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第20讲 图形的相似与位似（25题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第20讲 图形的相似与位似（25题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第20讲图形的相似与位似练习原卷版docx、第20讲图形的相似与位似练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第20讲 图形的相似与位似
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156467334" 题型01 成比例线段
\l "_Tc156467335" 题型02 图上距离与实际距离
\l "_Tc156467336" 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
\l "_Tc156467337" 题型04 利用比例的性质求未知数的值
\l "_Tc156467338" 题型05 利用比例的性质求代数式的值
\l "_Tc156467339" 题型06 理解黄金分割的概念
\l "_Tc156467340" 题型07 黄金分割的实际应用
\l "_Tc156467341" 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
\l "_Tc156467342" 题型09 平行线分线段成比例（A型）
\l "_Tc156467343" 题型10 平行线分线段成比例（X型）
\l "_Tc156467344" 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
\l "_Tc156467345" 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
\l "_Tc156467346" 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
\l "_Tc156467347" 题型14 理解相似图形的概念
\l "_Tc156467348" 题型15 相似多边形
\l "_Tc156467349" 题型16 相似多边形的性质
\l "_Tc156467350" 题型17 位似图形的识别
\l "_Tc156467351" 题型18 判断位似中心
\l "_Tc156467352" 题型19 根据位似的概念判断正误
\l "_Tc156467353" 题型20 求两个位似图形的相似比
\l "_Tc156467354" 题型21 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
\l "_Tc156467355" 题型22 求位似图形的坐标
\l "_Tc156467356" 题型23 求位似图形的线段长度
\l "_Tc156467357" 题型24 在坐标系中求位似图形的周长
\l "_Tc156467358" 题型25 在坐标系中求位似图形的面积
题型01 成比例线段
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8B．3，4，5，6C．4，8，3，5D．15，5，6，2
2．（2022·浙江·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则a，b的比例中项线段等于 ．
3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知线段a=3,b=2,c=4，则b，a，c的第四比例项d= ．
题型02 图上距离与实际距离
4．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为 平方米.
5．（2019·辽宁抚顺·统考三模）已知A、B两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这幅地图的比例尺为 ．
6．（2020·江苏淮安·统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
7．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如果2022a=2023b，则下列式子正确的是（ ）
A．a2023=b2022B．ab=20222023C．a2022=2023bD．a2023=2022b
8．（2021·上海嘉定·统考一模）如果实数a，b，c，d满足ab=cd，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．a+bb=c+ddB．aa+b=cc+dC．a+cb+d=cdD．a2b=c2d
9．（2019·上海奉贤·校联考一模）已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．a+b＝7B．5a=2bC．a+bb=72D．a+5b+2=1
题型04 利用比例的性质求未知数的值
10．（2021·江苏盐城·统考二模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4B．6C．9D．36
11．（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考一模）若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则c值为何？（ ）
A．7B．63C．212D．214
12．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）若（3﹣2x）：2＝（3+2x）：5，则x＝ ．
13．（2022·江苏淮安·统考一模）已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，求a值．
题型05 利用比例的性质求代数式的值
14．（2022·安徽合肥·校考二模）已知a、b、c为非零实数，且满足b+ca=a+bc=a+cb=k，则一次函数y＝kx＋（1＋k）的图像一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知mn=13，则mm+n= ．
16．（2022·四川成都·统考二模）已知x2=y3=z4≠0，则xy+yzzx的值是 ．
17．（2021·山东滨州·统考三模）计算：
(1)已知关于x，y的多项式axy﹣3x2﹣2xy﹣bx2+y中不含二次项，求(a+b)2021的值．
(2)若x3=y4=z5，求x2−3xy+2z23x2+2xy−z2的值；
(3)解分式方程2x−2+x2−x=2．
题型06 理解黄金分割的概念
18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．黄金分割
19．（2023·宁夏银川·校考二模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则x满足的方程是（ ）
A．30−x2=30xB．x2=3030−xC．x30−x=302D．以上都不对
20．（2020·上海崇明·统考一模）已知线段AB=8 cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，那么线段AC的长 cm．
题型07 黄金分割的实际应用
21．（2023·山东菏泽·统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个常数为5−12）
22．（2023·河南郑州·统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知AB=5+12，则阴影部分的面积为 ．
23．（2022·江西九江·统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.9m，则该车车身总长约为 m（保留整数）．
24．（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
25．（2023·江西南昌·统考一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6．
(1)求该女士下半身长x；
(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
26．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交BD于点F．则下列结论正确的是（ ）．
A．AFFE=CDDEB．AFFE=DFBFC．DECE=DFBFD．AFFE=ADBE
27．（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，连接BF、EF，BF交AD于G，EF交AD的延长线于点H，下列说法错误的是（ ）
A．FGBG=DHCEB．DGAG=FHEHC．GFBF=HFEFD．GDBC=DFCF
28．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ）
A．EA:CD=EG:CGB．CD:BE=CG:CE
C．EG:GC=AG:BCD．CF:GF=DA:DG
题型09 平行线分线段成比例（A型）
29．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．2
30．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD:DB=1:3，那么S△DEC:S△DBC等于（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4
题型10 平行线分线段成比例（X型）
31．（2022·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．22B．3C．13D．5
32．（2022·河南开封·统考二模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知AE＝1，BE＝2，DE＝3，则CD的长为（ ）
A．32B．92C．6D．152
33．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在△OAB中，点C、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且CD∥AB．若OC=2，OB=4，OD=3，则OA的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
34．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
A．52B．32C．3D．2
35．（2022·四川绵阳·统考三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝13，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（ ）
A．4+22B．6+22C．4+2D．6+2
36．（2022·四川宜宾·统考一模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，那么FDFC的值是（ ）
A．13B．23C．12D．34
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
37．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF:FD=3:1，BC=10，则CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．103
38．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为AB中点，BF⊥CD于点E，交AC于点F，若AB=2，则AF=（ ）
A．324B．223C．53D．1
39．（2022·广西贵港·统考二模）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且BE:CE=3:2，CD与AE交于点F，则DF:CF=（ ）
A．2：3B．3：4C．4：3D．3：2
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
40．（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=25，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．35B．1455C．5D．6
41．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，在直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC=13AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1B．2C．−1D．−2
42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
43．（2023·广西贵港·统考三模）如图，点A在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4B．6C．10D．12
题型14 理解相似图形的概念
44．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的( )
A．图形的轴对称B．图形的平移
C．图形的旋转D．图形的相似
45．（2023·河南洛阳·统考一模）下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是（ ）
A．位置可以不同B．大小可以不同C．形状可以不同D．颜色可以不同
46．（2021·四川成都·统考一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型15 相似多边形
47．（2021·上海奉贤·统考一模）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形B．两个正方形C．两个矩形D．两个梯形
48．（2019·河北邢台·校联考一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
49．（2021·上海长宁·一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
题型16 相似多边形的性质
50．（2022·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
51．（2022·山东淄博·统考二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．2:1
52．（2023·广东江门·统考一模）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12B．﹣12C．16D．﹣16
53．（2019·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2B．S1+S3C．S4﹣S2D．S3+S4
题型17 位似图形的识别
54．（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．对称C．位似D．旋转
55．（2022·贵州遵义·模拟预测）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形B．相似三角形的判定C．旋转D．平行线的性质
题型18 判断位似中心
56．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
57．（2021·河北邢台·统考一模）如图，若△ABC与△DEF是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．O1B．O2C．O3D．O4
题型19 根据位似的概念判断正误
58．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则以下说法中错误的是（ ）
A．AB∥A′B′B．△ABC ∽ △A′B′C′
C．AO：AA′＝1：2D．点C、O、C′三点在同一直线上
59．（2021·四川成都·一模）如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似
②△ABC与△DEF周长比为2∶1
③△ABC与△DEF面积比为4∶1
④△ABC与△DEF是相似图形
A．1B．2C．3D．4
60．（2021·河北唐山·统考一模）如图，BC//ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D、点C与点E是对应位似点D．AC:AB是相似比
题型20 求两个位似图形的相似比
61．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1 =1:2，则△ABC与△ A1B1C1的面积比是（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
62．（2023·重庆·三模）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA'=2：3，则CD：C'D'的值为（ ）
A．1：2B．2：3C．2：5D．4：9
63．（2023·广西梧州·统考二模）如图，已知△OAB，作射线OA，OB，分别在射线OA，OB上取点A1，B1，使OAOA1=OBOB1=13，连接A1B1，则△OAB与△OA1B1的位似比是（ ）
A．13B．23C．2D．3
题型21 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
64．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为3,−1、2,1．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形并写出点B1、C1的坐标；
(2)将△BOC绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△OB2C2，并求出B点所经过的路线长．
65．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图在7×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，将△ABC以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为2:1，得到△A'B'C，画出△A'B'C；
(2)如图2，点D也是格点，连接CD，在AC上画出点E，使∠ADE=∠BCD；
(3)如图3，在边AB，BC，AC上分别画出点F，G，H，使△FGH的周长最小．
题型22 求位似图形的坐标
66．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若A1,1，B2,0，D4,0，则点C的坐标为（ ）
A．1,2B．2,2C．2,2D．2,1
67．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O0,0,A−3,0,B−4,3，△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为 ．
68．（2023·广东佛山·校考一模）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O，若点A的坐标是1,2，则点A'的坐标是 ．
题型23 求位似图形的线段长度
69．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O．△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，若OA'=2，则OA的长度为（ ）
A．6B．12C．18D．20
70．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
71．（2019·湖南永州·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．1B．2C．25D．5
题型24 在坐标系中求位似图形的周长
72．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD=3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（ ）
A．10B．15C．25D．125
73．（2023·四川成都·统考一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△DEF是将△ABC放大得到的．若AD=2OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:2B．1:4C．1:3D．1:9
74．（2023·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD=2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
题型25 在坐标系中求位似图形的面积
75．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）如图，已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心是O，若△ABC与△A1B1C1的周长比为2:1，△A1B1C1的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
76．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2:3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（ ）
A．4B．6C．9D．16
77．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0，0，B2，0，已知△OAB'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OAB'的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A'的坐标为： ．
1．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
2．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若a2=3b，则ab=（ ）
A．6B．32C．1D．23
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）
A．2,4B．4,2C．6,4D．5,4
5．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
6．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．23B．1C．32D．2
7．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
8．（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 ．
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A2,6，B3,1，O0,0，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上．若OA:AA'=1:2，则△ABC和△A'B'C'的周长之比为 ．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，则A1点的坐标是 ．
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示）
14．（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
15．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 ．
16．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
17．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．
猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第20讲 图形的相似与位似
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156467334" 题型01 成比例线段
\l "_Tc156467335" 题型02 图上距离与实际距离
\l "_Tc156467336" 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
\l "_Tc156467337" 题型04 利用比例的性质求未知数的值
\l "_Tc156467338" 题型05 利用比例的性质求代数式的值
\l "_Tc156467339" 题型06 理解黄金分割的概念
\l "_Tc156467340" 题型07 黄金分割的实际应用
\l "_Tc156467341" 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
\l "_Tc156467342" 题型09 平行线分线段成比例（A型）
\l "_Tc156467343" 题型10 平行线分线段成比例（X型）
\l "_Tc156467344" 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
\l "_Tc156467345" 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
\l "_Tc156467346" 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
\l "_Tc156467347" 题型14 理解相似图形的概念
\l "_Tc156467348" 题型15 相似多边形
\l "_Tc156467349" 题型16 相似多边形的性质
\l "_Tc156467350" 题型17 位似图形的识别
\l "_Tc156467351" 题型18 判断位似中心
\l "_Tc156467352" 题型19 根据位似的概念判断正误
\l "_Tc156467353" 题型20 求两个位似图形的相似比
\l "_Tc156467354" 题型21 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
\l "_Tc156467355" 题型22 求位似图形的坐标
\l "_Tc156467356" 题型23 求位似图形的线段长度
\l "_Tc156467357" 题型24 在坐标系中求位似图形的周长
\l "_Tc156467358" 题型25 在坐标系中求位似图形的面积
题型01 成比例线段
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8B．3，4，5，6C．4，8，3，5D．15，5，6，2
2．（2022·浙江·统考一模）已知线段a=5+1，b=5−1，则a，b的比例中项线段等于 ．
3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知线段a=3,b=2,c=4，则b，a，c的第四比例项d= ．
题型02 图上距离与实际距离
4．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为 平方米.
5．（2019·辽宁抚顺·统考三模）已知A、B两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，这幅地图的比例尺为 ．
6．（2020·江苏淮安·统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
7．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如果2022a=2023b，则下列式子正确的是（ ）
A．a2023=b2022B．ab=20222023C．a2022=2023bD．a2023=2022b
8．（2021·上海嘉定·统考一模）如果实数a，b，c，d满足ab=cd，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．a+bb=c+ddB．aa+b=cc+dC．a+cb+d=cdD．a2b=c2d
9．（2019·上海奉贤·校联考一模）已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．a+b＝7B．5a=2bC．a+bb=72D．a+5b+2=1
题型04 利用比例的性质求未知数的值
10．（2021·江苏盐城·统考二模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（ ）
A．4B．6C．9D．36
11．（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考一模）若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则c值为何？（ ）
A．7B．63C．212D．214
12．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）若（3﹣2x）：2＝（3+2x）：5，则x＝ ．
13．（2022·江苏淮安·统考一模）已知a6=b5=c4，且a+b−2c=6，求a值．
题型05 利用比例的性质求代数式的值
14．（2022·安徽合肥·校考二模）已知a、b、c为非零实数，且满足b+ca=a+bc=a+cb=k，则一次函数y＝kx＋（1＋k）的图像一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知mn=13，则mm+n= ．
16．（2022·四川成都·统考二模）已知x2=y3=z4≠0，则xy+yzzx的值是 ．
17．（2021·山东滨州·统考三模）计算：
(1)已知关于x，y的多项式axy﹣3x2﹣2xy﹣bx2+y中不含二次项，求(a+b)2021的值．
(2)若x3=y4=z5，求x2−3xy+2z23x2+2xy−z2的值；
(3)解分式方程2x−2+x2−x=2．
题型06 理解黄金分割的概念
18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ）
A．平移B．轴对称C．旋转D．黄金分割
19．（2023·宁夏银川·校考二模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则x满足的方程是（ ）
A．30−x2=30xB．x2=3030−xC．x30−x=302D．以上都不对
20．（2020·上海崇明·统考一模）已知线段AB=8 cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，那么线段AC的长 cm．
题型07 黄金分割的实际应用
21．（2023·山东菏泽·统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 米．（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．其比值是一个常数为5−12）
22．（2023·河南郑州·统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知AB=5+12，则阴影部分的面积为 ．
23．（2022·江西九江·统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为1.9m，则该车车身总长约为 m（保留整数）．
24．（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
25．（2023·江西南昌·统考一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6．
(1)求该女士下半身长x；
(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
26．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交BD于点F．则下列结论正确的是（ ）．
A．AFFE=CDDEB．AFFE=DFBFC．DECE=DFBFD．AFFE=ADBE
27．（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，连接BF、EF，BF交AD于G，EF交AD的延长线于点H，下列说法错误的是（ ）
A．FGBG=DHCEB．DGAG=FHEHC．GFBF=HFEFD．GDBC=DFCF
28．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ）
A．EA:CD=EG:CGB．CD:BE=CG:CE
C．EG:GC=AG:BCD．CF:GF=DA:DG
题型09 平行线分线段成比例（A型）
29．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．2
30．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD:DB=1:3，那么S△DEC:S△DBC等于（ ）
A．1:2B．1:3C．2:3D．1:4
题型10 平行线分线段成比例（X型）
31．（2022·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．22B．3C．13D．5
32．（2022·河南开封·统考二模）如图，直线l1∥l2∥l3，已知AE＝1，BE＝2，DE＝3，则CD的长为（ ）
A．32B．92C．6D．152
33．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在△OAB中，点C、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且CD∥AB．若OC=2，OB=4，OD=3，则OA的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
34．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在▱ ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是▱ ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
A．52B．32C．3D．2
35．（2022·四川绵阳·统考三模）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝13，AB＝6，D是AB的中点，连接CD，作DE⊥AC于E，则△CDE的周长为（ ）
A．4+22B．6+22C．4+2D．6+2
36．（2022·四川宜宾·统考一模）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，那么FDFC的值是（ ）
A．13B．23C．12D．34
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
37．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF:FD=3:1，BC=10，则CE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．103
38．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为AB中点，BF⊥CD于点E，交AC于点F，若AB=2，则AF=（ ）
A．324B．223C．53D．1
39．（2022·广西贵港·统考二模）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且BE:CE=3:2，CD与AE交于点F，则DF:CF=（ ）
A．2：3B．3：4C．4：3D．3：2
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
40．（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若BGCG=13，EF=25，则菱形ABCD的边长是（ ）
A．35B．1455C．5D．6
41．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，在直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象恰好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC=13AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是（ ）
A．1B．2C．−1D．−2
42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
43．（2023·广西贵港·统考三模）如图，点A在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4B．6C．10D．12
题型14 理解相似图形的概念
44．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的( )
A．图形的轴对称B．图形的平移
C．图形的旋转D．图形的相似
45．（2023·河南洛阳·统考一模）下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是（ ）
A．位置可以不同B．大小可以不同C．形状可以不同D．颜色可以不同
46．（2021·四川成都·统考一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型15 相似多边形
47．（2021·上海奉贤·统考一模）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形B．两个正方形C．两个矩形D．两个梯形
48．（2019·河北邢台·校联考一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A．B．C．D．
49．（2021·上海长宁·一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
题型16 相似多边形的性质
50．（2022·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
51．（2022·山东淄博·统考二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．2:1
52．（2023·广东江门·统考一模）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y=kx相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12B．﹣12C．16D．﹣16
53．（2019·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S1，S2，S3，S4，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可知的区域的面积为（ ）
A．S1﹣S2B．S1+S3C．S4﹣S2D．S3+S4
题型17 位似图形的识别
54．（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移B．对称C．位似D．旋转
55．（2022·贵州遵义·模拟预测）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（ ）
A．位似图形B．相似三角形的判定C．旋转D．平行线的性质
题型18 判断位似中心
56．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
57．（2021·河北邢台·统考一模）如图，若△ABC与△DEF是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．O1B．O2C．O3D．O4
题型19 根据位似的概念判断正误
58．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A′B′C′，则以下说法中错误的是（ ）
A．AB∥A′B′B．△ABC ∽ △A′B′C′
C．AO：AA′＝1：2D．点C、O、C′三点在同一直线上
59．（2021·四川成都·一模）如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似
②△ABC与△DEF周长比为2∶1
③△ABC与△DEF面积比为4∶1
④△ABC与△DEF是相似图形
A．1B．2C．3D．4
60．（2021·河北唐山·统考一模）如图，BC//ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D、点C与点E是对应位似点D．AC:AB是相似比
题型20 求两个位似图形的相似比
61．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1 =1:2，则△ABC与△ A1B1C1的面积比是（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．1:9
62．（2023·重庆·三模）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若OA：OA'=2：3，则CD：C'D'的值为（ ）
A．1：2B．2：3C．2：5D．4：9
63．（2023·广西梧州·统考二模）如图，已知△OAB，作射线OA，OB，分别在射线OA，OB上取点A1，B1，使OAOA1=OBOB1=13，连接A1B1，则△OAB与△OA1B1的位似比是（ ）
A．13B．23C．2D．3
题型21 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
64．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为3,−1、2,1．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形并写出点B1、C1的坐标；
(2)将△BOC绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△OB2C2，并求出B点所经过的路线长．
65．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图在7×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，将△ABC以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为2:1，得到△A'B'C，画出△A'B'C；
(2)如图2，点D也是格点，连接CD，在AC上画出点E，使∠ADE=∠BCD；
(3)如图3，在边AB，BC，AC上分别画出点F，G，H，使△FGH的周长最小．
题型22 求位似图形的坐标
66．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若A1,1，B2,0，D4,0，则点C的坐标为（ ）
A．1,2B．2,2C．2,2D．2,1
67．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O0,0,A−3,0,B−4,3，△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C在第四象限的坐标为 ．
68．（2023·广东佛山·校考一模）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O，若点A的坐标是1,2，则点A'的坐标是 ．
题型23 求位似图形的线段长度
69．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O．△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，若OA'=2，则OA的长度为（ ）
A．6B．12C．18D．20
70．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
71．（2019·湖南永州·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD，则CD的长度是（ ）
A．1B．2C．25D．5
题型24 在坐标系中求位似图形的周长
72．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心．若AD=3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的周长为（ ）
A．10B．15C．25D．125
73．（2023·四川成都·统考一模）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，△DEF是将△ABC放大得到的．若AD=2OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1:2B．1:4C．1:3D．1:9
74．（2023·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD=2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
题型25 在坐标系中求位似图形的面积
75．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）如图，已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心是O，若△ABC与△A1B1C1的周长比为2:1，△A1B1C1的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．15
76．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2:3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积是（ ）
A．4B．6C．9D．16
77．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O0，0，B2，0，已知△OAB'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OAB'的面积是△OAB面积的4倍，则点A对应点A'的坐标为： ．
1．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线B．CD=12AB
C．DE=12BCD．S△ADE:S四边形DBCE=1:4
2．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若a2=3b，则ab=（ ）
A．6B．32C．1D．23
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）
A．2,4B．4,2C．6,4D．5,4
5．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A．（43）3B．（43）7C．（43）6D．（34）6
6．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
A．23B．1C．32D．2
7．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
8．（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 ．
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A2,6，B3,1，O0,0，以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的13，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA'上．若OA:AA'=1:2，则△ABC和△A'B'C'的周长之比为 ．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且ABA1B1=3．若A9,3，则A1点的坐标是 ．
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的式子表示）
14．（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
15．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，则△ABC的周长为 ．
16．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
17．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．
猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
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