,180)＝π， ∴|l－s|＝|π－3|≈0.1. 17．S1＋S3＝S2＋S4　【点拨】如图，设⊙O的半径为r，切点分别为E，F，G，H，连接OE，OF，OG，OH，易知OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC，OH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r. 设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，则S1＝eq \f(1,2)r(a＋b)，S2＝eq \f(1,2)r(b＋c)，S3＝eq \f(1,2)r(c＋d)，S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)，∴S1＋S3＝eq \f(1,2)r(a＋b)＋eq \f(1,2)r(c＋d)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，S2＋S4＝eq \f(1,2)r(a＋d)＋eq \f(1,2)r (b＋c)＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c＋d)，∴S1＋S3＝S2＋S4. 18.eq \f(6,7)　【点拨】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F， 连接OB. ∵AB，BC是⊙O的切线， ∴OE，OF是⊙O的半径．∴OE＝OF. ∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝4. ∵D是BC边的中点，∴BD＝CD＝2. ∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD， ∴eq \f(1,2)AB·OE＋eq \f(1,2)BD·OF＝eq \f(1,2)BD·AC，即5OE＋2OE＝2×3， 解得OE＝eq \f(6,7).∴⊙O的半径为eq \f(6,7). 三、19.【解】∵PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径， ∴∠OAP＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOP＝60°.∴∠B＝eq \f(1,2)∠AOP＝30°. 20．(1)【证明】∵MC是⊙O的直径， ∴∠MAC＝90°.∴MA⊥AC. 又∵BE⊥AC，∴BE∥MA. (2)【解】连接MB. ∵MC是⊙O的直径，∴∠MBC＝90°.∴MB⊥BC. ∵AD⊥BC，∴BM∥AD. 又∵BE∥MA， ∴四边形AMBH是平行四边形．∴AH＝MB. ∵圆的半径是2，∴MC＝4. ∴MB＝eq \r(MC2－BC2)＝eq \r(42－32)＝eq \r(7).∴AH＝eq \r(7). 21．【证明】(1)如图，过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD，OE. ∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON. 又∵OE＝OD， ∴Rt△ODN≌Rt△OEM(HL)． ∴DN＝EM. ∵OM⊥EF，ON⊥CD， ∴EM＝eq \f(1,2)EF，DN＝eq \f(1,2)CD.∴CD＝EF. (2)∵CD＝EF，∴eq \o(CD,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵)). ∴eq \o(CD,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))＝eq \o(EF,\s\up8(︵))－eq \o(FC,\s\up8(︵))，即eq \o(CE,\s\up8(︵))＝eq \o(DF,\s\up8(︵)). 22．(1)【证明】如图，连接OD. ∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠1＝∠2. ∵OB＝OD，∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3，∴OD∥BC. ∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴OD⊥AC. ∵OD为半径，∴AC是⊙O的切线． (2)【解】如图，过点O作OG⊥BC于点G，连接OE，则BG＝EG，四边形ODCG为矩形， ∴OG＝CD＝5eq \r(3). 在Rt△OBG中，由勾股定理得BG＝eq \r(OB2－OG2)＝eq \r(102－（5\r(3)）2)＝5， ∴BE＝2BG＝10，∴OB＝BE＝OE， ∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°， ∴S阴影＝S扇形BOE－S△BOE＝eq \f(60π×102,360)－eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝eq \f(50π,3)－25eq \r(3). 23．【解】(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心． 过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交eq \o(AB,\s\up8(︵))于点C，连接AE，则CF＝20 m. 由垂径定理知AF＝FB＝eq \f(1,2)AB＝40 m. 设半径是r m， 在Rt△AFE中，由勾股定理得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2， 即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50. ∴桥拱所在圆的半径为50 m. (2)这艘轮船能顺利通过． 理由：如图，假设MN＝60 m，且MN∥AB. 连接EM，设EC与MN的交点为D， 则DE⊥MN，∴DM＝30 m. ∴DE＝eq \r(EM2－DM2)＝eq \r(502－302)＝40(m)． ∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)， ∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)． ∵10 m>9 m，∴这艘轮船能顺利通过． 24．(1)【证明】过点F作FH⊥AC于H，FG⊥AB于G. ∵点E是△ABC的内心， ∴AD是∠BAC的平分线． 又∵FH⊥AC，FG⊥AB，∴FG＝FH. ∵S△ABF＝eq \f(1,2)·AB·FG，S△ACF＝eq \f(1,2)·AC·FH， ∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)·AB·FG)∶(eq \f(1,2)·AC·FH)＝AB∶AC. (2)【证明】过点A作AM⊥BC于点M. ∵S△ABF＝eq \f(1,2)BF·AM，S△ACF＝eq \f(1,2)FC·AM， ∴S△ABF∶S△ACF＝(eq \f(1,2)BF·AM)∶(eq \f(1,2)FC·AM)＝BF∶FC， 由(1)可得S△ABF ∶S△ACF＝AB ∶AC. ∴AB ∶AC＝BF ∶FC. (3)【证明】连接DB，DC. ∵eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AB,\s\up8(︵))，eq \o(DC,\s\up8(︵))＝eq \o(DC,\s\up8(︵))， ∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD， ∴△BFD∽△AFC，∴eq \f(BF,AF)＝eq \f(DF,CF)，即BF·CF＝AF·DF. ∵eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∴∠FBA＝∠ADC. 又∵∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC. ∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AF,AC)，即AB·AC＝AD·AF. ∴AB·AC＝(AF＋DF)·AF＝AF2＋AF·DF， ∴AF2＝AB·AC－AF·DF＝AB·AC－BF·CF. (4)【解】DE2＝DA·DF.