第17讲 全等三角形（4考点+26题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第17讲 全等三角形
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156054063" 考点一 全等三角形及其性质
\l "_Tc156054064" 题型01 利用全等三角形的性质求角度
\l "_Tc156054065" 题型02 利用全等三角形的性质求长度
\l "_Tc156054066" 题型03 根据全等的性质判断正误
\l "_Tc156054067" 题型04 利用全等三角形的性质求解
\l "_Tc156054068" 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
\l "_Tc156054069" 考点二 全等三角形的判定
\l "_Tc156054070" 题型01 添加一个条件使两个三角形全等
\l "_Tc156054071" 题型02 添加一个条件仍不能证明全等
\l "_Tc156054072" 题型03 灵活选用判定方法证明全等
\l "_Tc156054073" 题型04 结合尺规作图的全等问题
\l "_Tc156054074" 题型05 全等三角形模型-平移模型
\l "_Tc156054075" 题型06 全等三角形模型-对称模型
\l "_Tc156054076" 题型07 全等三角形模型-一线三等角模型
\l "_Tc156054077" 题型08 全等三角形模型-旋转模型
\l "_Tc156054078" 题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
\l "_Tc156054079" 题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
\l "_Tc156054080" 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
\l "_Tc156054081" 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
\l "_Tc156054082" 题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc156054083" 考点三 角平分线的性质
\l "_Tc156054084" 题型01 利用角平分线的性质求长度
\l "_Tc156054085" 题型02 利用角平分线的性质求面积
\l "_Tc156054086" 题型03 角平分线的判定定理
\l "_Tc156054087" 题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
\l "_Tc156054088" 题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
\l "_Tc156054089" 考点四 全等三角形的应用
\l "_Tc156054090" 题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
\l "_Tc156054091" 题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
\l "_Tc156054092" 题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
考点一 全等三角形及其性质
全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角.
表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上.
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换.
全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等.
2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
3）全等三角形的周长相等、面积相等．
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.

题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△AEC≌△ADB，若∠A=50°,∠ABD=40°，则∠1的度数为（ ）

A．40°B．25°C．15°D．无法确定
【变式1-1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为（ ）
A．105°B．80°C．75°D．45°
【变式1-2】（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC=35°，则∠BFD= ．
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为（ ）

A．3B．7C．8D．以上都不对
【变式2-1】（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，△ABC≌△DEF，DE=5，AE=2，则BE的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【变式2-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，那么BC的长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
题型03 根据全等的性质判断正误
【例3】（2022·天津河西·统考二模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A的对应点为D，AC交DE于点P，连结EC，AD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ED=CBB．∠EBA=60°
C．∠EPC=∠CADD．△ABD是等边三角形
【变式3-1】（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，M在BC上，MB=12MC，如果△ABC绕点M按顺时针方向旋转180°后与△FED重合，则以下结论中不正确的是（ ）
A．△ABC和△FED的面积相等B．△ABC和△FED的周长相等
C．∠A+∠ABC=∠F+∠FDED．AC∥DF，且AC=DF
【变式3-2】（2022·广东深圳·校考一模）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′ACD．B′C平分∠BB′A′
【变式3-3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，△ABC≌△DEF，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ）

A．EF=EC,AB=FCB．EF≠EC,AE=FC
C．EF=EC,AE≠FCD．EF≠EC,AE≠FC
题型04 利用全等三角形的性质求解
【例4】（2023·广东深圳·统考二模）如图，A，B是反比例函数y=kxx>0图象上两点，C−2,0，D4,0，△ACO≌△ODB，则k= ．
【变式4-1】（2022·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的 ．

【变式4-2】（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是3,−3，则B点的坐标是 ．

【变式4-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与△AOB全等，则AD的长为 ．

【变式4-4】（2023·河南三门峡·统考二模）如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=2，BC=4，点D为AB的中点，点E在AB的延长线上，将△DEF绕点D顺时针旋转α度0<α<180得到△DE'F，当△BDE'是直角三角形时，AE'的长为 ．

【变式4-5】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为 ．

题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【例5】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB、EF相交于点G，且△AFG≌△BEG，D在AF上，C在EB延长上，连接DC，若AD=BC，证明：CD=2AG．

【变式5-1】（2023上·江西上饶校考阶段练习）如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系?并说明理由．
【变式5-2】（2023上·山西吕梁阶段练习）如图，已知△ABF≌△DEC，A，F，C，D四点在同一条直线上．

(1)求证：AC=DF；
(2)判断BF与EC的位置关系，并证明．
考点二 全等三角形的判定
一、全等三角形的判定
1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角
从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.
边”或“HL”）．
二、判定两个三角形全等的思路
三、常见的全等三角形模型（基础）
若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
题型01 添加一个条件使两个三角形全等
【例1】（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD： ．
【变式1-1】（2023·福建龙岩·校考一模）如图，AC，BD相交于点O，OB=OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 ．（只写一个）
【变式1-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，RtΔABC和RtΔEDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使RtΔABC和RtΔEDF全等．
【变式1-3】（2022·江苏盐城·统考一模）如图，AE//DF，AE=DF．添加下列条件中的一个：①AB=CD；②EC=BF；③∠E=∠F；④EC//BF．其中能证明△ACE≌△DBF的是 （只填序号）．
题型02 添加一个条件仍不能证明全等
【例2】（2023·广东珠海·统考二模）如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加一个条件后，仍然不能证明△ABC≅△DEF，这个条件可能是（ ）
A．∠A=∠DB．AC∥DFC．BE=CFD．AC=DF
【变式2-1】（2022·广东河源·统考二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DEC．AB∥DED．BF=EC
【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ）
A．∠BAF=∠DAEB．EC=FCC．AE=AFD．BE=DF
题型03 灵活选用判定方法证明全等
【例3】（2023·江西抚州·统考一模）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．

(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【变式3-1】（2022·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=50°，求∠BAC的度数．
【变式3-2】（2018·江苏·无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．

【变式3-3】（2023·江苏南京·校考三模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．

(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠AFC=2∠D，求证：四边形AFCE是菱形．
【变式3-4】（2020·北京朝阳·三模）如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明．
已知：
求证：
证明：
【变式3-5】（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，CE⊥AD延长线于E，且BC=2AE．

(1)求证：AD=CD；
(2)求证：AB2=AD⋅BC．
题型04 结合尺规作图的全等问题
【例4】（2022·江西赣州·统考一模）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作PQ， 交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交PQ于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．MC＝DNB．△COM≌△COD
C．若OM＝MN．则∠AOB＝20°D．MN＝3CD
【变式4-1】（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD．
(1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长．
【变式4-2】（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．
(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，
∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．
【变式4-3】（2022·湖南长沙·模拟预测）人教版初中数学教科书上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
B'C'=BC,A'B'=_____,A'C'=_____,
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
题型05 全等三角形模型-平移模型
【例5】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△DEF可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
【变式5-1】（2020·江苏常州·统考一模）如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．
(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；
(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．
【变式5-2】（2019·河北石家庄·统考一模）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB=∠DBC=90°，AB=6，AC=4.如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接AC1∥AC1.
（1）求证：BD1=AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于__________时，点A与点D1之间的距离最小.

图1 图2
题型06 全等三角形模型-对称模型
【例6】（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．

(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．
【变式6-1】（2021·西藏拉萨·校考一模）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
【变式6-2】（2023·甘肃白银·统考一模）如图，△ABC是等边三角形，D,E 在直线BC上，DB=EC．求证：∠D=∠E ．
【变式6-3】（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
题型07 全等三角形模型-一线三等角模型
【例7】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（ ）
A．（3，1）B．52,32C．−32,52D．（4，1）
【变式7-1】（2022·四川成都·统考二模）如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF= ．

【变式7-2】（2022上·江苏南京·南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为 ．

【变式7-3】（2021上·黑龙江佳木斯·九年级桦南县第四中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．
【变式7-4】（2020·山西晋中·统考一模）阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．

（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y=12x与直线CD交于点M2,1，且两直线夹角为α，且tanα=32，请你求出直线CD的解析式．
（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．
【变式7-5】（2023下·河南洛阳·统考期中）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE的数量关系为： ；
(2)拓展应用：
如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，点D、E在直线l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系．
题型08 全等三角形模型-旋转模型
【例8】（2019·河南·一模）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．
①∠AEC的度数为______；
②线段AE、BD之间的数量关系为______；
（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．
【变式8-1】（2022·湖北十堰·统考一模）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？
【变式8-2】（2022·山东东营·统考二模）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA
（1）如图1：连AM,BN，求证：△AOM≌△BON；
（2）若将△MON绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2；
②当点A,M,N在同一条直线上时，若OB=4,ON=3，请直接写出线段BN的长．
【变式8-3】（2021·山东济南·统考一模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．
(1)问题发现：
如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为 ，∠ACE的度数是 ．
(2)问题探究：
如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．
(3)问题解决：
当∠AEC=30°时，求出线段BO的长
题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
【例9】（2019·山东淄博·统考一模）如图，ΔABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F，BE=AC，且BF=9，CF=6，那么AF的长度为 ．

【变式9-1】（2023·云南昆明·统考二模）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD是△ABC的中线，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造出△BED和△CAD．求证：△BED≌△CAD．

【变式9-2】．（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；
(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；
(3)求证：CE＝12AB．
【变式9-3】（2019·吉林长春·东北师大附中校考二模）【问题提出】
如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BC（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在△ABC中，D为BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的长.
（3）【拓展】
如图③，在△ABC中，∠A=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连接EF．已知BE=4，CF=5，求EF的长.
题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
【例10】（2022上·湖北孝感·统考期中）如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD=12∠BAE．

(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
【变式10-1】（2022上·湖北孝感·统考期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，∠ADC+∠BCD=240°．

(1)求∠AOB的度数；
(2)求证：OD=OC．
【变式10-2】（2020上·北京·校考期中）在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．
(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理由；
(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，DE，AE间的数量关系及理由．
【变式10-3】（2023上·山西朔州·校考期末）（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

利用辅助线构造全等三角形：
1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
【例11】（2022上·贵州黔西·统考期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1B．1.8C．2D．2.5
【变式11-1】（2015上·福建龙岩·阶段练习）如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
【变式11-2】（2019·江苏南京·校考一模）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
【变式11-3】（2021上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考阶段练习）△ABC中，AC=BC，∠C=90∘，CD⊥AB于D，点E在线段BD上，点F在射线CA上，连接CE，DF，满足∠ADF=∠ECB．
(1)如图1，若DF=23，AC=4，求AF的长；
(2)如图2，若AF=BE，求证：BC=2DE；
(3)如图3，将△CDE绕点D逆时针旋转α(0∘<α≤360∘)得到△C'DE'，连接CE'，点P为CE'的中点，连接BP，若EB=43−4，∠DCE=30∘．当BP最小时，直接写出△BCP的面积．
题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
【例12】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，连接CF，则CF的长为
【变式12-1】（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，则点B的坐标为 ．
【变式12-2】（2021上·山东济宁·济宁学院附属中学校考期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=90∘，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④SΔABC=SΔADE，其中正确的结论为（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【变式12-3】（2019·全国·九年级专题练习）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE于F.求证：EF=DF.
题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
【例13】（2022·福建泉州·统考模拟预测）如图，在等边△ABC内有一点D，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，若B、D、E三点在同一直线上，且与AC交于点F．现给出以下结论：①△AED是等边三角形；②∠EAC=∠EBC；③△ADB∽△AFE；④AD∥CE，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式13-1】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(点E不与A、C重合)，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，连接GA，GB，GC，下列结论：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE+CG=2CB；④GA+GB的最小值为25，其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)

【变式13-2】（2023·河北秦皇岛·统考二模）题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB=8cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答：83s，乙答：8s，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【变式13-3】（2022·安徽滁州·统考二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，点M在AD上，连接ME并延长交BC于点N，连接DN交MC于点F．则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式13-4】（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM于点K下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式13-5】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中所有正确的是（ ）

A．①B．①②C．①②③D．①②④
考点三 角平分线的性质
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
1. 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.
题型01 利用角平分线的性质求长度
【例1】（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，以∠AOB的顶点O为圆心作弧与∠AOB的两边交于C，D两点，分别以C，D两点为圆心，大于12CD的长度为半径画弧，两弧交于点E，点P为射线OE上一点，PF⊥OA，且PF=2，则点P到OB的距离为（ ）

A．1B．3C．2D．23
【变式1-1】（2023·广东惠州·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若CD=6，当DE最小时，BE的长度是（ ）

A．3B．2C．3D．23
【变式1-2】（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，若CD=2，则AD的长度为（ ）
A．2B．3C．22D．1+2
【变式1-3】（2022·黑龙江绥化·校考一模）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（ ）
A．3B．23C．1D．2
题型02 利用角平分线的性质求面积
【例2】（2023·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF=DC，△ADE和△ADF的面积分别为a和b，则△DEC的面积为（ ）

A．a+bB．a−bC．a+b2D．a−b2
【变式2-1】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，AE的延长线交BC于点F，若AB=AC=5，BC=6，△BEF与△ABE的面积比为（ ）
A．35B．43C．34D．45
【变式2-2】（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线AD交BC于点E．设△ABE，△ACE的面积分别为S1，S2，则S1S2的值为（ ）
A．12B．13C．22D．1
题型03 角平分线的判定定理
【例3】（2019·河北·模拟预测）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
【变式3-1】（2022·上海徐汇·统考二模）如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．62°B．56°C．52°D．46°
【变式3-2】（2022·辽宁沈阳·统考一模）图，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点D在∠MAN内部，连接BD，CD，BD=CD，作DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，BE=CF，求证：AD是∠MAN的平分线．
【变式3-3】（2023·广东惠州·校联考二模）如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．

(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．
题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
【例4】（2023·福建福州·福建省福州华侨中学校考模拟预测）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，点D落在点F处，现给出以下结论：

①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
②F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式4-1】（2023·福建漳州·统考一模）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，连接OC．现给出以下结论：
①∠ACO=∠BCO；
②若OD=a，AB+BC+CA=b，则S△ABC=ab；
③∠COD=∠BOE；
④当∠ACB=60°时，AF+BE=AB．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式4-2】（2023·黑龙江·统考三模）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH，CH交BE于点F，交BD于点G，连接GE．下列结论：①CH=BE；②CH⊥BE；③S△GCE=S△GDH；④当E是CD的中点时，GFGE=45；⑤当EC=2DE时，S正方形ABCD=6S正方形DEGH．其中正确结论的序号是（ ）

A．①②③④B．①②③⑤C．①③④⑤D．②①⑤
【变式4-3】（2023·河北石家庄·统考二模）如图，△ABC的两条角平分线相交于O点，∠C=56°，AC
A．甲正确，乙、丙错误B．甲、乙正确，丙错误
C．甲错误，乙、丙正确D．甲、乙、丙都正确
【变式4-4】（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交BC，AD于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠CFD=2∠ACF；③AC⋅EF=CE⋅AB；④若AE平分∠BAC，则CE=2BE．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
【例5】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC>AC>AB．已知厂房O到每条公路的距离相等．
（1）则点O为△ABC三条 的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设BC=a，AC=b，AB=c，OA=x，OB=y，OC=z，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是 ．
【变式5-1】（2020·河北唐山·统考一模）某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路a，b，c围成的一块地上修建一个度假村，要使这个度假村到a，b两条公路的距离相等，且到B，C两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（ ）
A．画∠CAB的平分线，再画线段BC的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画∠CAB和∠BCA的平分线，再画线段BC的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
C．画三个角∠CAB，∠BCA和∠ABC三个角的平分线，交点即为所求
D．画AB，BC，CA三条线段的垂直平分线，交点即为所求
考点四 全等三角形的应用
利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
【例1】（2023·福建厦门·福建省厦门第六中学校考一模）如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平面示意图．已知重型卡车车身高度AC=3.6m，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面A'，经过测量A'C=1.8m．现有木箱长ED=4.5m，高EF=2.25m，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡面底部点A'重合时，则木箱上部顶点E到地面A'C的距离为 m．
【变式1-1】（2022·河北邯郸·校考三模）嘉淇为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得EB的长度，就是AB的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．
【变式1-2】（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．
【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角尺(∠MCN=90°)，点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，如图所示．
探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等于两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC=AM+BN，请你判断同学们的结论是否正确，并说明理由：
探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN=90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量关系，并证明你的结论．
【变式1-3】（2022·陕西·统考二模）学校有两栋教学楼AB、CD，小强想了解这两栋教学楼的高度，他发现教学楼CD的高度容易测量，且CD＝18米，而教学楼AB的高度不易测量，于是小强利用所学知识设计了如下测量方案：如图，小强在两栋教学楼中间空地上的点E处固定一个测角仪EF，且AE＝CE，先测得教学楼AB顶部B的仰角，然后将测角仪向后转动180°，并调节测角仪的高度到点G时，测角仪刚好能以同样的仰角观测到教学楼CD的顶端D．已知EF＝2米，GF＝0.8米，求教学楼AB的高度．
题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
【例2】（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长AO、BO至点M、N，使得MO=AO,NO=BO，再连接MN，则MN的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．

（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形ABCD是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）

【变式2-1】（2023·陕西榆林·统考三模）如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．

(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…的式子表示)
【变式2-2】（2020·河北·校联考二模）思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
【例3】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，△ABP与△PCQ全等．
【变式3-1】（2020·浙江杭州·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm；在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠A=∠D．现有两个动点P和Q．同时从点A出发，P沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s；Q沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ与△DEF全等，则点Q的运动速度为 ．
【变式3-2】（2023·广东湛江·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BC=5，CD平分∠ACB，如果点P，点Q分别为CD，AC上的动点，那么AP+PQ的最小值是 ．

【变式3-3】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E以相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接AE，BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM∥CD交BC于点M，PN∥BC交CD于点N，连接MN，在运动过程中，

（1）AE和BF的数量关系为 ；
（2）MN长度的最小值为 ．
考点要求
新课标要求
命题预测
全等三角形及其性质
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.

在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查．
全等三角形的判定
掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；
证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
角平分线的性质
探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
全等三角形的应用
常见的全等三角形模型（基础）
平移模型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等．
对称模型
模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等．
一线三垂直/一线三等角
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角

旋转模型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角；
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．
已知：△ABC．
求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．