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第23讲 特殊四边形-矩形（19题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第23讲 特殊四边形-矩形（19题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第23讲特殊四边形-矩形练习原卷版docx、第23讲特殊四边形-矩形练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共210页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第23讲 特殊四边形-矩形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156922769" 题型01 利用矩形的性质求角度
\l "_Tc156922770" 题型02 利用矩形的性质求线段长
\l "_Tc156922771" 题型03 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156922772" 题型04 求矩形在坐标系中的坐标
\l "_Tc156922773" 题型05 根据矩形的性质证明
\l "_Tc156922774" 题型06 矩形的判定定理的理解
\l "_Tc156922775" 题型07 添加一个条件使四边形是矩形
\l "_Tc156922776" 题型08 证明四边形是矩形
\l "_Tc156922777" 题型09 根据矩形的性质与判定求角度
\l "_Tc156922778" 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156922779" 题型11 根据矩形的性质与判定求面积
\l "_Tc156922780" 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156922781" 题型13 与矩形有关的新定义问题
\l "_Tc156922782" 题型14 与矩形有关的规律探究问题
\l "_Tc156922783" 题型15 与矩形有关的动点问题
\l "_Tc156922784" 题型16 矩形与一次函数综合
\l "_Tc156922785" 题型17 矩形与反比例函数综合
\l "_Tc156922786" 题型18 矩形与二次函数综合
\l "_Tc156922787" 题型19 与矩形有关的折叠问题
题型01 利用矩形的性质求角度
1．（2023·山东临沂·统考二模）两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α−90°B．α−45°C．180°−αD．270°−α
2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（ ）
A．130°B．65°C．50°D．25°
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α，则∠BFE的度数为（ ）
A．90°−32αB．90°−12αC．αD．90°−α
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，以AB为边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接CF，则∠DFC的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
题型02 利用矩形的性质求线段长
5．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB=12，BC=16，则EF的长为（ ）
A．8B．15C．16D．24
6．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
A．92B．25C．32D．3210
7．（2022·江西·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若AC=10，则四边形OCED的周长是 ．
8．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
题型03 利用矩形的性质求面积
9．（2023·浙江温州·模拟预测）如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A．S1=S2B．S1=S3C．AB=ADD．EH=GH
10．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．32cmB．3cmC．4cmD．6cm
11．（2022·广东广州·统考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，AC=10，EF=1.05，OE=3.75，则矩形ABCD的面积为 ．
12．（2022·四川成都·统考二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
13．（2022·广东阳江·统考一模）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
题型04 求矩形在坐标系中的坐标
14．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（ ）
A．(−6,3)B．(3,−6)C．(−6,−3)D．(−3,−6)
15．（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A1,0，D0,2，B5,2，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ）
A．4,−2B．42,−22C．42,−2D．26,−22
16．（2020·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）
17．（2022·辽宁铁岭·统考一模）如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A6,0，C0,4，经过点D的反比例函数的图象交AB于点P，则点P的坐标为 ．
题型05 根据矩形的性质证明
18．（2023·山东德州·统考三模）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
19．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
20．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
(2)若cs∠E=35，CE=12，求矩形ABCD的面积．
21．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)小亮判断点F为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，从而得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC，
∵AB∥DC，
∴①___________，
∵∠EAB=∠ACD，
∴∠EAB=∠BAC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°，
∴②___________，
∴AE=AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴③___________，
∵AD=BC，
∴AD=BE，
∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE，
∴④___________AAS，
∴EF=FD，
∴点F为ED的中点．
题型06 矩形的判定定理的理解
22．（2023·山东德州·统考二模）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
23．（2022·河南新乡·校考一模）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分
24．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题：
①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形．
其中所有真命题的序号是 ．
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
25．（2023·河北沧州·校考一模）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=ACB．AC⊥BDC．AB=ADD．AC=BD
26．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
27．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
题型08 证明四边形是矩形
28．（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
29．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE=DF；
(2)设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
30．（2023·山东青岛·一模）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
31．（2022·河南郑州·校联考一模）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≅△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
32．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
33．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）求证：BE=BC．
（2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数．
34．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE．
(1)如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
(2)当扇形的半径长为10，且AC=12时，求线段DE的长；
(3)连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
35．（2022·河南商丘·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为 ．
36．（2022·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=4，则BC的长为 ．
37．（2020·四川南充·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF,OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长．
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
38．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6B．12C．24D．48
39．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
40．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
41．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
42．（2019·广东·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
43．（2018·山东临沂·校联考三模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①ΔODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④SΔAOE=SΔCOE，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
44．（2021·广东东莞·校考一模）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③D．①②③④
45．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
46．（2023·湖北黄冈·三模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
题型13 与矩形有关的新定义问题
47．（2020·广东深圳·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．﹣12B．0C．4D．16
48．（2023·陕西咸阳·统考二模）【定义新知】
如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．
(1)图1中叠合△BCE的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将▱ABCD纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求叠合矩形MNPQ的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．
49．（2023·广东广州·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M22,2，M33,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
(2)点G2,2是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线GH的解析式是y2=___________．当y1>y2时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
50．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，点F是矩形边上一动点，将线段BF绕点F顺时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把△BEF定义为“转角三角形”．
(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角△BEF”一定是一个___三角形；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当点F与点C重合时，画出这个“转角△BEF″，并求出点E的坐标；
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当“转角△BEF″面积最大时，求点F的坐标．
题型14 与矩形有关的规律探究问题
51．（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
52．（2018·广东深圳·统考一模）如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为24，那么四边形AnBnCnDn的面积为 ．
题型15 与矩形有关的动点问题
53．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
54．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
55．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿直线EF折叠，使得点C的对应点为点C'．则：
（1）点F在运动过程中，BC'的最小值为 ；
（2）点F在BA上运动，点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的路程为 ．
56．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，连接EF．
(1)求tan∠PEF的值；
(2)如图2，连接EM，点Q是EM的中点．
①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；
②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．
57．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．设移动的时间为ts．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当t为何值时，P、Q两点的距离是10cm ？
题型16 矩形与一次函数综合
58．（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A−4，0，与y轴交于点B0，3，若点P为线段AB上一动点，过P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，则线段EF的最小值为（ ）
A．5B．2.4C．2.5D．3
59．（2020·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（-2，0），B（0，-23）、过D（1，0）作平行于y轴的直线l；
（1） 求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为____ ____.
（3）M（s，t）为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M，N点的坐标；
60．（2021上·陕西铜川·八年级统考期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数y=−3x+23的图象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A；过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AC的长为______，∠ACO=______度．
（2）将图2中的△ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图②，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使△AOC与△MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型17 矩形与反比例函数综合
61．（2023·山东威海·统考一模）如图，矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA,OC的中点，AN与BM交于点E，且四边形EMON的面积为1，则经过点B的反比例函数的解析式为 ．
62．（2023·河南周口·校联考二模）如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点B0,−2，与x轴交于点E32,0，与反比例函数y=kx（x>0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的左边）．
(1)求一次函数的表达式及反比例函数的表达式．
(2)求点C的坐标．
63．（2023·四川成都·统考一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为4,3，反比例函数y=kxk>0的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落在点D处．
(1)如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
(2)如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；
(3)如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．
64．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，已知直线y=-34x上一点B，由点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，5)．
(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．
(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．
65．（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝38S矩形OABC．
(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
66．（2022·河南濮阳·统考一模）如图，矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴的正半轴上，且AB=2单位长，BC=6单位长（单位长指坐标长度），反比例函数y=kxx>0与AD、BC分别相交于点E、F．
(1)若点A的横坐标为2，且E是AD的中点，求k；
(2)在（1）确定的反比例函数关系式下，推动矩形ABCD在x轴的正半轴上移动，当S四边形ABFE=S四边形CDEF时，求点A的坐标．
题型18 矩形与二次函数综合
67．（2023·广东汕尾·统考二模）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为3，0，点C的坐标为0，6，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，填空：线段AP= ，BQ= ；
(2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
(3)当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MEQ？若存在，求出抛物线的解析式并直接写出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
68．（2023·广东河源·统考三模）如图1，抛物线y=233x2+bx+c过B3,0，C0,−33两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)求抛物线y=233x2+bx+c的表达式；
(2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
69．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，并且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ的中点．
(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，
①点M恰好在线段AB上时，试求x的值；
②设MB2=y，试求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值．
70．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+ax+b经过点A−1,0、B3,0．点P是该抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求a，b的值；
(2)当m≠0时，设抛物线与y轴交于点C，求满足S△PAB=S△ABC的所有点P的坐标；
(3)以Em2,−1为对称中心构造矩形PQMN,PQ⊥x轴．
①当点P在抛物线对称轴右侧且矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点时，求抛物线在矩形内部的图象（包括边界）最高点与最低点纵坐标的差ℎℎ>0与m的函数关系式；
②已知点F0,−m2，以P、Q、M、F为顶点的四边形面积记作S1，以P、Q、N，F为顶点的四边形面积记作S2，矩形PQMN的面积记作S，当抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升或逐渐下降且S1+S2=32S时，直接写出m的取值范围．
71．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）经过点(0,−4)，其对称轴是直线x=1．点A在拋物线的图象上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为(m,2−m)，(1−m,2−m)，点C在点B左侧，点D在坐标平面内，且四边形ABCD为矩形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点A，B重合时，求m的值；
(3)当该抛物线在矩形ABCD内部的部分图象对应的函数值y随x的增大而减小时，求出m的取值范围．
题型19 与矩形有关的折叠问题
72．（2023·山西吕梁·统考三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
A．56B．53C．2D．3
73．（2020·河南·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上，且对应点为D'，当△APD'是直角三角形时，PD的长为 ．
74．（2023·安徽·校联考二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点B，C分别落在点B1,C1的位置．若∠1=α，则∠2=（ ）
A．αB．α−30° C．30°−2α D．2α−90°
75．（2023·陕西榆林·校考三模）如图是一张矩形纸片ABCD,AB=4cm，点E为边BC上一点，且EC=2，连接AE，若将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，则AD的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
76．（2023·广东河源·二模）如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
(1)求证：△EMC∽△ABM；
(2)设CEDE=λ，若sin∠EAM=35，求λ的值．
77．（2022·上海浦东新·校考模拟预测）如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为−4，0，点C的坐标为0，m(m>0)，点D−1，m在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m=3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
78．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值．
79．（2023·河南周口·校联考三模）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形ABCD 按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B'，折痕为EF，若△CEF为等边三角形．
(1)请解答老师提出的问题：
试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若∠A=45°,AC=2，
①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；
②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB=AC=5，BC=2，∠ACD=45°，请直接写出线段BD的长．
80．（2023·吉林长春·校联考二模）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】：
(1)如图①，四边形AEA'D的形状是 ；
(2)如图②，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
(3)如图②，若AC'=3cm，DC'=6cm，则MC'= ，DNEN＝ ．
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（ ）
A．AC平分∠BADB．AB=BCC．AC=BDD．AC⊥BD
2．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（ ）
A．32B．1C．233D．2
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM=1，BN=2，则BD的长为（ ）
A．23B．3C．25D．32
4．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CDB．AD=BCC．∠A=∠BD．∠A=∠D
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）
A．1,2B．−1,2C．5−1,2D．1−5,2
6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14AB，反比例函数y=kxk>0的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD,OM,DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若∠AOB=60°，则ABBC=（ ）
A．12B．3−12C．32D．33
8．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O为矩形ABCD的对称中心B．点O为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴D．直线AC为线段BD的对称轴
9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
二、填空题
10．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是 ．
11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8,AD=DE=10，则BF的长为 ．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45，则DE= ．
13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c0≤x≤3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
三、解答题
14．（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交于点N．
【猜想】】MN=CN
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠
∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）
∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点0
(1)求证：GE=GF；
(2)当AE=2DG时，求AE的长；
(3)令AE=a，DG=b．
①求证：4−a4−b=4；
②如图2，连接OB'，OD，分别交AD，B'F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2.当a=1时，求S1S2的值．
16．（2023·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
17．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，将矩形ABCD (AD>AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．
(1)求证：BE=BG．
(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．
18．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF=CE．
19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C'，D'，连接AD'交BC'于点F．
(1)若∠DED'=70°，求∠DAD'的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由．
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD=13，CF=5，求四边形ABCE的面积．
21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
22．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连接EF．
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF=2，CE=4，求点C到EF的距离．
23．（2023·山东潍坊·统考中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
24．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE=y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−42【抽象回归 拓展总结】
（4）若将（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是__________；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
25．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第23讲 特殊四边形-矩形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156922769" 题型01 利用矩形的性质求角度
\l "_Tc156922770" 题型02 利用矩形的性质求线段长
\l "_Tc156922771" 题型03 利用矩形的性质求面积
\l "_Tc156922772" 题型04 求矩形在坐标系中的坐标
\l "_Tc156922773" 题型05 根据矩形的性质证明
\l "_Tc156922774" 题型06 矩形的判定定理的理解
\l "_Tc156922775" 题型07 添加一个条件使四边形是矩形
\l "_Tc156922776" 题型08 证明四边形是矩形
\l "_Tc156922777" 题型09 根据矩形的性质与判定求角度
\l "_Tc156922778" 题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
\l "_Tc156922779" 题型11 根据矩形的性质与判定求面积
\l "_Tc156922780" 题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156922781" 题型13 与矩形有关的新定义问题
\l "_Tc156922782" 题型14 与矩形有关的规律探究问题
\l "_Tc156922783" 题型15 与矩形有关的动点问题
\l "_Tc156922784" 题型16 矩形与一次函数综合
\l "_Tc156922785" 题型17 矩形与反比例函数综合
\l "_Tc156922786" 题型18 矩形与二次函数综合
\l "_Tc156922787" 题型19 与矩形有关的折叠问题
题型01 利用矩形的性质求角度
1．（2023·山东临沂·统考二模）两个矩形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=（ ）
A．α−90°B．α−45°C．180°−αD．270°−α
2．（2023·广东深圳·校考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB=25°，则∠AOB的大小是（ ）
A．130°B．65°C．50°D．25°
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F为AC上一点，AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=α，则∠BFE的度数为（ ）
A．90°−32αB．90°−12αC．αD．90°−α
4．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，以AB为边在矩形内作等边△ABE，延长BE交AD于点F，连接CF，则∠DFC的度数为（ ）
A．60°B．70°C．75°D．80°
题型02 利用矩形的性质求线段长
5．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若AB=12，BC=16，则EF的长为（ ）
A．8B．15C．16D．24
6．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，两点E，F分别在矩形ABCD的AD和CD边上，AB=6，AD=8，∠BEF=90°，且BE=EF，点M为BF的中点，则ME的长为（ ）
A．92B．25C．32D．3210
7．（2022·江西·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，CE//BD．若AC=10，则四边形OCED的周长是 ．
8．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 ．
题型03 利用矩形的性质求面积
9．（2023·浙江温州·模拟预测）如图是一个由5张纸片拼成的▱ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A．S1=S2B．S1=S3C．AB=ADD．EH=GH
10．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（ ）
A．32cmB．3cmC．4cmD．6cm
11．（2022·广东广州·统考二模）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作OE⊥BD，交AB于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F，AC=10，EF=1.05，OE=3.75，则矩形ABCD的面积为 ．
12．（2022·四川成都·统考二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为 ．
13．（2022·广东阳江·统考一模）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
题型04 求矩形在坐标系中的坐标
14．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，长方形ABCD如图所示，A(−6,2),B(2,2),C(2,−3)，则点D的坐标为（ ）
A．(−6,3)B．(3,−6)C．(−6,−3)D．(−3,−6)
15．（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A1,0，D0,2，B5,2，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ）
A．4,−2B．42,−22C．42,−2D．26,−22
16．（2020·吉林·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）
17．（2022·辽宁铁岭·统考一模）如图，点D是矩形ABCO的对称中心，点A6,0，C0,4，经过点D的反比例函数的图象交AB于点P，则点P的坐标为 ．
题型05 根据矩形的性质证明
18．（2023·山东德州·统考三模）如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O．BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由;
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
19．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
20．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
(2)若cs∠E=35，CE=12，求矩形ABCD的面积．
21．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）如图，四边形ABCD为矩形，AC为矩形的一条对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：在AB的左侧作∠EAB=∠ACD，射线AE与CB的延长线交于点E．连接DE与AB交于点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
(2)小亮判断点F为线段DE的中点．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明△AEC为等腰三角形，从而得到点B为EC的中点，再利用三角形全等，得到点F为DE的中点．请根据小亮的思路完成下面的填空：
证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB∥DC，
∵AB∥DC，
∴①___________，
∵∠EAB=∠ACD，
∴∠EAB=∠BAC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠EAB+∠AEB=90°，
∴②___________，
∴AE=AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴③___________，
∵AD=BC，
∴AD=BE，
∵∠BAD=∠ABE=90°，∠AFD=∠BFE，
∴④___________AAS，
∴EF=FD，
∴点F为ED的中点．
题型06 矩形的判定定理的理解
22．（2023·山东德州·统考二模）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
23．（2022·河南新乡·校考一模）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）
A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分
24．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列命题：
①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，则四边形ABCD是平行四边形；
③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD是矩形；
④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是矩形．
其中所有真命题的序号是 ．
题型07 添加一个条件使四边形是矩形
25．（2023·河北沧州·校考一模）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．AB=ACB．AC⊥BDC．AB=ADD．AC=BD
26．（2022·北京西城·统考一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
27．（2022·北京海淀·北京市十一学校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
题型08 证明四边形是矩形
28．（2023·广东汕头·校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
29．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．
(1)求证：BE=DF；
(2)设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
30．（2023·山东青岛·一模）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG=CE，连接DG、DE、FG．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AD=2AB，求证：四边形DEFG是矩形．
31．（2022·河南郑州·校联考一模）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG=DE，分别连接AE，AG，FG．
（1）求证：△BCE≅△FDE；
（2）当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．
题型09 根据矩形的性质与判定求角度
32．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
33．（2020·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED．
（1）求证：BE=BC．
（2）若BE=DC+DE，求∠BEC的度数．
34．（2023·广东珠海·珠海市九洲中学校考一模）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为AB上一动点，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E，连接AE．
(1)如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
(2)当扇形的半径长为10，且AC=12时，求线段DE的长；
(3)连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
题型10 根据矩形的性质与判定求线段长
35．（2022·河南商丘·校考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E为射线AD上的动点（不与点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为A'，连接A'B，A'D，A'C，当△A'BC是以BC为底边的等腰三角形时，AE的长为 ．
36．（2022·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD的对称中心O处，若AB=4，则BC的长为 ．
37．（2020·四川南充·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF=CE，连接AF,OF．
(1)求证：四边形AFED是矩形．
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°，试求OF的长．
题型11 根据矩形的性质与判定求面积
38．（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（ ）
A．6B．12C．24D．48
39．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
40．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．
41．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若AB=2，求△BOE的面积．
题型12 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
42．（2019·广东·统考一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：
①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；
③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC；
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
43．（2018·山东临沂·校联考三模）如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①ΔODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④SΔAOE=SΔCOE，其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
44．（2021·广东东莞·校考一模）如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB：S四边形CBFG＝1：2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ•AC，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③④C．①②③D．①②③④
45．（2019·广东深圳·统考二模）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为234﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
46．（2023·湖北黄冈·三模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
题型13 与矩形有关的新定义问题
47．（2020·广东深圳·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P(m，n)是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．﹣12B．0C．4D．16
48．（2023·陕西咸阳·统考二模）【定义新知】
如图1，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形(△BCE)，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形．
(1)图1中叠合△BCE的底边BC与高EF的长度之比为_______；
(2)将▱ABCD纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形MNPQ，若AD=13，MN=5，求叠合矩形MNPQ的面积；
【问题解决】
(3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足AB∥CD，AB⊥BC，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．
①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长；
②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长．
49．（2023·广东广州·校考一模）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M22,2，M33,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
(2)点G2,2是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线GH的解析式是y2=___________．当y1>y2时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
50．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，点F是矩形边上一动点，将线段BF绕点F顺时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把△BEF定义为“转角三角形”．
(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角△BEF”一定是一个___三角形；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当点F与点C重合时，画出这个“转角△BEF″，并求出点E的坐标；
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当“转角△BEF″面积最大时，求点F的坐标．
题型14 与矩形有关的规律探究问题
51．（2022·河北唐山·统考二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kxx>0的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律可得：
（1）点P2的坐标为
（2）作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为 ．
52．（2018·广东深圳·统考一模）如图：顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，…，按此规律得到四边形AnBnCnDn．若矩形A1B1C1D1的面积为24，那么四边形AnBnCnDn的面积为 ．
题型15 与矩形有关的动点问题
53．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
54．（2022·江苏无锡·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为 ．
55．（2022·安徽·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿直线EF折叠，使得点C的对应点为点C'．则：
（1）点F在运动过程中，BC'的最小值为 ；
（2）点F在BA上运动，点C'恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），点F运动的路程为 ．
56．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知：如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是AD的中点，点F是AB上的动点，连接FP并延长交CD的延长线于点M，过点P作PE⊥FM，交直线BC于点E，连接EF．
(1)求tan∠PEF的值；
(2)如图2，连接EM，点Q是EM的中点．
①当∠AFP=2∠BEF时，求PQ的长；
②点F从A点运动到B点的过程中，求点Q经过的路径长．
57．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从点A、C 同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．设移动的时间为ts．
(1)当t为何值时，P、Q两点的距离最小？最小距离是多少？
(2)当t为何值时，P、Q两点的距离是10cm ？
题型16 矩形与一次函数综合
58．（2022下·贵州安顺·八年级统考期末）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A−4，0，与y轴交于点B0，3，若点P为线段AB上一动点，过P分别作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，则线段EF的最小值为（ ）
A．5B．2.4C．2.5D．3
59．（2020·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图像经过点A（-2，0），B（0，-23）、过D（1，0）作平行于y轴的直线l；
（1） 求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为____ ____.
（3）M（s，t）为直线l上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则求M，N点的坐标；
60．（2021上·陕西铜川·八年级统考期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数y=−3x+23的图象与x轴，y轴分别交于点A和点C，过点A作AB⊥x轴，垂足为点A；过点C作CB⊥y轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
（1）线段AC的长为______，∠ACO=______度．
（2）将图2中的△ABC折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图②，求线段AD的长；
（3）点M是直线AC上一个动点（不与点A、点C重合）．过点M的另一条直线MN与y轴相交于点N．是否存在点M，使△AOC与△MCN全等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型17 矩形与反比例函数综合
61．（2023·山东威海·统考一模）如图，矩形OABC的两边OA,OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA,OC的中点，AN与BM交于点E，且四边形EMON的面积为1，则经过点B的反比例函数的解析式为 ．
62．（2023·河南周口·校联考二模）如图，一次函数y=mx+n的图象与y轴交于点B0,−2，与x轴交于点E32,0，与反比例函数y=kx（x>0）的图象交于点D．以BD为对角线作矩形ABCD，使顶点A，C落在x轴上（点A在点C的左边）．
(1)求一次函数的表达式及反比例函数的表达式．
(2)求点C的坐标．
63．（2023·四川成都·统考一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为4,3，反比例函数y=kxk>0的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落在点D处．
(1)如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；
(2)如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；
(3)如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．
64．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）如图，已知直线y=-34x上一点B，由点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，若A点的坐标为(0，5)．
(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．
(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．
65．（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝kx（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝38S矩形OABC．
(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
(2)连接PO、PC，求PO+PC的最小值；
(3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
66．（2022·河南濮阳·统考一模）如图，矩形ABCD放置在平面直角坐标系中，点A、点B在x轴的正半轴上，且AB=2单位长，BC=6单位长（单位长指坐标长度），反比例函数y=kxx>0与AD、BC分别相交于点E、F．
(1)若点A的横坐标为2，且E是AD的中点，求k；
(2)在（1）确定的反比例函数关系式下，推动矩形ABCD在x轴的正半轴上移动，当S四边形ABFE=S四边形CDEF时，求点A的坐标．
题型18 矩形与二次函数综合
67．（2023·广东汕尾·统考二模）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为3，0，点C的坐标为0，6，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止，设运动时间为t秒．
(1)当t=2时，填空：线段AP= ，BQ= ；
(2)当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
(3)当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MEQ？若存在，求出抛物线的解析式并直接写出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
68．（2023·广东河源·统考三模）如图1，抛物线y=233x2+bx+c过B3,0，C0,−33两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC方向运动，设运动的时间为t秒．
(1)求抛物线y=233x2+bx+c的表达式；
(2)如图1，过点M作DE⊥x轴于点D，交抛物线于点E，当t=1时，求四边形OBEC的面积；
(3)如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，将△BMN绕点M逆时针旋转180°得到△GMF．
①当点N运动到多少秒时，四边形NBFG是菱形；
②当四边形NBFG是矩形时，将矩形NBFG沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标．
69．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，矩形ABCD中，点P在边CD上，并且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ的中点．
(1)求证：△ADP∽△ABQ；
(2)若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，
①点M恰好在线段AB上时，试求x的值；
②设MB2=y，试求y与x的函数关系式，并求线段BM长的最小值．
70．（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+ax+b经过点A−1,0、B3,0．点P是该抛物线上一点，横坐标为m．
(1)求a，b的值；
(2)当m≠0时，设抛物线与y轴交于点C，求满足S△PAB=S△ABC的所有点P的坐标；
(3)以Em2,−1为对称中心构造矩形PQMN,PQ⊥x轴．
①当点P在抛物线对称轴右侧且矩形PQMN的边与抛物线有且仅有两个交点时，求抛物线在矩形内部的图象（包括边界）最高点与最低点纵坐标的差ℎℎ>0与m的函数关系式；
②已知点F0,−m2，以P、Q、M、F为顶点的四边形面积记作S1，以P、Q、N，F为顶点的四边形面积记作S2，矩形PQMN的面积记作S，当抛物线在矩形内部的图象（不包括边界）从左至右逐渐上升或逐渐下降且S1+S2=32S时，直接写出m的取值范围．
71．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）经过点(0,−4)，其对称轴是直线x=1．点A在拋物线的图象上，其横坐标为m，点B，C的坐标分别为(m,2−m)，(1−m,2−m)，点C在点B左侧，点D在坐标平面内，且四边形ABCD为矩形．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点A，B重合时，求m的值；
(3)当该抛物线在矩形ABCD内部的部分图象对应的函数值y随x的增大而减小时，求出m的取值范围．
题型19 与矩形有关的折叠问题
72．（2023·山西吕梁·统考三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E是AB上一点，点F是BC上一点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在AD的中点处，则AE的长为（ ）
A．56B．53C．2D．3
73．（2020·河南·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上，且对应点为D'，当△APD'是直角三角形时，PD的长为 ．
74．（2023·安徽·校联考二模）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点B，C分别落在点B1,C1的位置．若∠1=α，则∠2=（ ）
A．αB．α−30° C．30°−2α D．2α−90°
75．（2023·陕西榆林·校考三模）如图是一张矩形纸片ABCD,AB=4cm，点E为边BC上一点，且EC=2，连接AE，若将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，则AD的长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
76．（2023·广东河源·二模）如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．
(1)求证：△EMC∽△ABM；
(2)设CEDE=λ，若sin∠EAM=35，求λ的值．
77．（2022·上海浦东新·校考模拟预测）如图1，将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为−4，0，点C的坐标为0，m(m>0)，点D−1，m在边BC上，将△ABD沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．
(1)如图2，当m=3时，抛物线过点A、E、C，求抛物线解析式；
(2)如图3，随着m的变化，点E正好落在y轴上，求∠BAD的余切值；
(3)若点E横坐标坐标为1，抛物线y=ax2+2ax+10(a≠0且a为常数)的顶点落在△ADE的内部，求a的取值范围．
78．（2023·广东深圳·深圳市龙岗区坪地中学校考一模）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
(1)如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
(2)如图②，当AB=5，且AF·FD=10时，求EF的长；
(3)如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值．
79．（2023·河南周口·校联考三模）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，老师将矩形ABCD 按如图①所示方式折叠，使点A与点C重合，点B的对应点为B'，折痕为EF，若△CEF为等边三角形．
(1)请解答老师提出的问题：
试猜想AB与AD的数量关系，并加以证明．
【实践探究】
(2)小明受到此问题启发，将△ABC纸片按如图②所示方式折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若∠A=45°,AC=2，
①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；
②若点D为EF的中点，连接CD，求CD的长；
【问题解决】
(3)小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将△ABC折叠，使点A与点C重合，点D为折痕所在直线上一点，若AB=AC=5，BC=2，∠ACD=45°，请直接写出线段BD的长．
80．（2023·吉林长春·校联考二模）【实践操作】：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．
第二步：如图②，将图中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C'处，点B落在B'处，得到折痕EF，B'C'交AB于点M，C'F交DE于点N，再把纸片展平．
【问题解决】：
(1)如图①，四边形AEA'D的形状是 ；
(2)如图②，线段MC'与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；
(3)如图②，若AC'=3cm，DC'=6cm，则MC'= ，DNEN＝ ．
一、单选题
1．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（ ）
A．AC平分∠BADB．AB=BCC．AC=BDD．AC⊥BD
2．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（ ）
A．32B．1C．233D．2
3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM=1，BN=2，则BD的长为（ ）
A．23B．3C．25D．32
4．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AB∥CDB．AD=BCC．∠A=∠BD．∠A=∠D
5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（ ）
A．1,2B．−1,2C．5−1,2D．1−5,2
6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD=14AB，反比例函数y=kxk>0的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD,OM,DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O．若∠AOB=60°，则ABBC=（ ）
A．12B．3−12C．32D．33
8．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．点O为矩形ABCD的对称中心B．点O为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴D．直线AC为线段BD的对称轴
9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB=2，BC=4，则四边形EFGH的面积为（ ）
A．2B．4C．5D．6
二、填空题
10．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OB，OA分别在x轴、y轴正半轴上，点D在BC边上，将矩形AOBC沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的点E处．若OA=8，OB=10，则点D的坐标是 ．
11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB=8,AD=DE=10，则BF的长为 ．
12．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC=10．sin∠AFB=45，则DE= ．
13．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c0≤x≤3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
三、解答题
14．（2023·青海西宁·统考中考真题）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交于点N．
【猜想】】MN=CN
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠
∴∠CMD=
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC（矩形的对边平行）
∴∠CMD= （ ）
∴ = （等量代换）
∴MN=CN（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，折痕为ME．
（1）猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；
（2）若CD=2，MD=4，求EC的长．
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图1，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=4，AD=8，点E为AD边上一点0
(1)求证：GE=GF；
(2)当AE=2DG时，求AE的长；
(3)令AE=a，DG=b．
①求证：4−a4−b=4；
②如图2，连接OB'，OD，分别交AD，B'F于点H，K.记四边形OKGH的面积为S1，△DGK的面积为S2.当a=1时，求S1S2的值．
16．（2023·山东淄博·统考中考真题）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．
(1)操作判断
小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．
试判断：△ACF的形状为________．
(2)深入探究
小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2，AD=4．
探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF的面积．
探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．
求线段DH长度的最大值和最小值．
17．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，将矩形ABCD (AD>AB)沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．
(1)求证：BE=BG．
(2)当r=1，AB=2时，求BC的长．
18．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF=CE．
19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C，D的对应点分别为C'，D'，连接AD'交BC'于点F．
(1)若∠DED'=70°，求∠DAD'的度数；
(2)连接EF，试判断四边形C'D'EF的形状，并说明理由．
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF=90°．
(1)求证：四边形ACFD是矩形；
(2)若CD=13，CF=5，求四边形ABCE的面积．
21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM=CM，请从以下三个选项中①∠1=∠2；②AM=DM；③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形．
(1)你添加的条件是_________（填序号）；
(2)添加条件后，请证明▱ABCD为矩形．
22．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连接EF．
(1)求证：四边形ECFD是矩形；
(2)若CF=2，CE=4，求点C到EF的距离．
23．（2023·山东潍坊·统考中考真题）工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中，裁出一块矩形铁皮制作工件，如图所示．经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB=3米，AF=BC=1米，∠A=∠B=90°，∠C=∠F=135°．MH，HG，GN是工匠师傅画出的裁剪虚线．当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是多少？
24．（2023·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境 建构函数】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4,M是CD的中点，AE⊥BM，垂足为E．设BC=x,AE=y，试用含x的代数式表示y．
【由数想形 新知初探】
（2）在上述表达式中，y与x成函数关系，其图像如图2所示．若x取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图2上补全函数图像．
【数形结合 深度探究】
（3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值y随x的增大而增大；②函数值y的取值范围是−42
（4）若将（1）中的“AB=4”改成“AB=2k”，此时y关于x的函数表达式是__________；一般地，当k≠0,x取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）．
25．（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B,C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
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