第06讲 分式方程（2考点+11题型+8类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第06讲 分式方程
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc151980822" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc151980823" 考点一 解分式方程
\l "_Tc151980824" 题型01 判断分式方程
\l "_Tc151980825" 题型02 分式方程的一般解法
\l "_Tc151980826" 题型03 分式方程的特殊解法
\l "_Tc151980827" 类型一 分组通分法
\l "_Tc151980828" 类型二 分离分式法
\l "_Tc151980829" 类型三 列项相消法
\l "_Tc151980830" 类型四 消元法
\l "_Tc151980831" 题型04 错看或错解分式方程问题
\l "_Tc151980832" 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
\l "_Tc151980833" 题型06 根据分式方程解的情况求值
\l "_Tc151980834" 题型07 根据分式方程有解或无解求参数
\l "_Tc151980835" 题型08 已知分式方程有增根求参数
\l "_Tc151980836" 题型09 已知分式方程有整数解求参数
\l "_Tc151980837" 考点二 分式方程的应用
\l "_Tc151980838" 题型01 列分式方程
\l "_Tc151980839" 题型02 利用分式方程解决实际问题
\l "_Tc151980840" 类型一 行程问题
\l "_Tc151980841" 类型二 工程问题
\l "_Tc151980842" 类型三 和差倍分问题
\l "_Tc151980843" 类型四 销售利润问题
考点一 解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.
1. 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.
2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.
6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.
题型01 判断分式方程
【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1x+1=x；②x+12−3=0；③2x−1+31−x=3；④xa+xb=1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；
【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键．
【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
A．x2−3=x5B．12x−13y=5C．xπ=x3+x2D．12+x=1−2x
【答案】D
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
【详解】解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程，不符合题意；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
题型02 分式方程的一般解法
【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1x−1+3=3x1−x去分母，两边同乘x−1后的式子为（ ）
A．1+3=3x1−xB．1+3x−1=−3x
C．x−1+3=−3xD．1+3x−1=3x
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解：1x−1+3=3x1−x，
两边同乘x−1去分母，得1+3x−1=−3x，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1x+2+x+6x2−4=1的解为 ．
【答案】x=4
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出x的值．
【详解】解：∵1x+2+x+6x2−4=1，
方程两边同时乘以x+2x−2得，x−2+x+6=x+2x−2，
∴2x+4=x2−4，
∴x2−2x−8=0，
∴x−4x+2=0，
∴x=4或x=−2．
经检验x=−2时，x2−4=0，故舍去．
∴原方程的解为：x=4．
故答案为：x=4．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．
【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程：4x2+x−3x2−x=0．
【答案】x=7
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：方程两边同乘xx+1x−1，得4x−1−3x+1=0，
解得x=7，
检验：当x=7时，xx+1x−1≠0，
所以，原分式方程的解为x=7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根．
【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，则x＝ ．
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可．
【详解】解：∵代数式3x+2与代数式2x−1的值相等，
∴3x+2=2x−1，
去分母
3x−1=2x+2，
去括号号
3x−3=2x+4，
解得x=7，
检验：当x=7时，x+2x−1≠0，
∴分式方程的解为x=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2x+1xx−2=52x的解为 ．
【答案】x=4
【分析】根据方程两边同时乘以2xx−2，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以2xx−2，
2×2x−2+2=5×x−2
4x−8+2=5x−10
解得x=4
经检验，x=4是原方程的解
故答案为：x=4
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.
题型03 分式方程的特殊解法
类型一 分组通分法
方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.
【例3】解方程：3x−2−4x−1=1x−4−2x−3
【详解】解:原方程可变形为，
5−x（x−2）（x−1）=5−x（x−4）（x−3）
当5-x≠0时，x−2x−1=（x−4）（x−3）解得x1=52
当5-x=0时，解得x2=5
经检验，x1=52，x2=5都是原方程得解.
类型二 分离分式法
方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解
【例4】解方程：x+5x+4+x+2x+1=x+3x+2+x+4x+3
【答案】x=−52.
【分析】先将原方程变形1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
【详解】解:原方程可变形为，
1+1x+4+1+1x+1=1+1x+2+1+1x+3，
化简得，1x+4+1x+1=1x+2+1x+3，
即2x+5(x+4)(x+1)=2x+5(x+2)(x+3)，
∴2x+5=0，
解得，x=−52,
检验，把x=−52代入(x+4)(x+1) (x+2)(x+3)≠0，
∴原方程的解为x=−52.
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.
类型三 列项相消法
方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1nn+1 =1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.
【例5】我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如16=12−13，112=13−14；120=14−15，16=12−13，……，请用观察到的规律解方程2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10，该方程解是多少？
【答案】x=4
【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可．
【详解】解：2xx+1+2x+1x+2+⋅⋅⋅+2x+9x+10=5x+10
原方程化简为：2x−2x+1+2x+1−2x+2+…+2x+9−2x+10=5x+10，
即2x−2x+10=5x+10，
方程两边同乘x(x+10)，
得：5x=20，
解得x=4．
经检验x=4是原方程的解，
∴原方程的解为x=4．
【变式5-1】因为11×2=1−12,12×3=12−13,…,119×20=119−120，
所以11×2+12×3+…+119×20=1−12+12−13+…+119−120=1−120=1920．解答下列问题：
(1)在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是______________；第n项是______________．
(2)解方程：1x+1x+2+1x+2x+3+…+1x+2001x+2002=1x+2002．
【答案】(1)19×10，1nn+1
(2)x=2000
【分析】（1）根据已知式子的规律，即可求解；
（2）根据（1）的规律化简方程为1x+1−1x+2002=1x+2002，解分式方程，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，在和式11×2+12×3+13×4+…中，第九项是19×10；第n项是1nn+1；
故答案为 19×10;1nn+1．
（2）原方程可化简为：1x+1−1x+2002=1x+2002
方程两边同时乘x+1x+2002，得：x+2002−x+1=x+1，
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解．
【点睛】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键．
【变式5-2】探索研究：
请观察：
①1x2+3x+2=1x+1x+2=1x+1−1x+2；
②1x2+5x+6=1x+2x+3=1x+2−1x+3；
③1x2+7x+12=1x+3x+4=1x+3−1x+4；
④1x2+9x+20=1x+4x+5=1x+4−1x+5；
……
(1)请写出第n个等式；
(2)解方程：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8；
(3)当m为正整数时，12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72= ．
【答案】(1)1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n−1x+n+1
(2)x=8
(3)m+8m+9
【分析】（1）根据所给4个等式总结规律写出第n个等式即可；
（2）由（1）所得规律解该分式方程即可，注意验算；
（3）由（1）所得规律变形计算即可．
【详解】（1）解：∵①1x2+2×1+1x+1×1+1=1x+1x+1+1=1x+1−1x+1+1；
②1x2+2×2+1x+2×2+1=1x+2x+2+1=1x+2−1x+2+1；
③1x2+2×3+1x+3×3+1=1x+3x+3+1=1x+3−1x+3+1；
④1x2+2×4+1x+4×4+1=1x+4x+4+1=1x+4−1x+4+1；
…，
∴第n个等式为：1x2+(2n+1)x+n(n+1)=1x+nx+n+1=1x+n−1x+n+1；
（2）解：1x2+x+1x2+3x+2+1x2+5x+6+1x2+7x+12+⋯+1x2+15x+56=1x+8，
1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x+2−1x+3+1x+3−1x+4+⋯+1x+7−1x+8=1x+8，
1x−1x+8=1x+8，
1x=2x+8，
解得：x=8，
经检验x=8是原方程的解；
（3）解：12+16+112+120+⋯+1m2+17m+72
=11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+1m+8m+9
=1−12+12−13+13−14+14−15+⋯+1m+8−1m+9
=1−1m+9
=m+8m+9．
故答案为：m+8m+9．
【点睛】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程．理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此规律计算是解题关键．
【变式5-3】探索发现：
11×2=1−12;12×3=12−13;13×4=13−14……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）14×5＝ ，1n×(n+1)＝ ；
（2）利用你发现的规律计算：11×2⋅+12×3+13×4+⋯⋯+1n×(n+1)
（3）利用规律解方程：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+1(x+3)(x+4)+1(x+4)(x+5)=2x−1x(x+5)
【答案】（1）14−15,1n−1n+1；（2）nn+1；（3）见解析．
【分析】（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到14×5和1n×(n+1)
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】解：（1）14×5=14−15， 1n(n+1)=1n−1n+1 ；
故答案为14−15,1n−1n+1
（2）原式＝1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 ;
（3）已知等式整理得： 1x−1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+4−1x+5=2x−1x(x+5)
所以，原方程即： 1x−1x+5=2x−1x(x+5) ，
方程的两边同乘x（x+5），得：x+5﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入x（x+5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x＝3．
【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
类型四 消元法
方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.
【例6】用换元法解分式方程xx2−1+2x2−2x=35时，若设xx2−1=y，则原方程可以化为整式方程 .
【答案】5y2−3y+10=0
【分析】将xx2−1=y代入到原方程中，再进行整理即可．
【详解】解：设xx2−1=y，
则方程xx2−1+2x2−2x=35可以化为y+2y=35，
整理得：5y2−3y+10=0，
故答案为：5y2−3y+10=0．
【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．
【变式6-1】阅读与思考
问题：
(1)若在方程中x−12x−xx−1=0，设y=x−1x，则原方程可化为________________．
(2)模仿上述换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．
【答案】(1)12y−1y=0
(2)x=−72或x=−54
【分析】（1）设y=x−1x，则x−12x=12y,xx−1=1y，据此求解即可；
（2）先把方程变形为x−1x+2−9(x+2)x−1=0，再用换元法求解即可．
【详解】（1）解：设y=x−1x，原方程可化为12y−1y=0，
故答案为：12y−1y=0
（2）解：∵x−1x+2−27x−1−9=x−1x+2−(27x−1+9)=x−1x+2−9(x+2)x−1，
∴原方程为x−1x+2−9(x+2)x−1=0。
设y=x−1x+2，原方程可化为y−9y=0，
方程两边同时乘以y，得y2−9=0，
解得，y=±3，
经检验，y=±3都是原方程的解，
当y=3时，有x−1x+2=3，解得：x=−72，
当y=−3时，有x−1x+2=−3，解得：x=−54，
经检验：x=−72或x=−54都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−72或x=−54．
【点睛】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法．
【变式6-2】用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．
【答案】答案见解析．
【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=x+12x−1，原方程化为y−1y=0，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值．
【详解】解：设y=x+12x−1，则原方程化为y−1y=0．
方程两边同时乘y，得
y2−1=0，
解得y=±1．
经检验：y=±1都是y−1y=0的解．
当y=1时，
x+12x−1=1，
解得x=2．
当y=−1时，
x+12x−1=−1，
解得x=0．
经检验：x=2和x=0都是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=2和x=0．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键．
题型04 错看或错解分式方程问题
【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程1x+1=2x3x+3−1的过程下．
解：去分母，得 3=2x−(3x+3)．①
去括号，得 3=2x−3x+3．②
移项、合并同类项，得 −x=6．③
化系数为1，得 x=−6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断．
【详解】解：1x+1=2x3x+3−1，
去分母，得 3=2x−(3x+3)，
去括号，得 3=2x−3x−3，
移项，得−2x+3x=−3−3，
合并同类项，得 x=−6，
∴以上步骤中，开始出错的一步是②．
故选：B
【点睛】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x的值是 ．
【答案】5
【分析】根据题意得到方程3−xx−4+1=−1，解方程即可求解．
【详解】解：依题意得：3−xx−4+1=−1，即3−xx−4+2=0，
去分母得：3-x+2(x-4)=0，
去括号得：3-x+2x-8=0，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】都错误，见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可．
【详解】小丁和小迪的解法都错误；
解：去分母，得x+(x−3)=x−2，
去括号，得2x−3=x−2，
解得，x=1，
经检验：x=1是方程的解．
【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【变式7-3】（2023忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?x−2+3=12−x.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）x=0;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.
【详解】（1）方程两边同时乘以(x−2)得
5+3(x−2)=−1
解得 x=0
经检验，x=0是原分式方程的解.
（2）设？为m，
方程两边同时乘以(x−2)得
m+3(x−2)=−1
由于x=2是原分式方程的增根，
所以把x=2代入上面的等式得
m+3(2−2)=−1
m=−1
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
题型05 解分式方程的运用（新定义运算）
【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※n=1+1m+n，如：1※2=1+11+2=43．则方程x※(x+1)=32的解为（ ）
A．x=1B．x=−1C．x=−12D．x=12
【答案】D
【分析】根据新定义得出方程1+1x+x+1=32，再解分式方程，求出其解即可．
【详解】解：由题意，得
1+1x+x+1=32，
∴12x+1=12，
解得：x=12，
经检验，x=12是方程的根，
故选：D．
【点睛】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键．
【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数a和b，定义一种新运算“”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3=11−32=−18，则方程x⊗2=2x−4−1的解是（ ）
A．x=4B．x=5C．x=6 D．x=7
【答案】B
【分析】根据题目中定义的新运算，将x⊗2=2x−4−1转换为分式方程，求解即可．
【详解】解：根据题意∵x⊗2=2x−4−1，
即1x−22=2x−4−1，
去分母得：1=2−(x−4)，
解得：x=5，
将x=5代入公分母x−4≠0，
∴x=5是原分式方程的解，
故选：B．
【点睛】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关键．
【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
【答案】−12/−0.5
【分析】根据新定义可得(x+1)⊗x=2x+1x2+x，由此建立方程2x+1x2+x=2x+1x解方程即可．
【详解】解：∵a⊗b=1a+1b，
∴(x+1)⊗x=1x+1+1x=x+1+xxx+1=2x+1x2+x，
又∵(x+1)⊗x=2x+1x，
∴2x+1x2+x=2x+1x，
∴x2+x2x+1−x2x+1=0，
∴x2+x−x2x+1=0，
∴x22x+1=0，
∵(x+1)⊗x=2x+1x即x≠0，
∴2x+1=0，
解得x=−12，
经检验x=−12是方程2x+1x2+x=2x+1x的解，
故答案为：−12．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝1a−1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【答案】56
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得：
12x−1−12＝1，
等式两边同时乘以2(2x−1)得，
2−2x+1=2(2x−1)，
解得：x＝56，
经检验，x＝56是原方程的根，
∴x＝56，
故答案为：56．
【点睛】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键．
题型06 根据分式方程解的情况求值
【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x的分式方程3xx−2＝m2−x+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10B．m≤﹣10
C．m≥﹣10且m≠﹣6D．m＞﹣10且m≠﹣6
【答案】D
【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得3x=−m+5(x−2)，
解得x=m+102，
由方程的解为正数，得到m+10>0，且x≠2，m+10≠4，
则m的范围为m>−10且m≠−6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键．
【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程mx−1+2=−31−x的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可解题．
【详解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，
移项、合并，解得：x=5−m2，
∵分式方程的解为非负数，
∴5−m2≥0且5−m2≠1，
解得：m≤5且m≠3，
∵m为正整数
∴m=1，2，4，5，共4个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．
【变式9-2】（2023盐城市二模）关于x的分式方程1x−2+a−22−x=1的解为正数，则a的取值范围是 ．
【答案】a<5且a≠3
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【详解】去分母得：1−a+2=x−2，
解得：x=5−a，
5−a>0，
解得：a<5，
当x=5−a=2时，a=3不合题意，
故a<5且a≠3．
故答案为a<5且a≠3．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
【变式9-3】（2023·内蒙古包头·校考一模）已知关于x的分式方程2x−mx−1−31−x=1的解是正数，则m的取值范围是 ．
【答案】m>4且m≠5
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：2x−m+3=x−1，
解得：x=m−4，
∵该方程的解是正数
∴m−4>0，
解得m>4，
又∵当m=5时，该分式方程的左边两项分母为0，
∴m≠5，
故答案为：m>4且m≠5．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
【变式9-4】（2023齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程x+1x+2−xx−1=a(x+2)(x−1)的解是正数，a的取值范围是 ．.
【答案】a<−1且a≠-3.
【详解】分析：解分式方程，用含a的式子表示x，由x＞0，求出a的范围，排除使分母为0的a的值.
详解：x＋1x＋2−xx−1＝ax＋2x−1，
去分母得，(x＋1)(x－1)－x(x＋2)＝a，
去括号得，x2－1－x2－2x＝a，
移项合并同类项得，－2x＝a＋1，
系数化为1得，x＝−a−12.
根据题意得，−a−12＞0，解得a＜－1.
当x＝1时，－2×1＝a＋1，解得a＝－3；
当x＝－2时，－2×(－2)＝a＋1，解得a＝3.
所以a的取值范围是a＜－1且a≠－3.
故答案为a＜－1且a≠－3.

由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
题型07 根据分式方程有解或无解求参数
【例10】（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x的方程2x=m2x+1无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当m−4=0时，当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘x(2x+1)，得2(2x+1)=mx，
整理得(m−4)x=2，
∵原方程无解，
∴当m−4=0时，m=4；
当m−4≠0时，x=0或2x+1=0，此时，x=2m−4，
解得x=0或x=−12，
当x=0时，x=2m−4=0无解；
当x=−12时，x=2m−4=−12，解得m=0；
综上，m的值为0或4；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式10-1】（2022·四川眉山·统考一模）已知关于x的分式方程kx−2－32−x＝1无解，则k＝（ ）
A．－3B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可．
【详解】∵kx−2－32−x＝1，
∴k+3=x-2，
∵关于x的分式方程kx−2－32−x＝1无解，
∴x-2=0，
∴k= -3，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的无解，熟练掌握分式方程的无解的意义是解题的关键．
【变式10-2】（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x的分式方程 a2x+3−a−xx−5=1无解，则a的值为 ．
【答案】10或0或5
【分析】分原方程分母为零和方程的解的分母为零两种情况分别求解即可．
【详解】解：解方程a2x+3−a−xx−5=1得，x=8a−1510−a，
若方程无解，则10−a=0，
∴a=10，
当2x+3=0或x−5=0时，方程无解，
即x=−32或x=5时，
当8a−1510−a=−32时，a=0，
当8a−1510−a=5时，a=5，
综上，a的值为10或0或5．
【点睛】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键．

已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.
题型08 已知分式方程有增根求参数
【例11】（2021·广西贺州·统考中考真题）若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，
∴x=3，
去分母，得m+4=3x+2x−3，
将x=3代入，得m+4=9，
解得m=5．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
【变式11-1】（2021·山东烟台·统考一模）若关于x的分式方程6x−2−1=ax2−x有增根，则a的值为（ ）
A．−3B．3C．2D．−72
【答案】A
【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可求得．
【详解】解：6x−2−1=ax2−x，
去分母，得：6−(x−2)=−ax．
∵分式方程有增根，
∴增根为x=2，
将x=2代入整式方程，得：6−(x−2)=−ax，
得：6−(2−2)=−2a．
解得a=−3
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．
【变式11-2】（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，则m的值是 ．
【答案】32
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：6−xx−3−2mx−3=0，
方程两边同乘x−3，得6−x−2m=0．
移项，得−x=2m−6．
x的系数化为1，得x=−2m+6．
∵关于x的方程6−xx−3−2mx−3=0有增根，
∴−2m+6−3=0．
∴m=32．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．

依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
题型09 已知分式方程有整数解求参数
【例12】（2022·广东佛山·统考一模）若关于x的分式方程x−2x−1＝mx1−x有正整数解，则整数m为 ．
【答案】0
【分析】先解分式方程，再根据有正整数解及分母不为0进行求解即可．
【详解】方程两边同乘(x−1)，得x−2=−mx
解得x=2m+1
∵分式方程有正整数解
∴x>0即2m+1>0
∴m>−1
∵x−1≠0
∴x≠1
即2m+1≠1
∴m≠1
∴m=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查解分式方程及分式方程正整数根的情况，注意分母不等于0是解题的关键．
【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x的一元一次不等式结3x−12≤x+3x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y−ay−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
【答案】A
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】解：解不等式3x−12≤x+3，解得x≤7，
∴不等式组整理的x≤7x≤a，
由解集为x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，
解得：y＝a+23，
由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x的不等式组x−m2≥0x+3<3x−1的解集为x>3，且关于y的分式方程3−y2−y+my−2=3有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A．−4B．−3C．−1D．−7
【答案】C
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到m≤3；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到m≥−3且m≠1，进而确定符合题意的m的值即可得到答案．
【详解】解：解不等式x−m2≥0得x≥m，
解不等式x+3<3x−1得x>3，
∵关于x的不等式组x−m2≥0x+3<3x−1的解集为x>3，
∴m≤3；
3−y2−y+my−2=3
去分母得：y−3+m=3y−2，
去括号得：y−3+m=3y−6，
移项得：y−3y=−6+3−m，
合并同类项得：−2y=−3−m，
系数化为1得：y=3+m2，
∵关于y的分式方程3−y2−y+my−2=3有非负整数解，
∴3+m2≥0且3+m2≠2，
∴m≥−3且m≠1，
综上所述，−3≤m≤3且m≠1，
∴符合题意的m的值可以为−3，−2，−1，0，2，3，
−3+−2+−1+0+2+3=−1，
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键．
【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y的分式方程9−ayy−3+2=213−y有整数解，且关于x的不等式组5x≥3x+2x−x+32≤a16有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数a的值之和是 ．
【答案】22
【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题．
【详解】解：由9−ayy−3+2=213−y可得：y=24a−2，
∵y−3≠0，即y≠3，
∴24a−2≠3，
解得a≠10，
由5x≥3x+2x−x+32≤a16可得：3≤x≤a+248，
∵关于y的分式方程9−ayy−3+2=213−y有整数解，
∴a的取值有−22，−10，−6，−4，−2，−1，0，1，3，4，5，6，8，14，26；
∵关于x的不等式组5x≥3x+2x−x+32≤a16有且只有两个整数解，
∴4≤a+248<5，解得：8≤a<16，
∴满足题意a的值有14和8，
∴符合条件的所有整数a的值之和是22
故答案为：22.
【点睛】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
【变式12-4】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）关于x的不等式组−x+a<23x−14≤x−1的解集为x≥3，且关于y的分式方程yy−1+a+21−y=−1有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】1
【分析】根据不等式组的解集和分式方程的解确定a的取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组−x+a<23x−14≤x−1，
得a−2∵关于x的不等式组−x+a<23x−14≤x−1的解集为x≥3，
∴ a−2<3，
∴a<5，
解分式方程yy−1+a+21−y=−1，
解得：y=3+a2，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0且y≠1，
∴3+a2≥0且3+a2≠1，
解得a≥−3且a≠−1，
∴−3≤a≤5且a≠−1，
∴满足条件的整数a的值为−3，−2，0，1，2，3，4，
当a=−2，0，2，4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数a的值为−3，1，3，
故和为：1
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集和分式方程的解求参数，非负整数的性质，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．
考点二 分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
题型01 列分式方程
【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ）
A．400x−50=300xB．300x−50=400xC．400x+50=300xD．300x+50=400x
【答案】B
【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，
根据题意，可列方程：300x−50=400x，
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
【变式1-1】（2022·广西·统考中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．1.4−x2.4−x=813B．1.4+x2.4+x=813C．1.4−2x2.4−2x=813D．1.4+2x2.4+2x=813
【答案】D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
1.4+2x2.4+2x=813，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
【变式1-2】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．30x−301.2x=20B．30x−30x−20=1.2
C．301.2x−30x=20D．30x−20−30x=1.2
【答案】A
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴30x−301.2x=20．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式1-3】（2022·山东淄博·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A．20000x=20000×(1−15%)x−10
B．20000x−10=20000×(1−15%)x
C．20000x=20000×(1−15%)x+10
D．20000x+10=20000×(1−15%)x
【答案】D
【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，
依题意得：20000x+10=20000×(1−15%)x，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
【变式1-4】（2022·山东济宁·统考中考真题）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ）
A．420x=420x−10+1B．420x+1=420x+10
C．420x=420x+10+1D．420x+1=420x−10
【答案】C
【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h，，则实际速度为x+10km/h，根据题意“提前1小时到达目的地”，列分式方程即可求解．
【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为x+10km/h，
根据题意所列方程是420x=420x+10+1
故选C
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题的关键．
【变式1-5】（2023·重庆江北·校考一模）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船在静水中的速度，设船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程为（ ）
A．36x+3−36x−3=2B．36x−3−36x+3=2C．36x+3=36x−3+2D．36x+3+36x−3=2
【答案】B
【分析】根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可．
【详解】解：依题意有：36x−3−36x+3=2，
故答案选:B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
【变式1-6】（2022·湖北荆州·统考中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．63x+13=104xB．63x+20=104xC．63x−104x=13D．63x−104x=20
【答案】A
【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上13小时等于乙所花的时间建立方程即可．
【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则
63x+13=104x，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
题型02 利用分式方程解决实际问题
类型一 行程问题
【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，
根据题意得：45x=453x+2，
解之得x=15，
经检验x=15是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为15千米/小时．
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：
(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；
(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？
【答案】(1)小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时
(2)为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为365千米/小时
【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；
（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：4.5x−560=+1060，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
则1.5x=9，
答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9=16（小时），
小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60=23（小时），
设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：1.5+23−16−560m≥4.5，
解得：m≥365，
答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为365千米/小时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
类型二 工程问题
【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？
(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【答案】(1)甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
(2)至少安排乙工程队施工30天．
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路600m时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工120−2m3天，根据总费用不超过38万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，
依题意，得： 600x−6001.5x=4，
解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=75．
答：甲工程队每天修路75米，乙工程队每天修路50米．
（2）解：设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工3000−50m75=120−2m3天，
依题意，得：120−2m3+0.6m≤38，
解得：m≥30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43，而乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？
【答案】(1)甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米
(2)共需修建费用201万元
【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建43x米，根据乙施工队单独修建这项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天，列出方程进行求解即可；
（2）设乙施工队干了a天，根据先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，列出方程，求出a，分别求出甲，乙两队的修建费，即可得解．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建43x米，由题意，得：1920x−4=192043x，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
∴43x=160，
∴甲施工队每天修建120米，乙施工队每天修建160米；
（2）设乙施工队干了a天，由题意，得：120×12+160a=1920，
解得：a=3，
∴乙施工队修建了3天，
∴共需修建费用13×12+15×3=201万元；
答：共需修建费用201万元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
类型三 和差倍分问题
【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【答案】(1)200
(2)140
【分析】对于（1），设第一次购进冰墩墩x个，可表示第二次购进的个数，再根据单价的差=10列出分式方程，再检验即可；
对于（2），由（1）可知第二购进冰墩墩的数量，再设每个冰墩墩得标价是a元，根据销售利润率不低于20％列出一元一次不等式，求出解集即可．
【详解】（1）解：设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进2x个，根据题意，得
22000x=480002x−10，
解得x=200，
经检验，x=200是原方程得解，且符合题意.
所以该商家第一次购进冰墩墩200个；
（2）解：由（1）可知第二次购进冰墩墩的数量是400个，设每个冰墩墩得标价是a元，得
(200+400)a≥(1+20％)(22000+48000)，
解得a≥140．
所以每个冰墩墩得标价是140元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据等量（不等）关系列出方程和不等式是解题的关键．
【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】(1)20元
(2)2250元
【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可；
（2）设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗m捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．
【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，
300x−30054x=3
300×54−300=154x
154x=75
解得x=20
检验：将x=20代入54x=54×20=25，值不为零，
∴x=20是原方程的解，
∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元．
（2）解：设：购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗100−m捆，费用为y元，
由题意可知：m≤100−m，
解得m≤50，
又∵y=20m+30×100−m×0.9，
∴y=−9m+2700m≤50，
∵y随m的增大而减小
∴当m=50时，花费最少，
此时y=−9×50+2700=2250
∴本次购买最少花费2250元．
【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．
【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．
（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？
【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子
【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．
【详解】解：（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，由题意得：
12002x+50=800x，
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解，
答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．
（2）设购进m个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m）个，由（1）及题意得：
8m+4200−m≤1150，
解得：m≤87.5，
∵m为正整数，
∴m的最大值为87；
答：最多购进87个甲种粽子．
【点睛】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．
【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？
【答案】每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元
【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价．
【详解】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，
依题意得： 96000x=1680002x−400 ，
解得：x＝1600，
经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．
答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
类型四 销售利润问题
【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1) B型商品的进价为120元，A型商品的进价为150元；(2)5500元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可．
【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意：1500x+30=600x×2
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，
∴m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∵−10<0
∴m=50时，w有最小值=5500（元）
【点睛】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解分式方程时要检验．
【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为(x+8)元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程进行求解即可；
（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为(x+8)元，
根据题意得，2000x=2400x+8，
解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为200040=50，
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
60−40a+60×0.7−4050−a+88−48×50≥2460，
解得a≥20，
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程，找出不等关系列出不等式是解题的关键．考点要求
新课标要求
命题预测
解分式方程
能解可化为一元一次方程的分式方程
中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握．
分式方程的应用
能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性
阅读下面的材料，解答后面的问题．
解方程：x−1x−4xx−1=0．
解：设y=x−1x，则原方程可化为y−4y=0，方程两边同时乘y得y2−4=0，
解得y=±2，
经检验：y=±2都是方程y−4y=0的解，∴当y=2时，x−1x=2，解得x=−1，
当y=−2时，x−1x=−2，解得x=13，经检验：x=−1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x=−1或x=13．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”．
先化简，再求值：3−xx−4+1，其中x=
解：原式=3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)
=3−x+x−4
=−1
小丁：
解：去分母，得x−(x−3)=x−2
去括号，得x−x+3=x−2
合并同类项，得3=x−2
解得x=5
∴原方程的解是x=5
小迪：
解：去分母，得x+(x−3)=1
去括号得x+x−3=1
合并同类项得2x−3=1
解得x=2
经检验，x=2是方程的增根，原方程无解