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2024年陕西省咸阳市渭城区中考数学一模试卷 （含解析）
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这是一份2024年陕西省咸阳市渭城区中考数学一模试卷 （含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）计算：6+（﹣3）＝（ ）
A．9B．3C．0D．﹣3
2．（3分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算：x2y•9xy3＝（ ）
A．3x3y4B．27x3y4C．3x2y3D．27x2y4
4．（3分）如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝115°，则∠2的度数是（ ）
A．115°B．75°C．70°D．65°
5．（3分）已知点（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3）均在直线y＝﹣x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
6．（3分）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9．（3分）数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 ．
10．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
11．（3分）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝8，则BG的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在四边形ADEB中，C是DE上一点，连接AC，BC，∠D＝∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC．求证：CD＝BE．
19．（5分）如图，点P在第一象限，OP与x轴正半轴的夹角是α，且OP＝5，，求点P的坐标．
20．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
21．（6分）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行36米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为27米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
22．（7分）天然气不仅经济实惠，而且非常环保．很多单位和家庭都选择使用天然气作为燃料．甲、乙两个工程组同时铺设一段天然气管道，两组每天铺设的长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组铺设的长度之和y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）当15≤x≤20时，求铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式；
（2）当y＝4860时，甲组铺设了多少天？
23．（7分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级700名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．
请根据图表信息，解答以下问题：
（1）一共抽取了 人，表中a＝ ，所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别” ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，点D为弧AC的中点，连接CD．延长AD，BC交于点E，DF为⊙O的切线．
（1）求证：DF平分∠CDE；
（2）若DF＝EF＝4，求AD的长．
25．（8分）如图，春节期间，小林燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，喷射出时距地面2米，烟花在与他水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
（1）求该抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围），若是哑弹，会落在距该居民楼底部多少米的外墙或窗户上？请通过计算说明；
（2）小林沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？
26．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最长距离为 ；
【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，⊙O的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM面积的最大值．
2024年陕西省咸阳市渭城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：6+（﹣3）＝（ ）
A．9B．3C．0D．﹣3
【分析】根据有理数加法的法则计算，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：6+（﹣3）＝6﹣3＝3．
故选：B．
2．（3分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该几何体的左视图为，
故选：D．
3．（3分）计算：x2y•9xy3＝（ ）
A．3x3y4B．27x3y4C．3x2y3D．27x2y4
【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可．
【解答】解：x2y•9xy3＝3x3y4；
故选：A．
4．（3分）如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝115°，则∠2的度数是（ ）
A．115°B．75°C．70°D．65°
【分析】由c⊥a，c⊥b，可以得出a∥b，根据平行线的性质可得∠2+∠3＝180°，由∠3＝∠1＝115°，可以计算∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵c⊥a，c⊥b，
∴∠4＝90°，∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠3＝∠1＝115°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝65°．
故选：D．
5．（3分）已知点（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3）均在直线y＝﹣x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
【分析】根据一次函数解析式，判断出函数图象经过二、三、四象限，是减函数；再根据点的坐标中x值的大小来确定y值的大小．
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3的图象经过二、三、四象限，是减函数；
又∵﹣2＜0＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
6．（3分）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到∴DE＝BC＝×12＝6，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠FBC，根据角平分线的定义、等量代换得到∠DFB＝∠DBF，得到DF＝DB＝4，计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝AB＝×8＝4，
∴DE＝BC＝×12＝6，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵∠ABC的平分线BF交DE于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故选：B．
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，即可求解；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，即可求解；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，即可求解；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，故x＝﹣2是方程的根，根据函数对称性x＝3也是方程的根，故③正确，符合题意；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9．（3分）数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 1 ．
【分析】数轴上点A对应的数是﹣3，将点A向右移动4个单位长度，则此时点A表示的数表示﹣3+4，即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，
∴点A表示的数是﹣3+4＝1，
故答案为：1．
10．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 31.5° ．
【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于135°，正五边形的每个内角都等于108°，
故∠BAC＝360°﹣135°﹣108°＝117°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣117°）÷2＝31.5°．
故答案为：31.5°．
11．（3分）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 1 米．
【分析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形，根据大棚的总面积为870平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形，
根据题意得：（60﹣2x）（17﹣2x）＝870，
整理得：2x2﹣77x+75＝0，
解得：x1＝1，x2＝（不符合题意，舍去），
∴通道宽为1米．
故答案为：1．
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 12 ．
【分析】依据题意，由E是AD的中点，AD＝BC＝4，从而AE＝2，进而设E（2，），再表示出C（4，﹣3），进而代入反比例函数解析式可以得解．
【解答】解：由题意，∵E是AD的中点，AD＝BC＝4，
∴AE＝2．
∴可设E（2，）．
又AB＝3，
∴C（4，﹣3）．
又C在函数y＝，
∴4（﹣3）＝k．
∴k＝12．
故答案为：12．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝8，则BG的长为 ．
【分析】根据题意证明△ABE≌△BCF（SAS），△EBG∽△FBC，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠C，
又∵∠EBG＝∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC＝AB＝15，CF＝BE＝8，
∴BF＝＝＝17，
∴＝，
∴BG＝．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣+1﹣2
＝﹣2+1﹣2
＝﹣3．
15．（5分）解不等式：．
【分析】先去分母，再移项，合并同类项，然后系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得5x+4≤3x﹣6，
移项、合并同类项，得2x≤﹣10，
不等式的两边都除以2，得x≤﹣5．
16．（5分）化简：．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（5分）如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BC的垂直平分线交AB于E点，交BC于O点，交CD于F点，通过证明△BOE≌△COF得到OE＝OF，则EF与BC互相垂直平分，则可判断四边形CEBF是菱形．
【解答】解：如图，点E、F为所作．
18．（5分）如图，在四边形ADEB中，C是DE上一点，连接AC，BC，∠D＝∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC．求证：CD＝BE．
【分析】利用同角的余角相等证明∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ADC≌△CEB则问题可证．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°．
∵∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE．
19．（5分）如图，点P在第一象限，OP与x轴正半轴的夹角是α，且OP＝5，，求点P的坐标．
【分析】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，先在Rt△OPA中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后利用勾股定理求出PA的长，即可解答．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
在Rt△OPA中，OP＝5，，
∴OA＝OP•csα＝5×＝4，
∴AP＝＝＝3，
∴点P的坐标为（4，3）．
20．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
21．（6分）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行36米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为27米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
【分析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC＝x米，由锐角三角函数定义求出PC＝米，QC＝米，再由PC﹣QC＝PQ＝36得出方程，求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
∵∠APC＝24°，∠BQC＝66°，
∴在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan24°≈0.45，
∴PC＝米，
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan66°≈2.25，
∴QC＝＝米，
∵PQ＝36米，
∴PC﹣QC＝PQ＝36米，
∴﹣＝36，
解得：x＝27，
∴BC＝AC+CB＝27+27＝54（米），
答：无人机飞行时距离地面的高度约为54米．
22．（7分）天然气不仅经济实惠，而且非常环保．很多单位和家庭都选择使用天然气作为燃料．甲、乙两个工程组同时铺设一段天然气管道，两组每天铺设的长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组铺设的长度之和y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）当15≤x≤20时，求铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式；
（2）当y＝4860时，甲组铺设了多少天？
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝4860代入解析式求出x的值即可．
【解答】解：（1）当15≤x≤20时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（15，4500），（20，5400）代入上式，得，
解得，
∴当15≤x≤20时，铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式为y＝180x+1800；
（2）当y＝4860时，180x+1800＝4860，
解得x＝17，
∴甲组铺设了17天．
23．（7分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级700名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．
请根据图表信息，解答以下问题：
（1）一共抽取了 50 人，表中a＝ 8 ，所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别” C ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
【分析】（1）由题意，“D组”的有18人，占调查人数的36%，可求出调查人数；
用总数乘以百分比可求出“A组”人数，根据中位数的意义，找出处在第25、26位两个数的平均数即可；
（2）利用加权平均数求这些同学平均成绩即可；
（3）利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到90分以上（含90分）所占的百分比，再乘以700即可．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），
则A组的人数a＝50×16%＝8（人），
本次调查一共随机抽取50名学生，第25、26位两个数都在C组，中位数落在C组，
故答案为：50，8，C；
（2）抽取的这些学生的平均成绩为：
（分），
答：所抽取的这些学生的平均成绩是83.4分；
（3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为：
（人），
答：该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有252人．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，点D为弧AC的中点，连接CD．延长AD，BC交于点E，DF为⊙O的切线．
（1）求证：DF平分∠CDE；
（2）若DF＝EF＝4，求AD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠BCD＝90°，根据切线的性质得到∠BDF＝90°，于是得到∠CDF＝∠EDF．即可作答；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝AD，求得BD＝DE，得到BC＝CE＝CF+4，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DF为⊙O的切线，
∴∠BDF＝90°，
∵BD为直径，点D为弧AC的中点，
∴，
即，
∴，
则∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB+∠EDF＝∠BDC+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠EDF，
∴DF平分∠CDE．
（2）解：∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴CD＝AD．
∵DF＝EF，
∴∠E＝∠EDF．
∵∠ABD＝∠CBD＝∠EDF，
∴BD＝DE．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝CE＝CF+4．
∵∠DCF＝∠BDF＝90°，∠DFC＝∠BFD，
∴△DFC∽△BFD，
∴，
∴，
解得CF＝2（﹣4已舍去），
∴．
25．（8分）如图，春节期间，小林燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，喷射出时距地面2米，烟花在与他水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
（1）求该抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围），若是哑弹，会落在距该居民楼底部多少米的外墙或窗户上？请通过计算说明；
（2）小林沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（20，18）．可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣20）2+18，把（0，2）代入即可求得a的值，也就求得了抛物线解析式；居民楼距离小林33米，若是哑弹，把x＝33代入抛物线解析式可得哑弹落在居民楼底部的高度；
（2）小林后退，则抛物线向左平移．设出新的抛物线解析式，把（33，0）代入即可求得后退的米数．
【解答】解：（1）∵烟花在与小林水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，
∴抛物线的顶点坐标为（20，18）．
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣20）2+18．
∵经过点（0，2），
∴400a+18＝2．
解得：a＝﹣0.04．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04（x﹣20）2+18．
当x＝33时，y＝﹣0.04（33﹣20）2+18＝11.24．
∵11.24＜15，
∴哑弹会落在距该居民楼底部11.24米的外墙或窗户上．
答：抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04（x﹣20）2+18，若是哑弹，会落在距该居民楼底部11.24米的外墙或窗户上；
（2）设小林沿x轴负半轴至少后退m米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上，
∴抛物线解析式为：y＝﹣0.04（x﹣20+m）2+18．
∵要落在居民楼的外部，
∴抛物线经过点（33，0）．
∴﹣0.04（13+m）2+18＝0．
（13+m）2＝450，
解得：m1＝15﹣13，m2＝﹣15﹣13（不合题意，舍去）．
答：小林沿x轴负半轴至少后退（15﹣13）米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上．
26．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最长距离为 7 ；
【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，⊙O的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM面积的最大值．
【分析】（1）当点O，P，A三点共线，且点A，点P在圆心O的两侧时，AP最大，等于OA＝5与半径的和；
（2）连接OA，交半圆于点P′，连接OP，根据AP≥OA﹣OP，结合勾股定理计算即可．
（3）连接OA，OB，过点O作OR⊥AB于点R．点H到AB的距离为，计算面积即可．
【解答】解：（1）如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．
∵点P是⊙O上一动点，⊙O的半径为2，OA＝5，
∴AP＝OP+OA＝2+5＝7，
∴点P到点A的最长距离为7．
（2）如图2，连接OA，交半圆于点P′，连接OP．
∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，
∴．
∵∠ACB＝90°，
∴
∵AP≥OA﹣OP，
∴，
∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为．
（3）如图3，连接OA，OB，过点O作OR⊥AB于点R．
∵OA＝OB＝4，，
∴，
，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°．
∵AM⊥AC，
∴∠M＝30°．
如图3，作△ABM的外接⊙K，
要使S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，
延长OR交⊙K于点H，
∵OR⊥AB，，
∴直线OR是线段AB得垂直平分线，
则点K一定在直线OR上，
连接AK，BK，AH，BH，
∴∠AHB＝30°．
∴∠AKB＝60°．
∵AK＝BK，
∴△ABK是等边三角形，
∴，
，
∴点H到AB的距离为，
∴，
∴△ABM面积的最大值为．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
组别
分数/分
频数组
内学生的平均成绩/分
A
60≤x＜70
a
65
B
70≤x＜80
10
75
C
80≤x＜90
14
85
D
90≤x≤100
18
95
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
组别
分数/分
频数组
内学生的平均成绩/分
A
60≤x＜70
a
65
B
70≤x＜80
10
75
C
80≤x＜90
14
85
D
90≤x≤100
18
95
1．（3分）计算：6+（﹣3）＝（ ）
A．9B．3C．0D．﹣3
2．（3分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算：x2y•9xy3＝（ ）
A．3x3y4B．27x3y4C．3x2y3D．27x2y4
4．（3分）如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝115°，则∠2的度数是（ ）
A．115°B．75°C．70°D．65°
5．（3分）已知点（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3）均在直线y＝﹣x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
6．（3分）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9．（3分）数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 ．
10．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 ．
11．（3分）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝8，则BG的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解不等式：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在四边形ADEB中，C是DE上一点，连接AC，BC，∠D＝∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC．求证：CD＝BE．
19．（5分）如图，点P在第一象限，OP与x轴正半轴的夹角是α，且OP＝5，，求点P的坐标．
20．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
21．（6分）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行36米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为27米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
22．（7分）天然气不仅经济实惠，而且非常环保．很多单位和家庭都选择使用天然气作为燃料．甲、乙两个工程组同时铺设一段天然气管道，两组每天铺设的长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组铺设的长度之和y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）当15≤x≤20时，求铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式；
（2）当y＝4860时，甲组铺设了多少天？
23．（7分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级700名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．
请根据图表信息，解答以下问题：
（1）一共抽取了 人，表中a＝ ，所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别” ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，点D为弧AC的中点，连接CD．延长AD，BC交于点E，DF为⊙O的切线．
（1）求证：DF平分∠CDE；
（2）若DF＝EF＝4，求AD的长．
25．（8分）如图，春节期间，小林燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，喷射出时距地面2米，烟花在与他水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
（1）求该抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围），若是哑弹，会落在距该居民楼底部多少米的外墙或窗户上？请通过计算说明；
（2）小林沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？
26．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最长距离为 ；
【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，⊙O的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM面积的最大值．
2024年陕西省咸阳市渭城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：6+（﹣3）＝（ ）
A．9B．3C．0D．﹣3
【分析】根据有理数加法的法则计算，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
【解答】解：6+（﹣3）＝6﹣3＝3．
故选：B．
2．（3分）将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
【解答】解：由题意知，该几何体的左视图为，
故选：D．
3．（3分）计算：x2y•9xy3＝（ ）
A．3x3y4B．27x3y4C．3x2y3D．27x2y4
【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算即可．
【解答】解：x2y•9xy3＝3x3y4；
故选：A．
4．（3分）如图，已知直线a⊥c，b⊥c，∠1＝115°，则∠2的度数是（ ）
A．115°B．75°C．70°D．65°
【分析】由c⊥a，c⊥b，可以得出a∥b，根据平行线的性质可得∠2+∠3＝180°，由∠3＝∠1＝115°，可以计算∠2的度数．
【解答】解：如图：
∵c⊥a，c⊥b，
∴∠4＝90°，∠5＝90°，
∴∠4＝∠5，
∴a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∵∠3＝∠1＝115°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝65°．
故选：D．
5．（3分）已知点（﹣2，y1），（0，y2），（3，y3）均在直线y＝﹣x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y2
【分析】根据一次函数解析式，判断出函数图象经过二、三、四象限，是减函数；再根据点的坐标中x值的大小来确定y值的大小．
【解答】解：∵直线y＝﹣x﹣3的图象经过二、三、四象限，是减函数；
又∵﹣2＜0＜3，
∴y1＞y2＞y3，
故选：C．
6．（3分）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，∠ABC的平分线BF交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形中位线定理得到∴DE＝BC＝×12＝6，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠FBC，根据角平分线的定义、等量代换得到∠DFB＝∠DBF，得到DF＝DB＝4，计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝AB＝×8＝4，
∴DE＝BC＝×12＝6，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵∠ABC的平分线BF交DE于点F，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DF＝DB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4＝2，
故选：B．
7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（ ）
A．8B．10C．4D．4
【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，根据垂径定理求出AE＝BE＝4，根据勾股定理求出OA2＝OE2+AE2，得出R2＝（R﹣2）2+42，求出R，再求出CE，最后根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，
∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°，
由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2，
即R2＝（R﹣2）2+42，
解得：R＝5，
即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3，
∴CE＝OC+OE＝5+3＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：
①abc＜0；②m＝n；③﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④a＜．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，即可求解；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，即可求解；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，即可求解；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，即可求解．
【解答】解：①函数的对称轴为：x＝（0+1）＝，则ab＜0，c＝﹣2＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②x＝﹣1和x＝2关于函数对称轴对称，故m＝n正确，符合题意；
③函数的对称轴为：x＝，则b＝﹣a，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b﹣2＝t＝ax2+bx+c，则当x＝﹣2时，上式成立，故x＝﹣2是方程的根，根据函数对称性x＝3也是方程的根，故③正确，符合题意；
④当x＝﹣时，y＝ab﹣2＞0，而b＝﹣a，解得：3a﹣8＞0，故④错误，不符合题意；
故选：B．
二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)
9．（3分）数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，此时点A表示的数是 1 ．
【分析】数轴上点A对应的数是﹣3，将点A向右移动4个单位长度，则此时点A表示的数表示﹣3+4，即可得出答案．
【解答】解：∵数轴上点A对应的数是﹣3，那么将点A向右移动4个单位长度，
∴点A表示的数是﹣3+4＝1，
故答案为：1．
10．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为 31.5° ．
【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论．
【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于135°，正五边形的每个内角都等于108°，
故∠BAC＝360°﹣135°﹣108°＝117°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣117°）÷2＝31.5°．
故答案为：31.5°．
11．（3分）一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地AD＝60米，AB＝17米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 1 米．
【分析】设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形，根据大棚的总面积为870平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设通道宽为x米，则三个大棚可合成长为（60﹣2x）米，宽为（17﹣2x）米的矩形，
根据题意得：（60﹣2x）（17﹣2x）＝870，
整理得：2x2﹣77x+75＝0，
解得：x1＝1，x2＝（不符合题意，舍去），
∴通道宽为1米．
故答案为：1．
12．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在y轴正半轴上，AB＝3，BC＝4，函数的图象经过点C和边AD的中点E，则k的值为 12 ．
【分析】依据题意，由E是AD的中点，AD＝BC＝4，从而AE＝2，进而设E（2，），再表示出C（4，﹣3），进而代入反比例函数解析式可以得解．
【解答】解：由题意，∵E是AD的中点，AD＝BC＝4，
∴AE＝2．
∴可设E（2，）．
又AB＝3，
∴C（4，﹣3）．
又C在函数y＝，
∴4（﹣3）＝k．
∴k＝12．
故答案为：12．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝15，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝8，则BG的长为 ．
【分析】根据题意证明△ABE≌△BCF（SAS），△EBG∽△FBC，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG＝90°，
∴∠BAE+∠ABG＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴∠BGE＝∠C，
又∵∠EBG＝∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC＝AB＝15，CF＝BE＝8，
∴BF＝＝＝17，
∴＝，
∴BG＝．
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣+1﹣2
＝﹣2+1﹣2
＝﹣3．
15．（5分）解不等式：．
【分析】先去分母，再移项，合并同类项，然后系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得5x+4≤3x﹣6，
移项、合并同类项，得2x≤﹣10，
不等式的两边都除以2，得x≤﹣5．
16．（5分）化简：．
【分析】先算括号里面的，再算除法即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
17．（5分）如图，AB∥CD，连接BC，请用尺规作图法，分别在AB，CD上求作E，F，连接CE，BF，使得四边形CEBF是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BC的垂直平分线交AB于E点，交BC于O点，交CD于F点，通过证明△BOE≌△COF得到OE＝OF，则EF与BC互相垂直平分，则可判断四边形CEBF是菱形．
【解答】解：如图，点E、F为所作．
18．（5分）如图，在四边形ADEB中，C是DE上一点，连接AC，BC，∠D＝∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC．求证：CD＝BE．
【分析】利用同角的余角相等证明∠CBE＝∠ACD，再利用AAS证明△ADC≌△CEB则问题可证．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°．
∵∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD．
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE．
19．（5分）如图，点P在第一象限，OP与x轴正半轴的夹角是α，且OP＝5，，求点P的坐标．
【分析】过点P作PA⊥x轴，垂足为A，先在Rt△OPA中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后利用勾股定理求出PA的长，即可解答．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴，垂足为A，
在Rt△OPA中，OP＝5，，
∴OA＝OP•csα＝5×＝4，
∴AP＝＝＝3，
∴点P的坐标为（4，3）．
20．（5分）甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，赵星在了解甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）赵星从中随机抽取一张卡片，所抽取的卡片上的文字是“文”的概率为 ．
（2）赵星从中随机抽取一张卡片不放回，张涵再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两名同学抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）通过卡片上的文字，可以看到是轴对称图形的为“文”，所以卡片上的文字是轴对称图形的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的可能性有2种，
∴两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率为．
21．（6分）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行36米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为27米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin66°≈0.91，cs66°≈0.41，tan66°≈2.25）
【分析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC＝x米，由锐角三角函数定义求出PC＝米，QC＝米，再由PC﹣QC＝PQ＝36得出方程，求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
∵∠APC＝24°，∠BQC＝66°，
∴在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan24°≈0.45，
∴PC＝米，
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan66°≈2.25，
∴QC＝＝米，
∵PQ＝36米，
∴PC﹣QC＝PQ＝36米，
∴﹣＝36，
解得：x＝27，
∴BC＝AC+CB＝27+27＝54（米），
答：无人机飞行时距离地面的高度约为54米．
22．（7分）天然气不仅经济实惠，而且非常环保．很多单位和家庭都选择使用天然气作为燃料．甲、乙两个工程组同时铺设一段天然气管道，两组每天铺设的长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组铺设的长度之和y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）当15≤x≤20时，求铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式；
（2）当y＝4860时，甲组铺设了多少天？
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把y＝4860代入解析式求出x的值即可．
【解答】解：（1）当15≤x≤20时，设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（15，4500），（20，5400）代入上式，得，
解得，
∴当15≤x≤20时，铺设的长度y（m）与甲组铺设时间x（天）之间的函数表达式为y＝180x+1800；
（2）当y＝4860时，180x+1800＝4860，
解得x＝17，
∴甲组铺设了17天．
23．（7分）为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级700名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．
请根据图表信息，解答以下问题：
（1）一共抽取了 50 人，表中a＝ 8 ，所抽取参赛学生的成绩的中位数落在“组别” C ；
（2）求所抽取的这些学生的平均成绩；
（3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有多少人？
【分析】（1）由题意，“D组”的有18人，占调查人数的36%，可求出调查人数；
用总数乘以百分比可求出“A组”人数，根据中位数的意义，找出处在第25、26位两个数的平均数即可；
（2）利用加权平均数求这些同学平均成绩即可；
（3）利用样本估计总体，求出样本中竞赛成绩达到90分以上（含90分）所占的百分比，再乘以700即可．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），
则A组的人数a＝50×16%＝8（人），
本次调查一共随机抽取50名学生，第25、26位两个数都在C组，中位数落在C组，
故答案为：50，8，C；
（2）抽取的这些学生的平均成绩为：
（分），
答：所抽取的这些学生的平均成绩是83.4分；
（3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数约为：
（人），
答：该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有252人．
24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD为直径，点D为弧AC的中点，连接CD．延长AD，BC交于点E，DF为⊙O的切线．
（1）求证：DF平分∠CDE；
（2）若DF＝EF＝4，求AD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠BCD＝90°，根据切线的性质得到∠BDF＝90°，于是得到∠CDF＝∠EDF．即可作答；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝AD，求得BD＝DE，得到BC＝CE＝CF+4，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DF为⊙O的切线，
∴∠BDF＝90°，
∵BD为直径，点D为弧AC的中点，
∴，
即，
∴，
则∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB+∠EDF＝∠BDC+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠EDF，
∴DF平分∠CDE．
（2）解：∵点D为弧AC的中点，
∴，
∴CD＝AD．
∵DF＝EF，
∴∠E＝∠EDF．
∵∠ABD＝∠CBD＝∠EDF，
∴BD＝DE．
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝CE＝CF+4．
∵∠DCF＝∠BDF＝90°，∠DFC＝∠BFD，
∴△DFC∽△BFD，
∴，
∴，
解得CF＝2（﹣4已舍去），
∴．
25．（8分）如图，春节期间，小林燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，喷射出时距地面2米，烟花在与他水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
（1）求该抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围），若是哑弹，会落在距该居民楼底部多少米的外墙或窗户上？请通过计算说明；
（2）小林沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（20，18）．可设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣20）2+18，把（0，2）代入即可求得a的值，也就求得了抛物线解析式；居民楼距离小林33米，若是哑弹，把x＝33代入抛物线解析式可得哑弹落在居民楼底部的高度；
（2）小林后退，则抛物线向左平移．设出新的抛物线解析式，把（33，0）代入即可求得后退的米数．
【解答】解：（1）∵烟花在与小林水平距离20米，达到最大高度18米时爆炸，烟花弹的飞行路径可近似看作抛物线形状，
∴抛物线的顶点坐标为（20，18）．
设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣20）2+18．
∵经过点（0，2），
∴400a+18＝2．
解得：a＝﹣0.04．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04（x﹣20）2+18．
当x＝33时，y＝﹣0.04（33﹣20）2+18＝11.24．
∵11.24＜15，
∴哑弹会落在距该居民楼底部11.24米的外墙或窗户上．
答：抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04（x﹣20）2+18，若是哑弹，会落在距该居民楼底部11.24米的外墙或窗户上；
（2）设小林沿x轴负半轴至少后退m米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上，
∴抛物线解析式为：y＝﹣0.04（x﹣20+m）2+18．
∵要落在居民楼的外部，
∴抛物线经过点（33，0）．
∴﹣0.04（13+m）2+18＝0．
（13+m）2＝450，
解得：m1＝15﹣13，m2＝﹣15﹣13（不合题意，舍去）．
答：小林沿x轴负半轴至少后退（15﹣13）米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上．
26．（10分）【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA＝5，则点P到点A的最长距离为 7 ；
【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，求AP的最小值；
【灵活运用】（3）如图3，⊙O的直径为8，弦，点C为优弧AB上的一动点，AM⊥AC，交直线CB于点M，求△ABM面积的最大值．
【分析】（1）当点O，P，A三点共线，且点A，点P在圆心O的两侧时，AP最大，等于OA＝5与半径的和；
（2）连接OA，交半圆于点P′，连接OP，根据AP≥OA﹣OP，结合勾股定理计算即可．
（3）连接OA，OB，过点O作OR⊥AB于点R．点H到AB的距离为，计算面积即可．
【解答】解：（1）如图1，当点O，P，A三点共线，点P在点O左侧时，点P到点A的距离最长．
∵点P是⊙O上一动点，⊙O的半径为2，OA＝5，
∴AP＝OP+OA＝2+5＝7，
∴点P到点A的最长距离为7．
（2）如图2，连接OA，交半圆于点P′，连接OP．
∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，
∴．
∵∠ACB＝90°，
∴
∵AP≥OA﹣OP，
∴，
∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为．
（3）如图3，连接OA，OB，过点O作OR⊥AB于点R．
∵OA＝OB＝4，，
∴，
，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝60°．
∵AM⊥AC，
∴∠M＝30°．
如图3，作△ABM的外接⊙K，
要使S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，
延长OR交⊙K于点H，
∵OR⊥AB，，
∴直线OR是线段AB得垂直平分线，
则点K一定在直线OR上，
连接AK，BK，AH，BH，
∴∠AHB＝30°．
∴∠AKB＝60°．
∵AK＝BK，
∴△ABK是等边三角形，
∴，
，
∴点H到AB的距离为，
∴，
∴△ABM面积的最大值为．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
组别
分数/分
频数组
内学生的平均成绩/分
A
60≤x＜70
a
65
B
70≤x＜80
10
75
C
80≤x＜90
14
85
D
90≤x≤100
18
95
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y＝ax2+bx+c
…
t
m
﹣2
﹣2
n
…
组别
分数/分
频数组
内学生的平均成绩/分
A
60≤x＜70
a
65
B
70≤x＜80
10
75
C
80≤x＜90
14
85
D
90≤x≤100
18
95
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