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沪科技版（2020）必修第二册第六章 万有引力定律第一节 行星的运动精品学案
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这是一份沪科技版（2020）必修第二册第六章 万有引力定律第一节 行星的运动精品学案，文件包含第9课行星的运动原卷版docx、第9课行星的运动解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。
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1、了解地心说与日心说
2、明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题
3、知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关．理解引力公式的含义并会推导平方反比规律
知识精讲
知识点01两种学说的对立
1.地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密。
2.日心说
(1)太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)地球是绕太阳旋转的行星；月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳旋转；
(3)太阳静止不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成太阳每天东升西落的现象；
(4)日心说的代表人物是哥白尼。
3.局限性
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，但计算所得的数据和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
4.哥白尼的学说存在两大缺点
（1）把太阳当作宇宙的中心。实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心。
（2）沿用了行星在圆轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念。实际上行星的轨道是椭圆，行星的运动也不是匀速的。
【典例1】
首先对天体做圆周运动产生了怀疑的科学家是( )
A．布鲁诺 B．伽利略
C．开普勒 D．第谷
【答案】C
【解析】开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，并认为所有行星的运动轨道都是椭圆，C正确。
【典例2】
下列说法都是“日心说”的观点，现在看来其中正确的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳运动的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天体不动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多
【答案】D
【解析】A是“日心说”的观点，但现在看来是不正确的，太阳不是宇宙中心，只是太阳系的中心天体，行星做的也不是匀速圆周运动，A错误；月亮绕地球运动的轨道不是圆，B错误；恒星是宇宙中的主要天体，宇宙中可观察到的恒星有1012颗，太阳是离我们最近的一颗恒星，所有的恒星都在宇宙中高速运动着，所以天体也是运动的，C错误。
【即学即练1】
在物理学发展史中，许多物理学家做出了卓越贡献。以下关于物理学家的科学贡献的叙述中，正确的是
A．牛顿建立了相对论
B．伽利略提出了“日心说”
C．哥白尼测定了万有引力常量
D．开普勒发现了行星运动三定律
【答案】D
【解析】爱因斯坦最先提出狭义相对论和广义相对论，A错误；在天体运动规律的探究过程中哥白尼最先提出了日心说，B错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了万有引力常量，C错误；开普勒在前人研究数据的基础上发现了行星运动的三大定律，D正确。
【即学即练2】
关于日心说被人们接受的原因是（）（多选）
A．太阳总是从东面升起，从西面落下
B．日心说符合宗教神学得观点
C．若以太阳为中心许多问题都可以解决，对行星的描述也变得简单
D．地球是围绕太阳运转的
【答案】CD
【解析】关于日心说被人们所接受的原因是以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题，以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单，故CD正确，AB错误；故选CD。
知识点02 开普勒行星运动定律
1、开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.如下左图所示；不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如下右图所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳
说明：该定律又叫椭圆轨道定律，行星与太阳间的距离一直在变。
2、开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。如图所示。
说明：该定律又叫面积定律，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
说明：该定律又叫周期定律。数学表达式：=k，或者，其中a为椭圆轨道的半长轴，T为公转周期。常数k与行星无关，只与太阳有关。
该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常数k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定。
【典例1】
关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
【答案】A
【解析】由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
【典例2】
如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为( )
A．vb＝ va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝ va
【答案】C
【解析】若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va，C正确。
【即学即练1】
两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2 B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2 D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
【答案】D
【解析】已知两卫星的周期关系，由开普勒第三定律得
，故＝，由v＝可得＝，D正确。
【即学即练2】
已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A. B．2C. D.
【答案】C
【解析】由开普勒第三定律知和行星的质量无关，由，得＝＝ ＝，所以C正确。
知识点03 太阳与行星间的引力
太阳与行星间的引力
1、模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。
2、太阳对行星的引力：根据牛顿第二定律F＝meq \f(v2,r)和开普勒第三定律eq \f(r3,T2)∝k可得：F∝eq \f(m,r2)。这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
3、行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝eq \f(M,r2)。
4、太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F＝F′，所以有F∝eq \f(Mm,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(Mm,r2)。
太阳与行星间引力的推导
1、两个理想化模型
（1）将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。
（2）将天体看成质点，且质量集中在球心上。
2、推导过程
3、具体步骤
a、设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力
b、天文观测难以直接得到行星运动的速度v，但可以得到行星公转的周期T，它们之间的关系式为
把这个结果带入上面向心力的表达式整理后得到
c、不同行星的公转周期是不同的，F跟r的关系表达式中不应出现周期T，所以要设法消去上式中的T，为此，可以把开普勒第三定律变形为代入上式便得到
d、在这个式子中可以看到，等号右边除了m，r以外，其余都是常量，对于任何行星来说，都是相同的，婴儿可以说太阳对行星的引力F，与 成正比，也就是
这表明：太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
【典例1】
太阳对行星的引力F与行星对太阳的引力F′大小相等，其依据是( )
A．牛顿第一定律B．牛顿第二定律
C．牛顿第三定律 D．开普勒第三定律
【答案】C
【解析】物体间力的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，所以依据的是牛顿第三定律。
【典例2】
关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
【答案】BD
【解析】由F＝，太阳对行星的引力大小，与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道近似看做圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。
【即学即练1】
一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星的运行速率是地球运行速率的( )
A．4倍B．2倍
C．0.5倍 D．16倍
【答案】C
【解析】小行星、地球绕太阳运行的向心力分别为F1、F2，对应的速度分别为v1、v2，由向心力公式得，F1＝，由太阳与行星之间的相互作用规律可知，F1∝，由上述两式可得，v1∝，同理可得，v2∝，故＝，因r1＝4r2，故＝，故正确答案是C。
【即学即练2】
火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式。
【答案】
【解析】设太阳质量为M，火星的质量为m。
火星与太阳间的引力提供向心力，则有
＝
v＝
两式联立得M＝
知识点04 引力常量的测量
实验介绍：1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G的数值。
卡文迪许的“扭秤”实验装置
扭秤实验装置结构图
图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为M的大球，用一束光射入平面镜。
由于大、小球之间的引力作用， T形框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F，再测出m、M和球心的距离r，即可求出引力常量G=。
大小球之间的引力非常小，这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法.引力很小，但是加长水平杆的长度增加了力臂，使力矩增大，提高了测量精度.同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法，精确地测定了石英丝的扭转角，从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量。
卡文迪许的测量方法非常精巧，在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度。卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性。同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能。
【典例1】
卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。
（1）（多选题）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是（ ）
（A）减小石英丝的直径
（B）增大T型架横梁的长度
（C）利用平面镜对光线的反射
（D）增大刻度尺与平面镜的距离
（2）已知T型架水平横梁长度为l，质量分别为m和m′的球，位于同一水平面内，当横梁处于力矩平衡状态时，测得m、m′连线长度为r，且与水平横梁垂直，同时测得石英丝的扭转角度为θ，由此得到扭转力矩kθ（k为扭转系数且已知），则引力常量的表达式G＝_________。
【答案】（1）CD；（2）
【解析】（1）该实验巧妙地利用了光尺放大技术。当一束光照射到固定在游丝上的小圆镜上时，若光线与圆镜的法线有一微小角度时，反射光则以与入射角相同的角度反射到远处的光尺上，一般光尺到圆镜的距离有几十厘米，所以反射光的光点在光尺上就划过一个较大距离，这样游丝的微小转动在光尺上就能读到一段较大的尺寸，使微小量得到了放大。对照题目中给出的选项，显然（C）、（D）符合要求，是正确答案。选项（A）、（B）与光放大的思想无关。
（2）当引力力矩与游丝扭转力矩相等时，有，得
能力拓展
下面表格中列出了太阳系中八大行星的一些数据：
（1）你能从行星与太阳的距离和公转周期中得出什么关系吗？
（2）你觉得最独特的行星是哪一颗？说明理由。
【答案】
（1）用计算机或图形计算器数据拟合的方法，尝试和猜测各行星与太阳距离R与公转周期T之间的关系。我们会发现R3/T2＝常量。
实际上这就是开普勒行星第三定律。
（2）地球，因为地球可能是太阳系中唯一有生命的星球；土星，是太阳系中唯一密度比水还要轻的星球，如果把土星能放在一个大水盆里，它就能漂起来。
……
【解析】
第（1）题如果直接从数据上分析，那么实际上这个问题正是开普勒研究的问题。如果我们已经知道万有引力定律，那么就是一个规律推导的问题。
第（2）题是一个开放的问题，只要能自圆其说就可以了。
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．下列说法不符合物理学史的是（ ）
A．牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
B．英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值
C．牛顿做了月地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律
D．开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的
【答案】A
【详解】
AB．英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值．故A不符合物理学史，符合题意，B不符合题意；
C．牛顿做了月地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律，故C正确，但不符合题意；
D．开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的，故D正确，但不符合题意。
故选A。
2．在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢移过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．地球在金星与太阳之间
B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点
C．金星绕太阳公转的周期小于365天
D．当金星远离太阳，相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积变小
【答案】C
【详解】
A．“金星凌日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三者在一条直线上时，金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生金星凌日现象时，金星位于地球和太阳之间，故A错误；
B．观测“金星凌日”时，如果将太阳看成质点，将无法看到“金星凌日”现象。故B错误；
C．根据开普勒第三定律
可得
依题意，有
解得
故C正确；
D．根据开普勒第二定律，可知在同一轨道内，相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积相等。故D错误。
故选C。
3．我国的人造卫星围绕地球的运动，有近地点和远地点，由开普勒定律可知卫星在远地点运动速率比近地点运动的速率小，如果近地点距地心距离为R1，远地点距地心距离为R2，则该卫星在近地点运动速率和远地点运动的速率之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据开普勒第二定律，对每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，即
v1Δt R1＝ v2Δt R2
即
ACD错误，B正确。
故选B。
4．关于行星绕太阳运动，下列说法中正确的是（ ）
A．所有行星都在同一个椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．距离太阳越远的行星，绕太阳运动一周的时间越长
【答案】C
【详解】
AB．行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，不同的行星运动轨道不同，太阳在椭圆的一个焦点上，故AB错误；
C．由开普勒第三定律可知
故可知离太阳越远的行星，公转周期越长，故C正确。
故选C。
5．关于开普勒第三定律公式，下列说法正确的是（ ）
A．公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C．式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D．式中的T代表行星自转的周期
【答案】B
【详解】
AB．开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星，也适用于围绕行星运动的卫星，A项错误，B项正确；
CD．公式中的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，CD两项错误。
故选B。
6．“天问一号”探测器于2020年7月23日成功发射，由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，成为一颗人造行星，与地球、火星共同绕太阳公转，并逐渐远离地球，飞向火星，其运动轨道如图所示。若地球到太阳的平均距离为1Au（天文单位） ，火星到太阳的平均距离为1. 5Au，则“天问一号”在地火转移椭圆轨道上运动的周期约为（ ）
A．0.8年B．1.4年C．2.2年D．2.6年
【答案】B
【详解】
“天问一号”做椭圆运动的半长轴为
根据开普勒第三定律，可得
地球公转周期为
解得
故选B。
题组B 能力提升练
二、填空题
1．丹麦的赫兹普伦和美国的罗素在1913年绘制了赫罗图,表示的恒星的温度与亮度的关系,主序对角线中恒星的亮度增大,表面温度就_____________（填升高或降低）为了比较天体的发光强度,天文上采用____________________来表示。
【答案】 升高 绝对性等
【详解】
[1]．赫罗图表示的恒星的温度与亮度的关系，主序对角线中恒星的亮度增大，表面温度就升高．
[2]．为了比较天体的发光强度，天文上采用绝对星等．
12．一探空火箭未打中目标而进入绕太阳的近似圆形轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为_________。
【答案】27年
【详解】
[1]因为探空火箭和地球都是绕着太阳运动，根据开普勒第三定律可得
其中
，
解得
即探空火箭绕太阳公转周期为27年。
3．太阳系中除了九大行星之外，还有许多围绕太阳运行的小行星，其中有一颗名叫“谷神”的小行星，质量为1.00×1021kg，它运行的轨道半径是地球轨道半径的2.77倍，则它绕行太阳一周需要_____年。
【答案】4.61
【详解】
应用开普勒第三定律得
解得
4．如图所示，椭圆为地球绕太阳运动的轨道，A、B分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为vA和vB；阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用SA和SB表示，则vA ___________vB、SA________SB．(均填“>”“=”或“<”）
【答案】 >； =；
【详解】
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等即 .根据 ,可以知道
故本题答案是：(1). >； (2). =；
5．下表列出了太阳系八大行星的一些数据：直径d、与太阳间平均距离r及绕日转动的周期T。计算各行星离太阳平均距离r与行星直径d之比，平均距离r的三次方与周期T的二次方之比，并回答下列问题。
(1)行星绕太阳旋转周期T与它们离太阳间的距离有什么关系？( )
(2)各行星中，最大的是____________星，为__________________，最小的是____________星，为____________。由于很大，你能将行星的绕日运动视为怎样的一个运动模型？( )
(3)如图所示，将各行星之值用直方图表示出来。分析直方图，你能发现什么结论？( )
【答案】 r越大，T也越大 海王星 木星 几何点 各行星绕日运动的近似圈轨道半径的三次方与其周期的二次方之比为一定值
【详解】
(1)[1]从表中数据可得出行星绕日运动的周期T与它们离日的平均距离r有关：r越大，T也越大，即旋转一周时间越长。
(2)[2][3][4][5]值最大的是海王星，为倍，最小的是木星，为倍；
[6]由于，因此可以将行星视为一个“几何点”，它在绕日做近似圆周的运动，研究行星运动时可忽略其本身的形状，自转等其他次要因素。
(3)[7]在直方图上各行星值非常相近。这表明各行星绕日运动的近似圈轨道半径的三次方与其周期的二次方之比为一定值。
6．木星的公转周期为12个地球年，设地球距太阳的距离为1个天文单位，那么木星距太阳的距离为_______个天文单位。
【答案】
【详解】
根据开普勒第三定律
得
设地球与太阳的距离为R1，木星与太阳的距离为R2，则得
题组C 培优拔尖练
1．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，A点距月球表面的高度为月球半径的3倍，飞船到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，把月球看做质量分布均匀的球体，求：
(1)飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运动的周期；
(2)如果在轨道Ⅰ、Ⅲ上分别有一颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最远，则再经过多长时间，它们会第一次相距最近？
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1) 因
且
解得在轨道Ⅲ上运动的周期为
飞船在轨道Ⅰ的轨道半径分别为4R、在轨道Ⅱ上的半长轴为2.5R，在轨道Ⅲ上运动的半径为R，根据开普勒第三定律可知
解得
(2)从两卫星相距最远到第一次相距最近时在轨道Ⅲ上的卫星比轨道Ⅰ上的卫星多转半圈，即
解得
2．太阳系八大行星几乎是在同一平面内沿同方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到土星和太阳之间，且三者几乎成一条直线的现象，天文学称为“土星冲日”。已知地球公转轨道半径，地球公转周期年，土星公转轨道半径。
（1）求土星绕日的公转周期T2[计算结果保留到整数，可能用到的数，，；
（2）估算两次“土星冲日”的最短时间间隔（用T1和T2表示）。
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）根据开普勒第三定律有
代入数据解得
年
（2）再次发生“土星冲日”意味着土星、地球和太阳再次共线，则地球比土星转过的圆心角多，则有
解得
3．设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧（称为地内行星）。在某些特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面。天文学称这种现象为“金星凌日”。如图所示，2012年6月6日天空上演的“金星凌日”吸引了全世界数百万天文爱好者。假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，已知地球公转周期为T=1年。求金星的公转轨道半径。
【答案】
【详解】
设金星的轨道半径为Rx，周期为Tx，角速度为ωx，则由开普勒第三定律有
可得
根据题意，应有，则
即
解得
其中T0=1年，联立解得
行星
到太阳的平均距离R / km
绕太阳公转的周期T
密度ρ / kg·m-3
水星
0.58×108
88天
5.43
金星
1.08×108
225天
5.25
地球
150×108
365天
5.52
火星
2.28×108
1.88年
3.95
木星
7.78×108
11.9年
1.33
土星
14.3×108
29.5年
0.69
天王星
28.7×108
84年
1.29
海王星
45.0×108
165年
1.64
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
直径约
5
12
12.75
7
140
120
52
50
与太阳间平均距离约
60
108
150
230
780
1400
2900
4500
绕日周期T（年）约
0.25
0.6
1
1.9
12
29
84
165
约
12
9
118
32.9
5.57
11.7
55.8
90
约
目标导航
1、了解地心说与日心说
2、明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题
3、知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关．理解引力公式的含义并会推导平方反比规律
知识精讲
知识点01两种学说的对立
1.地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密。
2.日心说
(1)太阳是宇宙的中心，是静止不动的，所有行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)地球是绕太阳旋转的行星；月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳旋转；
(3)太阳静止不动，因为地球每天自西向东自转一周，造成太阳每天东升西落的现象；
(4)日心说的代表人物是哥白尼。
3.局限性
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，但计算所得的数据和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。
4.哥白尼的学说存在两大缺点
（1）把太阳当作宇宙的中心。实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心。
（2）沿用了行星在圆轨道上做匀速圆周运动的陈旧观念。实际上行星的轨道是椭圆，行星的运动也不是匀速的。
【典例1】
首先对天体做圆周运动产生了怀疑的科学家是( )
A．布鲁诺 B．伽利略
C．开普勒 D．第谷
【答案】C
【解析】开普勒根据第谷的观测数据及个人的理论分析，对前人提出的天体做圆周运动的说法产生了怀疑，并认为所有行星的运动轨道都是椭圆，C正确。
【典例2】
下列说法都是“日心说”的观点，现在看来其中正确的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳运动的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天体不动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多
【答案】D
【解析】A是“日心说”的观点，但现在看来是不正确的，太阳不是宇宙中心，只是太阳系的中心天体，行星做的也不是匀速圆周运动，A错误；月亮绕地球运动的轨道不是圆，B错误；恒星是宇宙中的主要天体，宇宙中可观察到的恒星有1012颗，太阳是离我们最近的一颗恒星，所有的恒星都在宇宙中高速运动着，所以天体也是运动的，C错误。
【即学即练1】
在物理学发展史中，许多物理学家做出了卓越贡献。以下关于物理学家的科学贡献的叙述中，正确的是
A．牛顿建立了相对论
B．伽利略提出了“日心说”
C．哥白尼测定了万有引力常量
D．开普勒发现了行星运动三定律
【答案】D
【解析】爱因斯坦最先提出狭义相对论和广义相对论，A错误；在天体运动规律的探究过程中哥白尼最先提出了日心说，B错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测定了万有引力常量，C错误；开普勒在前人研究数据的基础上发现了行星运动的三大定律，D正确。
【即学即练2】
关于日心说被人们接受的原因是（）（多选）
A．太阳总是从东面升起，从西面落下
B．日心说符合宗教神学得观点
C．若以太阳为中心许多问题都可以解决，对行星的描述也变得简单
D．地球是围绕太阳运转的
【答案】CD
【解析】关于日心说被人们所接受的原因是以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题，以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单，故CD正确，AB错误；故选CD。
知识点02 开普勒行星运动定律
1、开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.如下左图所示；不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如下右图所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳
说明：该定律又叫椭圆轨道定律，行星与太阳间的距离一直在变。
2、开普勒第二定律：对于任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。如图所示。
说明：该定律又叫面积定律，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大。近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小。
3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
说明：该定律又叫周期定律。数学表达式：=k，或者，其中a为椭圆轨道的半长轴，T为公转周期。常数k与行星无关，只与太阳有关。
该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，其中常数k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定。
【典例1】
关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同
D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比
【答案】A
【解析】由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，选项A正确，B错误；由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项C、D错误。
【典例2】
如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时行星的速率为( )
A．vb＝ va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝ va
【答案】C
【解析】若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点，则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va，C正确。
【即学即练1】
两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2 B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2 D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
【答案】D
【解析】已知两卫星的周期关系，由开普勒第三定律得
，故＝，由v＝可得＝，D正确。
【即学即练2】
已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A. B．2C. D.
【答案】C
【解析】由开普勒第三定律知和行星的质量无关，由，得＝＝ ＝，所以C正确。
知识点03 太阳与行星间的引力
太阳与行星间的引力
1、模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力。
2、太阳对行星的引力：根据牛顿第二定律F＝meq \f(v2,r)和开普勒第三定律eq \f(r3,T2)∝k可得：F∝eq \f(m,r2)。这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
3、行星对太阳的引力：太阳与行星的地位相同，因此行星对太阳的引力和太阳对行星的引力规律相同，即F′∝eq \f(M,r2)。
4、太阳与行星间的引力：根据牛顿第三定律F＝F′，所以有F∝eq \f(Mm,r2)，写成等式就是F＝Geq \f(Mm,r2)。
太阳与行星间引力的推导
1、两个理想化模型
（1）将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。
（2）将天体看成质点，且质量集中在球心上。
2、推导过程
3、具体步骤
a、设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力
b、天文观测难以直接得到行星运动的速度v，但可以得到行星公转的周期T，它们之间的关系式为
把这个结果带入上面向心力的表达式整理后得到
c、不同行星的公转周期是不同的，F跟r的关系表达式中不应出现周期T，所以要设法消去上式中的T，为此，可以把开普勒第三定律变形为代入上式便得到
d、在这个式子中可以看到，等号右边除了m，r以外，其余都是常量，对于任何行星来说，都是相同的，婴儿可以说太阳对行星的引力F，与 成正比，也就是
这表明：太阳对不同行星的引力与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。
【典例1】
太阳对行星的引力F与行星对太阳的引力F′大小相等，其依据是( )
A．牛顿第一定律B．牛顿第二定律
C．牛顿第三定律 D．开普勒第三定律
【答案】C
【解析】物体间力的作用是相互的，作用力和反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，所以依据的是牛顿第三定律。
【典例2】
关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
【答案】BD
【解析】由F＝，太阳对行星的引力大小，与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道近似看做圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。
【即学即练1】
一颗小行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径是地球公转半径的4倍，则这颗小行星的运行速率是地球运行速率的( )
A．4倍B．2倍
C．0.5倍 D．16倍
【答案】C
【解析】小行星、地球绕太阳运行的向心力分别为F1、F2，对应的速度分别为v1、v2，由向心力公式得，F1＝，由太阳与行星之间的相互作用规律可知，F1∝，由上述两式可得，v1∝，同理可得，v2∝，故＝，因r1＝4r2，故＝，故正确答案是C。
【即学即练2】
火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力，已知火星运行的轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G，试写出太阳质量的表达式。
【答案】
【解析】设太阳质量为M，火星的质量为m。
火星与太阳间的引力提供向心力，则有
＝
v＝
两式联立得M＝
知识点04 引力常量的测量
实验介绍：1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G的数值。
卡文迪许的“扭秤”实验装置
扭秤实验装置结构图
图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为M的大球，用一束光射入平面镜。
由于大、小球之间的引力作用， T形框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F，再测出m、M和球心的距离r，即可求出引力常量G=。
大小球之间的引力非常小，这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法.引力很小，但是加长水平杆的长度增加了力臂，使力矩增大，提高了测量精度.同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法，精确地测定了石英丝的扭转角，从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量。
卡文迪许的测量方法非常精巧，在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度。卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性。同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能。
【典例1】
卡文迪许利用如图所示的扭秤实验装置测量了引力常量G。
（1）（多选题）为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是（ ）
（A）减小石英丝的直径
（B）增大T型架横梁的长度
（C）利用平面镜对光线的反射
（D）增大刻度尺与平面镜的距离
（2）已知T型架水平横梁长度为l，质量分别为m和m′的球，位于同一水平面内，当横梁处于力矩平衡状态时，测得m、m′连线长度为r，且与水平横梁垂直，同时测得石英丝的扭转角度为θ，由此得到扭转力矩kθ（k为扭转系数且已知），则引力常量的表达式G＝_________。
【答案】（1）CD；（2）
【解析】（1）该实验巧妙地利用了光尺放大技术。当一束光照射到固定在游丝上的小圆镜上时，若光线与圆镜的法线有一微小角度时，反射光则以与入射角相同的角度反射到远处的光尺上，一般光尺到圆镜的距离有几十厘米，所以反射光的光点在光尺上就划过一个较大距离，这样游丝的微小转动在光尺上就能读到一段较大的尺寸，使微小量得到了放大。对照题目中给出的选项，显然（C）、（D）符合要求，是正确答案。选项（A）、（B）与光放大的思想无关。
（2）当引力力矩与游丝扭转力矩相等时，有，得
能力拓展
下面表格中列出了太阳系中八大行星的一些数据：
（1）你能从行星与太阳的距离和公转周期中得出什么关系吗？
（2）你觉得最独特的行星是哪一颗？说明理由。
【答案】
（1）用计算机或图形计算器数据拟合的方法，尝试和猜测各行星与太阳距离R与公转周期T之间的关系。我们会发现R3/T2＝常量。
实际上这就是开普勒行星第三定律。
（2）地球，因为地球可能是太阳系中唯一有生命的星球；土星，是太阳系中唯一密度比水还要轻的星球，如果把土星能放在一个大水盆里，它就能漂起来。
……
【解析】
第（1）题如果直接从数据上分析，那么实际上这个问题正是开普勒研究的问题。如果我们已经知道万有引力定律，那么就是一个规律推导的问题。
第（2）题是一个开放的问题，只要能自圆其说就可以了。
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．下列说法不符合物理学史的是（ ）
A．牛顿对引力常量G进行了准确测定，并于1687年发表在《自然哲学的数学原理》中
B．英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值
C．牛顿做了月地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律
D．开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的
【答案】A
【详解】
AB．英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G的数值．故A不符合物理学史，符合题意，B不符合题意；
C．牛顿做了月地检验，证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律，故C正确，但不符合题意；
D．开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的，故D正确，但不符合题意。
故选A。
2．在“金星凌日”的精彩天象中，观察到太阳表面上有颗小黑点缓慢移过，持续时间达六个半小时，那便是金星，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．地球在金星与太阳之间
B．观测“金星凌日”时可将太阳看成质点
C．金星绕太阳公转的周期小于365天
D．当金星远离太阳，相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积变小
【答案】C
【详解】
A．“金星凌日”现象的成因是光的直线传播，当金星转到太阳与地球中间且三者在一条直线上时，金星挡住了沿直线传播的太阳光，人们看到太阳上的黑点实际上是金星，由此可知发生金星凌日现象时，金星位于地球和太阳之间，故A错误；
B．观测“金星凌日”时，如果将太阳看成质点，将无法看到“金星凌日”现象。故B错误；
C．根据开普勒第三定律
可得
依题意，有
解得
故C正确；
D．根据开普勒第二定律，可知在同一轨道内，相同时间内，金星与太阳连线扫过的面积相等。故D错误。
故选C。
3．我国的人造卫星围绕地球的运动，有近地点和远地点，由开普勒定律可知卫星在远地点运动速率比近地点运动的速率小，如果近地点距地心距离为R1，远地点距地心距离为R2，则该卫星在近地点运动速率和远地点运动的速率之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据开普勒第二定律，对每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，即
v1Δt R1＝ v2Δt R2
即
ACD错误，B正确。
故选B。
4．关于行星绕太阳运动，下列说法中正确的是（ ）
A．所有行星都在同一个椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．距离太阳越远的行星，绕太阳运动一周的时间越长
【答案】C
【详解】
AB．行星绕太阳运动的轨迹是椭圆，不同的行星运动轨道不同，太阳在椭圆的一个焦点上，故AB错误；
C．由开普勒第三定律可知
故可知离太阳越远的行星，公转周期越长，故C正确。
故选C。
5．关于开普勒第三定律公式，下列说法正确的是（ ）
A．公式只适用于绕太阳沿椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星
C．式中的k值，对所有行星和卫星都相等
D．式中的T代表行星自转的周期
【答案】B
【详解】
AB．开普勒第三定律适用于宇宙中所有围绕恒星运动的行星，也适用于围绕行星运动的卫星，A项错误，B项正确；
CD．公式中的k值只与中心天体有关，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同，T代表行星（或卫星）公转的周期，CD两项错误。
故选B。
6．“天问一号”探测器于2020年7月23日成功发射，由长征五号运载火箭直接送入地火转移轨道，成为一颗人造行星，与地球、火星共同绕太阳公转，并逐渐远离地球，飞向火星，其运动轨道如图所示。若地球到太阳的平均距离为1Au（天文单位） ，火星到太阳的平均距离为1. 5Au，则“天问一号”在地火转移椭圆轨道上运动的周期约为（ ）
A．0.8年B．1.4年C．2.2年D．2.6年
【答案】B
【详解】
“天问一号”做椭圆运动的半长轴为
根据开普勒第三定律，可得
地球公转周期为
解得
故选B。
题组B 能力提升练
二、填空题
1．丹麦的赫兹普伦和美国的罗素在1913年绘制了赫罗图,表示的恒星的温度与亮度的关系,主序对角线中恒星的亮度增大,表面温度就_____________（填升高或降低）为了比较天体的发光强度,天文上采用____________________来表示。
【答案】 升高 绝对性等
【详解】
[1]．赫罗图表示的恒星的温度与亮度的关系，主序对角线中恒星的亮度增大，表面温度就升高．
[2]．为了比较天体的发光强度，天文上采用绝对星等．
12．一探空火箭未打中目标而进入绕太阳的近似圆形轨道运行，轨道半径是地球绕太阳公转半径的9倍，则探空火箭绕太阳公转周期为_________。
【答案】27年
【详解】
[1]因为探空火箭和地球都是绕着太阳运动，根据开普勒第三定律可得
其中
，
解得
即探空火箭绕太阳公转周期为27年。
3．太阳系中除了九大行星之外，还有许多围绕太阳运行的小行星，其中有一颗名叫“谷神”的小行星，质量为1.00×1021kg，它运行的轨道半径是地球轨道半径的2.77倍，则它绕行太阳一周需要_____年。
【答案】4.61
【详解】
应用开普勒第三定律得
解得
4．如图所示，椭圆为地球绕太阳运动的轨道，A、B分别为地球绕太阳运动的近日点和远日点，地球经过这两点时的速率分别为vA和vB；阴影部分为地球与太阳的连线在相等时间内扫过的面积，分别用SA和SB表示，则vA ___________vB、SA________SB．(均填“>”“=”或“<”）
【答案】 >； =；
【详解】
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等即 .根据 ,可以知道
故本题答案是：(1). >； (2). =；
5．下表列出了太阳系八大行星的一些数据：直径d、与太阳间平均距离r及绕日转动的周期T。计算各行星离太阳平均距离r与行星直径d之比，平均距离r的三次方与周期T的二次方之比，并回答下列问题。
(1)行星绕太阳旋转周期T与它们离太阳间的距离有什么关系？( )
(2)各行星中，最大的是____________星，为__________________，最小的是____________星，为____________。由于很大，你能将行星的绕日运动视为怎样的一个运动模型？( )
(3)如图所示，将各行星之值用直方图表示出来。分析直方图，你能发现什么结论？( )
【答案】 r越大，T也越大 海王星 木星 几何点 各行星绕日运动的近似圈轨道半径的三次方与其周期的二次方之比为一定值
【详解】
(1)[1]从表中数据可得出行星绕日运动的周期T与它们离日的平均距离r有关：r越大，T也越大，即旋转一周时间越长。
(2)[2][3][4][5]值最大的是海王星，为倍，最小的是木星，为倍；
[6]由于，因此可以将行星视为一个“几何点”，它在绕日做近似圆周的运动，研究行星运动时可忽略其本身的形状，自转等其他次要因素。
(3)[7]在直方图上各行星值非常相近。这表明各行星绕日运动的近似圈轨道半径的三次方与其周期的二次方之比为一定值。
6．木星的公转周期为12个地球年，设地球距太阳的距离为1个天文单位，那么木星距太阳的距离为_______个天文单位。
【答案】
【详解】
根据开普勒第三定律
得
设地球与太阳的距离为R1，木星与太阳的距离为R2，则得
题组C 培优拔尖练
1．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，A点距月球表面的高度为月球半径的3倍，飞船到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，把月球看做质量分布均匀的球体，求：
(1)飞船在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上运动的周期；
(2)如果在轨道Ⅰ、Ⅲ上分别有一颗卫星，它们绕月球飞行方向相同，某时刻两卫星相距最远，则再经过多长时间，它们会第一次相距最近？
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1) 因
且
解得在轨道Ⅲ上运动的周期为
飞船在轨道Ⅰ的轨道半径分别为4R、在轨道Ⅱ上的半长轴为2.5R，在轨道Ⅲ上运动的半径为R，根据开普勒第三定律可知
解得
(2)从两卫星相距最远到第一次相距最近时在轨道Ⅲ上的卫星比轨道Ⅰ上的卫星多转半圈，即
解得
2．太阳系八大行星几乎是在同一平面内沿同方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到土星和太阳之间，且三者几乎成一条直线的现象，天文学称为“土星冲日”。已知地球公转轨道半径，地球公转周期年，土星公转轨道半径。
（1）求土星绕日的公转周期T2[计算结果保留到整数，可能用到的数，，；
（2）估算两次“土星冲日”的最短时间间隔（用T1和T2表示）。
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）根据开普勒第三定律有
代入数据解得
年
（2）再次发生“土星冲日”意味着土星、地球和太阳再次共线，则地球比土星转过的圆心角多，则有
解得
3．设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧（称为地内行星）。在某些特殊时刻，地球、金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面。天文学称这种现象为“金星凌日”。如图所示，2012年6月6日天空上演的“金星凌日”吸引了全世界数百万天文爱好者。假设地球公转轨道半径为R，“金星凌日”每隔t0年出现一次，已知地球公转周期为T=1年。求金星的公转轨道半径。
【答案】
【详解】
设金星的轨道半径为Rx，周期为Tx，角速度为ωx，则由开普勒第三定律有
可得
根据题意，应有，则
即
解得
其中T0=1年，联立解得
行星
到太阳的平均距离R / km
绕太阳公转的周期T
密度ρ / kg·m-3
水星
0.58×108
88天
5.43
金星
1.08×108
225天
5.25
地球
150×108
365天
5.52
火星
2.28×108
1.88年
3.95
木星
7.78×108
11.9年
1.33
土星
14.3×108
29.5年
0.69
天王星
28.7×108
84年
1.29
海王星
45.0×108
165年
1.64
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
直径约
5
12
12.75
7
140
120
52
50
与太阳间平均距离约
60
108
150
230
780
1400
2900
4500
绕日周期T（年）约
0.25
0.6
1
1.9
12
29
84
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约
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