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第07讲 一元二次方程（25题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第07讲 一元二次方程（25题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第07讲一元二次方程练习原卷版docx、第07讲一元二次方程练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第07讲 一元二次方程
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc152342880"
\l "_Tc152342881" 题型01 识别一元二次方程
\l "_Tc152342882" 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
\l "_Tc152342883" 题型03 一元二次方程的一般形式
\l "_Tc152342884" 题型04 由一元二次方程的解求参数的值
\l "_Tc152342885" 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
\l "_Tc152342886" 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
\l "_Tc152342887" 题型07 选用合适的方法解一元二次方程
\l "_Tc152342888" 题型08 错看或错解一元二次方程问题
\l "_Tc152342889" 题型09 配方法的应用
\l "_Tc152342890" 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342891" 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342892" 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
\l "_Tc152342893" 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
\l "_Tc152342894" 题型14 与根的判别式有关的新定义问题
\l "_Tc152342895" 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值
\l "_Tc152342896" 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
\l "_Tc152342897" 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
\l "_Tc152342898" 题型18 与根与系数有关的新定义问题
\l "_Tc152342899" 题型19 构造一元二次方程求代数式的值
\l "_Tc152342900" 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
\l "_Tc152342901" 题型21 分裂（传播）问题
\l "_Tc152342902" 题型22 碰面（循环）问题
\l "_Tc152342903" 题型23 增长率问题
\l "_Tc152342904" 题型24 营销问题
\l "_Tc152342905" 题型25 与图形有有关的问题
\l "_Tc152342906"
\l "_Tc152342907"
题型01 识别一元二次方程
1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2=5x−1B．x+1x=2
C．x−3x+1=x2−5D．3x−y=5
2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2x+1x=0B．y=2x2−3x−1
C．x2−1=0D．y2−x+3=0
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程m−3x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠3B．m=3C．m≥3D．m≠0
2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
题型03 一元二次方程的一般形式
1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−3x−2=8的一般形式是 ．
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ．
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为（ ）
A．10B．－10C．2D．－40
2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）
A．62B．63C．64D．65
3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 ．
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是 ．
2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．
题型07 选用合适的方法解一元二次方程
1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．
57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：
(1)(2x+1)2=(x−3)2；
(2)3x2−9x+4=0．
3．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程x2−22−11x2−2+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设x2−2=y，则x2−22=y2，于是原方程可转化为y2−11y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9．
当y1=2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
当y2=9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足m+3nm+3n−2=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
题型08 错看或错解一元二次方程问题
1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
xx−2=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：x−32=2x−3的具体过程，方程两边同除以x−3，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×(−3)=37，．．．．．．．．．．．．．第二步
∴x=5±372，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
∴x1=5+372,x2=5−372．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
题型09 配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2+y2+2x的最小值是（ ）
A．8B．−8C．−9D．9
2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a3．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2x−1图象上，则a2+b+3的最小值为 ．
4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当x=−2，y=1时，∵x2+y2=5，2xy=−4，∴x2+y2>2xy．
②当x=1，y=2时，∵x2+y2=5，2xy=4，∴ x2+y2>2xy．
③当x=2，y=2.5时，∵ x2+y2=10.25，2xy=10，∴x2+y2>2xy．
④当x=3，y=3时，∵ x2+y2=18，2xy=18，∴x2+y2________2xy．
(2)归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式x2+4x2的最小值．
题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况
1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx−12=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−2k−1x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−14B．k<14
C．k>−14且k≠0D．k<14且k≠0
3．（2023武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≤0C．k<0且k≠−1D．k≤0且k≠−1
题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．
3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+12k2−2=0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1−x2=3，求k的值．
4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−m−1x+m−2=0
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程2◎x=5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22−2×1+1=3，则方程x※2=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值
1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ．
2．（2021·江西·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，则x1+x2−x1x2= ．
3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则a−2b−2的值为 ．
4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则ba+ab的值为（ ）
A．﹣9B．9C．﹣7D．7
题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2−2023n的值为（ ）
A．1B．−1C．2023D．−2023
3.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为 ．
题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+2=0两个实数根的倒数和为1，则m=（ ）
A．−2或0B．2或0C．2D．0
2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1,x2，x1−x2+2(x1−x2−2)+2x1x2 =−3，则k的值（ ）
A．0或2B．-2或2C．-2D．2
3．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x1·x2，则k的值是 ．
4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值．
题型18 与根与系数有关的新定义问题
1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+ab−2+4，例如3★7=32+3×7−2+4=28，若方程x★m=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（ ）
A．−2B．−3C．−4D．−5
2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则x1※x2= ．
题型19 构造一元二次方程求代数式的值
1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，n2+n=4，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．19B．18C．16D．15
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a=b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式ba+ab的值是 ．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x−1=0的两个不相等的实数根．
材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得1−3b+2b2=0，即21b2−31b+1=0，则可将a，1b看作一元二次方程2x2−3x+1=0的两个不相等的实数根．
请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：
(1)已知实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值；
(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0，且ab≠1，求3ab+3ab+4a+1的值．
题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2，若x1+x2=6，求m的值．
2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
题型21 分裂（传播）问题
1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2=43B．1+x+x2=43C．x+x2=43D．(1+x)2=43
3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
题型22 碰面（循环）问题
1．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第一中学校校考一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人B．42人C．44人D．45人
3．（2022·广西柳州·统考模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．12x(x+1)=72B．12x(x−1)=72C．x(x+1)=72D．x(x−1)=72
题型23 增长率问题
1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=442
3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
题型24 营销问题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
2．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？
题型25 与图形有有关的问题
1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52 m，宽为28 m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
3．（2023·福建泉州·统考一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？
1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<13B．k≤13C．k<13且k≠0D．k≤13且k≠0
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1B．m≤1C．m≥−1且m≠0D．m≤1且m≠0
3．（2023·天津·统考中考真题）若x1,x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
A．x1+x2=6B．x1+x2=−6C．x1·x2=76D．x1·x2=7
4．（2023·北京·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．−9B．−94C．94D．9
5．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（ ）
A．x+62=28B．x−62=28C．x+32=1D．x−32=1
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2−21+2c=（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
1 (a+b)0=1
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．−4C．2或4D．2或−4
10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且mA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5mB．70mC．5m或70mD．10m
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程x2−2x−1=0的根，则m2+1m2= ．
13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为 ，另一个根为 ．
14．（2023·江苏镇江·统考中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为 ．
15．（2023·四川达州·统考中考真题）已知x1,x2是方程2x2+kx−2=0的两个实数根，且x1−2x2−2=10，则k的值为 ．
16．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
18．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]∗[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]∗[5,1]=3×5−2×1=13．
(1)求[−4,3]∗[2,−6]的值；
(2)已知关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围．
20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为a cm、b cm、c cm、d cm．若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？
1．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为 ；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, b2+2b=a+2，求代数式ba+ab的值．
售价x（元/件）
80
82
84
86
…
销售量y（件）
500
490
480
470
…
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第07讲 一元二次方程
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u \l "_Tc152342880"
\l "_Tc152342881" 题型01 识别一元二次方程
\l "_Tc152342882" 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
\l "_Tc152342883" 题型03 一元二次方程的一般形式
\l "_Tc152342884" 题型04 由一元二次方程的解求参数的值
\l "_Tc152342885" 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
\l "_Tc152342886" 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
\l "_Tc152342887" 题型07 选用合适的方法解一元二次方程
\l "_Tc152342888" 题型08 错看或错解一元二次方程问题
\l "_Tc152342889" 题型09 配方法的应用
\l "_Tc152342890" 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342891" 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况
\l "_Tc152342892" 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
\l "_Tc152342893" 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
\l "_Tc152342894" 题型14 与根的判别式有关的新定义问题
\l "_Tc152342895" 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值
\l "_Tc152342896" 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
\l "_Tc152342897" 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
\l "_Tc152342898" 题型18 与根与系数有关的新定义问题
\l "_Tc152342899" 题型19 构造一元二次方程求代数式的值
\l "_Tc152342900" 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
\l "_Tc152342901" 题型21 分裂（传播）问题
\l "_Tc152342902" 题型22 碰面（循环）问题
\l "_Tc152342903" 题型23 增长率问题
\l "_Tc152342904" 题型24 营销问题
\l "_Tc152342905" 题型25 与图形有有关的问题
\l "_Tc152342906"
\l "_Tc152342907"
题型01 识别一元二次方程
1．（2023泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2=5x−1B．x+1x=2
C．x−3x+1=x2−5D．3x−y=5
2．（202.无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2−2x+1x=0B．y=2x2−3x−1
C．x2−1=0D．y2−x+3=0
题型02 由一元二次方程的概念求参数的值
1．（2022上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x的方程m−3x2+x−m=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠3B．m=3C．m≥3D．m≠0
2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x的方程x|a|−1−3x+2=0是一元二次方程，则a的值为 ．
3．（2022西咸新区五模）若方程(m−1)x2+mx=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
题型03 一元二次方程的一般形式
1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ）
A．3B．−3C．1D．−1
2．（2022上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2y2−7=3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．2，﹣7，﹣3C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
3．（2022上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x2−3x−2=8的一般形式是 ．
题型04 由一元二次方程的解求参数的值
1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x的一元二次方程（a - 1）x2 - ax + a2 = 1的一个根为0．则a = ．
题型05 由一元二次方程的解求代数式的值
1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2x2−3x−5=0的一个解，则−4a2+6a的值为（ ）
A．10B．－10C．2D．－40
2．（2022上·福建泉州·九年级期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（ ）
A．62B．63C．64D．65
3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于 ．
题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根
1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是 ．
2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ．
3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根．
4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x的一元二次方程x2−2x+3m−2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程有一根为4，求方程的另一根．
题型07 选用合适的方法解一元二次方程
1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5x(2x−1)−2(2x−1)=0．
57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程：
(1)(2x+1)2=(x−3)2；
(2)3x2−9x+4=0．
3．（2023·青海·统考一模）提出问题
为解方程x2−22−11x2−2+18=0，我们可以将x2−2视为一个整体，然后可设x2−2=y，则x2−22=y2，于是原方程可转化为y2−11y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9．
当y1=2时，x2−2=2，x2=4，∴x=±2；
当y2=9时，x2−2=9，x2=11，∴x=±11．
∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−11，x4=11．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程x4−3x2−4=0．
延伸拓展
（2）已知实数m，n满足m+3nm+3n−2=2m+6n−4，求4m+12n−3的值．
题型08 错看或错解一元二次方程问题
1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x2−3x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案：
方法如下：
x2−3x+2=0
x2−2x−x+2=0 第①步
x2−2x=x−2 第②步
xx−2=x−2 第③步
x=1 第④步
老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）．
2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程：x−32=2x−3的具体过程，方程两边同除以x−3，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x2−5x=−3的过程中出现了错误，其解答如下：
解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
∴b2−4ac=(−5)2−4×1×(−3)=37，．．．．．．．．．．．．．第二步
∴x=5±372，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
∴x1=5+372,x2=5−372．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
(1)问：小明的解答是从第________步开始出错的；
(2)请写出本题正确的解答．
题型09 配方法的应用
1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y2−2x+4=0，则x2+y2+2x的最小值是（ ）
A．8B．−8C．−9D．9
2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4a+3a2,c−b=1−2a+a2，则a,b,c之间的大小关系是（ ）
A．a
4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当x=−2，y=1时，∵x2+y2=5，2xy=−4，∴x2+y2>2xy．
②当x=1，y=2时，∵x2+y2=5，2xy=4，∴ x2+y2>2xy．
③当x=2，y=2.5时，∵ x2+y2=10.25，2xy=10，∴x2+y2>2xy．
④当x=3，y=3时，∵ x2+y2=18，2xy=18，∴x2+y2________2xy．
(2)归纳：x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式x2+4x2的最小值．
题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况
1．（2023殷都区一模）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
2．（2023秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2﹣32x＝3的根的情况（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无实数根
题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况
1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．不能确定
2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x的方程x2−mx−12=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围
1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程kx2−2k−1x+k−2=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−14B．k<14
C．k>−14且k≠0D．k<14且k≠0
3．（2023武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥0B．k≤0C．k<0且k≠−1D．k≤0且k≠−1
题型13 应用根的判别式证明方程根的情况
1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x2−kx+k−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围．
2．（2021上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围．
3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+12k2−2=0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1−x2=3，求k的值．
4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−m−1x+m−2=0
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x的方程x2−(m+4)x+4m=0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个根小于1，求m的取值范围．
题型14 与根的判别式有关的新定义问题
1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b2，例如1◎2=1×2−22=2−4=−2，则方程2◎x=5的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a2−ab+b，例如2※1=22−2×1+1=3，则方程x※2=5的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值
1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ．
2．（2021·江西·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两根，则x1+x2−x1x2= ．
3．（2023上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x2+2x−4=0的两个实数根，则a−2b−2的值为 ．
4.（2023上·全国·九年级专题练习）若方程x2−3x+1=0的两个实数根为a，b，则ba+ab的值为（ ）
A．﹣9B．9C．﹣7D．7
题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值
1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x2−2023x+1=0的两根分别为m、n，则m2−2023n的值为（ ）
A．1B．−1C．2023D．−2023
3.（2021上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、n分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为 ．
题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值
1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+2=0两个实数根的倒数和为1，则m=（ ）
A．−2或0B．2或0C．2D．0
2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1,x2，x1−x2+2(x1−x2−2)+2x1x2 =−3，则k的值（ ）
A．0或2B．-2或2C．-2D．2
3．（2021上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的两根分别是x1、x2，且x2x1+x1x2=x1·x2，则k的值是 ．
4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值．
题型18 与根与系数有关的新定义问题
1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a2+ab−2+4，例如3★7=32+3×7−2+4=28，若方程x★m=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（ ）
A．−2B．−3C．−4D．−5
2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则nm+mn的值为 ．
3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2是关于x的一元二次方程x2−5x+4=0的两个实数根，则x1※x2= ．
题型19 构造一元二次方程求代数式的值
1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2+m=4，n2+n=4，那么代数式3n2−mn−3m的值是（ ）
A．19B．18C．16D．15
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当a=b时，a的值是 ．
（2）当a≠b时，代数式ba+ab的值是 ．
3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题：
材料一：已知实数a，ba≠b满足a2+3a−1=0，b2+3b−1=0，则可将a，b看作一元二次方程x2+3x−1=0的两个不相等的实数根．
材料二：已知实数a，bab≠1满足2a2−3a+1=0，b2−3b+2=0，将b2−3b+2=0两边同除以b2，得1−3b+2b2=0，即21b2−31b+1=0，则可将a，1b看作一元二次方程2x2−3x+1=0的两个不相等的实数根．
请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题：
(1)已知实数a，ba≠b满足a2−7a−2=0，b2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值；
(2)已知实数a，b满足3a2−5a+1=0，b2−5b+3=0，且ab≠1，求3ab+3ab+4a+1的值．
题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用
1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x的方程x2−2mx+m2−9=0．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为x1,x2，若x1+x2=6，求m的值．
2．（2012·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.
3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2倍，求m的值．
题型21 分裂（传播）问题
1．（2019·黑龙江伊春·统考中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2022上·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（ ）
A．1+x2=43B．1+x+x2=43C．x+x2=43D．(1+x)2=43
3．（2023·安徽六安·统考三模）春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有4人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
题型22 碰面（循环）问题
1．（2020·广西河池·统考中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2022·黑龙江鸡西·鸡西市第一中学校校考一模）毕业前夕，九年级（11）班的同学每人将一份礼物与其他每一位同学互赠，作为珍贵的纪念，全班共增出1980件礼物，那么这个班级共有学生（ ）
A．40人B．42人C．44人D．45人
3．（2022·广西柳州·统考模拟预测）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛72家，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．12x(x+1)=72B．12x(x−1)=72C．x(x+1)=72D．x(x−1)=72
题型23 增长率问题
1．（2022·广西河池·统考中考真题）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A．30（1+x）2＝50B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50D．30（1﹣x2）＝50
2．（2020·浙江衢州·统考中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=442
3．（2023·广东广州·统考二模）我市某景区今年3月份接待游客人数为10万人，5月份接待游客人数增加到12.1万人．
(1)求这两个月游客人数的月平均增长率；
(2)若月平均增长率不变，预计6月份的游客人数是多少？
题型24 营销问题
1．（2023·山东潍坊·统考一模）某服装销售商用48000元购进了一批时髦服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．
(1)该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？
(2)该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？
2．（2023·广西桂林·统考一模）小王计划经营某种时尚产品的专卖店，已知该产品的进货价为70元/件，售价不能低于80元/件，专卖店每月有800元的固定成本开支，根据市场调研，产品的销售量y（件）随着产品的售价x（元/件）的变化而变化，销售量y与售价x之间的部分对应关系如表：
(1)求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(2)小王预计每月盈利8200元，为尽可能让利于顾客，则该产品的售价每件应定为多少元？
题型25 与图形有有关的问题
1．（2022·山东德州·统考二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为48cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52 m，宽为28 m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？
3．（2023·福建泉州·统考一模）我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺．将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？
1．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的一元二次方程kx2−2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k<13B．k≤13C．k<13且k≠0D．k≤13且k≠0
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥−1B．m≤1C．m≥−1且m≠0D．m≤1且m≠0
3．（2023·天津·统考中考真题）若x1,x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
A．x1+x2=6B．x1+x2=−6C．x1·x2=76D．x1·x2=7
4．（2023·北京·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．−9B．−94C．94D．9
5．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程x2−6x+8=0，配方后得到的方程是（ ）
A．x+62=28B．x−62=28C．x+32=1D．x−32=1
6．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−8x+m=0两根为x1、x2，且x1=3x2，则m的值为（ ）
A．4B．8C．12D．16
7．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程x2−5x+2=0根的判别式的值是（ ）
A．33B．23C．17D．17
8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2−21+2c=（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
9．（2023·四川巴中·统考中考真题）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)n展开式的系数规律．
1 (a+b)0=1
1 1 (a+b)1=a+b
1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
当代数式x4−12x3+54x2−108x+81的值为1时，则x的值为（ ）
A．2B．−4C．2或4D．2或−4
10．（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且m
11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（ ）
A．5mB．70mC．5m或70mD．10m
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）若m是方程x2−2x−1=0的根，则m2+1m2= ．
13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为 ，另一个根为 ．
14．（2023·江苏镇江·统考中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为 ．
15．（2023·四川达州·统考中考真题）已知x1,x2是方程2x2+kx−2=0的两个实数根，且x1−2x2−2=10，则k的值为 ．
16．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是 尺．
18．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求m的值．
19．（2023·四川遂宁·统考中考真题）我们规定：对于任意实数a、b、c、d有[a,b]∗[c,d]=ac−bd，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2]∗[5,1]=3×5−2×1=13．
(1)求[−4,3]∗[2,−6]的值；
(2)已知关于x的方程[x,2x−1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围．
20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b=2,c=1；②b=3,c=1；③b=3,c=−1；④b=2,c=2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为a cm、b cm、c cm、d cm．若纸张大小为16cm×10cm，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？
1．（2023·安徽·统考中考真题）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为 ；
(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×52，……，第n个图案中“★”的个数可表示为______________．
【规律应用】
(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．
2．（2023·浙江·统考中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．
（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
3．（2023·湖北黄石·统考中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当m=1时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
(1)求黄金分割数；
(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4，且b≠−2a，求ab的值；
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q2+nq−1=p，求pq−n的值．
已知实数a,b同时满足a2+2a=b+2, b2+2b=a+2，求代数式ba+ab的值．
售价x（元/件）
80
82
84
86
…
销售量y（件）
500
490
480
470
…
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