2024年黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列实数中，是无理数是（ ）
A. B. 3.14C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意；
B、3.14是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；
C、是无理数，选项符合题意；
D、＝2整数，是有理数，选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零次幂、负整数指数幂与正整数指数幂，同底数幂的乘法底数不变指数相加，完全平方公式，可得答案．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了零次幂、负整数指数幂，同底数幂的乘法，完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4. 点在反比例函数的图象上，若，则此函数图象位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第二、三象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的变化趋势即可求出k与0的大小关系，从而可判断经过哪些象限．
【详解】∵，即同一象限内，随的增大而增大，
∴，
∴反比例函数经过二、四象限，
故选：B．
5. 一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．
【详解】解：根据题意可得：一袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，共18个，
任意摸出1个，摸到白球的概率是．
故选：A．
6. 在中，，，，则的值是（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是解题关键．根据题可得，代入数值求解即可．
【详解】解：如下图，
∵，，
∴，即，
解得．
故选：D．
7. 要得到抛物线，可以将抛物线：（ ）
A. 向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度B. 向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度D. 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可；
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线；
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
8. 如图，已知，，则下列比例式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：，
，故A正确；
，
，即，故B正确；
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
9. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且的度数为，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，角度的和差计算，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题关键．由旋转的性质可知，，即可求出的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知，，
，
，
故选：D．
10. 如图，中，，，，点P是斜边AB上任意一点，过点P作，垂足为P，交边或边于点Q，设，的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，可求得∠B的度数与AD的长，再分别从当0≤≤12时与当12＜x≤16时，去分析求解即可求得答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16，
∴∠B=60°，BC=AB=8，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB﹣BD=12．
如图1，当0≤AD≤12时，
AP=x，PQ=AP•tan30°=x，
∴y=x•x=x2；
如图2：当12＜x≤16时，BP=AB﹣AP=16﹣x，
∴PQ=BP•tan60°=（16﹣x），
∴y=x•（16﹣x）=，
该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，运用分类讨论思想、结合图形进行解题是关键.
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11. 将用科学记数法可表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：,
故答案为：．
12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可解答.
【详解】函数y＝中，自变量x的取值范围是x﹣1≠0，即x≠1，
故答案为x≠1．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
13. 计算：的结果是_________．
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式的化简，再合并二次根式即可求解．
【详解】解：原式
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确化简二次根式是解决此类问题的关键．
14. 因式分解：9a3-ab2=___________．
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：a(9a2-b2)=
15. 不等式组的解集是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集是：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键．
16. 扇形的圆心角为120°，面积为，则该扇形的弧长为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式S，先求出扇形的半径，再根据扇形的弧长公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，扇形的面积为27π，
∴，
解得R=9（负值舍去），
∴扇形的弧长=．
故答案为：6π．
【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．
17. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接CM，先根据抛物线与坐标轴的交点坐标的求解方法求出A、B、D三点坐标，得到对应线段长，在利用勾股定理求出CO的长，就可以得到结果．
【详解】解：如图，连接CM，
令，则，
∴，则，
令，则，解得，，
∴，，
∵MAB中点，
∴，
∴，
∴，
在，，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次函数和圆，解题的关键是掌握二次函数图象与坐标轴交点坐标的求解方法，以及圆的基本性质．
18. 阅读材料：若满足，求的值．
解：设，则，
所以．
请仿照上例解决下面问题：
若满足，则的值是___________．
【答案】110
【解析】
【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．设，则，，然后利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】解：设，
则，，
所以．
故答案为：110．
19. 在矩形中，点在直线上，，若，则点A到直线的距离为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：①点在边上时，连接，作于，由矩形的性质得出，，，求出，，在中，由勾股定理得出，再由的面积的面积的面积矩形的面积，即可得出结果；②点在边的延长线时，作于，延长线与延长线交于点，由矩形的性质得出，，，，，证出是的中位线，得出，，在中，由勾股定理得出，再由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①点在边上时，
如图1所示：连接，作于，

四边形是矩形，
，，，
，
，，
在中，，
的面积的面积的面积矩形的面积，
，
解得：；
②点在边延长线时，
如图2所示：作于，延长线与延长线交于点，

四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
是的中位线，
，
，在中，，
的面积，
；
综上所述，点到直线的距离为或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形中位线定理以及分类讨论等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是关键．
20. 如图，在中，，，点D在上，，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点D作于E，过点C作于F，则，从而得出，，设，则，，由可知，是等腰三角形，从而得到，，利用勾股定理可得，利用含30度角的直角三角形的性质可得，最后利用列方程求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于E，过点C作于F．
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，是等腰三角形，
又∵，
∴E是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中
【答案】
【解析】
【分析】先进行分式的除法运算，在进行分式的减法运算，再将a化简代入结果进行二次根式运算.
【详解】解：原式=．
∵，
∴原式．
【点睛】分式的分母利用完全平方公式分解因式，除法变乘法约分，应用同分母分式的减法法则化简；再利用特殊角的三角函数值求出a的值代入进行二次根式化简．
22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，其中点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出钝角等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为10，连接，请直接写出线段长．
【答案】22. 见解析
23. 见解析，
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识．
（1）作出腰为5顶角是钝角的等腰三角形即可．
（2）作出腰为的等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作．
【小问2详解】
解：如图，即为所求作．
．
23. 萧红中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生的课外阅读时间的众数是 小时；
（2）请直接补全条形统计图；
（3）若九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人?
【答案】（1）50， 5；
（2）见解析 （3）56人
【解析】
【分析】（1）根据3小时的人数和百分比即可求出调查的总人数，根据众数的定义即可求出众数；
（2）求出阅读时间为4小时的男生人数和阅读时间为6小时的男生人数，据此补全条形统计图即可；
（3）用九年级总人数乘以课外阅读时间为6小时的学生的占比即可得到答案
【小问1详解】
解：本次调查的学生总数为：（人），
被调查学生的课外阅读时间中出现次数的是5小时，故众数是5小时；
故答案为：50， 5
【小问2详解】
阅读时间为4小时的男生人数为（人），
阅读时间为6小时的男生人数为（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
课外阅读6小时的人数是4人，
（人），
答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有56人
24. 如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为，冬天太阳光与水平面的夹角为．
（1）若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离至少为多少米?（结果保留根号）
（2）由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高可建___________层．（参考数据：）
【答案】（1）米．
（2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键熟练掌握三角函数的定义，准确计算．
（1）根据三角函数的定义求出的长即可；
（2）先根据三角函数求出，然后求出结果即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
∴，
答：建筑时两楼之间的距离至少为米．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
即设计甲楼时，最高可建4层．
25. 某商场购进北京冬奥会甲、乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元．
（1）甲、乙两种纪念品每件各需要多少元？
（2）商场决定购进甲、乙两种纪念品若干件，购进甲种纪念品比购进乙种纪念品多用45元，且购进两种纪念品的总资金不超过8355元，则最多购进甲种纪念品多少件？
【答案】（1）甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元
（2）最多购进甲种纪念品30件
【解析】
【分析】（1）设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，根据等量关系购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需170元，若购进甲种纪念品2件、乙种纪念品1件，需295元
列方程组，然后解方程组即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品购进费用为(140m-45)元，根据不等关系购进两种纪念品的总资金不超过8355元，列不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲种纪念品每件需要x元，乙种纪念品每件需要y元，
根据题意，得，
解得，
答甲种纪念品每件需要140元，乙种纪念品每件需要15元，
【小问2详解】
解：设购进甲种纪念品m件，则甲种购进费用为140m元，乙种纪念品购进费用为(140m-45)元
根据题意，得140m+(140m-45)≤8355，
解得m≤30，
答：最多购进甲种纪念品30件．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列不等式解应用题，掌握二元一次方程组解应用题方法与步骤，列不等式解应用题方法，抓住等量关系与不等关系，列出方程组与不等式是解题关键．
26. 如图，是的直径，弦，垂足是，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在直径上，连接并延长交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，是弧上的点，连接交于，连接交分别于，若，求直径的长
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用垂径定理结合线段的垂直平分线可得结论；
（2）设，证明，，计算，从而可得结论；
（3）连接，连接，，，并延长交圆于，连接，，证明，，，由，设，则，可得，证明，再证明，利用勾股定理建立方程求解，从而可得答案．
小问1详解】
证明：是的直径，，
，
，
【小问2详解】
设
，
，
由（1）知，
，
∵，
，
∵，
，
，
，
【小问3详解】
连接，连接，，，并延长交圆于，连接，，
由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，为的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，设，则，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，而，，
∴，
∵，为直径，
∴，，
∴，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
27. 如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，在第三象限内的抛物线上，连交轴于时，
（1）如图1，求该抛物线的解析式；
（2）如图2，是抛物线第三象限一个动点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，设点横坐标为的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图3，点在线段上，且，求点坐标及相应的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的表达式先求得，，，则，再证，由此列比例式可求出的长为3 ，进而得出，将D点坐标代入抛物线的表达式中求出m的值，即可求出抛物线的表达式．
（2）由于P点在抛物线上，且横坐标为t，因此纵坐标为．设的表达式为，将P、B两点坐标代入求得，，则可得的表达式为，进而可求得，因此，又由于，根据三角形面积公式即可求出S与t的关系式．
（3）如图，过点E作垂线，作的平分线交的垂线与F，过点F 作 的平行线交的延长线于 N点，连接．则可得，进而可得．设，，则．再证四边形是平行四边形，则可得，进而可得，则可得，．在中根据勾股定理列方程，可得．由，，可求得，进而可得，．
【小问1详解】
由，得
，，
，，
．
当时，，
，
，
，，
，
，
，
解得，
．
∵D点在图像上，
，
解得，
，
∴该抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
由得，，，
∵P点在抛物线上，且点横坐标为，
∴点横坐标为，
设的表达式为，
则，
解得，
∴的表达式为：，
，
．
，
，
∴与之间的函数关系式为：．
【小问3详解】
如图，过点E作的垂线，作的平分线交的垂线与F，过点F 作 的平行线交的延长线于 N点，连接．
，
，
，，
，
，
又，，
，
，．
设，，则，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
．
，，
，
．
又，
，
即，
，
．
，
，
解得（舍去），．
，
，
，
解得，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、平行四边形的性质与判定、三角形面积等基础知识．考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想．正确的做出辅助线是解题的关键．