第03讲 分式（3考点+14题型+8技巧）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第03讲 分式
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151065007" 考点一 分式的相关概念
\l "_Tc151065008" 题型01 分式的判断
\l "_Tc151065009" 题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
\l "_Tc151065010" 题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
\l "_Tc151065011" 题型04 约分与最简公式
\l "_Tc151065012" 题型05 最简公分母
\l "_Tc151065013" 考点二 分式的基本性质
\l "_Tc151065014" 题型01 利用分式的基本性质进行变形
\l "_Tc151065015" 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化
\l "_Tc151065016" 题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
\l "_Tc151065017" 考点三 分式的运算
\l "_Tc151065018" 题型01 分式的加减法
\l "_Tc151065019" 题型02 分式的乘除法
\l "_Tc151065020" 题型03 分式的混合运算
\l "_Tc151065021" 题型04 分式的化简求值
\l "_Tc151065022" 题型05 零指数幂
\l "_Tc151065023" 题型06 分式运算的八种技巧
\l "_Tc151065024" 技巧一 约分计算法
\l "_Tc151065025" 技巧二 整体通分法
\l "_Tc151065026" 技巧三 换元通分法
\l "_Tc151065027" 技巧四 顺次相加法
\l "_Tc151065028" 技巧五 裂项相消法
\l "_Tc151065029" 技巧六 消元法
\l "_Tc151065030" 技巧七 倒数求值法
\l "_Tc151065031" 技巧八 整体代入法
考点一 分式的相关概念
分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母.
对于分式AB来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义.
②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.
③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.
④若AB>0，则A、B同号; 若AB<0，则A、B异号.
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.
通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.
约分与通分的联系与区别：
最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
确定最简公分母的方法：
1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：4aa就是分式.
2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义.
3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.
4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
题型01 分式的判断
【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，2x2+4，x2﹣23，1x，x+1x+2中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是2x2+4，1x，x+1x+2，
∴分式有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
【变式1-1】（2022·上海·上外附中校考模拟预测）下列各式中：a−b2，x+3x，5+yπ，1mx+y，n2+nn，12x+13中，是分式的共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【提示】根据分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，进而解答即可．
【详解】x+3x，1mx+y，n2+nn是分式，共有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母．
【变式1-2】（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．在代数式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，1a，xπ，4a+2b是分式
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
【答案】A
【提示】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．
【详解】解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；
B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C.在代数式1a，2x，xπ，985，4a+2b，13+y中，1a，4a+2b是分式，故选项错误；
D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；
故选：A．
【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．

判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如：4aa就是分式，而不是整式.
题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围
【例2】（2023·江苏镇江·中考真题）使分式1x−5有意义的x的取值范围是 ．
【答案】x≠5
【提示】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即x−5≠0，解得x≠5，
故答案为：x≠5．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y=x5x+3中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x≠−35
【提示】根据分式中分母不能等于零，列出不等式5x+3≠0，计算出自变量x的范围即可．
【详解】根据题意得：5x+3≠0
∴5x≠−3
∴x≠−35
故答案为：x≠−35
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不等式并正确求解．
【变式2-2】（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式x3−x无意义，则实数x的值是 ．
【答案】3
【提示】根据分式无意义的条件得出3−x=0，再求出答案即可．
【详解】解：要使代数式x3−x无意义，
∴3−x=0，
解得：x=3，
故答案为：3．
【点睛】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母B=0时，式子AB无意义．
【变式2-3】（2023·山东临沂·一模）要使分式x2−1x+1无意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x=−1
【提示】根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可．
【详解】解：∵分式x2−1x+1无意义，
∴x+1=0，
∴x=−1．
故答案为：x=−1．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0是解题的关键．
【变式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函数y=x+1x−3的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3B．x≥3
C．x≥−1且x≠3D．x≥−1
【答案】C
【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵x+1x−3有意义，
∴x+1≥0,x−3≠0，
解得x≥−1且x≠3，
故选C．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．

1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.
2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.
题型03 利用分式值为正、负数或0的条件，求未知数的值或取值范围
【例3】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x−13x+1的值为0，则x的值是（ ）
A．1B．0C．−1D．−3
【答案】A
【提示】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：x−1=0且3x+1≠0，
解得x=1．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【变式3-1】（2023·四川凉山·中考真题）分式x2−xx−1的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．−1C．1D．0或1
【答案】A
【提示】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式x2−xx−1的值为0，
∴x2−x=0x−1≠0，
解得x=0，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
【变式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式m−4m2−16=0，则（ ）
A．m=4B．m=−4
C．m=±4D．不存在m，使得m−4m2−16=0
【答案】D
【提示】根据题意可得m−4=0m2−16≠0，此方程组无解．
【详解】解：根据题意可得：
m−4=0m2−16≠0，
解得：m=±4m≠±4，
故无解，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键．
【变式3-3】（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x+1B．x2−1C．1x+1D．x+12
【答案】C
【提示】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则1x+1≠0，故符合题意；
D、当x=-1时，x+12=0，故不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
【变式3-4】（2021南充市一模）若分式2−3xx2+1的值是负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＞32B．x＞23C．x＜32D．x＜23
【答案】B
【提示】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立，
∴x＞23，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数．
【变式3-5】分式x−3x3−2x2+x的值为负数的条件是（ ）
A．x<3B．x>0且x≠1
C．x<1且x≠0D．0【答案】D
【提示】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答案．
【详解】解：x−3x3−2x2+x
=x−3x(x2−2x+1)
=x−3x(x−1)2，
因为分式的值为负数，
∴x−3>0x<0x≠1 或者x−3<0x>0x≠1
∴0故选：D ．
【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值与分子、分母的关系是解题的关键．
【变式3-6】若分式x+2(x−1)2的值大于零，则x的取值范围是 ．
【答案】x>−2且x≠1
【提示】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值．
【详解】解：∵分式x+2(x−1)2的值大于零，
∴x+2＞0，
∴x＞﹣2，
∵x﹣1≠0，
∴x≠1，
故答案为x＞﹣2且x≠1．
【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键．
【变式3-7】下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当x=2时，x+1x−2的值为零B．当x为任意实数时，3x2+1的值总为正数
C．无论x为何值，3x+1不可能得整数值D．当x≠3时，x−3x有意义
【答案】B
【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论．
【详解】解：A、当x=2时，x+1x−2无意义，故本选项不合题意；
B、当x为任意实数时，3x2+1的值总为正数，故本选项符合题意；
C、当x=0或2时，3x+1能得整数值，故本选项不合题意；
D、当x≠0时，x−3x有意义，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．

1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.
2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.
3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号.
题型04 约分与最简分式
【例4】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a2−5aa−5=（ ）
A．a−5B．a+5C．5D．a
【答案】D
【提示】分子分解因式，再约分得到结果．
【详解】解：a2−5aa−5
=aa−5a−5
=a，
故选：D．
【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【变式4-1】（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．|−2|=2B．a2⋅a−3=1aC．a2−1a−1=a+1D．a23=a3
【答案】D
【提示】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：A、|−2|=2，计算正确，不符合题意；
B、a2⋅a−3=a−1=1a，计算正确，不符合题意；
C、a2−1a−1=a+1a−1a−1=a+1，计算正确，不符合题意；
D、a23=a6，计算错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键．
【变式4-2】（2023·河北保定·模拟预测）如图，若x为正整数，则表示分式2x2+2xx2+3x+2的值落在（ ）

A．段①处B．段②处C．段③处D．段④处
【答案】C
【提示】先化简分式，再确定分式值的范围即可．
【详解】解：2x2+2xx2+3x+2=2xx+1x+2x+1=2xx+2=2x+2−4x+2=2−4x+2<2，
∵x为正整数，
∴x的最小值为1，
∴当x=1时，4x+2=41+2=43，
∴43≤2−4x+2<2，
∴分式2x2+2xx2+3x+2的值落在段③处，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围．
【变式4-3】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：x2+2x+1x+1，其中x=2−1．
【答案】x+1；2
【提示】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解： x2+2x+1x+1
=x+12x+1
=x+1，
当x=2−1时，
∴原式=2−1+1=2．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
【变式4-4】（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A．6xy5x2B．x−yy−xC．x2+y2x+yD．x2−9y2x+3y
【答案】C
【提示】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、6xy5x2=6y5x，故此选项不符合题意；
B、x−yy−x=−(y−x)y−x=−1，故此选项不符合题意；
C、x2+y2x+y是最简分式，故此选项符合题意；
D、x2−9y2x+3y=(x+3y)(x−3y)x+3y=x−3y，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．

分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法:
分子、分母类型
具体方法
单项式
1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂.
多项式
先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式
题型05 最简公分母
【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式32a2b与a−bab2c通分，分式的最简公分母是（ ）
A．2a2b2cB．2a3b3C．2a3b3cD．6a3b3c
【答案】A
【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．
【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，
∵系数2与1的公倍数是2，a2与a的最高次幂是a2，b与b2的最高次幂是b2，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，
∴公分母为：2a2b2c ．
故选择：A．
【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．
【变式5-1】（2021·内蒙古·二模）分式1−a2+1,1a2+a的最简公分母是 ，1−a2+1+1a2+a =
【答案】 a1+a1−a 1a1+a1−a
【提示】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵1−a2+1=11−a1+a，1a2+a=1a1+a
∴1−a2+1=11−a1+a=aa1−a1+a，1a2+a=1−aa1+a1−a
∴1−a2+1，1a2+a的最简公分母为：a1+a1−a
∴1−a2+1+1a2+a=1a2+a=a+1−aa1+a1−a=1a1+a1−a
故答案为：a1+a1−a，1a1+a1−a
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解
考点二 分式的基本性质
分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：AB=A•CB•C（C≠0）或AB=A÷CB÷C（C≠0），其中A，B，C是整式.
分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB=−A−B=−−AB=−A−B.
运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；
②隐含条件：分式的分母不等于0.
题型01 利用分式的基本性质进行变形
【例1】（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（ ）
A．ab=a+ab+bB．ab=a+1b+1C．ab=a−1b−1D．ab=a2b2
【答案】A
【提示】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不为零的数，分式的值不变，逐个判断即可解答．
【详解】解：a+ab+b=2a2b=ab，故A正确；
a+1b+1与ab不一定相等，故B错误；
a−1b−1与ab不一定相等，故C错误；
当ab<0时，a2b2>0，故D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知该性质是解题的关键．
【变式1-1】（2023·福建福州·模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（ ）
A．c5c=15B．34a=3b4abC．−1a−b=1b−aD．a2−4a2+4a+4=a−2a+2
【答案】B
【提示】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：A、c5c=15，原式变形正确，不符合题意；
B、当b=0时，34a=3b4ab不成立，原式变形错误，符合题意；
C、−1a−b=1b−a，原式变形正确，不符合题意；
D、a2−4a2+4a+4=a+2a−2a+22=a−2a+2，原式变形正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．

分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的.
题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化
【例2】（2023南通市二模）如果把分式x+2yx中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的20倍B．缩小到原来的120
C．扩大到原来的2倍D．不变
【答案】D
【提示】根据分式的性质，可得答案．
【详解】把x和y都扩大20倍后，原式变为20x+40y20x=20x+2y20x=x+2yx，
即约分后仍为原式，分式的值不变．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
【变式2-1】如果将分式x2+y2x+y中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的2倍B．不变
C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的14．
【答案】A
【提示】x，y都扩大成原来的2倍就是变成2x和2y．用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．
【详解】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：(2x)2+(2y)22x+2y=2x2+2y2x+y,
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题的关键是把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
【变式2-2】（2022·河北·一模）如果要使分式2aa−3b的值保持不变，那么分式应（ ）
A．a扩大2倍，b扩大3倍B．a，b同时扩大3倍
C．a扩大2倍，b缩小3倍D．a缩小2倍，b缩小3倍
【答案】B
【提示】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．
【详解】A. a扩大2倍，b扩大3倍, 2×2a2a−3×3b=4a2a−9b≠2aa−3b，故该选项不正确，不符合题意；
B. a，b同时扩大3倍，2×3a3a−3×3b=6a3a−9b=2aa−3b，故该选项正确，符合题意；
C. a扩大2倍，b缩小3倍，2×2a2a−3×13b=4a2a−b≠2aa−3b，故该选项不正确，不符合题意；
D. a缩小2倍，b缩小3倍2×12a2a−3×13b=a2a−b≠2aa−3b，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．
【变式2-3】（2022武安市中考二模）若m，n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）．
A．m+3nB．3m2nC．m+3n+3D．3m−n
【答案】B
【提示】根据m，n扩大到3倍为：3m，3n；把3m，3n依次代入选项，进行判断，即可．
【详解】∵m，n的值均扩大到原来的3倍为3m，3n
∴A、3m+33n≠m+3n，不符合题意；
B、3×3m2×3n=3m2n，符合题意；
C、3m+33n+3≠m+3n+3，不符合题意；
D、33m−3n=1m−n≠3m−n，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形
【例3】（2022年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则−2a+b−a−3b＝ ．
【答案】2a−ba+3b
【提示】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：−2a+b−a−3b=−2a−b−a+3b=2a−ba+3b
故答案为：2a−ba+3b
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
【变式3-1】（2023·河北石家庄·二模）若nm=Am≠n，则A可以是（ ）
A．n−3m−3B．n+3m+3C．−n−mD．n2m2
【答案】C
【提示】用举反例结合分式的基本性质进行逐一判断即可．
【详解】A.如：1−32−3≠12，∴ n−3m−3≠nm，故此项错误；
B. 如：1+32+3≠12，∴ n+3m+3≠nm，故此项错误；
C. −n−m=−n×−1m×−1=nm，故此项正确；
D. 如：12−22≠12，∴ n2m2≠nm，故此项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握基本性质，会用举反例的方法进行判断是解题的关键．
【变式3-2】（2022邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式−aa−b可变形为（ ）
A．aa−bB．aa+bC．a−a−bD．ab−a
【答案】D
【提示】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】−aa−b=−aa−b=ab−a，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
考点三 分式的运算
1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
3.分式与分式相乘,
①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式;
②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘.
4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.
5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.
6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即：
①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负.
7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体.
如：aa−b2 =a2a−b2≠a2a2−b2
8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
题型01 分式的加减法
【例1】（2023·天津·中考真题）计算1x−1−2x2−1的结果等于（ ）
A．B．x−1C．1x+1D．
【答案】C
【提示】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：1x−1−2x2−1=x+1x−1x+1−2x−1x+1=x+1−2x−1x+1=x−1x−1x+1；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
【变式1-1】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知b>a>0，则分式ab与的大小关系是（ ）
A．B．C．ab>a+1b+1D．不能确定
【答案】A
【提示】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】解：ab−a+1b+1=ab+1−ba+1bb+1=a−bbb+1，
∵b>a>0，
∴ab−a+1b+1=a−bbb+1<0，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
【变式1-2】（2023·上海·中考真题）化简：21−x−2x1−x的结果为 ．
【答案】2
【提示】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：21−x−2x1−x=2−2x1−x=21−x1−x=2；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式1-3】（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
【答案】M=a，1−1a，99100，过程见解析
【提示】先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入a=100计算即可．
【详解】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴Ma+1=M⋅aaa+1=a2aa+1，
∴M=a，
原式=a2aa+1−1aa+1=a2−1aa+1=a+1a−1aa+1=a−1a=1−1a，
当a=100时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确对分式进行化简是解题的关键．
【变式1-4】（2023·江苏南京·校联考三模）已知a>0，b>0，证明：1a+1b≥4a+b．
【答案】见解析
【提示】根据作差法比较大小，然后根据分式的加减进行计算得出1a+1b−4a+b≥0即可得证．
【详解】证明：∵1a+1b−4a+b=ba+b+aa+b−4ababa+b=a−b2aba+b，
又a>0，b>0，
∴a−b2≥0，ab>0，a+b>0．
∴a−b2aba+b≥0，
∴1a+1b≥4a+b．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键．
【变式1-5】（2021·四川乐山·统考中考真题）已知Ax−1−B2−x=2x−6(x−1)(x−2)，求A、B的值．
【答案】A的值为4，B的值为-2
【提示】根据分式、整式加减运算，以及二元一次方程组的性质计算，即可得到答案．
【详解】Ax−1−B2−x=A(x−2)(x−1)(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)，
∴A(x−2)+B(x−1)(x−1)(x−2)=2x−6(x−1)(x−2)，
∴A(x−2)+B(x−1)=2x−6，
即(A+B)x−(2A+B)=2x−6．
∴A+B=22A+B=6，
解得：A=4B=−2
∴A的值为4，B的值为−2．
【点睛】本题考查了分式、整式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、整式加减运算、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
题型02 分式的乘除法
【例2】（2023·河北·中考真题）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
【答案】A
【提示】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：x3y3x2=x3⋅y6x2=xy6，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
【变式2-1】（2022·内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6B．a÷b⋅1b=aC．2aa−1−2a−1=2D．ba23=b3a5
【答案】C
【提示】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示．
【详解】A．a3+a3=2a3，故不符合题意；
B．a÷b⋅1b=ab2 ，故不符合题意；
C．2aa−1−2a−1=2，故符合题意；
D．ba23=b3a6 ，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式2-2】（2022·河北石家庄·一模）若□x+y÷xy2−x2，运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．y－xB．y＋xC．2xD．1x
【答案】C
【提示】先根据分式除法法则计算，再根据结果为整式，得出□中的式子可能是，即可得出答案．
【详解】解：□x+y÷xy2−x2
＝□x+y⋅x+yy−xx
=□y−xx，
∵运算结果为整式，
∴□中的式子是含量有x因式的式子，
∴□中的式子可能是2x，
故选：C．
【点睛】本题考查分式乘除运算，熟练掌握分式乘除运算法则是解题的关键．
【变式2-3】关于式子x2−9x2+6x+9÷xx+3，下列说法正确（ ）
A．当x=3时，其值为0B．当x=−3时，其值为2
C．当0【答案】A
【提示】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一一进行提示，即可得出答案．
【详解】解：x2−9x2+6x+9÷xx+3=x+3x−3x+32×x+3x=x−3x，
A.当x=3时，原式=3−33=0，故该说法正确，符合题意；
B.当x=−3时，分母x+3=−3+3=0，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；
C.当0∴x−3x<0，故该说法不正确，不符合题意；
D.当x<0时，则x−3<−3，
∴x−3x>0，故该说法不正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
【变式2-4】（2023·安徽·一模）计算−13m2⋅9m的结果是（ ）
A．m3B．−mC．D．m
【答案】D
【提示】先计算乘方，再计算乘法，即可求解．
【详解】解：−13m2⋅9m=19m2⋅9m=m
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
【变式2-5】（2023·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1−3
(2)−1a+b
【提示】（1）先算零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，再进行加减运算即可；
（2）除法变乘法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=1−23+3
=1−3；
（2）原式=a−ba+b⋅−1a−b
=−1a+b．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，分式的除法运算．熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
题型03 分式的混合运算
【例3】（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（1a+b+1a−b）÷★＝2a+b被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A．aa−bB．a−baC．aa+bD．
【答案】A
【提示】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：1a+b+1a−b÷★=2a+b
a−b+a+ba+ba−b÷★=2a+b
★=2aa+ba−b÷2a+b
=aa−b，
故选A．
【点睛】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式3-1】（2023·辽宁大连·中考真题）计算：．
【答案】2a−3
【提示】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：=a−3a+3a−3+1a+3a−3÷a−22a+3=a−2a+3a−3÷a−22a+3=a−2a+3a−3⋅2a+3a−2=2a−3
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
【变式3-2】（2023·四川泸州·中考真题）化简：4m+5m+1+m−1÷m+2m+1．
【答案】
【提示】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到结果．
【详解】解：4m+5m+1+m−1÷m+2m+1=4m+5m+1+m2−1m+1⋅m+1m+2=m+22m+1⋅m+1m+2
=m+2．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
【变式3-3】（2023·江西·中考真题）化简xx+1+xx−1⋅x2−1x．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③
(2)见解析
【提示】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式=xx−1x+1x−1+xx+1x+1x−1⋅x2−1x=x2−x+x2+xx+1x−1⋅x+1x−1x=2x2x+1x−1⋅x+1x−1x=2x；
乙同学的解法：
原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x=xx+1⋅x+1x−1x+xx−1⋅x+1x−1x=2x．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
题型04 分式的化简求值
【例4】（2023·湖北武汉·中考真题）已知x2−x−1=0，计算的值是（ ）
A．1B．−1C．2D．−2
【答案】A
【提示】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把x2=x+1代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=2xxx+1−x+1xx+1÷xx−1x+12
=x−1xx+1⋅x+12xx−1
=，
∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，
∴原式==1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
【变式4-1】 （2023·福建·中考真题）先化简，再求值：，其中x=2−1．
【答案】−1x+1，
【提示】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将x=2−1代入计算即可解答．
【详解】解：=−1x⋅xx+1
=−1x+1．
当x=2−1时，原式=−12−1+1=−22．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023·北京·中考真题）已知x+2y−1=0，求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值．
【答案】2
【提示】先将分式进行化简，再将x+2y−1=0变形整体代入化简好的分式计算即可．
【详解】解：原式=2x+2yx+2y2=2x+2y，
由x+2y−1=0可得x+2y=1，
将x+2y=1代入原式可得，原式=21=2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体代入思想的应用．
【变式4-3】（2023·四川广安·中考真题）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．
【答案】1a−1，选择a=0，式子的值为（或选择a=2，式子的值为1）
【提示】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择适当的a的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式=1a+1⋅a+1a−1=1a−1，
∵a+1≠0，a−1≠0，
∴a≠−1，a≠1，
∵−2∴选择a=0代入得：原式=10−1=−1，
选择a=2代入得：原式=12−1=1．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【变式4-4】（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a−4a÷a+2a2−2a−a−1a2−4a+4，其中a满足．
【答案】；1
【提示】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得a2−4a+3=0的值，最后将a2−4a+3=0代入化简结果即可求解．
【详解】解： a−4a÷a+2a2−2a−a−1a2−4a+4=a−4a÷a+2a−2aa−22−aa−1aa−22=a−4a÷a+2a−2−aa−1aa−22=a−4a×aa−22a2−4−a2+a=a−22；
∵，
即a2−4a+3=0，
∴原式=a2−4a+3+1=0+1=1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
题型05 零指数幂
【例5】（2023·山东聊城·中考真题）−20230的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．−12023
【答案】B
【提示】根据零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，计算即可得到答案
【详解】解：∵任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，
∴−20230=1，
故选：B．
【点睛】本题主要考查零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，熟练掌握零次幂法则是解题的关键．
【变式5-1】（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2−2 30．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【提示】先计算2−2=14，30=1，然后比较大小即可．
【详解】解：2−2=14，30=1，
∵14<1，
∴2−2<30，
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式5-2】（2021·重庆·统考中考真题）计算：9−(π−1)0= ．
【答案】2
【提示】根据算术平方根的定义和零指数幂的性质进行计算即可．
【详解】解：9−(π−1)0=3-1=2；
故答案为：2
【点睛】本题考查了算术平方根和零指数幂，熟练掌握性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a6a3=a2B．a23=a5
C．D．−130=1
【答案】D
【提示】根据分式的约分可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据分式的加法运算可判断C，根据零指数幂的含义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：a6a3=a3，故A不符合题意；
a23=a6，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
−130=1，运算正确，故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查分式的约分，幂的乘方运算，分式的加法运算，零指数幂，熟记运算法则是解本题的关键．
【变式5-4】（2022·浙江衢州·统考中考真题）计算结果等于2的是（ ）
A．−2B．−2C．2−1D．(−2)0
【答案】A
【提示】根据绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂逐项判断即可得．
【详解】解：A、−2=2，则此项符合题意；
B、−2=−2，则此项不符合题意；
C、2−1=12，则此项不符合题意；
D、−20=1，则此项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．
题型06 分式运算的八种技巧
技巧一 约分计算法
方法介绍：在先通分比较麻烦的情况下，我们可以先将分子、分母因式分解，因式分解后进行约分，最后通分计算.
【例6】（2022·浙江衢州·统考中考真题）化简：a−1a2−1+1a+1．
【答案】2a+1
【详解】解：a−1a2−1+1a+1
=a−1(a+1)(a−1)+1a+1，
=1a+1+1a+1，
=2a+1．
【点睛】本题考查因式分解和分式化解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和分式的运算法则．
【变式6-1】（2022·广东揭阳·统考二模）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题．
x2−9x2+6x+9−2x+12x+6
=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3) 第一步
=x−3x+3−2x+12(x+3) 第二步
=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3) 第三步
=2x−6−(2x+1)2(x+3) 第四步
=2x−6−2x+12(x+3) 第五步
=−52x+6 第六步
(1)填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出该分式化简后的正确结果： ．
【答案】(1)①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“−”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
(2)−72x+6．
【提示】（1）①根据分式的通分的定义进行判定即可得出答案；②根据去括号的法则即可得到第五步出现错误；
（2）应用分式的加减运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：①根据题意，以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的性质；
故答案为：三，分式的性质；
②第五步出现错误，出现错误的原因是括号前是“−”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
故答案为：五；括号前是“−”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：x2−9x2+6x+9−2x+12x+6=(x+3)(x−3)(x+3)2−2x+12(x+3)=x−3x+3−2x+12(x+3)=2(x−3)2(x+3)−2x+12(x+3)=2x−6−2x−12(x+3)=−72x+6．
故答案为：−72x+6
【点睛】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加减运算的法则进行求解是解决本题的关键．
技巧二 整体通分法
方法介绍：可以通过加括号或化为分母为1的分数，将整数部分看成一个整体，再进行化简通分得出答案.
【例7】（2023·陕西西安·校考二模）化简：4ab2a+b+4a2+b22a+b−2a+b．
【答案】2b
【提示】根据分式的加减进行计算即可求解．
【详解】解：4ab2a+b+4a2+b22a+b−2a+b=4ab+4a2+b22a+b−2a+b=2a+b22a+b−2a+b=2a+b−2a+b=2b．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2023·浙江嘉兴·统考一模）化简：x+1+x21−x．以下是小嘉同学的解答过程：
【答案】小嘉同学的解法错误，正确过程见解析
【提示】观察解题过程可知小嘉的解法是直接乘以x−1去了分母，但是没有除以x−1使分式的值保持不变，由此可知小嘉的解法错误，根据分式的加法计算法则写出正确的解答过程即可．
【详解】解：小嘉同学的解法错误，正确过程如下：
x+1+x21−x=x−x2+1−x1−x+x21−x=x−x2+1−x+x21−x．
【点睛】本题主要考查了分式的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式7-2】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）计算．
(1)1−11−x÷xx−1.
(2)．
(3)a−ba+b−a+ba−b÷1−a2+b2a2−2ab+b2
(4)a2a−1−a−1．
【答案】(1)1
(2)ba
(3)
(4)1a−1
【提示】（1）首先通分计算括号里面，进而根据分式的除法运算计算即可；
（2）根据分式的加减乘除混合运算顺序进行计算，注意进行因式分解和约分；
（3）首先通分计算括号里面，再根据分式的除法运算法则进行计算，注意进行因式分解和约分；
（4）根据分式的加减法法则进行计算，注意通分．
【详解】（1）原式=x−1+1x−1×x−1x=xx−1×x−1x=1；
（2）原式=ba−b+b3aa−b2×−a+ba−bba+b=ba−b−b2aa−b=ab−b2aa−b=ba−baa−b=ba；
（3）原式=(a−b)2−(a+b)2a+ba−b÷a2−2ab+b2−a2−b2a−b2=a2−2ab+b2−a2−2ab−b2a+ba−b÷−2aba−b2=−4aba+ba−b×a−b2−2ab=2a−2ba+b；
（4）原式=a2−a2−1a−1=a2−a2+1a−1=1a−1．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，需掌握的知识点：分式的混合运算的顺序和法则，分式的约分、通分以及因式分解；熟练掌握分式的混合运算顺序和因式分解是解决问题的关键．
技巧三 换元通分法
方法介绍：在分式中有相同的复杂项时，可以通过换元的方法，使计算更加简单.注意，整理结束后要将原式转换回来.
【例8】计算：(3m−2n)+(3m−2n)33m−2n+1−(3m−2n)2+2n−3m3m−2n−1.
【答案】
【提示】设3m-2n=x，把原式转化为关于x的代数式，化简后再把x还原为3m-2n即可.
【详解】解：设3m-2n=x，
原式=x＋-x2-xx−1 ,
=xx2−1+x3x−1−x2x2−1−xx+1x+1x−1 ,
=−2xx+1x−1 ,
把x=3m-2n代入，得
原式=4n−6m3m−2n+13m−2n−1 .
【点睛】本题考查了分式的加减法，这道题按常规分式的混合运算来计算过程比较复杂，而我们观察发现，原式中，含有字母的部分都是由“3m-2n”这样的式子组成的，所以用“x”代替“3m-2n”可使原式简化，从而使运算过程相对简单一些，最后再将“x”换回“3m-2n”即可.
技巧四 顺次相加法
方法介绍：当分式项数过多、分母不同，不容易通分时.我们采用顺次相加的方法提高正确率.先把前两个分式计算整理，将所得结果和第三个式子通分化简，最后再和第四个式子通分化简.
【例9】计算：1x−1−1x+1−2x2+1−4x4+1．
【答案】8x8−1
【提示】从左至右依次通分，化为同分母分式，再计算即可．
【详解】解：1x−1−1x+1−2x2+1−4x4+1=x+1x2−1−x−1x2−1−2x2+1−4x4+1．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键．
【变式9-1】计算：1x−1+1x+1+2xx2+1+4x3x4+1.
【答案】8x7x8−1
【提示】前两项相加，结果再与第第三项相加，结果再与第四项相加.
【详解】解：原式＝x+1x2−1+x−1x2−1+2xx2+1+4x3x4+1 ,
＝2xx2−1+2xx2+1+4x3x4+1 ,
＝2xx2+1+2xx2−1x2−1x2+1+ ,
＝4x3x4−1+4x3x4+1 ,
＝4x3x4+1+4x3x4−1x4−1x4+1 ,
＝8x7x8−1.
【点睛】本题考查了分式的加减法，利用逐级加减可以使运算简便.
技巧五 裂项相消法
方法介绍：根据公式把每一项写成两个分式差的形式.分裂后各项相加减只剩下头和尾，即可求得结果.
【例10】观察下面的变形规律：
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14……解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想1nn+1=___________．
(2)若n为正整数，请你用所学的知识证明1n−1n+1=1nn+1．
【答案】(1)1n−1n+1
(2)见解析
【提示】（1）先观察算式，总结规律进行猜想即可；
（2）直接根据异分母分式加法运算即可证明结论．
【详解】（1）解：∵11×2=1−12；12×3=12−13；13×4=13−14，
∴1nn+1=1n−1n+1．
故答案为1n−1n+1．
（2）证明：∵1n−1n+1=n+1nn+1−nnn+1，
∴1n−1n+1=1nn+1．
【点睛】本题考查了数字规律探索、分式的加法等知识点，根据题意总结出规律是解题关键．
【变式10-1】计算：1aa+1＋1a+1a+2＋1a+2a+3＋…＋1a+99a+100.
【答案】
【提示】根据所给式子裂项，再根据分式的加减法法则计算即可得出答案.
【详解】原式＝1a－1a+1＋1a+1－1a+2＋1a+2－1a+3＋…＋－＝1a－＝100aa+100.
【点睛】本题考查分式的减法，正确裂项，熟练掌握运算法则是解题关键.
技巧六 消元法
方法介绍：用于分式中未知数过多的情况.通过各未知数之间的数量关系化简并达到消元的目的，将含未知数的代数式代入所求式，化简约分，得到结果.
【例11】已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2的值．
【答案】-13
【提示】由已知条件可组成一个关于“”的二元一次方程组，解方程组可得到用含“z”的式子表达的“”，代入后边的式子，化简可得其值．
【详解】解：由题意可得：4x−3y=6zx+2y=7z ，解得：x=3zy=2z ,
∵xyz≠0，∴z≠0，
∴5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2=45z2+8z2−z218z2−12z2−10z2=52z2−4z2=−13
【变式11-1】已知xyz≠0，且满足，求3x2+5y2+6z2x2+2y2+8z2的值．
【答案】2110
【提示】将组成方程组，用z表示x和y，然后代入3x2+5y2+6z2x2+2y2+8z2中求解．
【详解】解：依题意x+3y+7z=0①3x−4y−18z=0②
将①×3-②，得y=−3z③
将③代入①，得x=2z
解得：x=2zy=−3z
∴3x2+5y2+6z2x2+2y2+8z2
，
，
，
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分式的化简及求解，本题中有三个未知数，如何巧妙的利用含未知数的解来降次并化简是本题的关键．
技巧七 倒数求值法
方法介绍：当分母的次数大于分子的次数时，可把分子分母颠倒.利用已知条件，将其分子分母颠倒得到化简后的式子.整理并将式子代入所求分式的倒数，化简得出结果.注意: 结果要再次颠倒回来!
【例12】已知xx2−3x+1＝－1，求x2x4−9x2+1的值．
【答案】−17
【详解】由xx2−3x+1=−1可知x≠0，
∴x2−3x+1x=−1，∴x−3+1x=−1，即x+1x=2，
∴(x+1x)2=x2+2+1x2=4，即x2+1x2=2，
∵x≠0，∴x2≠0，∴ x2x4−9x2+1=1x2−9+1x2=12−9=−17，
【变式12-1】【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13知x≠0，∴x2+1x=3，即x+1x=3①
∴x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7②，故x2x4+1的值为17．
（1）第①步由x2+1x=3得到x+1x=3逆用了法则：______；第②步x2+1x2=x+1x2−2运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知xx2−3x+1=−1，求x2x4−7x2+1的值；
【拓展延伸】
（3）已知1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，求abcab+bc+ac的值．
【答案】（1）ba+ca=b+ca，；（2）x2x4−7x2+1的值为−15；（3）abcab+bc+ac的值为
【提示】（1）根据同分母分式的加法法则及完全平方公式的变形进行解答；
（2）仿照例题计算即可；
（3）将已知三个等式相加，得到1a+1b+1c=31180，再利用倒数法解答．
【详解】解：（1）第①步由x2+1x=3得到x+1x=3逆用了法则：ba+ca=b+ca；第②步x2+1x2=x+1x2−2运用了公式：；
故答案为：ba+ca=b+ca；；
（2）∵xx2−3x+1=−1，
∴x2−3x+1x=−1，
∴x−3+1x=−1，
∴x+1x=2，
∴x2+1x2=x+1x2−2=2，
∴x4−7x2+1x2=x2+1x2−7=2−7=−5，
∴x2x4−7x2+1=−15；
（3）∵1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，
∴21a+1b+1c=16+19+115，
∴1a+1b+1c=31180，
∴ab+bc+acabc=ababc+bcabc+acabc=1a+1b+1c=31180，
∴．
【点睛】此题考查了分式的求值，分式加法的逆运算，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键．
【变式12-2】在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+1x2的值．
解：∵，
∴即，
∴x+1x=4，
∴．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z的值．
解：令2x=3y=4z=kk≠0则x=k2，y=k3，z=k4，
∴xy+z=12k13k+14k=12712=67．
根据材料解答问题：
(1)已知xx2−x+1=15，求x+1x的值；
(2)已知a5=b4=c3abc≠0，求的值．
【答案】(1)5
(2)125
【提示】（1）利用倒数法把原式变形，计算即可；
（2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可；
【详解】（1）解：∵xx2−x+1=14，
∴x2−x+1x=4，
∴x−1+1x=4，
∴x+1x=5；
（2）设，
则a=5k，b=4k，c=3k，
∴3b+4c2a=12k+12k10k=125；
【点睛】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的通分和约分，材料提示题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键．
技巧八 整体代入法
方法介绍：根据已知条件，不需要将所有未知数都求出来，只需要得到我们所需要的整体结果.如例题13：将3个已知式子整理得出1a+1b+1c的值.再把所求式子化简成含有11a+1b+1c的式子，代入求值即可得出结果.
【例13】已知1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，求abcab+bc+ac的值．
【答案】
【提示】先把所给的三个条件式相加求出1a+1b+1c=31180，再将所求式子变形为11a+1b+1c，由此即可得到答案．
【详解】解：1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，
上面各式两边分别相加，得2×1a+1b+1c=16+19+115，
∴1a+1b+1c=31180，
由已知可知abc≠0，
∴abcab+bc+ac=11a+1b+1c=18031
即ab+bc+acabc的值为．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确求出1a+1b+1c=31180是解题的关键．
【变式13-1】已知三个数a,b,c满足，，，则abcab+bc+ca的值是（ ）
A．19B．16C．215D．120
【答案】A
【提示】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴1a+1b=5，，，
∴2（1a+1b+1c）＝18，
∴1a+1b+1c＝9，
∴abcab+bc+ca=19，
故选A．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是找出各式之间的关系，本题属于中等题型．
考点要求
新课标要求
命题预测
分式的相关概念
理解分式和最简分式的概念.
在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题.
分式的基本性质
能利用分式的基本性质进行约分与通分.
分式的运算
能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.
联系
都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.
区别
1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.
2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.
类型
方法步骤
分母为单项式
1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;
2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.
分母为多项式
1）对每个分母因式分解;
2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;
3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.
例 先化简，再求值：Ma+1−1a2+a，其中a=100．
解：原式=a2aa+1−1aa+1
……

解：原式=xx−1x+1x−1+xx+1x+1x−1⋅x2−1x
……
解：原式=xx+1⋅x2−1x+xx−1⋅x2−1x
……

x+1+x21−x=x+1x−1−x2
=x2−1−x2
=−1
你认为他的解法是否正确？（ ）
若正确，请在括号内打“√”；
若错误，请在括号内打“×”，并写出正确的解答过程．