2024八年级数学下册第7章二次根式综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制）

这是一份2024八年级数学下册第7章二次根式综合素质评价试卷（附解析鲁教版五四制），共8页。

第七章综合素质评价 一、选择题(每题3分，共36分) 1．在下列各式中不是二次根式的有(　　) ①eq \r(－10)；②eq \r(10a)(a≥0)；③eq \r(\f(m,n))(m，n同号且n≠0)；④eq \r(x2＋1)；⑤ 3eq \r(8). A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．下列式子中是最简二次根式的是(　　) A．1 B．eq \r(7) C．eq \r(12) D．eq \f(1,\r(3)) 3．与eq \r(32－22－12)结果相同的是(　　) A．3－2＋1 B．3＋2－1 C．3＋2＋1 D．3－2－1 4．【2022·广州】代数式eq \f(1,\r(x＋1))有意义时，x应满足的条件为(　　) A．x≠－1 B．x＞－1 C．x＜－1 D．x≤－1 5．下列二次根式中，能与eq \r(5)合并的是(　　) A．eq \r(25) B．eq \r(20) C．eq \r(10) D．eq \r(15) 6．【2023·大连】下列计算正确的是(　　) A．(eq \r(2))0＝eq \r(2) B．2eq \r(3)＋3eq \r(3)＝5eq \r(6) C．eq \r(8)＝4eq \r(2) D．eq \r(3)(2eq \r(3)－2)＝6－2eq \r(3) 7．【2023·河北】若a＝eq \r(2)，b＝eq \r(7)，则eq \r(\f(14a2,b2))＝(　　) A．2 B．4 C．eq \r(7) D．eq \r(2) 8．计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)－1))·eq \f(\r(5)＋1,2)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．eq \f(\r(5)－1,2) 9．从“＋，－，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“(eq \r(3)＋1)□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则x不可能是(　　) A．eq \r(3)＋1 B．5eq \r(3)－1 C．eq \r(3)－2 D．1－eq \r(3) 10．已知a－b＝2eq \r(3)－1，ab＝eq \r(3)，则(a＋1)(b－1)的值为(　　) A．－eq \r(3) B．3eq \r(3) C．3eq \r(3)－2 D．eq \r(3)－1 11．【2023·青岛市北区期末】计算式子(eq \r(3)－2)2 023(eq \r(3)＋2)2 022的结果是(　　) A．－1 B．eq \r(3)－2 C．2－eq \r(3) D．1　 12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上．余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则其面积S＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c2a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2－b2,2)))\s\up12(2))))，可利用其解决下列问题．如图，在△ABC中，AB＝eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，BC＝5，则S△ABC为(　　) A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(25,4) C．eq \f(5,2) D．eq \f(\r(5),4) 二、填空题(每题3分，共18分) 13．化简eq \r(5\f(4,9))的结果为________． 14．【2023·山西】计算(eq \r(6)＋eq \r(3))(eq \r(6)－eq \r(3))的结果为________． 15．【2023·德州德城区月考】已知a＝eq \f(1,\r(3)＋2)，b＝eq \r(3)－2，则a与b的关系是______________． 16．若eq \r(125n)是整数，则正整数n的最小值是________． 17．【2023·泰安泰山区期中】已知y＝eq \r(x－3)＋eq \r(3－x)＋5，则xy＝________． 18．观察下列各式：eq \r(12＋3)＝2，eq \r(22＋5)＝3，eq \r(32＋7)＝4，…，请你根据以上各式的规律，写出第10个等式：________，写出第n个等式：______________(n为正整数)． 三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．化简： (1)eq \f(1,2)eq \r(\f(4,7))；　　　　　　　　　 (2)eq \r(202－152)； (3)eq \r(\f(32×9,25))； (4)eq \r(20.5). 20．【2023·枣庄滕州市期中】计算： (1)eq \r(27)＋eq \f(\r(18),3)－eq \r(0.5)－eq \f(6,\r(3))； (2)3eq \r(27)－eq \f(\r(2)×\r(6),\r(3))＋eq \f(\r(18)＋\r(8),\r(2)). 21．如图，一只蚂蚁从点B沿着数轴向右爬行2个单位长度到达点A，点B表示的数为－eq \r(3)，设点A所表示的数为m. (1)直接写出m的值． (2)求|m|＋eq \r(3)(m－6)的值． 22．(1)已知x＝eq \r(3)＋eq \r(5)，y＝eq \r(3)－eq \r(5)，试求代数式2x2－4xy＋2y2的值． (2)先化简，再求值.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,x2－2xy＋y2)－\f(x,x2－2xy)))÷eq \f(y,x－2y)，其中 x＝2eq \r(2)－1，y＝2－eq \r(2). 23．在学习了二次根式的内容后，我们知道以下的结论： 结论①：若实数a≥0，则(eq \r(a))2＝a；结论②：对于任意实数a，有eq \r(a2)＝|a|. 请根据上面的结论，对下列问题进行探索： (1)若m＜2，化简：eq \r((m－2)2)＋|m－3|. (2)若eq \r(a2)＝4，|b|＝8，且ab＞0，求a＋b的值． (3)若A＝(eq \r(m－2))2＋|1－m|有意义，化简A． 24．某居民小区有个形状为长方形的空地ABCD，BC为eq \r(128)米，AB为eq \r(50)米，现要在长方形空地中修建两个形状、大小都相同的长方形花坛(即图中阴影部分)，每个长方形花坛的长为(eq \r(13)＋1)米，宽为(eq \r(13)－1)米． (1)求长方形空地ABCD的周长．(结果化为最简二次根式) (2)除去修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道的造价为60元/平方米，要修建完整个通道，需要花费多少元？ 25．【新定义题】我们规定用(a，b)表示一个数对，给出如下定义：记m＝eq \f(1,\r(a))， n＝eq \r(b)(a＞0，b＞0)，将(m，n)与(n，m)称为数对(a，b)的一对“对称数对”． 例如：(4，1)的一对“对称数对”为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))). (1)求数对(25，4)的一对“对称数对”． (2)若数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值． (3)若数对(a，b)的一对“对称数对”的一个数对是(eq \r(3)，3eq \r(3))，求ab的值． 答案 一、1．B　【点拨】各式中不是二次根式的有：①eq \r(－10)，⑤eq \r(3,8)，共2个． 2．B　【点拨】A中1不是二次根式；B中eq \r(7)是最简二次根式；C中eq \r(12)＝2eq \r(3)，故eq \r(12)不是最简二次根式；D中eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，故eq \f(1,\r(3))不是最简二次根式． 3．A 4．B　【点拨】代数式eq \f(1,\r(x＋1))有意义时，x＋1＞0，解得x＞－1. 5．B 6．D　【点拨】 A．(eq \r(2))0＝1，故本选项不正确；B．2eq \r(3)＋3eq \r(3)＝5eq \r(3)，故本选项不正确；C．eq \r(8)＝2eq \r(2)，故本选项不正确；D．eq \r(3)(2eq \r(3)－2)＝eq \r(3)×2eq \r(3)－eq \r(3)× 2＝6－2eq \r(3)，故本选项正确． 7．A　【点拨】∵a＝eq \r(2)，b＝eq \r(7)，∴eq \r(\f(14a2,b2))＝eq \r(\f(14×2,7))＝eq \r(4)＝2. 8．B　【点拨】原式＝eq \f(\r(5)＋1－2,2)·eq \f(\r(5)＋1,2)＝eq \f(\r(5)－1,2)·eq \f(\r(5)＋1,2)＝eq \f(5－1,4)＝1. 9．B　【点拨】A．(eq \r(3)＋1)－(eq \r(3)＋1)＝0，故本选项不合题意；B．无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；C．(eq \r(3)＋1)－(eq \r(3)－2)＝3，故本选项不合题意；D．(eq \r(3)＋1)×(1－eq \r(3))＝－2，故本选项不合题意． 10．A　【点拨】(a＋1)(b－1)＝ab－(a－b)－1.将a－b＝2eq \r(3)－1，ab＝eq \r(3)整体代入上式，得原式＝eq \r(3)－(2eq \r(3)－1)－1＝－eq \r(3). 11．B　【点拨】(eq \r(3)－2)2 023(eq \r(3)＋2)2 022＝[(eq \r(3)－2)×(eq \r(3)＋2)]2 022×(eq \r(3)－2)＝ (－1)2 022×(eq \r(3)－2)＝1×(eq \r(3)－2)＝eq \r(3)－2. 12．C　【点拨】在△ABC中，AB＝eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，BC＝5，∴S△ABC＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((\r(5))2×52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋25－10,2)))\s\up12(2))))＝eq \r(\f(1,4)×(125－100))＝eq \f(5,2). 二、13．eq \f(7,3)　【点拨】原式＝eq \r(\f(49,9))＝eq \f(7,3). 14．3　【点拨】原式＝(eq \r(6))2－(eq \r(3))2＝6－3＝3. 15．互为相反数　【点拨】∵a＝eq \f(1,\r(3)＋2)＝2－eq \r(3)，∴b＋a＝0，故a与b互为相 反数． 16．5　【点拨】eq \r(125n)＝5eq \r(5n)，要使原式是整数，则正整数n的最小值是5. 17．243　【点拨】由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3≥0，,3－x≥0，))解得x＝3，∴y＝5.∴xy＝35＝243. 18．eq \r(102＋21)＝11；eq \r(n2＋(2n＋1))＝n＋1 三、19．【解】(1)原式＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\r(7))＝eq \f(\r(7),7). (2)原式＝eq \r(50)＝5eq \r(2). (3)原式＝eq \f(3×4\r(2),5)＝eq \f(12\r(2),5). (4)原式＝eq \r(\f(41,2))＝eq \f(\r(82),2). 20．【解】(1)原式＝3eq \r(3)＋eq \f(3\r(2),3)－eq \f(\r(2),2)－eq \f(6\r(3),3) ＝3eq \r(3)＋eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)－2eq \r(3)＝eq \r(3)＋eq \f(\r(2),2)； (2)原式＝3－eq \f(\r(2)×\r(2)×\r(3),\r(3))＋eq \f(3\r(2)＋2\r(2),\r(2)) ＝3－2＋3＋2＝6. 21．【解】(1)m＝2－eq \r(3). (2)|m|＋eq \r(3)(m－6) ＝2－eq \r(3)＋eq \r(3)×(2－eq \r(3)－6) ＝2－eq \r(3)＋eq \r(3)×(－eq \r(3)－4) ＝2－eq \r(3)－3－4eq \r(3) ＝－1－5eq \r(3). 22．【解】(1)2x2－4xy＋2y2＝2(x2－2xy＋y2)＝2(x－y)2， 当x＝eq \r(3)＋eq \r(5)，y＝eq \r(3)－eq \r(5)时， 原式＝2(eq \r(3)＋eq \r(5)－eq \r(3)＋eq \r(5))2＝2×20＝40. (2)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x－y,(x－y)2)－\f(x,x(x－2y))))·eq \f(x－2y,y) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－y)－\f(1,x－2y)))·eq \f(x－2y,y) ＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((x－2y)－(x－y),(x－y)(x－2y))))·eq \f(x－2y,y) ＝eq \f(－y,(x－y)(x－2y))·eq \f(x－2y,y) ＝－eq \f(1,x－y)， 当x＝2eq \r(2)－1，y＝2－eq \r(2)时， 原式＝－eq \f(1,2\r(2)－1－(2－\r(2)))＝－eq \f(1,3\r(2)－3)＝－eq \f(1＋\r(2),3). 23．【解】(1)∵m＜2，∴m－2＜0，m－3＜0，∴原式＝|m－2|＋3－m＝2－m＋ 3－m＝5－2m； (2)∵eq \r(a2)＝4，|b|＝8，∴|a|＝4，b＝±8，∴a＝±4，∵ab＞0，∴a，b同号， ∴a＝4，b＝8或a＝－4，b＝－8.当a＝4，b＝8时，a＋b＝4＋8＝12；当a＝－4，b＝－8时，a＋b＝－4＋(－8)＝－12.综上所述，a＋b的值为±12； (3)根据题意得m－2≥0，∴m≥2，∴1－m＜0，∴A＝m－2＋m－1＝2m－3. 24．【解】(1)2 ×(eq \r(128)＋eq \r(50)) ＝2×(8eq \r(2)＋5eq \r(2))＝26eq \r(2)(米)． 答：长方形空地ABCD的周长为26eq \r(2)米． (2)eq \r(128)×eq \r(50)－2×(eq \r(13)＋1)(eq \r(13)－1)＝8eq \r(2)×5eq \r(2)－2×(13－1)＝80－2×12＝56(平方米)，56×60＝3 360(元)． 答：需要花费3 360元． 25．【解】(1)由题意得m＝eq \f(1,\r(25))＝eq \f(1,5)，n＝eq \r(4)＝2， ∴(25，4)的一对“对称数对”为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，2))与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,5))). (2)由题意得m＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，n＝eq \r(y)，∵数对(3，y)的一对“对称数对”的两个数对相同，∴m＝n，∴eq \f(\r(3),3)＝eq \r(y)，∴y＝eq \f(1,3). (3)由题意得eq \f(1,\r(a))＝eq \r(3)，eq \r(b)＝3eq \r(3)或eq \f(1,\r(a))＝3eq \r(3)，eq \r(b)＝eq \r(3)，∴a＝eq \f(1,3)，b＝27或a＝eq \f(1,27)，b＝3.∴ab＝9或ab＝eq \f(1,9).