2021-2022学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖北省襄阳市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 复数(    )

A.  B.  C.  D.

2. 某区域有大型城市个，中型城市个，小型城市个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是平面内两个不共线向量，，，，，三点共线，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知为锐角，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 某校为了了解高二年级名女学生的体能情况，随机抽查了其中的名女生，测试了分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高二年级女生仰卧起座次数的中位数位于．(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知三个平面，，，其中，，，且，则下列结论一定成立的是(    )

A. ，是异面直线 B.
C.  D. 与没有公共点

7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在中，，，，为内切圆的一条直径，为边上的动点，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 已知复数其中是虚数单位，则下列命题中正确的为(    )

A.  B. 的虚部是
C. 是纯虚数 D. 在复平面上对应点在第四象限

10. 一组样本数据，，，的平均数为，标准差为另一组样本数据，，，的平均数为，标准差为现将两组数据合成一组新数据，，，，，，，，新数据的平均数为，标准差为，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在正方体中，是棱的中点，是线段不含端点上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有(    )

A. 存在某一位置，使得直线和直线相交
B. 存在某一位置，使得平面
C. 点与点到平面的距离总相等
D. 三棱锥的体积不变
 

12. 定义：已知两个非零向量与的夹角为我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即则下列命题中正确的有(    )

A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正中，若，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 向量在向量方向上的投影向量的模为______．
14. 若虚数单位是关于的方程的一个根，则______．
15. 已知三棱台的上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为______．
16. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的面积的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知，．
    求的值；
    求的值．
18. 已知，．
    若与垂直，求的值；
    若为与的夹角，求的值．
19. 设复数，，其中．
    若复数为实数，求的值；
    求的取值范围．
20. 中国制造是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表：

估计产品的某项质量指标值的百分位数；
估计这组样本的质量指标值的平均数和方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．

21. 在中，角，，的对边分别是，，，且．
    求角的大小；
    若，为边上的一点，，且，求的面积．
    请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
    是的平分线；为线段的中点．
    注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．
22. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点．
    证明：平面；
    若平面平面，且，三棱锥的体积为，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接由复数的运算求解即可．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
应抽取的大型城市个数为个．
故选：．
先算出抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得．
本题考查应抽取的大型城市个数的运算，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，三点共线，
与共线，
存在，使，
，且不共线，
，解得．
故选：．
根据共线向量和平面向量基本定理即可得出的值．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为为锐角，，
所以，
所以，
则．
故选：．
由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，由于，根据两角差的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
位于区间的人数为，则频率为，
又，，
中位数位于区间，
故选：．
先求出位于区间的人数，再根据中位数的定义判断即可．
本题主要考查了频数分布直方图的应用，考查了中位数的定义，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，且，
，，而，，则，，
而，，
可得．
故选：．
由已知直接证明、、相交于一点，即可得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：将函数
的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，
满足，
则的图象关于直线对称，
，，即，，
故当时，取得最小值为，
故选：．
由题意，利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称质，求出的最小值．
本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题可得，即三角形为直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，则，且，
，
因为为边上的动点，所以最小值为，
当与重合时，取最大值，
故取值范围是，
故选：．
根据条件判断得到三角形为直角三角形，则根据向量关系可得，判断的取值范围即判断的取值范围即可，由三角形性质可知的最小值为，最小值，代入计算即可得到答案．
本题考查平面向量加法和数量积的运算，以及三角形内切圆有关的问题，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，A正确；
的虚部为，B错误；
为纯虚数，C正确；
对应的点在第四象限，D正确．
故选：．
由已知结合复数的运算及复数的概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的基本概念的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意，，
同理，，
两式相加得，
，
，．
故选：．
由平均数与标准差的定义求解判断．
本题考查平均数、标准差的运算，考查平均数、标准差的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了异面直线的判定，以及三棱锥的体积和点面距离，同时考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题．
选项A，可证与直线异面，从而可判定；选项B，连接交于点，可证平面，从而可判定选项B；选项C，过点与点作平面的垂线，垂足分别为，，有≌，从而可得结论；选项D，，为定值，结合平面，所以到平面的距离为定值，从而可得结论．

【解答】

解：选项A：是线段不含端点上的一个动点，平面，
而，由异面直线的判定定理可知与直线异面，
所以不存在某一位置，使得直线和直线相交，故选项A不正确；
选项B，连接交于点，面即为面，此时，
而平面，面，所以平面，即平面，故选项B正确；
选项C：如图过点与点作平面的垂线，垂足分布为，，有≌，
所以，即点与点到平面的距离总相等，故选项C正确；
选项D：因为，为定值，连接交于点，连接，
而，平面，平面，
所以平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积不变，故选项D正确．
故选：．

12.【答案】 

【解析】解：平行四边形的面积为，，即，故A正确；
设正的边边上的中点为，可得，
已知，，
则，故B错误；
，，
，，
两式作比可得，，
，，可得，
，当且仅当时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
若，，且为单位向量，当，，，时，
，
可得，故D正确．
故选：．
根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断．
本题考查平面向量数量积的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，，
则向量在向量方向上的投影向量的模为．
故答案为：．
根据平面向量的坐标表示可得及，再利用投影向量的公式，即可求解投影向量的模．
本题考查了投影向量的模的计算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可知，关于的方程的两个虚根分别为，，
由韦达定理可得，故，
所以．
故答案为：．
由题意可知，关于的方程的两个虚根分别为，，利用韦达定理求出、的值，再求出．
本题主要考查复数模公式，以及韦达定理，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：三棱台的上下底面均为正三角形，，，侧棱长，，
三棱台是正棱台，还原成棱锥，如图，

下底边是上度边的倍，棱锥的高为棱台的高的倍，
取的中点，的中点，连接，，，，
，分别是上下底面的中心，连接，，
由题意，，共线，，，共线，
由正棱台的性质得，，平面，，
，平面，，
，，，
．
此棱台的高为．
故答案为：．
由已知判定三棱台是正棱台，还原成棱锥，棱锥的高为棱台的高的两倍，由正棱台的性质得到，由线面垂直的判定定理证明侧棱平面，得到，利用直角三角形中的射影定理计算的长，由此能求出此棱台的高．
本题考查三棱台的高、正棱锥的性质、线面垂直的判定与性质、直角三角形中射影定理、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由正弦定理得，所以，
因为，所以，
所以，又正弦定理得，
所以，则，
的面积
，
因为，所以，
当时，的面积取得最大值．
故答案为：．
利用正弦定理边化角可得，再利用正弦定理角化边可得，即可得，利用三角形面积公式结合三角恒等变换可得的面积，结合正弦函数的最值即可求解．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角恒等变换，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
，
，
．
． 

【解析】利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式即可求解．
由利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
，
与垂直，
，解得；
，，，
，
，
又，则． 

【解析】求出，根据与垂直，建立关于的方程，解出即可；
求出，利用向量的夹角公式直接得解．
本题考查平面向量的坐标运算，考查两向量垂直的条件以及向量夹角的计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：复数，
，
，
复数为实数，
，即，
，
．
，，
，
，
，
，即，
的取值范围为． 

【解析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘除法法则，即可求解．
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数与三角函数的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：设产品的某项质量指标值的百分位数为，
则，解得．
所以估计产品的某项质量指标值的百分位数为；
解：由题，可知，
．
故平均数，方差． 

【解析】根据样本百分位数的定义结合频率分布表即可求解；
根据频率分布表中的数据计算即可．
本题考查方差，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为，
由正弦定理知，，
在三角形中，，
代入上式得，
，
，，
，所以；
若选：由平分得，，，
所以，
即，
在中，由余弦定理得，
又，，即，
所以，
解得舍去，
所以．
所以的面积为．
若选：因为为线段的中点，所以，
两边平方可得，
而，
所以，而，
可得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
．
所以的面积为． 

【解析】由题意和正弦定理及三角形中角的关系可得角的余弦值，进而求出角的大小；
若选由角平分线及的值，可得，两边整理可得，的关系，再由中余弦定理可得，的关系，两式联立，进而求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积；若选由题意可得向量的关系，两边平方可得，的关系，再由余弦定理，的关系，两式联立求出的乘积，代入三角形的面积公式可得三角形的面积．
本题考查余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
 

22.【答案】证明：，，，
又，为等边三角形，
又，是的中点，
，，，
又，，平面，
平面；
解：因为平面平面，所以平面，
又，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
所以，
平面，，
又，，，平面，
平面，
又平面，
，
，，
又，，，平面，
平面，
，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
，
又，
解得． 

【解析】先证明，，再由线面垂直判定定理证明平面；
利用线面平行判定定理和性质定理证明，由此可得，再结合体积公式求．
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥体积的应用，属于中档题．